代数的整数論 005

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。 前スレ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ 372 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:28:39 ] >>371 から次の巡回系列が得られる。 (1/((2 + √D)/8), 1) → (1/((6 + √D)/2), -1) → (1/((6 + √D)/8), 1) → (1/((2 + √D)/6), -1) → (1/((4 + √D)/6), 1) → (1/((2 + √D)/8), -1) → (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) これから、符号を無視すると以下の簡約２次無理数の長さ５の巡回系列が ２つ繰り替えされていることが分かる。 (2 + √D)/8 → (6 + √D)/2 → (6 + √D)/8 → (2 + √D)/6 → (4 + √D)/6 → (2 + √D)/8 373 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:33:29 ] >>372 >→ (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/8), -1) 374 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 15:31:31 ] (2 + √D)/8 を連分数に展開してみよう。 (2 + √D)/8 = 1 + (-6 + √D)/8 = 1 + 1/(6 + √D)/2 (6 + √D)/2 = 6 + (-6 + √D)/2 = 6 + 1/(6 + √D)/8 (6 + √D)/8 = 1 + (-2 + √D)/8 = 1 + 1/(2 + √D)/6 (2 + √D)/6 = 1 + (-4 + √D)/6 = 1 + 1/(4 + √D)/6 (4 + √D)/6 = 1 + (-2 + √D)/6 = 1 + 1/(2 + √D)/8 よって (2 + √D)/8 = [1, 6, 1, 1, 1, ...] ここに現れた、簡約２次無理数の巡回列は >>372 と同じものである。 375 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 16:16:57 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = (a, b, c) と g = (k, l, m) を判別式 D の簡約２次形式とする。 f と g が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。 ここで F(D) は判別式 D の２次形式の集合であり、Γ = SL_2(Z) である(>>234)。 このとき f のサイクルと g のサイクルは一致することを証明しよう。 ρ(f) の先頭項は a の符号と反対であり、f と ρ(f) は F(D)/Γ の 同じ類に属すから a ＞ 0 と仮定してよい。 同様に k ＞ 0 と仮定してよい。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。 θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき >>353 より τ = (-l + √D)/2k θ = (pτ + q)/(rτ + s) より 1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ)) >>112 より、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] 1/τ = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、 各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 16:32:15 ] 　　　　　　　　　　_., .,､._,r hh.､ y...u,_ ､ ､.,., 　　　　　　　　.yl!).彳｝ﾞ.^ﾞ冖^^^ﾞﾞ'⌒ﾞﾞ「｛ .〕:!|ｧ_ l.r. 　　　　　　 .rl!.「.ﾞ.′　　　　　　　　　　　 .ﾞ.^ﾞ「.|^|'!.,.ri,､ 　　　 _,.u:l 「″　　　　　　　 _,..vv-─--v､､.,__ﾞ ´「 リﾞ .r 　 .-i(┴^　　　　　　　　,.v‐ ′　　　　i!､　　厂^'ｰ､_　.'ﾞ/ 　.,l|　　　　　　　　　.,.‐'ﾞr　　'=,　 .|ﾄ!　 ..　　　　　／_ ┘ _, .［.′　　　　　 .,r(,,vv!冖h厂 _,､､､,_ ¨ﾞ（）　　　.ﾞﾞil|ﾘ冖ﾐ(ﾐ,.l|/ﾚ' .||　　　　　_,yr!^″　　　 ［.zli》ﾆ《)ﾐ|l;,　|ノ冖ｰu「.,zzzzy,｛丁′ .!ミ　　 .yr(l「′　　　　　　〔″　　　　｀.,i^　　　.〔.!!干「「)v）《ﾌ i|　 __,/′.｝　　　　 .　　　　＼,,,,,_,,,,,,vr″　　　 .ﾞ)z　　　　,メﾞ'ly |ﾞ/|ﾚr》!　 ｝　　　　 .｝..　　　　　　　／,v--r　,､u_:rﾌ'¬ｰ^″　ﾞミ 》ﾞ|′ .ミ　.|　　　　 .∨　　 ,､　　　 ｛lzﾄrr┘ ＼从,,）　　　　 ｝:! .《 ｝｝.,rｰ ミ,,ｪ　　　 ,　　　　 .'|ﾌ　　　　　　.,,zu厶　￣　　　　　ﾞ'^　l! ﾞ|从　　》″　　　 | r　　　　　　　　　 -:(工ｪ」zﾐv_　　　n.　　　　〔 　　＜人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。 .》ﾄ　　.′　　　　∨　　　　　　 7vv=(干=─干ﾐl||l,_,z　″　　　 》 .《l,_ .'|!　　　　　　　　　　　　　　　　 .__　　　　　, .￣ﾞ..　　　　　 〕 　《^¨′　　　　　　　　　　　　　　　　 .ﾞ冖'^^'''冖　　 v＼　　　　｝ 　　　 　［　　　　　 ､　　　　　　　　.　　　　　　　　　　 〕　　 〔 .′ .」_ .ll′ 　　　　　 　.|　　　　　 | 」　　　　　　 ._｝　　　　　　　　 .hノ　　 .:|　,.. .,.ﾄﾄ 〕 　.｝　　　　　.^′　　　　　　ﾞ《,_　　　　　　　　　　　.､,ﾉ ...厂､　.il 　 ｝　　　　　　　　　 _　　.､　.ﾞﾞ'〜 .y,_　　　　　　_,r;|¨ <､､‐　. ﾉ 　 .｛,　　　　　　　　 〔 」　 ´　‐　「ilﾘiｱｱｧｧｧ;lllllli(ﾘﾞ｝ ┌ 冫.. .ｱ 　　 ＼　　　　　　　 ∨ﾞ .　_　.- . ' .｀ﾞ厂¨厂ﾞ厂'. .ﾞ ､' .ﾞ. ヽ‐,r| 　　 .ﾉy　　　　　　　　　　 .´ ､ .: ' ..:　 .､　'　｀ ' _ . .冫 -.',y;| 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:10:00 ] 44 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:11:00 ] 43 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:12:00 ] 42 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:13:00 ] 41 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:14:00 ] 40 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:15:00 ] 39 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:10:00 ] 38 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:11:00 ] 37 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:12:00 ] 36 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:13:01 ] 35 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:14:01 ] 34 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:15:01 ] 33 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:10:00 ] 34 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:11:00 ] 33 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:12:00 ] 32 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:13:00 ] 31 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:14:00 ] 30 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:15:00 ] 29 395 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 17:17:23 ] 補題 β ＞ 1 を実無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = 1 であり、 c ＞ d ＞ 0 である。 このときある偶数 n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 a/c を単純連分数(>>69)に展開して a/c = [k_0, . . . , k_(n-1)] とする。 >>107 より ad - bc = (-)^n = 1 と仮定してよい。 即ち n は偶数と仮定してよい。 あとは >>110 の証明と同じである。 証明終 396 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 17:21:06 ] 補題 β を簡約２次無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = 1 である。 このとき、ある偶数 n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 cβ + d ＜ 0 なら -cβ - d ＞ 0 で α = (-aβ - b)/(-cβ - d) だから cβ + d ＞ 0 と仮定してよい。 β を 無限連分数に展開して β = [h_0, h_1, . . . ] とする。 m ≧ 1 に対して ω_m = [h_m, h_(m+1), . . . ] とおく。 >>77 より β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω_m] である。 β は簡約２次無理数だから >>101 より純循環連分数に展開される。 よって ω_m = β、即ち β = [h_0, . . . , h_(m-1), β] となる m ≧ 1 がある。 しかも、このような m としていくらでも大きい値が取れる。 従って >>395 より >>113 と同様にして ある偶数 n ≧ 1 があり α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 証明終 397 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 21:09:12 ] >>375 の続き。 1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ)) であり、1/τ は簡約２次無理数 だから >>396 より、ある偶数 n ≧ 1 があり、 1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), 1/τ] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 1/θ も簡約２次無理数だから 1/θ ＞ 1 であり、k_0 ≧ 1 である。 >>368 と、n は偶数に注意して、 φ_FQ( ρ^n(f) ) = (τ, (-1)^n) = (τ, 1) である。 一方 φ_FQ(g) = (τ, 1) だから ρ^n(f) = g である。 よって f と g は同じサイクルに属す。 即ち簡約２次形式 f と g が F(D)/Γ(>>375) の同じ類に属すことと、 f と g が RF(D)/G (>>359) の同じ類に属すことは同値である。 一方、>>348 より F(D)/Γの任意の類は簡約２次形式を含む。 よって |F(D)/Γ| = |RF(D)/G| である。 398 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 21:14:07 ] >>397 の結果は恐らく(不定符号)２次形式の初等的な理論の中で最初の 難関だろう。 399 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 09:46:33 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 判別式 D の原始的(過去スレ４の279)な簡約2次形式(>>330)の集合を RF_0(D) と書く。 >>397 の |F(D)/Γ| = |RF(D)/G| より |F_0(D)/Γ| = |RF_0(D)/G| となる。 一方、>>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) (>>227)は集合として同型である。 よって |Cl+(D)| = |RF_0(D)/G| |Cl+(D)| を h+(D) と書き R の狭義の類数と呼ぶ。 ここで R は判別式 D の整環である。 |Cl(D)| を h(D) と書き R の広義の類数と呼ぶ。 400 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 10:05:56 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>399 より R の狭義の類数 h+(D) は |RF_0(D)/G| と一致する。 RF_0(D) の元、つまり判別式 D の原始的な簡約2次形式を数え上げる アルゴリズムは簡単である。 (a, b, c) ∈ RF_0(D) となる条件を求めよう。 まず >>333 より 0 ＜ b ＜ √D である。 即ち 1 ≦ b ≦ [√D] >>335 より a と c の符号は反対だから D = b^2 - 4ac = b^2 + 4|ac| これから b が決まると |ac| が決まる。 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b よって √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b よって [√D] + 1 - b ≦ 2|a| ≦ [√D] + b これから a が決まり D = b^2 + 4|ac| より c が決まる。 あとは gcd(a, b, c) = 1 に注意すればよい。 401 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 10:54:46 ] D = 328 として h+(D) を求めてみよう。 これは高木の「初等整数論講義」の例と同じである。 328 = 4・82 = 8・41 で 82 ≡ 2 (mod 4) だから 判別式 D の整環 R は Q(√82) の主整環である。 従って 判別式 D の2次形式はすべて原始的である(過去スレ４の289)。 [√D] = 18 である。 b^2 + 4|ac| = 328 [√D] + 1 - b ≦ 2|a| ≦ [√D] + b より以下の２０個が判別式 328 の原始的な簡約2次形式の全部である。 (9, 2, -9) (-9, 2, 9) (6, 8, -11) (-11, 8, 6) (11, 8, -6) (-11, 8, 6) (3, 14, -11) (-3, 14, 11) (11, 14, -3) (-11, 14, 3) (2, 16, -9) (-2, 16, 9) (9, 16, -2) (-9, 16, 2) (3, 16, -6) (-3, 16, 6) (6, 16, -3) (-6, 16, 3) (1, 18, -1) (-1, 18, 1) 402 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 11:10:03 ] >>401 で求めた RF_0(328) をサイクルに分類するのは >>370 と 同様にすればよい。 (9, 2, -9) → (-9, 16, 2) → (2, 16, -9) → (-9, 2, 9) → (9, 16, -2) → (-2, 16, 9) → (9, 2, -9) (11, 8, -6) → (-6, 16, 3) → (3, 14, -11) → (-11, 8, 6) → (6, 16, -3) → (-3, 14, 11) → (11, 8, -6) (3, 16, -6) → (-6, 8, 11) → (11, 14, -3) → (-3, 16, 6) → (6, 8, -11) → (-11, 14, 3) → (3, 16, -6) (1, 18, -1) → (-1, 18, 1) → (1, 18, -1) 以上から RF_0(328) は４個のサイクルからなっている。 よって h+(328) = 4 である。 即ち Q(√82) の狭義の類数は４である。 403 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 11:37:28 ] >>402 において、 (9, 2, -9) と (-9, 2, 9) (11, 8, -6) と (-11, 8, 6) (3, 16, -6) と (-3, 16, 6) (1, 18, -1) と (-1, 18, 1) はそれぞれ同じサイクルに属す。 従って >>305 より Q(√82) の広義の類数も４である。 404 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/30(水) 18:09:12 ] すみません、教えてください。 お願いします。 web2.incl.ne.jp/yaoki/wari7.htm の問題 「２ｎ−１個の任意の自然数がある。(ｎは自然数) （２ｎ−１個の内に、同じ自然数があってもかまわない） その中のあるｎ個の自然数の和で、ｎで割り切れるものが必ず存在する。 そうであるなら証明を、そうとも限らないなら反例を示してください。」 の解答web2.incl.ne.jp/yaoki/awari7.htmで 以下の所の意味がよく解りませんので、よろしくお願いいたします。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ Rk と Sk-1 は要素数が同じであるが、それぞれの要素数の和は法 p の下で剰余が等しくないことになる。 これは、Rk には Sk-1 にない要素が少なくとも１つはあることを意味する。 Sk = Sk-1 ∪ Rk であるから、Sk の要素数は Sk-1 よりも多くなる。 もし t = p ならば、Sk-1 には p 個の要素があり、法 p の下の剰余をすべて尽くしている。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ ここまではわかるのですが、次からがよくわかりません。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ こうなると Sk, Sk+1, ... は、要素数が p 個である状態が続いていく。 よって、Sk の要素は k+1 個以上あるが、p 個が上限である。 特に、Sp-1 は要素数が p 個で、法 p の下の剰余がすべて含まれる。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ t = p でないときは？ 405 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 10:57:21 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とし、 m ≠ 0 を有理整数とする。 m = ax^2 + bxy + cy^2 の固有な解(過去スレ４の701)の全てを求めるには 過去スレ４の738 より以下の問題に帰着する。 (1) 判別式 D の２次形式 (a, b, c) と (m, l, k) が与えられたとき それらが同値か否かを判定せよ。 (2) 同値なら (a, b, c)σ = (m, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) を全て求めよ。 (1) は既に解けている。 即ち以下のようにする。 f と g を判別式 D の２次形式とする。 f と g が同値かどうかを判定するには、 >>348 の方法により f と g をそれぞれ簡約２次形式に変形して それらが同じサイクルに含まれるかどうかを見ればよい。 同じサイクルに含まれれば、fσ = g となる σ ∈ SL_2(Z) は 少なくとも１個求まる。 よって (2) は (a, b, c)σ = (a, b, c) となる σ ∈ SL_2(Z) を 全て求めれば解ける(過去スレ４の739)。 406 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:37:07 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的な２次形式とする。 U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) } とおく。 U(f) は SL_2(Z) の部分群である。 U(f) の構造を決定しよう。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (a, b, c とする。 過去スレ４の401より a = ap^2 + bpr + cr^2 b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs c = aq^2 + bqs + cs^2 ps - qr = 1 だから ps = qr + 1 これと b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs より b = 2apq + b(2qr + 1) + 2crs よって 2apq + 2bqr + 2crs = 0 よって apq + bqr + crs = 0 407 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:46:11 ] >>406 の続き。 apq + bqr + crs = 0 より、 aq = q(ap^2 + bpr + cr^2) = apqp + bpqr + cr^2q = (-bqr - crs)p + bpqr + cr^2q = -crsp + cr^2q = -cr(ps - qr) = -cr よって r/a = -q/c 他方 c(p - s) = (aq^2 + bqs + cs^2)(p - s) = apq^2 + bpqs + cs^2p - cs = apq^2 + bpqs + cs(sp - 1) = apq^2 + bpqs + csqr = q(apq + bps + crs) = q(bps - bqr) = qb(ps - qr) = qb ここで再び apq + bqr + crs = 0 を使った。 よって (s - p)/b = -q/c 以上から r/a = (s - p)/b = -q/c 408 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:55:14 ] >>407 の続き。 r/a = (s - p)/b = -q/c を u とおく。 r = au s - p = bu q = -cu となる。 u = v/w とする。 ここで v, w は有理整数で gcd(v, w) = 1 である。 wr = av w(s - p) = bv wq = -cv よって w は a, b, c の共約数である。 ２次形式 f = (a, b, c) は原始的だから w = ±1 である。 よって u は有理整数である。 t = p + s とおく。 t + bu = 2s t - bu = 2p よって p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au 409 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:36:11 ] >>408 の続き。 p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au と ps - qr = 1 より (t^2 - b^2u^2)/4 + acu^2 = (t^2 - b^2u^2 + 4acu^2)/4 = 1 よって t^2 - Du^2 = 4 410 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:37:35 ] >>409 の続き。 逆に (t, u) が t^2 - Du^2 = 4 の解なら p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au とおくと ps - qr = 1 となって、σ = (p, q)/(r, s) は SL_2(Z) の元である。 (a, b, c)σ = (k, l, m) とする。 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 411 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:39:21 ] >>410 の続き。 一方、 ap^2 + bpr + cr^2 = (t - bu)^2/4 + ab(t - bu)u/2 + ca^2u^2 = (a(t - bu)^2 + 2ab(t - bu)u + 4ca^2u^2)/4 = (at^2 - 2abtu + ab^2u^2 + 2abtu - 2ab^2u^2 + 4ca^2u^2)/4 = (at^2 - ab^2u^2 + 4ca^2u^2)/4 = a(t^2 - Du^2)/4 = a よって k = a 2apq + b(ps + qr) + 2crs = -2acu(t - bu)/2 + b(t^2 - b^2u^2)/4 - abcu^2 + 2acu(t + bu)/2 = 2abcu^2 + b(t^2 - b^2u^2)/4 - abcu^2 = b(t^2 - b^2u^2)/4 + abcu^2 = b(t^2 - Du^2)/4 = b よって l = b D = b^2 - 4ac = l^2 - 4km だから b^2 - 4am = D よって m = c 以上から (a, b, c)σ = (a, b, c) 412 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:29:04 ] >>411 の続き。 t^2 - Du^2 = 4 の有理整数解 (t, u) の集合を Pell+(D) と書こう。 (t, u) ∈ Pell+(D) のとき φ(t, u) = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) と書く。 ここで p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au >>411 より φ は Pell+(D) から U(f) への写像である。 >>409 より φ は全射である。 φ が単射であることを示そう。 (t, u) と (t', u') を Pell+(D) の元で、 φ(t, u) = φ(t', u') とする。 a ≠ 0 だから(a = 0 なら D = b^2 となって D は平方数となって 仮定に反する)、 au = au' より u = u' である。 よって (t - bu)/2 = (t' - bu')/2 より t = t' である よって (t, u) = (t', u') よって φ は単射である。 413 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:45:36 ] >>412 の続き。 R を判別式 D の整環とする。 過去スレ４の590より R = {(x + y√D)/2 ; x ∈ Z, y ∈ Z, x ≡ yD (mod 2) } である。 R の単数でノルムが１となるもの全体を (R^*)+ と書く 即ち (R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である(>>281)。 α = (t + u√D)/2 が R の単数なら、 N(α) = αα' = (t + u√D)/2 (t - u√D)/2 = (t^2 - Du^2)/4 = ±1 特に N(α) = 1 なら t^2 - Du^2 = 4 である。 よって (t, u) ∈ Pell+(D) である。 逆に (t, u) ∈ Pell+(D) なら、 >>132 より α = (t + u√D)/2 は R の単数である。 明らかに、N(α) = 1 である。 以上から Pell+(D) と (R^*)+ は集合として同型である。 >>412 より Pell+(D) と U(f) は集合として同型であるから U(f) と (R^*)+ は集合として同型である。 414 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:59:34 ] >>413 の続き。 >>139 より R の任意の単数は ±E^m, m ∈ Z と書ける。 ここで E は R の基本単数である。 よって R^* は群として Z × {±1} と同型である。 ここで Z は有理整数環の加法群である。 N(E) = 1 なら R^* = (R^*)+ である。 N(E) = -1 なら (R^*)+ の任意の元は ±(E^2)^m, m ∈ Z と書ける。 この場合も (R^*)+ は群として Z × {±1} と同型である。 415 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 16:10:27 ] >>408 >よって w は a, b, c の共約数である。 よって w は a, b, c の公約数である。 416 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 17:25:26 ] >>414 の続き。 R の基本単数は >>138 と >>139 の方法で求まる。 例として >>401 で取り上げた D = 328 のときに基本単数を 求めてみよう。 >>401 より (-1, 18, 1) は簡約２次形式だから θ = 2|a|/(-b + √D) = (b + √D)/2|c| = (18 + √D)/2 は 簡約された２次無理数である(>>330, >>339)。 [θ] = 18 θ - 18 = (-18 + √D)/2 1/(θ - 18) = 2(-18 - √D)/(18^2 - 328) = 2(18 + √D)/4 = (18 + √D)/2 = θ よって θ = [18, 0, θ] よって θ = 18 + 1/θ = (18θ + 1)/θ >>138 より θ = (18 + √D)/2 は R の、従って Q(√82) の 基本単数である。 N(θ) = (18 + √D)/2 (18 - √D)/2 = (18^2 - 328)/4 = -4/4 = -1 よって (R^*)+ = { ±θ^(2n) ; n ∈ Z } = { ±((326 + 18√D)/2)^n) ; n ∈ Z } 417 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 21:00:24 ] >>416 の補足。 θ = (18 + √D)/2 = 9 + √82 θ^2 = (9 + √82)^2 = 81 + 18√82 + 82 = 163 + 18√82 よって (R^*)+ = { ±θ^(2n) ; n ∈ Z }　= { ±(163 + 18√82)^n) ; n ∈ Z } 418 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/01(金) 06:41:05 ] 訂正 >>416 >よって >θ = [18, 0, θ] よって θ = [18, θ] 419 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/01(金) 10:59:10 ] >>401 の (3, 14, -11) も簡約２次形式である。 これからも R の基本単数を計算して見よう。 θ = 2|a|/(-b + √D) = (b + √D)/2|c| = (14 + √D)/22 = (7 + √82)/11 これは簡約された２次無理数である(>>330, >>339)。 θ を連分数に展開する。 [(7 + √82)/11] = 1 (7 + √82)/11 - 1 = (-4 + √82)/11 11/(-4 + √82) = 11(4 + √82)/66 = (4 + √82)/6 [(4 + √82)/6] = 2 (4 + √82)/6 - 2 = (-8 + √82)/6 6/(-8 + √82) = 6(8 + √82)/18 = (8 + √82)/3 [(8 + √82)/3] = 5 (8 + √82)/3 - 5 = (-7 + √82)/3 3/(-7 + √82) = 3(7 + √82)/33 = (7 + √82)/11 = θ よって θ = [1, 2, 5, θ] よって θ = (16θ + 3)/(11θ + 2) よって 11θ + 2 = 9 + √82 が基本単数である。 これは勿論 >>416 の結果と一致している。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:10:00 ] 43 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:11:00 ] 42 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:12:00 ] 41 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:13:00 ] 40 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:14:00 ] 39 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:15:00 ] 38 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:10:00 ] 37 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:11:01 ] 36 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:12:00 ] 35 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:13:00 ] 34 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:14:00 ] 33 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:15:00 ] 34 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 05:43:14 ] 荒らすな (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 433 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 21:47:41 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 n を有理整数としたとき σ(n) = (0, 1)/(-1, n) とおく。 σ(n) ∈ SL_2(Z) である。 (a, b, c)σ(n) = (c, -b - 2cn, a + bn + cn^2) となる。 ２次形式 (c, -b - 2cn, a + bn + cn^2) を (c, b', a') と書くと、 b + b' ≡ 0 (mod 2c) である。 一般に、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D の２次形式としたとき、 b + b' ≡ 0 (mod 2c) となるとき、 (c, b', a') は (a, b, c) の右に隣接しているといい、 (a, b, c) は (c, b', a') の左に隣接しているという。 この関係を (a, b, c) → (c, b', a') と表す。 b + b' = -2cn とすると (a, b, c)σ(n) = (c, b', a') である。 434 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 22:38:13 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>348 の ρ(a, b, c) は (a, b, c) の右に隣接している。 逆に、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 (>>330)とし、(c, b', a') が (a, b, c) の右に隣接しているとする。 b + b' ≡ 0 (mod 2c) だから b' = -b + 2|c|n と書ける。 (c, b', a') は簡約されているから √D - 2|c| ＜ -b + 2|c|n ＜ √D よって 2|c|n ＜ b + √D ＜ 2|c|n + 2|c| 即ち n ＜ (b + √D)/2|c| ＜ n + 1 よって n = [(b + √D)/2|c|] >>348 より ρ(a, b, c) = (c, b', a') である。 以上をまとめると、簡約２次形式 (a, b, c) の右に隣接している 簡約２次形式はただ一つ存在し、それは ρ(a, b, c) である。 435 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 22:56:44 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 μ(a, b, c) = (c, b, a) と書いた(>>355)。 >>356 より (μρ)(μρ) = 1 だから μρμρ(a, b, c) = (a, b, c) である。 両辺に μ を掛けて ρμρ(a, b, c) = μ(a, b, c) 一方、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 とし、(c, b', a') が (a, b, c) の右に隣接しているとする。 即ち、(a, b, c) → (c, b', a') とする。 このとき、明らかに (a', b', c) → (c, b, a) である。 即ち、μ(c, b', a') → μ(a, b, c) 436 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 23:04:30 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 とし、(c, b', a') が (a, b, c) の右に隣接しているとする。 即ち、(a, b, c) → (c, b', a') とする。 >>434 より ρ(a, b, c) = (c, b', a') である。 ρ^(-1) を両辺に掛けて (a, b, c) = ρ^(-1)(c, b', a') となる。 即ち、簡約２次形式 (c, b', a') の左に隣接している 簡約２次形式はただ一つ存在し、それは ρ^(-1)(c, b', a') である。 437 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 20:38:53 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 f と g を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 とし、g が f の右に隣接しているとする(>>433)。 即ち、f → g とする。 >>435 より μ(g) → μ(f) である。 さらに h を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式で g → h とすれば、 μ(h) → μ(g) → μ(f) となる。 >>434 より f → g なら f と g は同じサイクル(>>359)に属す。 上から、一般に f と g が同じサイクルに属せば μ(f) と μ(g) も 同じサイクルに属すことが分かる。 よって μ: RF(D) → RF(D) は RF(D)/G (>>359) の集合としての 自己同型を引き起こす。この自己同型を同じくμで表そう。 μ: RF(D)/G → RF(D)/G 438 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 20:42:57 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 (c, b, a) → (a, b, c) となるとき、 即ち b ≡ 0 (mod a) のとき (a, b, c) を両面形式(ambiguous form) と呼ぶ(Gauss D.A. art. 163)。 439 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 20:49:45 ] >>437 の続き。 RF(D)/G の元、即ちサイクル C で μ(C) = C となるものを考える。 C の元の一つを f とする。 C の元の個数を n とすると (ρ^n)(f) = f だから >>358 より n は 偶数である。n = 2d とする。 i を任意の有理整数としたとき f_i = (ρ^i)(f) と書く。 C = { f_0, f_1, . . . , f_(n-1) } である。 μ(C) = C だから μ(f) は C の元である。 μ(f) = f_r とする。ここで 0 ≦ r ＜ n である。 f = (a, b, c) とすると μ(f) = (c, b, a) である。 >>335 より a と c の符号は反対だから r は奇数である。 r = 2m - 1 とする。ここで 1 ≦ m ≦ d である。 μ(f) = f_r の両辺に μ を作用させると、f_0 = μ(f_r) f_(r-1) → f_r だから >>435 より f_0 → μ(f_(r-1)) 一方 f_0 → f_1 だから μ(f_(r-1)) = f_1 一般に h を任意の有理整数としたとき μ(f_(r-h)) = f_h 特に h = m とすると μ(f_(m-1)) = f_m よって f_m は両面形式である(>>438)。 440 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 20:54:15 ] f_(m-1) = f_(m - 1 + 2d) だから μ(f_(m - 1 + 2d)) = f_m よって左辺の添字から d を引き、右辺の添字に d を加えれば、 μ(f_(m + d - 1)) = f_(m + d) よって f_(m + d) は両面形式である。 m ≡ m + d (mod 2d) ではないから f_m ≠ f_(m + d) である。 f_s が両面形式だとする。 μ(f_(s - 1)) = f_s よって μ(f_s) = f_(s - 1) 左辺の添字から s を引き、右辺の添字に s を加えれば、 μ(f_0) = f_(2s - 1) μ(f_0) = f_(2m - 1) だったから f_(2s - 1) = f_(2m - 1) よって 2s ≡ 2m (mod 2d) s ≡ m (mod d) s = m + dk とする。 k が偶数なら s ≡ m (mod 2d) k が奇数なら s ≡ m + d (mod 2d) 以上から C には相異なる両面形式 f_m と f_(m + d) の２個があり、 C に含まれる両面形式はこれ以外にない。 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/06(水) 21:19:07 ] クンメル氏乙 442 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 21:24:45 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の両面形式(>>438)とする。 b ≡ 0 (mod a) だから b = an となる有理整数 n がある。 σ = (1, n)/(0 -1) は GL_2(Z) の元で det(σ) = -1 である。 (a, b, c)σ = (k, l, m) とする。 σ = (1, n)/(0 -1) = (p, q)/(r, s) とおく。 p = 1 q = n r = 0 s = -1 である。 過去スレ４の280より k = ap^2 + bpr + cr^2 = a l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs = 2an - b = b m = aq^2 + bqs + cs^2 = an^2 - bn + c = c 即ち (a, b, c)σ = (a, b, c) である。 443 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 21:44:36 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) で det(σ) = ps - qr = -1 とし、 (a, b, c)σ = (a, b, c) とする。 このとき p + s = 0 となることを証明しよう。 過去スレ４の280より a = ap^2 + bpr + cr^2 b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs c = aq^2 + bqs + cs^2 qr = ps + 1 を b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs に代入すると b = 2apq + b(2ps + 1) + 2crs よって 2apq + 2bps + 2crs = 0 apq + bps + crs = 0 apq + (bp + cr)s = 0 両辺に r を掛けて apqr + (bp + cr)rs = 0 一方 a = ap^2 + bpr + cr^2 より a = ap^2 + (bp + cr)r 両辺に s を掛けて as = asp^2 + (bp + cr)rs これに、上の 0 = apqr + (bp + cr)rs を辺々引いて as = asp^2 - apqr 両辺を a で割って s = sp^2 - pqr s = p(sp - qr) s = -p 証明終 444 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 21:53:40 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 ここで σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) で det(σ) = ps - qr = -1 とし、(a, b, c)σ = (a, b, c) とする。 >>443 より s = -p である。 よって p^2 + qr = 1 である。 r = 0 の場合を考える。 p^2 = 1 である。 過去スレ４の280より b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs = 2apq - bp^2 = 2apq - b よって 2b = 2apq よって b = apq よって (a, b, c) は両面形式(>>438)である。 445 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/06(水) 22:28:02 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 ここで σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) で det(σ) = ps - qr = -1 とし、(a, b, c)σ = (a, b, c) とする。 >>443 より s = -p である。 よって p^2 + qr = 1 である。 今度は r ≠ 0 の場合を考える。 τ = (u, v)/(w, z) ∈ SL_2(Z) を適当にとると (a, b, c)τρ = (a, b, c)τ τρτ^(-1) = σ となる ρ ∈ GL_2(Z) で det(ρ) = -1 で ρ = (α、β)/(0, -α) の形となることを 証明しよう。 τρτ^(-1) = σ より ρ = τ^(-1)στ τ^(-1) = (z, -v)/(-w, u) σ = (p, q)/(r, -p) だから τ^(-1)σ = (zp - vr, zq + vp)/(-wp + ur, -wq - up) これと ρ = τ^(-1)στ の (2, 1)-成分が 0 より -uwp + u^2 r - w^2q - uwp = u^2 r - 2uwp - w^2q = 0 446 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 09:04:21 ] >>445 の u^2 r - 2uwp - w^2q = 0 の両辺に r を掛けて u^2 r^2 - 2uwpr - w^2qr = 0 p^2 + qr = 1 だから u^2 r^2 - 2uwpr - w^2(1 - p^2) = 0 よって u^2 r^2 - 2uwpr + w^2p^2 - w^2 = 0 よって (ur - wp)^2 - w^2 = 0 両辺を w^2 で割って ((u/w)r - p)^2 - 1 = 0 よって (u/w)r - p = ±1 よって u/w = (p ± 1)/r u/w = (p ± 1)/r を満たす u, w で gcd(u, w) = 1 となるものをとる。 gcd(u, w) = 1 だから uz - vw = 1 となる z, v が存在する。 τ = (u, v)/(w, z) が求めるものである。 447 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 10:33:44 ] >>445 により、 (a, b, c)σ = (a, b, c) となる σ ∈ GL_2(Z) で det(σ) = -1 となるものがあれば、(a, b, c) は両面形式と同値になる。 448 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 11:11:28 ] >>447 を補足する。 (a, b, c)σ = (a, b, c) となる σ ∈ GL_2(Z) で det(σ) = -1 となるものがあれば、 >>445 により、τ = (u, v)/(w, z) ∈ SL_2(Z) を適当にとると (a, b, c)τρ = (a, b, c)τ となる。 ここで ρ = (α、β)/(0, δ) ∈ GL_2(Z) で det(ρ) = -1 である。 >>444 より (a, b, c)τ は両面形式である。 449 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 22:17:39 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 判別式 D の２次形式の集合を F(D) と書いた(>>184)。 F(D) を Γ = SL_2(Z) の作用(>>184)で類別した集合を F(D)/Γ と書く。 f = (a, b, c) ∈ F(D) として f の属す F(D)/Γ の類を C とする。 τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。 det(τ) = -1 である。 (a, b. c)τ = (a, -b, c) である(>>296)。 τ^2 = 1 だから τ^(-1) = τ である。 (a, -b, c) が C に属すとする。 これは fσ = fτ となる σ ∈ SL_2(Z) が存在することを意味する。 よって fστ = f である。 det(στ) = -1 だから >>447, >>448 より f は両面形式 g と 同値になる。即ち C は両面形式 g を含む。 逆に F(D)/Γ の類 E がある両面形式 (k, l, m) を含むとする。 l ≡ 0 (mod k) だから l = kn となる有理整数 n がある。 S = (1, 1)/(0, 1) とおけば、S^n = (1, n)/(0, 1) τS^n = (1, n)/(0, -1) 従って、>>442 より (k, l, m)τS^n = (k, l, m) である。 よって (k, l, m)τ = (k, l, m)S^(-n) となる。 det(S^(-n)) = 1 だから (k, l, m)S^(-n) 従って (k, l, m)τ は E に含まれる。 450 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 22:19:49 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 F(D)/Γ の類 C が両面形式を含むとき C を両面類という。 451 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/07(木) 22:55:14 ] 命題 D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 F(D)/Γ の類 C が両面類であるためには、C の任意の元 (a, b, c) に 対して (a, -b, c) が C に含まれることが必要十分である。 証明 C の任意の元 (a, b, c) に対して (a, -b, c) が C に含まれれば、 >>449 より C は両面類である。 逆に C が両面類であるとする。 τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。 C はある両面形式 f を含むから、>>449 より fτ ∈ C である。 g を C の任意の元とする。 このとき gτ が C に含まれることを示せばよい。 f と g は C の元だから fσ = g となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 同様に fτ と g は C の元だから fτρ= g となる ρ ∈ SL_2(Z) がある。 fσ = g より f = gσ^(-1) だから fτρ= g より gσ^(-1)τρ = g である。 よって gσ^(-1)τρτ = gτ ここで κ = σ^(-1)τρτ とおくと gκ = gτ det(κ) = 1 だから gκ 従って gτ は C に含まれる。 証明終 452 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/08(金) 05:32:04 BE:810288948-2BP(1000)] このすれはノートか 453 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/08(金) 09:02:21 ] このスレの内容についてコメントなり質問をしてください。 わからないところがあったら説明します。 内容に関係ないレスは原則として返事をしないのであしからず。 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 09:10:43 ] スレの目標と言うか今後のロードマップみたいなものは どこかに書き込まれてまつか。 それと使用予定の参考文献とか。 455 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/08(金) 22:07:34 ] >>454 基本的な方針は代数的整数論を出来る限り歴史的順序に従って述べようと いうことです。 ただし、実際の歴史と同じように述べてもあまり意味はないし、 不可能です。 そこで、適宜現代的視点を取り入れていこうと思います。 大げさに言うと、古典と現代の融合を狙っています。 この方針と関係しますが、構成的方法の重視というのもあります。 つまり計算アルゴリズムを常に意識していこうと思っています。 今後の予定としては、２元２次形式論の初等的な部分を終ったら２次体の 類数公式をやる予定です。 次に、Hilbert の Bericht の内容を現代的な方法で扱いたい。 ここで種々の相互法則が出てくるでしょう。 類体論の成立過程を高次べき剰余の相互法則とからめてやりたいというのが 基本にあります。 それから類体論の成立過程で重要な役割をしているのが虚数乗法論です。 従って、これもやりたいと思ってます。 456 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/08(金) 22:09:05 ] >>454 過去スレ3より 以下、今までに参考にした、またはこれから参考にする予定の本や論文を挙げる（全部ではない）。 Bourbakiの位相、代数、位相ベクトル空間、積分、可換代数 Weilの位相群上の積分とその応用 Hewitt-Rossの位相群上の調和解析 van der Weardenの代数学 秋月・鈴木の高等代数学 II Artin, et al の Rings with minimum conditon Cartan-EilenbergのHomological Algebra Zariski-Samuelの可換代数 Serre の Local Algebra Edwards の Fermat's Last Theorem Gaussの数論考究(英訳) Dirichletの整数論講義(和訳) Hilbertの Bericht(英訳) Heckeの代数的整数論講義(英訳) 高木の代数学、初等整数論、代数的整数論 高木の類体論の論文(1920)その他 Artinの一般相互法則に関する論文(1926)その他 Hasseの Bericht Hasseの類体論に関するいくつかの論文 Herbrandの代数的整数論に関する２，３の論文 Chevalleyの類体論に関する２，３の論文。 Deuringの Algebren Artinの Algebraic Numbers and Algebraic Functions Artin-Tateの Class Field Theory Serreの Local Fields 岩沢の 局所類体論 Cassels & Frohlich Weilの Basic Number Theory Langの Algebraic Number Theory Neukirchの代数的整数論 457 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/08(金) 22:13:35 ] >>454 参考ないし参考予定の文献は過去スレ３の673に書いてあります。 しかし、あれから半年以上たっているので新たに参考にしたものも あります。 Zagier の数論入門(岩波) Buell の Binary quadratic forms Cohen の A course in computational algebraic number theory Cox の Primes of the Form x2 + ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication などです。 これ等は、過去スレ４とこのスレで参考とした箇所に書いてあります。 基本的に、参考にした文献は随時書いていきます。 458 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/08(金) 22:33:46 ] 命題 D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 F(D)/Γ の類 C が両面類(>>450(なら、C の任意の２元 (同じであってもよい) f, g に対して fρ = g となる ρ ∈ GL_2(Z) で det(ρ) = -1 となるものが存在する。 証明 τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。 >>449 と >>451 より gτ は C に含まれる。 よって fσ = gτ となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 τ^2 = 1 だから fστ = g である。 ρ = στ が求めるものである。 証明終 459 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/09(土) 00:31:11 ] 参考文献を追加します。 Serre の A course in arithmetic Ireland-Rosen の A classical introduction to modern number theory Lemmermeyer の Reciprocity laws Samuel 数の代数的理論 Marcus Number fields Frohlich-Taylor の Algebraic number theory Cassels の Local fields Hasse の Number theory Gras の Class field theory Koch の Algebraic number theory Cohen の Advanced topics in computational number theory Sliverman の The arithmetic of elliptic curves Lang の Elliptic functions Lang の Complex multiplication Weber の Algebra III Shimura の Introduction to arithmetic theory of automorphic functions 460 名前：454 mailto:sage [2007/06/09(土) 11:01:32 ] ご丁寧にありがとうございます。 自分にはまだまだ敷居が高いのですが、 提示していただいた参考文献に何とか挑戦してみようかと思います。 横から失礼致しました。 461 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 13:11:54 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 判別式 D の２次形式の集合を F(D) と書いた(>>184)。 判別式 D の原始的２次形式の集合を F_0(D) と書いた(>>220)。 D ＜ 0 のときは、判別式 D の正定値(過去スレ293)な２次形式の集合を F+(D) と書く。 さらに、判別式 D の正定値かつ原始的な２次形式の集合を (F_0)+(D) と 書く。 F(D) を Γ = SL_2(Z) の作用(>>184)で類別した集合を F(D)/Γ と書く。 F_0(D)/Γ, F+(D)/Γ, (F_0)+(D)/Γ も同様に定義する。 462 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 21:47:21 ] D ＜ 0 のとき F(D)/Γの構造を調べる。 f = (a, b, c) と g = (k, l, m) が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。 fσ = g となる σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) がある。 過去スレ４の280より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 ak = a(ap^2 + bpr + cr^2) = (ap + (b/2)r)^2 + acr^2 - (b^2)(r^2)/4 = (ap + (b/2)r)^2 + r^2(4ac - b^2)/4 = (ap + (b/2)r)^2 + r^2|D|/4 ＞ 0 よって a と k は同符号である。 よって F(D)/Γ の各類の元はすべて正定値またはすべて負定値 (過去スレ293)である。 463 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 21:52:34 ] f = (a, b, c) が判別式 D の正定値な２次形式であれば、 -f = (-a, -b, -c) は判別式 D の負定値(過去スレの293)な ２次形式である。 g = (k, l, m) が判別式 D の次形式で f と同値なら、 即ち fσ = g となる σ ∈ SL_2(Z) があれば、 過去スレ４の280より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 よって -k = -ap^2 - bpr - cr^2 -l = -2apq - b(ps + qr) - 2crs -m = -aq^2 - bqs - cs^2 よって (-a, -b, -c)σ = (-k, -l, -m) である。 逆に (-a, -b, -c) と (-k, -l, -m) が同値なら、 (a, b, c) と (k, l, m) も同値になる。 以上から、判別式 D の負定値な２次形式の集合を F-(D) と書けば、 F(D) = F+(D) ∪ F-(D) F(D)/Γ = (F+(D)/Γ) ∪ (F-(D)/Γ) であり F+(D)/Γ と F-(D)/Γ は集合として同型である。 よって |F(D)/Γ| = 2|F+(D)/Γ| 464 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 21:57:25 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 gcd(a, b, c) を記号の濫用だが gcd(f) とも書くことにする。 g = (k, l, m) が判別式 D の２次形式で f と同値なら、 過去スレの282より gcd(f) = gcd(g) である。 よって C が F(D)/Γ の類のとき C の各元の gcd は同じである。 これを gcd(C) と書くことにする。 よって F(D)/Γ の各類は同じ gcd を持つものをひとつのグループと することにより、いくつかのにグループに分類出来る。 各グループを判別式 D のオーダー(order)と呼ぶ(Gauss D.A. art. 226)。 定義から各オーダーに属す類の gcd は同じである。 これをそのオーダーの gcd と呼ぶ。 定義から gcd が１のオーダーは F_0(D)/Γである。 因みにオーダーという用語は生物分類学における「目(もく)」(order)から 来たものと思われる。 F(D)/Γ の各類は英語で class というが、これは生物分類学における 「網(こう)」にあたる。 465 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 22:05:27 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 判別式 D の整環(過去スレ４の418,421,424)を O(D) と書く。 O(D) の導手(過去スレ４の423)を f(D) と書く。 ２次体 Q(√D) の判別式を d とする。O(d) は Q(√D) の主整環である。 1, ω を O(d) の標準基とすると、O(D) = [1, f(D)ω] である。 D = (f(D))^2 d である(過去スレ４の425)。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 g = gcd(a, b, c) とする。 a = ga' b = gb' c = gc' とすれば (a', b', c') は原始的(過去スレ４の279)な２次形式である。 その判別式を D' とすれば D = (g^2)((b')^2 - 4a'c') = (g^2)D' D' = (f(D'))^2 d だから (f(D))^2 d = (g^2)(f(D'))^2 d よって (f(D))^2 = (g^2)(f(D'))^2 よって f(D) = gf(D') よって O(D) = [1, f(D)ω] ⊂ O(D') = [1, f(D')ω] ⊂ O(d) = [1, ω] よって [O(D') : O(D)] = g である。 ここで [O(D') : O(D)] はアーベル群 O(D')/O(D) の位数を表す。 466 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 22:19:16 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = (a, b, c) と g = (k, l, m) を判別式 D の２次形式とする。 e = gcd(a, b, c) = gcd(k, l, m) とする。 a = ea' b = eb' c = ec' k = ek' l = el' m = em' とすれば (a', b', c') と (k', l', m') は原始的な２次形式である。 f = (a, b, c) と g = (k, l, m) が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。 fσ = g となる σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) がある。 過去スレ４の280より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 これから (a', b', c')σ = (k', l', m') となる。 467 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 22:32:12 ] 逆に２次形式 (a', b', c') と (k', l', m') が同値なら、 任意の有理整数 e ≠ 0 に対して a = ea' b = eb' c = ec' k = ek' l = el' m = em' とおくと、(a, b, c) と (k, l, m) は同値である。 よって >>465 と >>466 より gcd が e の F(D)/Γ の類と F_0(D')/Γ の類は１対１に対応する。 ここで D' = D/e^2 である。 すなわち判別式 D の gcd が e のオーダー(>>464)と F_0(D')/Γ は 集合として同型である。 468 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 22:57:24 ] D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 判別式 D の整環を O(D) と書き、O(D) の導手を f(D) と書いた(>>465)。 ２次体 Q(√D) の判別式を d とすると D = (f(D))^2 d である。 f(D) の任意の約数 e ＞ 0 に対して D' = (f(D)/e)^2 d とおくと、 D' は導手 f(D)/e の整環 O(D') の判別式である。 従って、>>465 と >>467 より |F(D)/Γ| = Σ |F_0(D')/Γ| ここで D' = (f(D)/e)^2 d であり、e は f(D) の約数 e ＞ 0 全体を 動く。 469 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/13(水) 23:12:18 ] >>468 より D のオーダー(>>464)と O(D) ⊂ O(D') となる ２次体 Q(√D) の整環 O(D') とは１対１に対応する。 これが整環を英語で order (ドイツ語で ordnung)と呼ぶ理由である。 Grauert によると Cartan が解析的連接層を O と書いたのは これに遠因があるらしい。 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/17(日) 04:10:00 ] 49 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/17(日) 04:11:00 ] 48 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/17(日) 04:12:00 ] 47

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