- 138 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/14(土) 00:52:14 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
θ を判別式 D の簡約された２次無理数とする。
>>127 において θ が簡約された２次無理数の場合を考える。
>>101 より θ は純循環連分数に展開される。
θ = [k_0, . . . , k_(n-1), θ] で、k_0, . . . , k_(n-1) が
最短の純循節とする。
θ = (p_(n-1)θ + p_(n-2))/(q_(n-1)θ + q_(n-2)) で
p_(n-1)q_(n-2) - q_(n-1)p_(n-2) = (-1)^n
である(>>43, >>44, >>57)。
θ ＞ 1 で q_(n-1) ＞ 0, q_(n-2) ≧ 0 だから
E = q_(n-1)θ + q_(n-2) ＞ 1 である。
>>131 より E は R の単数である。
α を R の単数で α ＞ 1 とする。
α' も R の単数であるから >>131 より I = α'I である。
よって θ = (pθ + q)/(rθ + s) となる
有理整数 p, q, r, s で ps - qr = ±1 となるものがあり、
α' = rθ' + s である。
よって α = rθ + s である。
α ＞ 1 だから >>122 より rθ + s はθの連分数展開から得られる。
よって >>137 より α = E^m となる m ≧ 1 がある。
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