- 101 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/07(土) 15:05:11 ]
- 命題
簡略された２次無理数は純循環連分数に展開される。
証明
α を判別式 D の簡約された２次無理数とする。
α を連分数に展開して、
α = [k_0, k_1, . . . ] とする。
n ≧ 0 に対して α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。
>>99 より各 α_n は判別式 D の簡約された２次無理数である。
>>100 より相異なる α_n の個数は有限である。
よって α_n = α_m となる n ＜ m がある。
n ＞ 0 なら α_(n-1) = k_(n-1) + 1/α_n
α_(m-1) = k_(m-1) + 1/α_m
よって α_(n-1) - α_(m-1) = k_(n-1) - k_(m-1)
よって α'_(n-1) - α'_(m-1) = k_(n-1) - k_(m-1)
ここで α'_(n-1), α'_(m-1) はそれぞれ α_(n-1) と α_(m-1) の
共役である。
各 α_n は簡約された２次無理数だから
-1 ＜ α'_(n-1) ＜ 0
-1 ＜ α'_(m-1) ＜ 0
よって |α'_(n-1) - α'_(m-1)| = |k_(n-1) - k_(m-1)| ＜ 1
k_(n-1) - k_(m-1) は有理整数だから 0 である。
よって α'_(n-1) = α'_(m-1) となる。
よって α_(n-1) = α_(m-1) である。
以上を繰り返せば α_0 = α_(m-n) となる。
よって α は純循環連分数に展開される。
証明終
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