- 77 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/01(日) 17:06:52 ]
- 命題
数列 {k_n}, n = 0, 1, . . . が与えられ、
各 k_i が有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 とする。
無限連分数(>>75) [k_0, k_1, . . .] を α とおく。
任意の n ≧ 1 に対して
α_n = [k_n, k_(n+), . . . ] とおく。
このとき
α = [k_0, . . . , k_(n-1), α_n] である。
証明
α = lim(m → ∞) [k_0, . . . , k_(n+m)] である。
β_(n, m) = [k_n, . . . , k_(n+m)] とおくと、
[k_0, . . . , k_(n+m)] = [k_0, . . . , k_(n-1), β_(n, m)]
よって
α = [k_0, . . . , k_(n+m), lim(m → ∞) β_(n, m)] である。
lim(m → ∞) β_(n, m) = α_n だから
α = [k_0, . . . , k_(n-1), α_n] である。
証明終
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