- 375 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 16:16:57 ]
- D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
f = (a, b, c) と g = (k, l, m) を判別式 D の簡約２次形式とする。
f と g が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。
ここで F(D) は判別式 D の２次形式の集合であり、Γ = SL_2(Z)
である(>>234)。
このとき f のサイクルと g のサイクルは一致することを証明しよう。
ρ(f) の先頭項は a の符号と反対であり、f と ρ(f) は F(D)/Γ の
同じ類に属すから a ＞ 0 と仮定してよい。
同様に k ＞ 0 と仮定してよい。
σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、
(a, b, c)σ = (k, l, m)とする。
θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。
即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。
このとき >>353 より τ = (-l + √D)/2k
θ = (pτ + q)/(rτ + s) より
1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ))
>>112 より、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、
1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), ω]
1/τ = [h_0, . . . , h_(m-1), ω]
となる。
ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、
各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。
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