- 964 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:33]
- 補題
f: X → Y をスキームの射とし、 Y' を Y の部分スキームとする。
射影 p: (X x Y')/Y → X は埋入(immersion)である。
p は位相空間として f^(-1)(Y') への同型を与える。
証明
以下の図式より、p は埋入 Y' → Y の基底拡大であるから、
埋入である。
（ＸｘＹ’）／Ｙ → Ｘ
↓ ↓
Ｙ’ → Ｙ
x を f^(-1)(Y') に属す点とする。
f(x) = y とおく。標準的な準同型 O_y → O_x
は、体の準同型 k(y) → k(x) を誘導する。
これは、さらに射 Spec(k(x)) → Spec(k(y)) を誘導する。
これを標準射 Spec(k(y)) → Y' と合成して
射 Spec(k(x)) → Y' を得る。
これは、合成射 Spec(k(x)) → X → Y と一致する。
よって、ファイバー積の定義より、
射 Spec(k(x)) → (X x Y')/Y が存在する。
この射に対応する (X x Y')/Y の点を z とすれば、
p(z) = x である。よって、p の像は f^(-1)(Y') である。
p は埋入だから p は f^(-1)(Y') への位相同型である。
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