関数解析＆ルベーグ積分

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関数解析＆ルベーグ積分

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:　 [03/01/25 00:45]: について語りましょう。
237 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 13:15]: 漏ﾚ､落ちこぼれちゃってﾙﾍﾞｰｸﾞの有界収束定理が理解出来ずにかなり困ってます｡
どなたか定理の内容､使用例(使用上の注意も含めて)､それと証明を講義よりも教科書よりも数倍丁寧に教えてくれないでしょｰか?
238 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/15 14:12]: Re:>230
開区間上の非有界関数のルベーグ積分も、無限区間上の関数のルベーグ積分も
広義ルベーグ積分とは云わずに、ルベーグ積分と云っている。
ただそれだけのことだ。
239 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 14:25]: >>237

どこが分からないのか聞きましょうか？
240 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/15 14:40]: （・3・）　エェー　くれないYO！ >>237
30講をよく読めYO！
　　　　　　　　　　自分でよく考えて，その上でわからないとこをポイントしぼって質問しないと，
　　　　　　　　　　ぼるじょあでも軽く放置だYO！
241 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 14:41]: >>237
数学をやめる。
242 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 15:46]: >>238
おお、そうなんですか。有難う御座います。
ルベーグってぎりぎりで広げられるだけ広げたんですね。
勉強する気になってきたゾ（ｗ
243 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:05]: >>237
定理の内容：
ルベーグ積分の有界収束定理とリーマン積分におけるアルツェラの収束定理とは対応していて、
連続函数と可測函数の違いがあるが、同じものである。
極限と積分の順序交換が可能であることを保証してくれる。
244 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:08]: >>238
うそをつくな。
広義積分は存在するが、ルベーグ積分は存在しない例がある。
例えば(sin x)/xなど。
つまり、一般にはそういうものはないということ。
245 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 16:25]: Lebesgue 積分の拡張にもなっているとかいう
Henstock-Kurzweil 積分について教えてください
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/15 16:26]: このスレをざっと見る限り、ルベーグ積分を勉強したい人はまずは志賀浩二さんの本を
嫁ということですか?
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/15 16:44]: 石村園子「すぐわかるルベーグ積分」東京図書

そのうち出そうだな。妙に売れるようなら鬱だ。

すでに出ている、超DQN向き本

松浦武信, 高橋宣明, 吉田正広
物理・工学のためのルベーグ積分入門
東海大学出版会

って、どうよ。先生と生徒の会話形式（ｗで、
「ほとんどいたるところ」証明は省略されている。
248 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU [03/06/15 16:49]: >>246
×志賀浩二さんの本を
○伊藤清三さんの本を
249 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/15 17:24]: 志賀浩ニさんの本って位相関係しか見た事ない
250 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 17:49]: >>243
Lebesgueの項別積分定理が分からないというのは、
Arzelaの項別積分定理とか積分記号下での微積分に関する定理とか
解析学の部分の勉強が十分ではないということだね。
こういう部分が十分に分かっていないからLebesgue積分を考える動機とかも
理解できない。
まず解析入門とかを読むべきでしょう。
251 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 18:02]: Lebesgue積分を考える動機というのはやっぱり
連続函数から可測函数にまで扱う函数の範囲を広げると
連続函数と可測函数の違いがどう理論に影響を与えるかということですよね。

函数列の極限が超函数（distribution）となる場合には
函数解析とかも考える動機となるという意味でも
Arzelaの定理は押さえておくべきですよね。
252 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 19:17]: Arzelaの定理は知らないﾔｼの方が多いだろう。

高木の解析概論では出てこない。証明が面倒だからかな？
小平の解析入門では定理5.10に出ている。

高木の解析概論ではLebesgueの項別積分の定理を項別積分の定理と呼んでいる。（定理90）
253 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 19:59]: >>252
解析概論のP.159に「その証明はむずかしいから、ここでは述べない」
と書いてあるね。
254 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 21:08]: >>251
結局、その辺りの定理は一様収束とか有界収束とかいった関数列の収束と関係していて
ある種類の「扱う函数」に対して「どんな収束」を使うと「どういった微分積分」が成り立つか
という視点が重要。
その微積分を使えば関数列の収束で近似して値を求めることができるというのが外測度の考えにも繋がっていく。
255 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 22:36]: www.bd.wakwak.com/~infomation/asnet/img/bar-1.gif

www.adultshoping.com/addclickport.cgi?pid=1055460684

一円も払わずに大もうけ早い者勝ち
256 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 23:05]: >>252

Arzelaの定理はLebesgueの項別積分定理の特別の場合でしょう。
無理してリーマン積分の範囲で証明することもないといえる。
257 名前：１３２人目の素数さん [03/06/15 23:31]: >>256
定理の内容や証明について聞かれたから答えただけ。
そういう主義ならいうことはなにもない。
自分の好きなようにやればいい。
258 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 07:51]: Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
ただし、Arzelaの定理を使うまでもないというもの（たとえば一様収束する場合）は別ですが。
259 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 14:38]: >>247
ﾜﾗﾀ
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 14:49]: Ascoli-Arzelaの定理の応用例についてはこの本に詳しい。

俣野博「微分と積分３」岩波講座　現代数学への入門

特に「§3.6変分問題への応用」に詳しい解説がある。

曲線に関する古典的変分問題というのがあるのだけれど、
その中でも
[1]測地線
[2]光の経路
[3]等周問題
が特に知られている。
重要なのはこれらが解を持つということで、そこにAscoli-Arzelaの定理が使われる。

こういう問題意識はワイエルシュトラスが持ち込んだ。
ディリクレやガウスなどの変分法を用いた調和関数の構成法をディリクレ原理と呼び、
偏微分方程式論では重要ですが、これに欠陥がある事がワイエルシュトラスによって指摘され、
ここから近代解析学が発展してきたのです。

そういう歴史的にも重要なマイルストーンと思えば良いでしょう。
Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 16:25]: 解析学の入門時に、実数を勉強するけれども、そのときに「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」というのが出てくる。
ε-δ論法、デデキント切断、カントールの区間縮小法などに比べて、あまり印象に残っていないかもしれない。

この「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」の無限次元版として「アスコリ-アルツェラの定理」は位置付けられる。

「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」では、与えられた「数列や点列」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
これに対して、「アスコリ-アルツェラの定理」では、与えられた「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。

「アスコリ-アルツェラの定理」では、「関数列あるいは関数族」が連続関数である。
「ルベーグの有界収束定理」では、「関数列あるいは関数族」が可測関数である。

「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」
　↓
「アスコリ-アルツェラの定理」
　↓
「ルベーグの有界収束定理」

この流れがあるので「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」が理解できているかが最初のポイント、
「アスコリ-アルツェラの定理」では一様収束でなく有界収束も成り立つ部分が２番目のポイント、
「ルベーグの有界収束定理」では連続関数でなく可測関数になっているのが３番目のポイント。
262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 16:54]: >>237は無反応だけど、ここまでの話について来れなかったのでは（ｗ
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 18:18]: >>256
それは広義積分も含んでいるのかな？
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:13]: 「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」＝（BW）
「アスコリ-アルツェラの定理」＝（AA）
「ルベーグの有界収束定理」＝（LC）

（BW）与えられた　　「数列あるいは点列」　の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（AA）与えられた連続「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:19]: それぞれの極限がどういうことを言っているかという例を挙げる。

（BW）有理数の列→無理数
（AA）連続関数列→不連続関数
（LC）可測関数列→可測でない関数
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 19:24]: つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
ルベーグ積分の理論です。
267 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 19:45]: >>260
>Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。

それはそうですが、項別積分に関するArzelaの定理とはちょっと違うような気がするんですが。
関係はあるでしょうが。
268 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 20:13]: Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの定理

とりあえず、二つの定理の概要きぼんぬ。
前者は解析学んだ人なら、一度は聞いたことのある基本的な定理ですが、
後者は「漏れは」聞いたことがないっす。
それとも同一のものでしょうか？
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 20:38]: >>268
漏れも聞いたことがないです。
検索してもよく分からなかった。
270 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 20:39]: 項別積分に関するArzelaの定理

実数値函数列 f_n(x), n = 1, 2, ... が区間[a, b]で連続で、一様に有界、
つまり、nに無関係な定数Mが存在して[a, b]でつねに、|f_n(x)| ≦ M
とする。さらにf_n(x)は、[a, b]で連続函数f(x)に点別収束するとする。
このときf_n(x)の[a, b]における積分は、f(x)の[a, b]における積分に収束する。
271 名前：269 mailto:sage [03/06/16 20:46]: >>270
言われてみればそんな定理を聞いたことがあるような。
確かに有界収束定理に含まれてますね。
272 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:00]: >>265

>(AA）連続関数列→不連続関数

一様収束する連続函数列の極限も連続ですが。

>(LC）可測関数列→可測でない関数

収束する可測関数列の極限も可測関数だが。
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 21:16]: >>272
そういう揚げ足取りやめれば？
それとも、わざわざそういう特殊な例も考えられるようになるという意味で書いてあるのが
読み取れないほどのまぬけなのか？（藁

>>267-271
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という関係です。
Ascoliがノルム空間での形にArzelaの定理を変形して関数解析で使いやすくした。
基本的にはArzelaの定理と同じと思っていい。
274 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:26]: >>273

すると、Ascoli-Arzelaの定理からArzelaの定理が出てくると？
面白い。（あなたでも、どなたでも）説明してくれませんか？
275 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 21:30]: >>273

>そういう揚げ足取りやめれば？

揚げ足とりのつもりなんてこれぽっちもないです。
本心からあなたの言ってる意味が分からないのです。
Ascoli-Arzelaの定理から、どうやったら不連続関数が出てくるのでしょうか？
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 22:34]: Ascoli-Arzelaの定理の応用例を挙げておく。
２階楕円型方程式の理論におけるRellichのコンパクト性定理の証明で使用する。

変分問題におけるディリクレ原理は、ソボレフ空間を土台とした楕円型方程式の
L^2理論として完成された。
それはスペクトル理論と楕円型境界値問題の可解性との関係を示した。
その出発点となるのがRellichのコンパクト性定理である。

また、ヒルベルト-シュミットの対称核積分方程式論における固有値問題でも、
その固有値の存在定理の証明でAscoli-Arzelaの定理を使用する。
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 22:36]: >>274-275
やだね。
278 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:41]: >>277

出来ないからじゃない？　藁
279 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/16 22:42]: （・3・）　エェー　AAの極限は連続関数だC，
　　　　　　　　　　LCの極限は可測関数だYO！
280 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:43]: >>276

参考書希望。
281 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:49]: 私は、>>258ですが。

>Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？

と書いたのは、Ascoli-Arzelaの定理の応用例を聞いたわけではないです。
Arzelaの定理の応用を聞いたのです。Arzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理は違います。
282 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:50]: BWもAAも、近似定理の類ではないと思いますが。
極限の存在を保証する定理では？
283 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 22:52]: 可測関数の極限が（存在すれば）可測なのは、有界収束定理以前の話だと思いますが。
測度の単調収束定理から来ているのでは？
284 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:23]: >>283

だれも可測関数の極限が可測なのは、有界収束定理から来るとは言ってないですが。
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:27]: Ascoli-Arzelaの定理

点集合Ｄ上の連続関数の族Ｆが以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)ＦはＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Ｆの元からなる任意の関数列f_1,f_2,f_3,…は、
Ｄ上でコンパクト一様収束する部分列をもつ。

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。（f(ｘ)＝lim（n→∞）f_n(ｘ)）
このとき、f(ｘ)がＤで連続ならばΣf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:29]: Ascoli-Arzelaの定理の証明はよく見かけるが、
Arzelaの定理の証明は小平「解析入門」でしか見たことが無い。
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:39]: >>278-280
＞参考書希望。

やだね。
288 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:43]: >>286

前に書いたようにArzelaの定理はLebesgueの有界収束定理からすぐ出る。
289 名前：１３２人目の素数さん [03/06/16 23:45]: >>287

なにむくれてんだ？　間違いを指摘されたからか？
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/16 23:56]: >>288
歴史的に、Arzelaの定理とLebesgueの有界収束定理とどちらが先に証明されたか知ってるか？
そう言う意味で書いてみた。Arzelaの定理はハウスドルフによる初等的証明がなされたのは
1927年だが、ArzelaはLebesgueの有界収束定理から導いたのか？
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 00:52]: Ascoli-Arzelaの定理の証明は対角線論法で証明する。
Arzelaの定理はハウスドルフの初等的証明による以外は分からない。

そもそもArzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理はどちらが先に発見されたんだ？
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 02:19]: Arzelaの定理って聞いたこと無いなと思ったら、有界収束ではない一様収束バージョン
の定理が書いてあった。しかもこのバージョンの定理には名前がついてない。
リーマン積分の範囲ではArzelaの定理のように有界収束まで条件を緩める必要が無いのと、
有界収束の説明をするのが大変だから、それとArzelaの定理の証明が難しいという理由なんだろうな。
でもせめて名前ぐらいあっても良いのに。例えば、Arzelaの項別積分の一様収束定理とかさ。
長いけど。
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 02:31]: こういう２つの流れがあるのは分かった。

Borzano-Weierstrassの定理
　↓
Ascoli-Arzelaの定理

Arzelaの項別積分定理
　↓
Lebesgueの有界収束定理(Lebesgueの項別積分定理)

でもAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事はできるのかな？
条件部分は同じだからうまく出来そうな気がするんだけど。
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 03:21]: >>293
志賀30講のP.159-162より

（ ★ ）f(x)が連続　⇒　G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは微分可能

（★★）f(x)が有界で積分可能　⇒　G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは連続

といえるけど、これからAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事ができないかな？
295 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 06:12]: >>270と>>285のArzelaの定理が
同じものに見えないのですが・・・
296 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 07:41]: >>290

もちろんLebesgueの有界収束定理が先だろ。
だがどちらが先とかいう数学史的事実は、有る定理の証明を我々が学ぶ場合に関係ない。
簡単なほうがいいだろ、普通？
初等的証明というのは一般的にいって難しく、透明でないのだよ。
だからこそ初等的証明がされるのは時代が後になるのだ。
297 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:03]: Arzelaの定理が発表されたのは1885年だっけ
Osgoodが1897年に再発見するわけだ

Lebesgue積分の理論が世に出たのは1902年
298 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:09]: >>297

当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。
299 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 08:21]: ていうかむしろArzelaの定理の初等的でない証明を知りたいが。
一体何を使って証明してるんだ？
300 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 09:48]: 300ゲッツ&リターン>>299
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 09:54]: アンドリバース>>300
302 名前：人間の商品化、全体主義への一歩 [03/06/17 09:54]: ●●●マスコミの「盗聴／盗撮」は許されるの？その７Ａ●●●
natto.2ch.net/mass/kako/1004/10049/1004950940.html

38 名前：文責：名無しさん投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co
フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。
とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、
カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。
マスコミをとにかく用心するに超したことはない。
取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。

39 名前： >38 投稿日： 01/11/09 21:33 ID:qM1FVdrM
蛆は自爆か（Ｗ
カミングアウトをするより、盗聴を止めろ
置かれた盗聴機はいつ撤去するんだよ？
そんなことを電波に流されたからって、不安で寝れやしない。

40 名前：文責：名無しさん投稿日： 01/11/09 22:32 ID:GPVrbaOJ
マスコミ相手にしても仕方ないぜ。まじで自分らの生活を死守する方が大事。
テレビ・ラジオは出来る限り無視しよう。ついつい見聞きするから調子に乗らせる。
今後世の中どうなっていくかわからんのだから、必要な情報のみ入手して身の保全を
図れ。いい加減な娯楽メディアは放っておくべし。
303 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 09:56]: アーンドスキップスキップ>>301
304 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 14:09]: 折れは「Arzelaの定理」を、有界収束定理のリーマン積分版（収束先も積分可能と
いう条件を付け加えただけ）と理解していて、ここまでの議論でも何人かはそう理
解しているように見える（たしか小平に載ってるのとかハウスドルフの証明うんぬ
んってやつもそれだったはず）。
しかし、>>285の「Arzelaの定理」は違う主張のようだ。関数項級数の項別積分とい
う形になっているための違い（余分な条件もそのせいか）とも思ったが、>>285に書
いてある主張って、なんだか変じゃない？
S_n(x) = Σ[k=1～n]f_k(ｘ) の有界性やS(x)=lim[n→∞]S_n(x)の存在やその積
分可能性のことと、{f_n(x)}の一様有界性やf(x)=lim[n→∞]f_n(x)のことはとり
あえず別でしょ？
（だいたい、lim[n→∞]S_n(x) が存在するためには f_n(x)→0 が必要じゃ？）

>>285の「Arzelaの定理」のソースきぼん。
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 14:15]: 杉浦光夫の解析入門ⅠのP.310によれば
一様収束のバージョンを「項別積分の定理」、
有界収束のバージョンを「Arzelaの定理」と呼ぶらしい。
杉浦の本の索引にも「Arzelaの定理」の項目は無かったので探し難かった。
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 15:11]: 項別積分とArzelaの定理はこうだと思うんだけど。

項別積分定理

連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で一様収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

Arzelaの定理

連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で有界収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

これを>>285風に書きかえると

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

どこかおかしいかな？
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 15:19]: >>306の最後は間違えた。こうなるんじゃないの？

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 16:05]: >>307もおかしいな。こうかな？

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup｜S(ｘ)｜＜∞。（S(ｘ)＝Σf_n(ｘ)）
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 16:16]: >>290,>>296-298の話って笑うよな。しかも>>304でやり返してるよ（ｗ

＞当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
＞議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。

明らかにテキトーなことを言っただろうに

といってみるテスト
310 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 16:44]: 変化速度についていけないので、よく分かりませんが、（>>304の指摘
にもあったように）f_n(x)の一様連続性ってのは、やっぱり関係して
くるんでしょうか？

仮に関係してくるんだとして、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」って
いう書き方だと、各f_n(ｘ)がそれぞれ（独立に）一様連続であるように
見えませんか。これって確か、「全部のf_nが同条件で」一様連続でした
よね？　それとも、>>308の場合は違うのかしらん。
311 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 16:54]: >>310
「一様連続」と「同等連続」は異なる概念。
312 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 17:13]: あ、そうなん？
313 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 17:13]: ええと、確かこうだったよな：

f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε

{f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε

要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の
点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して
一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。

だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり
にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味
にとらなければならない。
（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:26]: >>281
Arzelaの定理の応用例

小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、
定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11
という各定理です。
特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が
解説されています。
315 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 17:35]: >>313
おお、解説thanks！
>（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。

で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。
{f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、
ってのは、合ってますかね？
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:41]: Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。

11.28 Theorem (Arzela-Ascoli)

Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex
functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E.
Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on
every compact subset of X.
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:53]: Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/007054235X/ref=lm_lb_8/249-3201986-7805966

この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:04]: Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。
Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、
Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:44]: Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、
Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？
小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。
320 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 20:12]: >>308
区域っていう用語は聞いたことがないんですが、
Euclid空間の有界領域のこと？
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 21:58]: 初等的証明＝Lebesgue積分を使わない
という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。
別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。
ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。
322 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:19]: >ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。

そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、
あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、
さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:20]: >>321
わからんなら書くな。恥の上塗り。
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:25]: >>321-322
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
325 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:34]: ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。
326 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:35]: >>325

分かればいい。二度とするな。
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:51]: >>325-326
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:55]: >>321-322
そんなことは>>243が既に書いている。
Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。
329 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:59]: あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？
330 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 00:00]: yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 00:37]: >>329
誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。
自重してくれないかな。迷惑なんだよ。
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 01:54]: 自分で進めりゃいいのに
333 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 02:00]: >>328
Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから
Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？
なんか文句有るのか？
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 03:34]: えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を
自分で調べてから言わないのだろう・・・
335 名前：334 mailto:sage [03/06/18 04:50]: 俺の大学には、Arzelaの論文はない。
夏休みにでも、取ってくるか。

ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。
336 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 07:21]: >>335

Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 11:50]: >>317
一様収束のときの定理は載ってる。
Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは
Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 12:14]: >>336
Arzelaはイタリア人だけど，論文ならイタリア語は使ってないんじゃないかな？
339 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 13:11]: >>336,338
古い論文だから、直接見るのは難しいけど
論文のタイトル見れば、何語かはわかるよ。
340 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 21:01]: >>338

甘い。代数幾何学で有名なEnriques, Castelnuovo, Severiなどは、イタリア語で書いている。
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:02]: >>340
ザリスキーもかなりの数の論文はイタリア語でしたね。
342 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 22:32]: イタリア人ってのは一種、独特の天才的なところがあるな。芸術家だってレオナルドや
ミケランジェロのような超天才がいるし、スポーツカーのフェラーリやランボルギーニだって
ポルシェより美しい。女性も綺麗だ。ジーナ・ロロブリジーダ、シルバ・コシナ、
クラウディア・カルディナーレ、オルネラ・ムーティとか。
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:32]: Arzelaの定理はこの本のp.228にも載ってるよ

と言ってみるテスト。

T.M.Apostol "Mathematical analysis"(1974: Addison-Wesley)
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0201002884/qid=1055942989/br=3-6/br_lfncs_fb_6/249-3201986-7805966
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:42]: >>331だけど、Arzelaの定理ってヒルベルトがディリクレ問題の論文を書くよりも
前に発見されてたんだね。論文を見つけたよ。でも>>333は知ってるだろうから
ここに書くまでも無いな（ｗ
345 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:05]: >>344
論文を手に入れてない（うちの大学にない）から、確認したいんです。
637 ページから始まる論文であってますか？

自分で論文を調べられないようなDQNを排除したいので、
タイトルや雑誌名はあえて伏せます。
346 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:30]: >>345

調べられないDQNは、お前だろう。
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 23:35]: F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", ####.####. ##(####), pp.135-137
からも辿れるとだけ言っておく。これでいいかな？>>345
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 23:38]: >>346
排除されて悔しがってるよ（ｗ
349 名前：345 mailto:sage [03/06/18 23:49]: >>347
その論文でしたら、あります。
ありがとうございました。
350 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:54]: >>347-348
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
何も勿体ぶるこたあないだろ。小平の本に書いてある。
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:00]: >>305

「項別積分の定理」→「拡張された項別積分の定理」

「Arzelaの定理」→「Lebesgueの項別積分定理」

「拡張された項別積分の定理」は広義積分での条件。
「Lebesgueの項別積分定理」はLebesgue積分での条件。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」は共にリーマン積分での条件。
なぜリーマン積分には２つの条件があるのか？
それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
その違いは一様収束と有界収束というもの。
そしてこの条件の違いが広義積分可能だがLebesgue積分が出来ないという場合が存在する
ことに深く関係している。
広義積分とLebesgue積分の違いを良く理解する為にも「Arzelaの定理」の証明の複雑さは
良く考える価値のあるものだ。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」の比較は面白い。
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:11]: しかし、あれだな。
古い論文を読むようになると独語、仏語、伊語、露語などを読む羽目になって
かなり語学の部分で苦労しますね。
若いうちに語学力をつけておくと文献を読めるし、交流範囲も広がるしお勧め。
353 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 00:21]: 英語、独語、仏語の論文は読めるのが最低条件。
ガロアやラマヌジャンのような天才は別だが。
354 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 00:30]: >>351
すみません。
＞それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
の意味がよくわからないです。両方の定理とも項別積分ができるための十分条件
ではないのでしょうか。
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:57]: >>354
すみません。変な書きかたしてしまって。
もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
「項別積分の定理」で使う、
『一様収束』は項別積分が出来るための十分条件であるが必要条件ではない。
一方、「Arzelaの定理」で使う、
『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。

その違いは一様収束と有界収束というもので、
広義積分とLebesgue積分の違いに繋がっているという意味です。
「Lebesgueの項別積分定理」を広義積分にも対応する様に拡張できない理由が
そこにあります。
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 01:41]: Arzelaの定理(1885年)
Osgoodの再発見(1897年)
Lebesgue積分(1902年)
Arzelaの定理のハウスドルフによる初等的証明(1927年)

この年代を考えてもArzelaやOsgoodが項別積分の必要条件を考察した動機が気になるな。
ディリクレ問題なのかな？
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 02:45]: 独語はわりとすんなり読めるけど
仏語はどうも苦手だ
英訳が無いか必ず探してしまふ
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:18]: >>355
＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。

ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:30]: 「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門測度と積分」（梅田亨）には、Arzela
の定理に関してこう記述しています：
（p.71)
…この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから,
藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦
『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく,
Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証
明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書）
などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの
文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み
ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である.
360 名前：359 mailto:sage [03/06/19 11:32]: すみません「数学セミナー」2003年1月号でした
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:28]: 連続性や微分可能性や積分可能性などの
注目している解析的性質は、
適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:52]: >>342
イタリア女優ってきりっとした顔だね。
写真のあるページを集めてみた。
オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？

ジーナ・ロロブリジーダ
ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_lollobrigida.htm

シルバ・コシナ
ttp://koscina.hp.infoseek.co.jp/

クラウディア・カルディナーレ
ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_cardinale.htm

オルネラ・ムーティ
ttp://www.fmstar.com/movie/o/o0015.html
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 15:33]: >>355
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
というのは、やはりおかしくないでしょうか？
例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。
すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、
∫_[0，1]　f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。

>>355とは関係ないですが、上のほうで
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は
「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための
必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門Ⅰによると
「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」
となっています。
有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列
ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？
364 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/19 21:26]: 下がってるなageよう
365 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/19 21:26]: あがってないしね
366 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 21:28]: >>362

俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン
に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。
スレ違いなので、このへんで。
367 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/20 02:00]: み、みんな！
　お、落ち着けYO！

　　　　/∧＿/∧ 　　　　 /∧＿/∧ 　　　ｵﾛｵﾛ
　　　（(・・εε・・;;)）　　　((;;・・３３・・)）　　　　ｵﾛｵﾛ
　　　//　　　＼＼　　　　 //　　　＼＼　ｵﾛｵﾛ
　 ⊂⊂((　　ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ//　)) つつ　　ｵﾛｵﾛ
　　　しし(（＿）)　　　　　　 (（＿）)ＪＪ
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:04]: >>363
このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:29]: そういう口出しは余計なお世話ですぞ。
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 08:36]: いや、でも同感だね。

有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。
釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。
371 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:32]: 無線機設計を携わっている技術者ですが
関数についておたずねします。

グラフの形状から関数を求めるときに
ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。

反比例関数にｘ軸を対数にして、
傾きが直線になった時は
マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？
Aは任意の値で

Y=10－AX　（－AＸは上付きと考えて下さい）

逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時
Y=Ａ/X
として考えればいいのでしょうか？
372 名前：Nanashi_et_al. mailto:sage [03/06/21 10:36]: diary4.cgiboy.com/0/izuminoa/
373 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:41]: >>371

意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として
意味が分からないのだよ。
374 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/21 12:32]: ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ)
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 16:51]: K.Yosida "Functional Analysis"

この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。
他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。
この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、
各国語に翻訳されている様だ。
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:25]: そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:43]: >>363
結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて
混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。

>>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。

＞（LC）可測関数列→可測でない関数
＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
＞ルベーグ積分の理論です。

など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同
したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ）

＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。

は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば
ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。
（どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的
定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。）

もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位
相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の
ヒントがあるので参照を薦める。）
378 名前：377 mailto:sage [03/06/21 18:57]: >>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証
明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、
有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流
にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。
（ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ）

それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
もわかってないようだ」とか書いてた）。
「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ
り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。
379 名前：345 mailto:sage [03/06/22 18:46]: F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。
別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、
違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。
380 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 19:13]: ルベーグ積分つったらザックス流だろ。
ハルモス流は糞。
381 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:50]: >>380

興味ある。詳細希望。
382 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:52]: >377

>もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。

どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。
383 名前：377 mailto:sage [03/06/25 01:31]: >>382
「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。
指定した文献を読んでくれ。

おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、
Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス
コリの定理。
Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。

どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。

（そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。）
384 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 16:57]: >>380
ザックスって誰?
385 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 22:16]: >>384

ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks.
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/26 23:07]: ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと　　ｶｷｶｷφ（°_°）
387 名前：１３２人目の素数さん [03/06/27 22:32]: >>380 >>385
www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Saks.html
この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。
ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。
webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BA16605241
つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。
大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか?
Saks 流のが多いのかな?
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/27 23:37]: ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。
389 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 00:42]: Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は
どこかに紹介されていないでしょうか？

「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に
変えられました。
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 06:35]: >>389
Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？
391 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:04]: =========================
Remarks:
- Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by
considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions.
- It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it,
however,only for continuous functions.
In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem.
Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM.
For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood),
see the works listed below.
REFERENCES :
[1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian),
Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215.
[2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
[3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie
Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724).
[4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles",
Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41).
[5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables
B ",
Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188.
[6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the
Theory of Fourier's series" ,
t.II, 2-end ed., 1926, 131-132.
[7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales
Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375)
[8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto
Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780.
[9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190.
392 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:12]: www.k-514.com/sample/sample.html
拾ったサンプルムービー集めたよ
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 11:37]: ここまでの情報をまとめてみよう。

Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。
>>345,>>391
ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569

Osgoodの再発見はこの論文。
>>356
OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190

ハウスドルフの証明はこの論文。
>>347,>>350
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
394 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 11:51]: 上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ－マン積分可能な函数列を扱っている。
Osgoodは連続函数列のみを扱っている。
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:50]: ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。
"Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ）
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:53]: 『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:51]: 19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。

これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。

そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:55]: チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ!
こういう流れの先頭にある定理だったかな？

チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理
↓
アスコリの定理
399 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:18]: >>395
Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。
400 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:30]: >>380
「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。

たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎
関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」
でやると可測条件がわかりやすいのが利点。

次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と
位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が
必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり
違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？

第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。

第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して
おいて実質を調べるか。

積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下
積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ
てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。

　そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、
2^nとおりになると。

　しかもみな一長一短で、「決定版」がない。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 20:56]: アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、
どの定理も有名ではないかも知れないけど、
続々と重要な定理が登場しますね。
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 22:18]: まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。
もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。

もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。

そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。
一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 00:05]: >>383によると
アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。
アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。

ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。
もしかしてこういうながれがあるのかなあ？

ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 01:07]: >>403
最後をまちがえた。アスコリじゃなくてアルツェラ。
ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:14]: チホノフの定理ってナーヌ？
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:28]: 「ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理」
という流れがあるので、

ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理→
ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理

となるのかな？でも「バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理」といえるのかな？
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:30]: >>359
2002年1月号じゃねーだろ、ヴォケ！
2003年1月号だ！

数学セミナー　日本評論社
連載　徹底入門：測度と積分／有界収束定理をめぐって　梅田亨

2002.11 P.52 素朴な面積からの出発
2002.12 P.70 積分と一様収束
2003.01 P.68 有界収束と積分
2003.02 P.72 測度への序章
2003.03 P.76 可測集合と測度
2003.04 P.72 積分論への出発
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 00:08]: >>407
>>359の間違いは>>360で訂正していましたね。すまん^2
409 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 15:28]: age
410 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:40]: この板の連中は頭がいいと。　ｶｷｶｷφ（°_°）
411 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:41]: ついでに、俺にはチンプンカンプンと。　ｶｷｶｷφ（°_°）
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 16:46]: >>410-411
このあたりの教科書でも読んで参加しろよっと。　ｶｷｶｷφ（°_°）

Kolmogorov-Fomin『関数解析の基礎』（岩波）
藤田宏他『関数解析』（岩波基礎数学選書）
K. Yosida "Functional Analysis" Splinger
H. Brezis『関数解析』(産業図書)
Frigyes Riesz, Bela Sz.-Nagy "Functional Analysis" Dover Pubns
413 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 17:17]: t.A.T.U.R.U.B.e
414 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/30 19:31]: >>>410-411
どこの板からきたんだＹＯ
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 00:18]: >>405
チホノフの定理って、位相空間論やるとコンパクト空間のところで出てくるよ。
アルツェラの定理と一緒にやると勉強になるかもね。
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 00:43]: >>412
ルベーグ積分の教科書も挙げておこっと。ｶｷｶｷφ（°_°）

伊藤清三「ルベーグ積分」裳華房
吉田洋一「ルベグ積分」培風館
溝畑茂「ルベーグ積分」岩波全書
藤田宏、吉田耕作「現代解析入門」岩波基礎数学選書
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 09:12]: チホノフ=チコノフ？
418 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 20:06]: 今、入手が容易な関数解析の本だと何が(･∀･)ｲｲ？
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 20:35]: 谷島先生のルベーグ積分の本はどうですか？朝倉のやつ。
420 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 20:49]: ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌは？
421 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 21:06]: Rieszの本とｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの本、安い！
422 名前：１３２人目の素数さん [03/07/02 17:36]: ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの「ｴﾚﾒﾝﾂｵﾌﾞﾌｧﾝｸｼｮﾝｱﾝﾄﾞﾌｧﾝｸｼｮﾅﾙｱﾅﾘｼｽ」が「函数解析の基礎」？
423 名前：_ mailto:sage [03/07/02 17:40]: homepage.mac.com/hiroyuki44/
424 名前：１３２人目の素数さん [03/07/02 21:51]: 名前：名無しさん＠お腹いっぱい。：03/07/02 20:59 ID:8Ds2VGGx
あ～ん　がまん汁が・・・
★★ココをクリックで思わずニンマリの無修正画像★★
　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓
upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/02 22:51]: いえーす
426 名前：１３２人目の素数さん [03/07/03 05:35]: Feffermanがやっているような関数解析の専門書教えてください_●_
427 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 12:26]: 数学科→Lebesgue積分がわかる人が半数
応用数学科→Lebesgue積分がわかんない人が大多数
であってます？
428 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [03/07/05 12:36]: >>427
どこの大学かにもよると思う。
東大の数学科なら全員理解していると思うし、Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
応用数学科のことは知らない。
429 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:35]: ＞東大の数学科なら全員理解していると思う

そんなことは絶対に無いから安心して！
430 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:38]: ＞そんなことは絶対に無いから安心して！

東大をなめすぎです。
漏れの知っている限り、全員が理解しています。
431 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:39]: >>428
知った気になってる奴は多い
432 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 19:56]: 理解といっても程度の問題がある。
東大で知った気になっているﾔｼでも他大学の人間から見ればよく理解している。

などと持ち上げてみるテスト（ｗ
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/05 23:03]: こりゃいいことを聞いたな。

院試の口頭試問で何を聞いても
全員答えられると・・・（ぼそぼそ
434 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 23:42]: > Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
そんなに難しいことだろうか？　Lebesgue積分って。
それとも私がまだとばくちまでしか勉強してないせい？　先へ行くと難しいの？
435 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 23:48]: 東大生が全員理解しているとして、Ｆランクの教授が全員東大出身の場合、矛盾を生じる訳だが（ｗ
436 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 00:33]: >>434
学部レベルなら、大雑把（Stielties 積分など細目は無視）に
　測度論、可測関数、収束定理、Fubiniの定理、Vitaliの定理と微分
で必要十分でしょう。以上までなら、さほど難しくありません。

ただ、積分論を集合論とどれだけ無関係にできるか、あるいは、
位相や群構造との関連とかを考察すると、わからなくなってきます。

不可測関数の構成に選択公理が必要なことからも、Lebesgue積分の
基礎の問題は、基礎論と関係してきます。

また、Lebesgue測度がR^n の位相や群構造と密接に関係しすぎている
ために、本質的なものが逆に見えにくい。

多くの人は、そういうことに立ち入る必要はないと思います。
437 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 00:51]: >>436
Radon・Nikodymの定理も入れてやって下さいな。
438 名前：１３２人目の素数さん [03/07/07 23:39]: ルベーグ分解萌え～
439 名前：１３２人目の素数さん [03/07/08 00:07]: ちょうかわいい、われめちゃん１本筋～ｗ

ここの画像掲示板の管理人は神だとおもう。

www.hl-homes.com/
440 名前：１３２人目の素数さん [03/07/08 05:06]: 物理でルベーグ積分必要ですか？
science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1038508938/

意外と良スレ。
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/08 06:17]: Ascoli-Arzelaの定理について
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057584586/l50
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/09 02:48]: >>437
ラドン・ニコディムの定理の証明には以下の三通りの証明が有名。

[1]測度論的証明（ニコディムによる）
[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）
[3]最大法を使ったもの（吉田耕作による）

三つとも載ってる本はあるのかな？
いろんな本を参照すると別な証明、つまり別な視点が得られる良い例ですね。
443 名前：１３２人目の素数さん [03/07/09 11:19]: >>442
3の方法知らないや・・・。
調べてみよう。
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/09 12:43]: >>378の有界収束定理がL1の完備性に関係しているという話とか、
＞それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
＞その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
＞もわかってないようだ」とか書いてた）。

>>442のラドン・ニコディムの定理がL^2空間に関係しているという話とか
＞[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）

この辺りのL^p空間の関係は興味深いな。調べてみるかな。
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 11:26]: >>436が言っているのはこの辺かな？
リーマン積分を拡張するという視点ですね。

[1]ルベーグの測度論
[2]可測関数とカラテオドリの外測度
[3]ルベーグの有界収束定理と項別微分、項別積分
[4]ヴィタリの定理と微分の定義
[5]ラドン・ニコディムの定理と不定積分
[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換

>>444は函数解析へ繋がる道でヒルベルト空間やバナッハ空間の視点ですね。
446 名前：１３２人目の素数さん [03/07/10 19:47]: >>445
どうでもいいけど、個人的には
有界収束定理と言うよりも優収束定理と呼んであげて（ﾟдﾟ）ﾎｽｨ…
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 20:22]: >>446
優収束定理って誰の本？

>>445
＞[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換
これは偏微分方程式を解くときにお世話になりますね。そのために出来たのかな(笑)
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 20:48]: 有界収束定理
一様有界な関数列の有限測度に関する積分と極限は交換可能

優収束定理
絶対一様に可積分関数でおさえられる関数列の積分と極限は交換可能

と習った記憶がある
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 22:43]: >>448
ありがとうございます。優収束定理の方はまだやってませんでした。
勉強になります。
450 名前：446 mailto:sage [03/07/10 23:01]: >>447
誰の本かは忘れたけど、言いたいことは448氏が書いた通りです。
σ-有限無限測度上でも成り立たせたいな、ってことで。
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 23:53]: >>446,>>448,>>450
伊藤「ルベーグ積分」P.90-94に書いてありました。
Lebesgueの収束定理から系２として有界収束の定理が導かれていました。
優収束定理→有界収束の定理

前に話題になっていたアルツェラの定理は有界収束の定理の方に対応してるんですね。
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 02:51]: >>405,>>415,>>417
チホノフの定理は以下の定理と同値であることが証明されています.

「チホノフの定理」＝「帰納的順序集合定理」
　　　　　　　　＝「整列可能定理」
　　　　　　　　＝「選択公理」
　　　　　　　　＝「（一般の無限次元ベクトル空間の）基底の存在定理」
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 02:54]: チホノフの定理には>>398のような流れもある。
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 11:13]: >>417
チホノフ=チコノフです。

[定理]コンパクト空間の直積空間はコンパクトである。(Tychonoff)
455 名前：１３２人目の素数さん [03/07/12 22:07]: Fubiniの定理か・・・・・Tonelliさん可哀想だな、おい。
ちゃんとFubiniの定理とTonelliの定理を分けて呼ぶ！ヽ（｀Д´）ノ
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/13 03:26]: Lebesgueの定理とFubiniの定理とFubini-Tonelliの定理を区別して記述してある本は少数派だと思われ。
伊藤のでも脚注で「Fubini-Tonelliの定理ともいう」と触れてるだけだし。
でも、応用上はFubini-Tonelliの定理が最も便利ですね。
457 名前：１３２人目の素数さん [03/07/13 14:26]: >>451
たしか、
「σ-加法性」（＝「完全加法性」） ⇔ 「単調収束定理」（＝「ベッポ・ヘビの定理」）

／⇒「有界収束定理」 ⇔ 「優収束定理」（＝「ルベーグの収束定理」）
　　　　　　　　↓
＼⇒「ファトゥーの補題」 ⇒↑

となってるので、最後の３つは実はみな同値。ついでに「Ｌpの完備性」（＝「リース・
フィッシャーの定理」もたぶん同値。

＃優収束定理のほうが有界収束定理より一般的な主張にみえるが、関数を変形して
一般を特殊に帰着させられる。「ロルの定理」と「平均値の定理」の関係と同様。

（ただ、有限測度空間と無限測度空間で成り立つ事実にややズレがあるため、ちょっ
と話がややこしくなってる。）
458 名前：457 [03/07/13 14:32]: あわわ、「ベッポ・レビの定理」が「ベッポ・ヘビの定理」になってる…。
Beppo-Leviね。（ちなみに一人の姓名。他の数学者レビたちと区別するため、
わざわざ姓だけでなく名も言うことにしたらしい。）
459 名前：１３２人目の素数さん [03/07/13 14:37]: Fubiniの定理とFubini-Tonelliの違いとは？
460 名前：１３２人目の素数さん [03/07/13 15:02]: 非負可測関数のヤツがトネリで可積分のヤツがフビニ
だったと記憶してるが。
461 名前：１３２人目の素数さん [03/07/13 22:01]: ベクトル空間の同型定理ってあるじゃないですか。
V,V':ベクトル空間
f:V→V':線形写像
K:fの核
とすると、V/K ∽＝ Imf (∽＝は"同型"の意です）
というやつ。

これって、V、V'をノルム空間の時に、等長になるように
とることはできるんですか？もしできるのなら、
f:V→V':線形写像が与えられたときにどのように構成
したらよいのでしょうか？？
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/13 22:13]: マルチか
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/14 01:12]: >>457,>>458
「ベッポ・レビの定理」を「ベッポ・ヘビの定理」って書くの新しいですね。
これは使えそうだ。ありがとう。　ｶｷｶｷφ（°_°）
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/14 18:39]: >>463
「ル..レーグ積分」と書いてみる。
465 名前：１３２人目の素数さん [03/07/15 11:26]: 6
466 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/07/15 12:33]: 　__∧＿∧_
　|（　　＾＾）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣
467 名前：１３２人目の素数さん [03/07/17 21:06]: 解析って

面白い
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 23:26]: M.Reed-B.Simon : Method of Modern Mathematical Physics, Academic Press

vol.1 Functional Analysis(1972)ISBN:0125850506
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850506/qid=1058447856/sr=1-42/ref=sr_1_0_42/249-5276676-6957948

vol.2 Fourier Analysis, Self-Adjointness(1975)ISBN:0125850026
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850026/qid=1058447750/br=3-2/br_lfncs_fb_2/249-5276676-6957948

vol.3 Scattering Theory(1979)ISBN:0125850034
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850034/qid=1058447856/sr=1-44/ref=sr_1_0_44/249-5276676-6957948

vol.4 Analysis of Operators(1978)ISBN:0125850042
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850042/qid%3D1058449292/249-5276676-6957948
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 23:27]: N.Dunford-J.T.Schwartz : Linear Operators, Interscience-John Wiley

PartⅠ.General Theory
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608483/qid=1058448592/sr=1-3/ref=sr_1_0_3/249-5276676-6957948

PartⅡ.Spectral Theory
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608475/qid=1058448592/sr=1-2/ref=sr_1_0_2/249-5276676-6957948

PartⅢ.Spectral Operators
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608467/qid=1058448481/br=3-1/br_lfncs_fb_1/249-5276676-6957948
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/18 20:43]: いつの間にか良スレになってるね
471 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 19:58]: そして、書き込みは途絶えた…
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 19:59]: おまんこをルベグ積分して見て下さい
473 名前：_ mailto:sage [03/07/23 20:02]: homepage.mac.com/hiroyuki44/
474 名前：１３２人目の素数さん [03/07/23 20:14]: >>472
ﾊﾟｲﾊﾟｿは零集合でちゅか?
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/24 09:46]: >>472

どうぞ
www.marumise.com/3/046/017.jpg
476 名前：１３２人目の素数さん [03/07/28 02:14]: 産業図書から出てるハイムブレジスの関数解析、色々と使えそうなことが書いてあって(･∀･)ｲｲ!感じなんだけど、訳がﾀﾞﾒﾎﾟな印象。なんか、片言の不自然な日本語になってる。既に注文しちまったけど
477 名前：１３２人目の素数さん [03/07/28 04:47]: ↑あれは良いよ
478 名前：１３２人目の素数さん [03/07/28 09:14]: あれはいいものだ…
479 名前：１３２人目の素数さん [03/07/29 03:05]: 俺のちんぽの被覆
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 03:32]: >>479 閉被覆
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 14:07]: >>479
３次元ルベーグ測度０の集合
482 名前：ビッグバン宇宙論は間違いだった！！！！！！！！ [03/07/29 15:58]: 科学者よ、恥を知れ！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想的な戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
『無』は科学的に証明できるものではなく、
そして、『無からの誕生』も科学では証明できるものではないのだ。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最大の例が、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、
新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
新時代へ行こう！！！！！！！！！！
483 名前：１３２人目の素数さん [03/08/04 10:50]: 解析関数を勉強する上で微分方程式の知識って必要ですか？
484 名前：math.1st ◆ViEu89Okng [03/08/04 15:54]: Re:>483 You can study analytic function without knowledge of differential equation.
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/04 16:42]: 僕はこんな皮肉、好きです。
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/04 22:37]: >>484
×　You can study analytic function without knowledge of differential equation.
○　You can study functional analysis without knowing the theory of differential equations.
英語は正確に
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/04 23:00]: analytic function はわざとかと思った
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/05 04:56]: >>483
解析関数ではいらない。
関数解析でもなくてもある程度は大丈夫だが、あったほうが良い。
489 名前：１３２人目の素数さん [03/08/05 21:26]: >>488
ある程度っていうのはどの程度？
その際どんな教科書がお薦めですか？
良かったら教えてください。
490 名前：１３２人目の素数さん [03/08/05 23:42]: >>489
境界値問題と積分方程式。ポテンシャル論。などなど。

このへんの古典的な微分方程式を知らなくても関数解析は
勉強できるが、知らずに勉強してもしょうがない。

関数解析やるやらないに関係なく、クーラン・ヒルベルトは
解析やるものなら常識です。最近は大学の学部の講義では
省略されることも多いので、自分で補うべし。
491 名前：１３２人目の素数さん [03/08/05 23:50]: クーラン・ヒルベルトは絶版じゃないかな。英語版も第一巻を除いて
同じみたい。
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/06 00:30]: >>491
東京図書だからねえ・・・絶版だろうねえ・・・

今なら、代わりの読みやすい本が英語ならあると思うけど
（Diff eq and bdry val prob みたいな）、一冊じゃなくて
複数読まないといけないだろうな。

日本でいい本はなんだろうなあ。
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/06 00:40]: >>492
石村園子著「すぐわかる数理物理学の方法」が東京図書より近刊

刊行予定
石村貞夫著「よくわかる関数解析」
石村園子著「征服ヒルベルト空間」

ttp://www.tokyo-tosho.co.jp/kikan/02/index.html
494 名前：１３２人目の素数さん [03/08/06 09:51]: >>490～492
ｻﾝｸｽ!!!
495 名前：１３２人目の素数さん [03/08/07 21:51]: 結局入門用だと関数解析で一番いい本ってどれ？
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/07 21:53]: >>495
吉田耕作のFunctional Analysisがお勧め。
入門から応用まで、これ一冊で重要な点は概ね網羅されている。
497 名前：１３２人目の素数さん [03/08/07 22:45]: >>495
コルモゴロフ・フォーミンとかいいんじゃない？

>>496
あれってほんとに読んでる人いる?辞書代わりとか以外に。
498 名前：１３２人目の素数さん [03/08/07 23:47]: >>497
コルモゴロフ・フォーミンは、ゆったりすぎるかもしれないけど
いい入門書。関数解析への準備も書いてあるから、ルベーグを
習っていると飛ばせる。関数解析を専門にはしないが、とりあえず
簡単な話だけでも勉強しておくにはちょうどいいかも。

吉田耕作のFunctional Analysisは、東大で解析やるような学生なら
昔は普通に読んでいたらしい。代数幾何のハーツホーンとか、数論の
ヴェイユみたいなもので、その分野に進むなら（類書でもいいけど）必読。

最近は、関数解析じたいやる人が少ない。辞書って感じはしないなあ。
499 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 00:30]: 辞書といったら>>468-469みたいのだと思う。

>>498の言うプロへの登竜門って代数とかだと誰の本なんでしょうか？

代数：？？？
幾何：ハーツホーン
解析：吉田耕作
数論：ヴェイユ
500 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 07:59]: 代数といっても分野がいろいろあるので。
可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
俺は読んだことはないが。
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/08 08:13]: ＞可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
洋書ならAtiyah-MacdonaldとAschbacherあたりが対応する。
他に
Weyl"The Classical Groups"
Chevalley"The Theory of Lie Groups"
とかも入るかな。古典だけど。
502 名前：４９５ [03/08/08 09:58]: ＞４９６、４９７
れすどうも。っていうかここレベル高すぎｗ
503 名前：角の三等分を定規とコンパスだけでできる人 [03/08/08 11:18]: ぼく、数学は死ぬほど好きです。
誰かもっと教えてくれませんか？
504 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 12:16]: >>496
その本って今でも購入できますか？
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/08 12:44]: >>504
できるよ。ペーパーバック版で\4,000-ぐらいじゃなかったかな。
506 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 14:02]: >505
マジ？アマゾンとかで調べたけど無かった。。。
507 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 14:23]: YOSIDAで検索しる
508 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 14:24]: >>506
一応あったよ。

www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540586547/
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0387102108/

しかし在庫切れ。kosauku になってる…。

www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/3540586547/

本家のほうでは買えるみたい? kosaky って…。

www.springer.de/cgi/svcat/search_book.pl?isbn=3-540-58654-7

Available だそうです。
509 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 18:56]: >>508
ｻﾝｸｽ！
今回は買うの見送ろう…
510 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 19:04]: すいません
洋書を買った事無いんで分からないのですが
ペーパーバックってなんですか？
511 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 19:19]: ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ
　∧_∧　　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　　　
　(　　 )】　　　(　　 )】　　　 (　　 )】【(　　 )　　　【(　　 )　　　【(　　 ) ＜ (･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ
　/　 /┘　.　　/　 /┘.　　　/　 /┘ └＼＼　　　└＼＼　　　└＼＼　　ｽｺﾞｸ(･∀･) ｲｲ!
ノ￣ゝ　　　　ノ￣ゝ　　　　ノ￣ゝ　　　　ノ￣ゝ　　　ノ￣ゝ　　　ノ￣ゝ　
512 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 19:37]: すいません、数学ってなんですか？
どの数がラッキーとか研究するのかな？
因みに僕の誕生年1970ってラッキーだと思うんだけど。
ひょっとして僕、数学の才能あるのかな？
513 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 19:38]: セーラー服好きならここ！
美少女のオマンコがバッチリ見える！
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www.pinkschool.com/
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/08 20:02]: すいません
本を買った事無いんで分からないのですが
ページってなんですか？
515 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 20:53]: すいませんセックスって何ですか？
516 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 21:17]: >>510
ペーパーバックっていうのは表紙が紙の本のこと。
廉価版の本の代名詞でもある。その反対がハードカバー。
517 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 22:10]: ハードカバーも紙（パルプ）だが何か？
518 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 22:13]: >>517
これからハードカバーをペーパーカバーと予防。
519 名前：１３２人目の素数さん [03/08/08 22:48]: ハードカバー : ペーパーバック
ってのは日本の場合で言うと
ハードカバー + 単行本 : ソフトカバー + 文庫本
というような感じ

とか言ってみるテスト
520 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 00:01]: >>516,519
ﾚｽｻﾝｸｽ！
521 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 01:34]: 裳華房から出てる折原の「測度と積分」っていい？
漏れには伊藤のの「ルベーグ積分入門」は分厚すぎる
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/09 01:45]: >>521
以前、
進んだ内容を扱っているが、定義をしっかりしてなかったりするなど、
それらのことに馴染んでない人間には辛い、
というような趣旨の書きこみを見た。
どこかはわからん。
実際のとこどうなのかもわからん。
でも、それが正しいなら、
伊藤ルベーグは厚すぎるって言うような人には向かないのだろう。
523 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 02:30]: >>247
>>すでに出ている、超DQN向き本
>>物理・工学のためのルベーグ積分入門

Amazonでの高評価(星五つ)につられて注文してしまったーよ。
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/09 02:43]: >>523
取り消せば?
525 名前：523 [03/08/09 03:05]: それがもう発送準備に入ってしまったのよ。
まあいいか、俺ＤＱＮだし。しかし、ここ賢そうな人多いね。
526 名前：小平邦彦 mailto:sage [03/08/09 03:15]: プロへの登竜門:

代数：ザリスキー・サミュエル
幾何：ハーツホーン
解析：吉田耕作
数論：ヴェイユ
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/09 03:34]: >>525
>>526は偉人だな、確かに。
528 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 13:16]: そう言えばさ、東京図書って最近なんであんなに落ちぶれてるの？
石村だっけ？あんな本ばっかだよね。
昔はブルバキとかいろいろ硬派な本出してたのに。
529 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 13:27]: 硬派じゃ食えないからだろ。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/09 14:54]: なんて悲しい現実だ・・・
531 名前：１３２人目の素数さん [03/08/09 19:04]: 夏厨風に言うと
石村＞＞＞＞＞＞＞＞＞（越えられない壁）＞＞＞ﾌﾞﾙﾊﾞｷ
ってことか･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･
532 名前：521 [03/08/10 01:28]: >522
あり
533 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 02:26]: >531
そのうち「よくわかるルベーグ積分」なんてのが出るだろうな。
それを文系出身の「クオンツ目指してます！」みたいな銀行員が買って、
「ルベ積(と勝手に略しちゃってる)って縦に区切って足すのを横にする
だけなんだよな。」なんてしたり顔で語っちゃうんだろうな。
534 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 06:20]: しかし、硬派では食えないというだけであそこまで落ちぶれるかね～。
ランダウの力学と場古典以外に何かまともな本残ってたっけ?
ランダウの他の巻の復刊に関しても、一度復刊するってことになったのを、何故か覆したし。
535 名前：_ mailto:sage [03/08/10 06:37]: homepage.mac.com/hiroyuki45/
536 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 08:32]: >>534
翻訳書は原書を買えば？　ドイツ語とかロシア語の有名な本なら英訳
もあるだろうし。日本の出版社にこだわることはない。
英語が読めないか、勉強する気もなければ、数学をあきらめよう。
537 名前：_ mailto:sage [03/08/10 09:14]: homepage.mac.com/hiroyuki45/jaz04.html
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/10 11:20]: 論点がずれてるような気が
539 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 11:42]: >>536

賛成～！

数学の洋書、英語はそんなに難しくないから高校程度の英語力があれば
読めると思うよ～。

関数解析だったら、

W. Rudin, Functional Analysis

がお勧め（今、勉強中～♪）
英語は簡単、内容は…ｗ
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/10 13:38]: 536は>>528-534の流れを読んでから、もう一度534を読むべし。
541 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 13:39]: んじゃあ、おいらは
R.M.Dudley "Real Analysis and Probability"
でも推しとくか。
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/10 13:39]: >>536
賛成だが、東京図書はなんだかなあ、と思う。
先人が苦労して日本で読めるようにしてくれた本は、
日本数学の財産だから。

それに、ランダウやブルバキだけじゃなく、日本人の
まともな著書も全部絶版にしてしまった。

数学の専門家になるためには、明治時代みたいに
原書オンリーになるのかなあ。
543 名前：１３２人目の素数さん [03/08/10 14:02]: >>542
出版者も食っていかなければならい。
文句を言っても始まらない。
オンデマンド出版が可能になれば絶版本も再販される可能性がある。
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/10 15:38]: >>543
本を書いている側から言わせてもらうと、オンデマンドとか
言わず、今の時代その気になれば出版社がなくても本は出せる。

金も大事だが、専門書はビジネスだけの問題ではない。
文句でも言わなければ何も始まらない。
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/10 21:53]: 東京図書のようなヘタレは見捨てて原著を読もうキャンペーン実施中
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 02:40]: 関数解析の話題が少ないんだが…
ルベーグ積分ぐらいまではついて来れても
関数解析になると理解できる人の数がぐっと少なくなってしまい
問題意識をもった人がほとんど居なくなってしまうから
話題にも上らないということかな。
関数解析は日本のお家芸だったんだから
もっと盛り上がっても良いんじゃないかな？
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 03:53]: 函数解析の本を列挙してみた。
これ以外に重要な本があったら教えて欲しい。

K. Yosida "Functional Analysis" Springer
M.Reed-B.Simon "Method of Modern Mathematical Physics vol.1-4" Academic Press
N.Dunford-J.T.Schwartz "Linear Operators PartⅠ-Ⅲ" Interscience-John Wiley
コルモゴロフ・フォミーン「関数解析の基礎(上・下)」岩波書店
リース・ナジー「関数解析学(上・下)」共立出版
ハイム.ブレジス「関数解析」産業図書
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
吉田耕作・河田敬義・岩村聯「位相解析の基礎」岩波書店
加藤敏夫「位相解析」共立出版
吉田耕作「ヒルベルト空間論」共立出版
増田久弥「関数解析」裳華房
岡本久・中村周「関数解析(１・２)」岩波講座現代数学の基礎
吉田耕作・伊藤清三「函数解析と微分方程式」岩波書店
J.V.ノイマン「量子力学の数学的基礎」みすず書房
新井仁之「フーリエ解析と関数解析学」培風館
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 05:28]: >>547
タイトルから関数解析の本だと分からないけどこれもお勧めできる。

志賀浩二「固有値問題30講」朝倉書店

それと>>539でも挙がっている本も加えて欲しい。

W. Rudin, Functional Analysis
549 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 07:08]: 函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。
550 名前：_ mailto:sage [03/08/11 07:15]: homepage.mac.com/hiroyuki45/
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 07:25]: >>549
余計なお世話。
しかもスレ違い。
数理物理を話したくば↓ここへ逝け。
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057251462/
552 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 07:36]: >>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。
553 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 07:38]: ★☆　夏休みは　ＧＥＴＤＶＤ　で満喫・満喫！！　★☆★
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554 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 08:20]: たしか去年復刊した
吉田耕作「ヒルベルト空間論」共立出版
ってどうですか？
555 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 08:22]: ＞ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
＞あまり意味がないってこと。

ﾌﾟﾌﾟﾌﾟｗｗｗ

燃料補給完了
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 08:37]: >>554
見た目、活字が汚いよ。
1953年刊だけあって、ちょっと古臭い面は否めない。
そうは言っても押さえるべきところは押さえている。
スペクトル分解定理、境界値問題、Friedrichs-Freudenthalの定理、Weylの定理、再生核の定理など。
吉田耕作先生の著作だけあって説明も過不足無く分かりやすい。
個人的に好きなのは概周期関数の説明。

この辺の本と併せて読むと初学者や物理学徒にも得るところ大だと思うよ。
志賀浩二「固有値問題30講」朝倉書店
J.V.ノイマン「量子力学の数学的基礎」みすず書房
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 08:45]: 俺が知らない事は他の奴も知らないに決まっているとすぐに一般化する定理が横行しているスレはここでつか？
558 名前：_ mailto:sage [03/08/11 08:52]: homepage.mac.com/hiroyuki45/
559 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 09:05]: >>557
そんなことは誰も言ってないが。
知ってるならそれでいい。
そう僻むなよ。
560 名前：_ mailto:sage [03/08/11 09:11]: homepage.mac.com/hiroyuki45/hankaku05.html
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 09:36]: >>559
内容在る事書け。
562 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 09:56]: >>561
ここは２ｃｈだよ。>>555よりよっぽど内容があるだろ。
お前が書け。
563 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 10:40]: 関数解析は面白い｡
漏ﾚは藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学は初版(1978年)のを持ってる｡
ｱﾚは例が豊富だし初学者にも具体的なｲﾒｰﾂﾞが掴めて分かり易いからｵｽｽﾒ｡
今はどｰか分からないけど初版のは3分冊になってて全部読むには結構ｽ夕三ﾅが居るけど､作用素論とかやるならｲｲと思ﾜﾚ｡
漏ﾚは現在､1分冊3章Hilbert空間の｢Rieszの表現定理｣をやってて､そこから｢Lax-Milgramの定理｣へと入ろうとしてるところ｡
しかも3分冊合わせると500頁ぐらいになるけど､1冊は160頁ぐらいだから持ち運びやすくて肌身離さず持ち歩いて暇になったらﾉｰﾄに書きながら読んでるよ｡
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 12:56]: 藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学がいいのは確かなんだけど
ある程度やると物足りなくなる。
具体的には偏微分方程式がらみで使うソボレフ空間の説明がほとんど無いこと。
これはかなり痛い。
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:09]: >>562
２chだからといってオマエみたいな中身の無い引きこもりばかりではない。
おれは>>555ではなく>>556,>>564を書いた。
おまえも書けよ。
566 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 13:11]: 確かにSobolev空間については例としてちょっと出てくるだけだね｡
定義(と言えるか分からないぐらい)しか書かれていない｡
漏ﾚもSobolev空間は別な本で補う必要が出て来た気がする｡
あとBanach環の話も殆ど無いとか聞いた事が有る｡
やはりｱﾚは初学者向けなの?
つｰか､教科書で使ってるｾﾞﾐとかは有るのかな?
567 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 13:16]: >>565
禿同｡
吉田耕作の｢ﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間論｣ったらあの青っつｰか水色の本でしょ?
活字は汚いし一部旧字体が出てくる｡
例えば｢数｣が｢數｣
でも数学専攻の人にも割と読み易そう｡

活字が汚いと言えば､理工学社の｢関数解析｣が有るけど､ｱﾚはどｰ?
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:27]: 藤田､黒田､伊藤｢関数解析｣岩波基礎数学
はよくできた教科書です。
もちろん優秀な人向け。
ソボレフ空間は
ハイム.ブレジス「関数解析」産業図書
が一番役に立つ。
辞書的には
K. Yosida "Functional Analysis" Springer
もいい。
この２つもルベーグ空間とソボレフ空間の説明が分かりやすい。
岡本久・中村周「関数解析(１・２)」岩波講座現代数学の基礎
谷島賢二「ルベーグ積分と関数解析」朝倉書店

いまこの２つを教科書に採用するところは無いでしょう。採用しても入手困難だから。
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
吉田耕作・河田敬義・岩村聯「位相解析の基礎」岩波書店
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:40]: Banach環の話については
コルモゴロフ・フォミーン「関数解析の基礎(下)」岩波書店
の後ろに補遺として詳しく書かれているのがお勧め。

どちらにせよ、一冊では済ませられないので
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
を読んでるなら
K. Yosida "Functional Analysis" Springer
を辞書的に使うのが便利かもしれない。
でも個人的にはブレジスとコルモゴロフ・フォミーンを勧めたい。
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:55]: 宮地｢関数解析｣理工学社
ソボレフ空間の説明がないから、偏微分方程式にどのように用いるかは，
やはりブレジスなどを読む必要があると思います。
でも分かり易そう。
増田久弥「関数解析」裳華房
なんかと同じように最小限度に内容を絞ってるので試験勉強とか定理を覚える時には特に役に立つでしょう。
571 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 14:08]: >>565
>>549は十分内容があると思うが。
内容が無いと思うのは、そちらの問題だろう。
あれで十分だと思うが因みにもっと言うと
Arzelaの定理で一時、ここがにぎわったが、あれにも
かなり貢献してる。例えば、英語で書かれた参考文献を
紹介してあるやつは俺がコピって投稿した。
あれは、俺がsci.mathに質問したものへ誰かが回答してくれたものだ。
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 16:25]: 共立のほうの黒田はどう？
573 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 20:05]: >>574
漏れも訊こうと思った。
誰か読んでる人いないのかな。
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 20:06]: >>574 じゃなくて >>572 でした。
575 名前：Q.man [03/08/11 20:42]: 漏れに聞かれても困るぜ
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 21:07]: >>571
いつまでもぐだぐだいってんじゃねえ。
昔の実績を自慢する老教授か？
>>549は全く無内容！
『内容ある事を書け！』
脳みそねぇのか、てめぇは？
これだから引きこもりは困るんだよ（ｗ
577 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:19]: >>576
何興奮してんだ、アホか？
578 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:21]: いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？
579 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:21]: 質の悪い燃料だね
580 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 23:20]: >>579
意味不明
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:23]: >>578
素直に数理物理を語るか別スレに逝け！
煽りしか出来ない屑野郎が。
582 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 23:25]: 燃料再投下
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:36]: ソボレフ空間の説明はこの本でも詳しかったが絶版ですね。

田辺広域「関数解析(上・下)」実教出版(1978)
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:46]: >>578
数理物理以外にいくらでも関数解析は使える。
数理物理オタは他の分野を過小評価したがる。
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 00:04]: >>570
宮寺功｢関数解析｣理工学社
が正しい著者名でした。
586 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 10:09]: >>584
いくらでもってのは言い過ぎ。
確率論とか数理経済のことを言ってるのだろう。
これらにしても数理物理と関係大有りだろう。
要は数理物理で出てくる偏微分方程式とか積分方程式の
ことを知らないで関数解析をやってもほとんど無意味。
587 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 14:14]: 幾何方面でも最近使われ始めてますが何か?
588 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 14:19]: 幾何が数理物理と関係ないとでも？
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 16:55]: >>587
幾何方面では昔から使ってますが何か？
日本で関数解析が輸入された当初(ｒｙ
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 17:03]: なんでそんなに必死に数理物理と結びつけたがるんだろう？？？
591 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:05]: 少しでも活躍すると何でもかんでも在日認定したがるチョンと同じ心境だろ。
592 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:20]: >>590
好意的に解釈すると、1932年にバナッハ、ストーンとともに
出版された教科書、フォン・ノイマン「量子力学の数学的基礎」が
関数解析の始まりの一つだからでしょう。

最近の数理物理ヲタの数学板でのイタさにはうんざりだから、
止めて欲しいと思うけどね。

ノイマンの平均エルゴード定理は関数解析黎明期の重要な研究
の一つ。もちろん、関数解析のルーツは積分方程式だけど。

その辺を知らずに、関数解析の抽象論しか見てないと
研究がやせ細ってくるのは間違いないけどね。
593 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:58]: 俺は数理物理オタじゃないって言ってるだろう。
関数解析のスレで数理物理の話が出てくると
なんで感情的になって数理物理オタ攻撃になるんだ？
異常だよ。お前らよっぽど数理物理が嫌いらしいな。
それだと解析では大成しないよ。よけいなお世話だろうが。
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:26]: >>593
おいおい、逆だろ。感情的になって痛いレスをしているのは君じゃないか。
>>592は客観的で冷静なレスをしていると思うけど。
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:37]: もう少し言わせてもらえば、
＞解析では大成しないよ。
こういう考え方は、間違っていると思う。
アブストラクト・ナンセンスと言われていて、後々になって実は重要な
概念だった、なんてものはいくらでもある。
こういうやり方だと大成しない、こういうやり方だと大成するなんて考えながら
研究する方が結局時流に流されているわけで、見ていて痛々しい。
596 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 21:39]: >>594
>>595
馬鹿を晒しアゲ
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:46]: >>596
常駐ご苦労様。
わざわざsageてあげたのに、自分で自分の首をしめて
楽しいですか？
598 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 21:55]: >>594
スレの流れを見てないようだな。
俺は>>592に返事したわけじゃない。
感情的になってるのは俺じゃないよ。
599 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 22:08]: 549 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:08
函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？
600 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 23:50]: >>599
で何が言いたいんだ？
>>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか
興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 23:52]: 600 ：１３２人目の素数さん：03/08/12 23:50
>>599
で何が言いたいんだ？
>>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか
興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:00]: >>592
その辺の話を詳しく聞きたいのですが、お願いできますか？
歴史的な話から関数解析を俯瞰するような視点で是非おねがいします。

たしかその頃の解析はフランス、ドイツ、イタリア、ポーランド、ハンガリー辺りの
国が中心になっていたと思うのですが。
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:06]: あとフレドホルムのノルウェーも入れとかないといけないのかな。
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:08]: 日本は入れておいても良いのかな？
吉田耕作先生や加藤敏夫先生などの大御所が居るから入れてもいいんだよね。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:17]: 1903年、Acta Mathematicaという北欧のマイナーな雑誌に掲載されたフレドホルムの
論文が積分方程式にとって大事な論文。フレドホルムはミッターク・レフラーの弟子。

ミッターク・レフラーとコワレフスカヤは恋人どうしだったから、想像だけどフレドホルムはコワレフスカヤの影響も受けているかも。
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:22]: バナッハの"Theorie des operations lineaires"は1932年に刊行。
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:24]: フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」も1932年に刊行。
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:51]: ストーン（M.H.Stone）の論文も1932年に発表された。

On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math. 33 (1932), 643-648

この論文でストーンの定理が証明された。
ストーンの定理はボホナーの定理やナジーの定理とほぼ同等なものである。
このストーンの定理からスペクトル分解定理がでてくるし、
ボホナーの定理でリースの表現定理が説明できるなど、
非常に重要な定理である。
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:11]: フレドホルムの仕事に触発され、ヒルベルトが積分方程式の仕事をしている。
1906年にl^2空間を導入した。これがヒルベルト空間の歴史上はじめての登場。
1912年に『線型積分方程式の一般論概要』という280ページ程の本にまとめている。
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:12]: 1909年にF.リースはl^2空間とL^2空間が同一であることを証明。
現在、フィッシャー・リースの定理として引用されるこの定理によって
抽象ヒルベルト空間が発見され、ここから関数解析が始まったとする人は多い。
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:31]: >>604
「ワイル-ストーン-ティッヒマーシュ-小平の展開定理」の小平邦彦先生もよろしく。
どうでもいいがこの定理名は長いよね。
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:54]: 1924年にバナッハはバナッハ空間の公理を与えた。

1929年にバナッハは「汎関数について」という論文でハーン・バナッハの定理として引用される定理を証明している。
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 04:11]: 関数解析の始まりはフレドホルム、ヒルベルト、バナッハ、ノイマン、ストーン辺りというのは共通認識として確立されたものなんですか？
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 07:10]: ベールのカテゴリー定理はいつ頃登場したの？
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:09]: ハウスドルフやフレシェは何をやった？
616 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 10:38]: >>601
だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、
乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが
物理数学に関して感情的になってるということは、
出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。
よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。
それで関数解析やってどうするんだ。
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:45]: 616 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 10:38
>>601
だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、
乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが
物理数学に関して感情的になってるということは、
出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。
よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。
それで関数解析やってどうするんだ。
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:51]: >>616
あなたにピッタリのスレ↓があります。ごゆっくりどうぞｗ
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024149701/l50
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:54]: 関数の関数、即ち汎関数、の研究が始まったのは、1906年のフレシェの学位論文
「関数解析におけるいくつかの問題について」においてである。
ここでフレシェはコンパクト集合の概念を明確化し、抽象空間論の観点が登場した。
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:00]: 1914年にハウスドルフは「集合論概要」という480ページ程の本を出版した。
この本でカントールは位相空間論を展開した。それはカントールの集合論に基礎を置くものだった。
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:04]: ハウスドルフの位相空間論は、ボレルやルベーグに影響を与え、測度論やルベーグ積分やルベーグ空間が登場してくる。
622 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:05]: >>616
でもやっぱり関数解析をやってて､その応用に関する文献を見ると､つくづく知っておきたい事が多いなって実感する｡
関連分野の多さに魅力を感じる反面､どこに焦点を当てて研究しようか迷う事も有るのは事実で､その一つに数理物理も有るのは確かだけどさ､必ずしも数理物理を知らないと無意味かは別だと思うよ｡

まあ､それだけ関数解析は元気な学問って事で>>616を放置ﾌﾟﾚｰしてｲｲんじゃないの?
どうせ>>616は物理的なｲﾒｰﾂﾞが無いと数学が理解出来ない貧脳な香具師なんだからさ｡
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:06]: >>616
邪魔！
624 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:15]: （・∀・）？
625 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:17]: >>618
どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。
俺も結構このスレに貢献してるだろ。
そう邪険にするな。
今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。
つまり物理数学が関数解析の母体だからね。
626 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:20]: >>625
黙れ小僧！おまえに(ry
627 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:20]: 625 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 11:17
>>618
どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。
俺も結構このスレに貢献してるだろ。
そう邪険にするな。
今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。
つまり物理数学が関数解析の母体だからね。
628 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:21]: >>622
関数解析が元気ってのは嘘。
もう昔みたいに流行ってない。
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:22]: これだから、物理数学厨はダメなんだよ。はぁ………。
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:43]: 1902年に当時弱冠２８歳のルベーグは学位論文「積分、長さ、面積」において、
極限概念を測度の中に取り入れた測度論を展開した。

その後、1910年代にカラテオドリやハウスドルフが測度論の現代化に努めた。

そして1916年、この「ルベーグ積分」という言葉がシュタインハウスとバナッハ＆ニコディムを出合わせ、バナッハを関数解析の桧舞台へ誘うことになるのである。
631 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:44]: 関数解析ってのはもはや単なる道具であって、それ自体の研究はもうｵﾜｯﾃﾙのでは？
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:51]: だから放置ﾌﾟﾚｰはダメなんだよ。
このスレに貢献してるとか言い出すし・・・
これ以上荒らすならサーバーのIPからプロバイダーに苦情を言って、
利用制限をかけたほうがいい。
633 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:56]: 「○○は××に関係している」
から
「○○は××にとって不可欠」
は
出てこない。

それと、
「○○は××に関係している」
を
ただ繰り返すのではなく、もっと踏み込んだ話を聞きたいものだ。
634 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:59]: 馬鹿ばっかりだな。
635 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:00]: >>632のアフォは放置
636 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:00]: >>634
自己紹介ですか？
637 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:01]: 635 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 12:00
>>632のアフォは放置
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:08]: 1932年にバナッハが刊行した"Theorie des operations lineaires"という本の柱は二つある。

[1]抽象的な一般論の柱：
・ハーン・バナッハの汎関数の拡張定理
・共役空間の定理
[2]具体的な応用例を持つ柱：
・バナッハ空間上の線型作用素の性質

このように抽象的な一般論と具体的な応用例という２つの足場を持っているところがバナッハの強みである。
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:10]: きゃんきゃんとよく吠えること（ｗ
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:12]: >>633
自分で踏み込んだ話を始めればいいだろうに、はぁ～・・・
641 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:18]: 数理物理が関数解析に必須なのではなく
関数解析が数理物理に必須なのだよ。そこんとこ勘違いしないように。
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:20]: ageんな。うぜえから。
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:20]: 549 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:08
函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？
644 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:21]: 　

　　　　　　　　s　a　g　e　厨　降　臨　！　！　！
645 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:21]: 549 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:08
数理物理をやる前に関数解析をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に関数解析オタクじゃない。
ただ関数解析を知らないで数理物理をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
関数解析の知識がなくて数理物理やってどうする気だ？
646 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:26]: 数理物理をしらない奴が幾何をやっても意味がない。
647 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:27]: 幾何をしらない奴が数理物理をやっても意味がない。
648 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:28]: 数学を知らない奴が物理をやっても意味がない。
649 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:30]: 物理をしらない奴が数学をやっても意味がない。
650 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:31]: 数学を知らない奴が生きていても意味がない。　
651 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:32]: 生きてない香具師が数学していても意味が無い。
652 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33]: >>631
もとから関数解析は道具の色合いが強い分野。
道具と目的を混同するのはよくある間違いだな。
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:33]: 生きていない奴が数学をやっても意味がない。
654 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33]: 数学は意味がない。
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:33]: かぶった…。
656 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33]: 生きていても意味がない。
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:34]: 人生は意味がない。
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:34]: また、かぶった…。
659 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:35]: 意味はない。
660 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36]: いちいちかぶったかぶった言うな、意味が無い。
661 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36]: ない。　
662 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36]: い。
663 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36]: 数学は味がない。
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:37]: 意味なんていらない。
665 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:37]: いらないなんて意味。
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 13:12]: >>625って具体的なこと、何も書いてないな。
667 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 13:57]: >>666
だから？
668 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 14:15]: 572 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 16:25
共立のほうの黒田はどう？

573 ：１３２人目の素数さん：03/08/11 20:05
>>572
漏れも訊こうと思った。
誰か読んでる人いないのかな。
669 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 16:19]: 『数理物理を知らん奴が関数解析やっても無意味』

このスレでも上のコンセンサスは取れたように思えるが。
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 18:19]: うむ。
『数理物理を知らん奴が関数解析やっても物理をやるには無意味』
というコンセンサスは取れている。
671 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/08/15 18:24]: 　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン
672 名前：１３２人目の素数さん [03/08/27 06:33]: 7
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/27 18:00]: ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!
674 名前：１３２人目の素数さん [03/08/28 15:23]: もしわかれば、教えていただけると助かります。
（ヒントだけでもいいです...）

「命題：
可分でないヒルベルト空間Ｈの正規直交系をＭとする。
任意のベクトル f ∈ Ｈに対し、
(f,e) ≠ 0 (e ∈ Ｍ) の集合は高々可算個である。
（具体的に書くと、(f,e_1), (f,e_2), (f,e_3),...
(e_1, e_2, e_3,... ∈ Ｍ)）」
675 名前：ちびねこ ◆x0KR.Mv5tU [03/08/29 00:43]: ||f||^2 = Σ_{e ∈M} | (f,e) |^2 < +∞

A := { e ∈M | (f,e)≠0 }

A_1 := { e ∈M | |(f,e)| > 1}　←有限個
A_2 := { e ∈M | |(f,e)} > 1/2 }　←有限個
…
A_n := { e ∈M | |(f,e)} > 1/n}　←有限個
…

A = ∪{ n ∈ N}A_n　←高々可算
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/29 18:25]: (φ)　　←　オマン個
677 名前：674 [03/08/29 19:50]: >>675
お忙しいところありがとうございます。
図書館へ行って勉強してきます…。
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/29 21:05]: >>676
お忙しいところありがとうございます。
ソープへ行って勉強してきます…。
679 名前：１３２人目の素数さん [03/08/29 21:15]: >>676
お忙しいところありがとうございます。
ﾄﾙｺへ行って勉強してきます…。
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/30 11:11]: 　　／⌒ヽ
　　/　‘д‘）　　　／⌒ヽ　ちょっと通りますね、ここ通らないと行けないので・・・
　　|　　　/ 　　　/　‘д‘）
　　| /|　| 　　　　|　　　/ 　　　　／⌒ヽ　ﾁｬﾌﾟｯ
　 //　| | 　　　　| /|　| 　　　　　/　‘д‘）
　Ｕ　 .Ｕ　　　 //　| | 　　　　　|　　　/ 　　　　　／⌒ヽ　ﾌﾟｸﾌﾟｸｯ　　　　　　ﾌﾟｸﾌﾟｸﾌﾟｸ・・・・
　　　　　　　　Ｕ　 .Ｕ　　　　二| /|　|二-＿　 -_/＿‘д‘）二-　　　　- ／⌒ヽ=　_　　　　　　　　_　　　ｯ・・・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　￣-￣-￣　　　　─　　─ ￣-　　　　　￣-￣　￣-
681 名前：１３２人目の素数さん [03/09/04 21:36]: 単調族定理の証明をしていています．

CをXの部分集合からなる有限加法族とし，Cを含む最小の単調族を M(C) とする．

また，A ∈M(C)に対して，M_A=｛B ⊂X:A ∩B ∈M(C)｝とおくとき，

M_A が単調族になることは証明しました。

C ⊂ M_A

となることを証明したいのですが，うまくいきません．

どなたかヒントを下さい．
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/04 23:15]: >>681
∀S⊂Xに対し、S∈C⇒S∈M_Aを示せばよい。
S∈CならばS∈M(C)は明らか。A∈M(C)だから、（単調族が∩について閉じて
いることが既知ならば）S∩A∈M(C). よってS∈M_A.
683 名前：681 [03/09/05 00:02]: >>682
レスありがとうございます．

「単調族が∩について閉じていること」の証明がどうやればいいかわからないので，

これもヒント下さい．
684 名前：１３２人目の素数さん [03/09/05 12:50]: 抽象関数解析はいまでもゲンキですよ。
９８年にもバナッハ空間論の研究者がフィールズ賞貰っていますし。
バナッハ空間論も作用素環論も大部分は数理物理とも微積分とも無関係っスね。
685 名前：１３２人目の素数さん [03/09/12 20:07]: 関数解析やるには、吉田先生の本が一番でしょうか？
686 名前：ななし [03/09/12 21:34]: >>685
研究の方向性によって分かれてくると思う。
吉田先生（＝耕作先生）の本って、偏微分方程式に向けた本って感じがする。
687 名前：１３２人目の素数さん [03/09/12 22:55]: >>686
thx
688 名前：１３２人目の素数さん [03/09/13 10:44]: ブルバキの｢位相線形空間｣は、どうですか？　読んだ人の御感想を
お聞かせ下さい。
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/13 23:01]: >>683
A,B ∈ M(C) ならば、A⊇(A∩B) で A∩(A∩B)=A∩B だから、単調族の定義より
明らかに A∩B∈M(C).
（可算個の減少列の∩について閉じているのだから、有限個についてももちろん閉じている）
690 名前：ななし [03/09/14 00:13]: >>685
山上先生の関数解析の講義ノートがあるよ。
691 名前：ななし mailto:sage [03/09/14 00:14]: あ、忘れてた。ごめん。

suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/kankai.html
692 名前：１３２人目の素数さん [03/09/14 23:27]: 親切にありがとうございます:D

将来、解析系に進みたいと思っていまして、
関数解析といっても、正直その先に何があるのかよく理解してないんですが、
参考にしてみたいと思います。
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [03/09/15 22:04]: コルモゴロフ・フォミーンの「函数解析の基礎」（岩波書店）の英語版ってどっち？

Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486406830/

Introductory Real Analysis
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486612260/

過去ログ読んだらElements～とIntroductory～の両説あるけど、版が違うの？
694 名前：１３２人目の素数さん [03/09/29 20:59]: ルベーグ可測関数列で、λ-a.e.収束も測度収束もしないが、
L^p収束はするような関数列の例はありますか？
出来れば証明もおながいします。
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 10:57]: ａｇｅ
696 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 11:23]: 作用素論の中で､最近のﾎｯﾄな研究ﾃｰﾏってなんでつか?
697 名前：ななし [03/10/17 12:08]: >>696
なんだろ？漏れも知りたい。
不等式の研究とか、特定の空間上の作用素を研究したり、
（偏）微分方程式から出てくる微分作用素の研究とかもあるし…
不変部分空間の問題とか未だだったような…
（何回か「解けた！」って論文が出たみたいだけど…）

その道の先生にお話を聞くってのも良いかも。
F田一派はしらん。
698 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 12:36]: やはり偏微分方程式への応用がﾒｼﾞｬｰなのかな
つｰかこないだ工学部の教授が分かりもしない癖に解析系を馬鹿にしてたぞ
さもさも分かってるかの様に彼曰く､｢所詮､解析系なんて不等式使って0か有限か∞かを調べるだけの学問だろ｣との事
工学部は石村本でも読んでろって感じ
699 名前：supermathmania ◆ViEu89Okng [03/10/17 12:45]: Re:>694 f_1=1_[0,1],f_2=1_[2,3],f_3=1_[0,1],f_4=1_[2,3],…
700 名前：supermathmania ◆ViEu89Okng [03/10/17 12:45]: と思ったけど[>699]は無し。
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 12:48]: >>698
日本で出されている関数解析系の教科書は、殆どと言っていいほど、
偏微分方程式を主眼に書かれていますからね…
702 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 19:44]: 解析と言っても、作用素環論はちっと別。
703 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 01:56]: Bをb次元ボレル集合体，Dをd次元ボレル集合体とし，
Tをb次元ボレル集合，Yをd次元ボレル集合とする。
T'＝｛A⊂T：A∈B｝
Y'＝｛A⊂Y：A∈D｝
とおく。
また，T×YをTとYの直積，T'×Y'をT'とY'の直積σ集合体とする。

f:T×Y→R（実数）をT'×Y'可測関数とする。

このとき，t∈Tを固定すれば，g:Y→R:g(y)=f(t,y)はY'可測関数である。

これって真ですか？偽ですか？

ボレル集合ってのが効いて，真になるような気がするんですけど，
どうですかね？
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/20 13:37]: >>703
i:Y → T×Y　:i(y)=(t,y)
とするとg(x)=f(i(x))だから、iの可測性がいえればいいわけだ。
確か、iによる引き戻しが可測になるようなT×Yの部分集合全体を考えればできたはず。
705 名前：福田和也 [03/10/24 11:33]: ルベグ積分では、可測関数の値域を有限に分割し、それぞれの区間の引き戻しの測度に高さをかけて単関数を作ります。ここで疑問なのは、
Ｘ軸に導入する測度ですが、この測度が完全加法性を満たしている必要はあるんでしょうか？値域の分割を細かくして単関数で近似していく様子を考えてみても、Ｘ軸上の測度が完全加法性を満たさねばならない
必要性はないと思います。
学校の授業では完全加法性が必要条件だという風ないい方をしていましたが、ホントでしょうか？測度が完全加法的であると、可測な函数
がたくさんになると言うだけで、ルベグ積分の技術で
決定的な意味をもっているとまでは言えないのではないでしょうか。
706 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 02:50]: >>705
測度が完全加法性をもつことと、連続性をもつことは同値なので、
（測度μの連続性とは、集合En→E(n→∞)のときμ(En)→μ(E)となること）
完全加法性をもたない測度で構成した積分は∫[En]f(x)dμ→∫[E]f(x)dμが必ずしも
成り立たないことになる。
707 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 03:01]: ついでにこっちにもレスしとこう（遅レススマソ。久しぶりに来たので）>>694

Lp収束⇒測度的収束だから（チェビシェフの不等式により証明される）、そのような例は作
れない。

ちなみに、「大数の弱法則」は、ふつう確率収束の形で述べられており、「証明はチェビシ
ェフ」と盲目的に覚えていたりするが、本質はL2収束で、L2収束から確率収束を導くところ
にチェビシェフが必要になっているだけである。（そのことに注意した本を見たことがない
ので一応）
708 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/27 00:03]: >>706
レスサンクスです。じゃ、ルベグ積分は定義できるが、その積分のもつ性質が
あまりよくないという事でよろしいでつか？
709 名前：706 [03/10/30 00:58]: YESだけど、完全加法的でない有限加法族（たとえばジョルダン可測集合族）Mと有限
加法的測度μ（たとえばジョルダン測度）を用いて可測性と積分をルベーグ式に定義し
た場合どうなるのか（極限定理の成立が不十分だとしても、リーマン積分程度のもの
にはなるのか、もしかしてその定義でもリーマン積分に一致するのか、等）について
書いてある本を見たことがないので、少し注意しとく：

その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で
ある「加法性」すら成り立たない。
（理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。
f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数
で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。
いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。
よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En)
でなければならない。
710 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 01:22]: >>706
まじ参考になりました。有難うです。
俺、最初>>705の考えを思いついた時は、
俺って頭イイ－とか勘違いしたけど、やっぱり人の意見聞いたり
何度も考えないとあかんって分りました。
測度論はルベグ積分で殆ど「決定的」な役割を果たしてたんですね。
あのまま突っ走ってたら大恥かくとこだった（ｗ
711 名前：709 [03/10/30 02:04]: ちょと訂正。Mやμが抽象的に｢有限加法的」という場合はたしかに709のとおりだけど、
Mがジョルダン可測集合族、μがジョルダン測度の場合は、μはM上で完全加法性をもつ
ので、709のような問題は生じない。（Mが可算演算に対して閉じていないという問題
は残る---したがって極限定理は不十分にならざるをえない---が、μがσ(M)上の完全
加法的測度に拡張できるならば、μはM上ですでに完全加法的でなければならない。
Hophの拡張定理。）

てことは、μがジョルダンの場合は、ルベーグ式に定義した積分は、M可測な関数に対す
るリーマン積分に一致するのかな？少し考えてみないとわからん。そういうことをはっ
きり書いてある本は知らないし。
（一次元の場合、fのリーマン可積分性と、fのグラフの下の面積のジョルダン可測性は
一致することから考えて、一致するような気がする）

余談ですが、よく「ルベーグ積分はわかりにくい」と言われるけど、単に「こうすれば
うまくいく」という解説書ばかりで、そうする必然性（そうしないとどこで困るのか、
どう自然なのか、いろいろな定義の関係はどうなっているのか）に対する解説がなさす
ぎるのが原因ではないか？
たとえば、正値可測関数の積分を、単関数の積分のsupで定義する流儀とlimで定義す
る流儀があるが、両者の同値性を保証するのがエゴロフの定理（なので、そのこと
が必要になる場合には定理が引用される）。後者の方法だと、単関数列の取り方によ
らないことの証明が必要だが、前者は不要。しかし前者だと積分の加法性の証明が
面倒で、結局エゴロフで後者に帰着してたりする。……とか、いうようなことが全部
見えるようになって初めて分かった気がした。
（そういう意味ではまだ分からん点がいくつも残ってたり）
712 名前：１３２人目の素数さん [03/10/30 02:18]: 202.212.248.37/cgi-bin/up/img/37156.jpg
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www.42ch.net/UploaderSmall/source/1067442086.mpg

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713 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 03:39]: >>711
持つカレー。
参考になりました。がんばって函数解析につなげるつもりであります。
714 名前：１３２人目の素数さん [03/10/30 19:28]: とりあえず、そういうことしたいなら、
Lebesgue積分だけじゃなく、他の積分論を学んだほうがよろし。
715 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 20:39]: >>709で気づいたこと。

その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で
ある「加法性」すら成り立たない。
（理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。
f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数
で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。
いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。
よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En)
でなければならない。

ここホントにこうなのですか？ｆとｇは単函数では無い気が。
値域を有限個に分割してその引き戻しを用いて変域を分割するのだから、
Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ２+・・・・Ｅｎと有限個の類の直和に表現されるはず。
なんか変。
716 名前：709 [03/10/30 21:54]: 有限加法族Mと有限加法的測度μに対し、まず先に可算個の集合E1,E2,…∈M
で∪En=E∈Mとなるものをとり、それらの定義関数の一次結合として単関数
f,gを作るわけ。「単関数」として可算個の値をとるものまで許す流儀と、
有限個の値をとるものに限る流儀があるが、後者だとしても、f,gに収束する
単関数列で定義したf,gの積分値は、結局709のとおりになることはほぼ明ら
かでしょう。
717 名前：709 [03/10/30 22:06]: 余談だが、(X,M,μ)を（完全加法的）測度空間とするとき、X上の実数値関数
fが「可測」であることを、すべてのボレル集合Bに対しf^(-1)(B)∈Mとなる
ことで定義し、可測集合の定義関数の有限個の一次結合である関数を「単関数」、
可算個の一次結合である関数をσ-単関数とでも呼ぶことにすると、次の(1)～
(5)はすべて同値であることに注意されたし。（証明は良い演習だろう）

(1)fは可測関数である
(2)fはσ-単関数列の一様極限である。
(3)fは単関数列の各点極限である。
(4)fは階段関数列のほとんどいたるところの極限である。
(5)fは階段関数列の測度的極限である。

さらに、Xがユークリッド空間の部分集合で、有限測度の場合は、次の(6)～
(8)も同値。

(6)∀ε>0に対して、μ(E)<εとなるEが存在して、X-E上でfは連続関数列の
一様極限である。
(7)∀ε>0に対して、μ({x;f(x)≠φ(x)})<εとなるX上の連続関数φが存在する。
(8)fは連続関数列のほとんどいたるところの極限である。
718 名前：711 [03/10/30 22:25]: >>714
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
「ルベーグ積分論」というとき、ユークリッド空間のルベーグ測度およびそれに
もとづく積分論のみ意味する場合と、測度空間の一般論とそれにもとづくルベー
グ式積分論を意味する場合があるけれど、現在たいていの教科書は後者を意識し
ているはずで（特に確率論への応用を考える場合は必然）、「ルベーグ積分論を
学ぶ」とかいうとき、基本的に後者を想定している。（もちろんスティルチェス
積分も範疇に入る。）

711の教科書批判も、抽象積分論に対して言っているので、一般測度空間で理
論展開しようがユークリッド空間であろうが、問題点に変わりないと思うが。

　それとも、「他の積分論」というのは、ダンジョワ積分とかファインマン積
分とか伊藤積分とかetc？（まさかね。そんなのは（抽象）ルベーグ積分論が完
全にわかった上での話だ）
719 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 23:15]: うわぁぁぁあああああ。
>>709氏、気合入りまくりの書きこマジ持つカレーです。
やり始めて一ヶ月で分らんことばかり、マジわからん。
>>715では妙な事言って失礼しました。
また励みます。
720 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 10:14]: たかだかルベーグ積分で必死なこったねぇ・・・・
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/31 10:19]: たかだかねぇ．．．
722 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 22:06]: ﾙﾍﾞｰｸﾞ積分における高々加算個とは…
723 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:54]: たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。
たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w

集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。
関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。
集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は
上からで、関数の場合は下からでやるのか。

答えられるヤシいる？
724 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:10]: 誰からの受け売り？
725 名前：723 [03/11/02 21:38]: >>724
もし723のことを言っているなら、受け売りじゃないよ

もし同じ問いまたは答がどっかにあったなら教えてくれ。
726 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 02:37]: >>723
集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が
作れるんじゃなかったっけ？
関数の方は、何だろう…
727 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 03:33]: >>726
＞集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が

それって、曲面積の話じゃ？
ベクトル解析的な話はリーマン積分でまにあうので、ルベーグ積分とはあん
まり関係ないと思う。
728 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/11/03 16:09]: 測度の公理を満たさない場合が出てくるからでしょ。
R*R／（有理数の全体）には片開区間を含ませることが出来ないから、
測度0となっちまう。ｍ（有理数の全体）＝0だから、
R*R＝0+0＝0？？？？？？？？？？？？？？？？
729 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:26]: そんなところで積分考える必要あるんだろうか
730 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:10]: 728はやや意味不明気味だが、言おうとしていることはこのこと↓なのだろうと思う。

ルベーグ測度の定義では「内測度」を考えることもある（内測度と外測度が一致するとき
可測とする）が、内測度の定義は外測度と双対に「含まれる区間隗の測度の上限」とはせ
ず、補集合の外測度を利用する（だから結局外測度だけで話をしているのとあまり変わら
ない）。
　で、その理由としてよく引き合いに出されるのが内点を持たない集合（で正測度の
もの）、たとえば一次元なら[0,1]の無理点全体など。この場合、外測度は1だが、
内測度を「含まれる区間」で考えようとしても不可能。「1-(補集合の外測度)」なら
1-0=1で外測度と一致する。
731 名前：(*^ーﾟ)b ◆.JqYhx/qlc [03/11/14 21:28]: 学生時代に授業中に寝ていて、当てられて、
判んないから適当に１と答えたら合ってた。
732 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 21:55]: 確かに∞と言うよりは当たりそうだ罠
733 名前：１３２人目の素数さん [03/11/26 02:03]: age
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/26 12:29]: 溝畑のルベーグ積分を読んでるけど分かりやすい良い本だなと自分は思う。
しかし数学板の色々なスレを見る限り伊藤のが評判良いらしい。
どんな本なのか気になる。
735 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 08:29]: 伊藤のルベーグ積分を読んでるけどしっかりした良い本だなと自分は思う。
しかし、>>734曰く溝畑のルベーグ積分は良いらしい。
どんな本なのか気になる。
736 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 21:11]: ∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0 a.e.
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/27 21:16]: そういうレスいいね（ｗ

∫|神(x)->>736(x)|^2dx=0 a.e.
738 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 21:50]: 共立の復刊したUMEGAKIの｢作用素代数入門｣って証明の行間とか取り上げられてる内容とかどｰなんだろ
今関数空間終えてこれから作用素論に入ろうとしてるんだけど
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/28 22:56]: >>736
積分値はひとつの実数だろーが。

∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0

か

>>734(x)->>735(x)=0 a.e.

かどっちかにしてホスィんですけど(w
740 名前：１３２人目の素数さん [03/11/28 23:29]: >>734-735
ルベーグ積分の導入法についていえば、

溝畑：積分が先、測度が後／可測関数…階段関数の測度的極限
　／積分…階段関数の積分の極限／非有界区間・非有界関数へ順次拡張／
　／有界収束定理→単調収束定理→ルベーグの収束定理

伊藤：測度が先、積分が後／可測関数…測度による一般的定義、単関数の各点極限として特徴づけ
　／積分…単関数の積分の極限／測度および関数が非有界な場合を最初から含める／
　／単調収束定理→ルベーグの収束定理→有界収束定理

であり、いろいろある中で対照的な選択ばかりしてくれているので、全体として両極端
になっている。

だから逆に、この２つを両方読むと、路線乗り潰しには効果的か？(w
あとはコルモゴロフ・フォミーン（非常にユニーク）と竹之内（読みにく
いがかなりユニーク）あたりを加えればほぼすべての路線がカバーできる。
741 名前：１３２人目の素数さん [03/11/29 22:12]: L^2のるむの収束でちゅか
742 名前：735 mailto:sage [03/11/30 03:38]: >>740
さんくす。溝畑も読んでみたくなったよ。
743 名前：735 mailto:sage [03/11/30 03:57]: って、絶版なんだな…溝畑
744 名前：734 mailto:sage [03/12/02 17:40]: >>740
自分も感謝します。
溝畑のが終わった後に伊藤の方も見てみる事にします。
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 00:16]: 解析を専門にしないなら、伊藤先生のを読んだほうがいいよ・・・。
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 08:37]: >>745
そうか？漏れはむしろ逆だと思うが。
分量からいっても溝畑の方が読みやすいだろうし、
なによりてっとりばやくルベーグ積分の概念に到達できる。
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 10:48]: 解析 -> 関数解析方面 -> 測度論はとりあえず後回し -> 溝畑
解析以外 -> 確率論方面 -> 測度論が目的 -> 伊藤

ではないかと >>745 の意図を推測してみるテスト
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 18:00]: >>747
確率論は解析ではないのか、と小一時間

たとえば、複素幾何で L2コホモロジー必要な人とか、
Lie群やっててHaar測度がいるとか、解析を専門にしない
人で積分論に興味ある人は普通にたくさんいる。
749 名前：１３２人目の素数さん [03/12/04 08:13]: 測度の一般論は確率論以外でも大事だと。
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/04 15:09]: >>748
サードの定理とかでもでてきますね。
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/04 16:00]: サードの定理って特に深い解析の知識を使うわけでもないと思うのだが・・。
752 名前：１３２人目の素数さん [03/12/04 19:13]: フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」を読むのにはルベーグ積分３０講くらいで
十分でしょうか？物理専攻で、ヒルベルト空間をある程度（そんなに厳密にじゃなく）理解したいのですが。
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 00:19]: 十分。どっちかというと関数解析の本を読んだ方がいいんじゃない？
754 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 00:23]: >>753
ありがとうございます。物理科なもんで、関数解析自体よく知らないのですが、
手頃な入門書のオススメを教えてください。
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 00:59]: 関数解析で手頃と言ったら増田久弥
www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1407-9.htm
756 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 01:42]: >>755
ありがとうございます。
それは定評のある本ですか？
そんなに高くないようですし、欲しいですね。
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 03:01]: >>756
blueskyproject.net/book/masuda_hisaya.html
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 03:45]: >>756
余計なお世話ですが、数学科以外の人が独学するなら理解の助けとするために
少しやさしめの本も視野に入れておいたほうがいいかもしれません。
州之内治男　「関数解析入門」　サイエンス社
荷見守助　「関数解析入門」　内田老鶴圃
759 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 05:19]: すいません、以前分からない問題スレで質問したのですが
答えてもらえなかった問題を質問します。

レリッヒ・コンドラコフの定理で、
指数がq=np/n-p（臨界指数）の時に成り立たないのは何故ですか？
田中和永著『非線形問題２』岩波書店に成り立たない例があるのは
知っているのですが・・・。
760 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/05 13:15]: >>758
その２冊のほうが増田さんのより易しいのですか？
数学専門ではないので、易しいほうが良いのですが・・・
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 19:41]: あ、A4だ。物理板ではいろいろ大変だね。
定評があるわけではない(と思う)けど、サイエンス社のは易しいと思うよ。
www.saiensu.co.jp/books-htm/ISBN4-7819-0742-3.htm
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 20:11]: 黒田成俊さんのはむちゃくちゃ難しい?
763 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE mailto:sage [03/12/05 21:08]: >>761
おお！俺を知っているのか。
情報ありがとう。サイエンスのを注文したよ。安いし、目次みたらよさそうだった。
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:12]: >>762
www.kyoritsu-pub.co.jp/juhan/j01106-6.html
分厚い分、丁寧そうな感じが。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:16]: >>752も、A4さんなんですか？
物理板をしきってるA4さんが、フォン・ノイマン読むのに「ルベーグ積分３０講」っすか・・・
なんかイメージ狂うな。
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:45]: A4は、解析概論や佐武は難し過ぎ、とかそんなことを言ってたし、
>>752がA4でも別に意外ではないような。
767 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE mailto:sage [03/12/05 23:24]: 752は俺じゃないが、数学に弱いのは確か。でも解析概論難しすぎとは言ってないぞ。
佐武は言ったかもしれない。あと、そもそも俺はフォン・ノイマン持ってない。
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 21:21]: てかさー、物理とかでＬ２空間の完備性やヒルベルト空間の性質を知っている
必要があるのはわかるけど、Ｌ２空間の完備性の「証明」まで知っている必要
ってあるの？？

ルベーグ積分そのものを勉強しなくても、「積分をルベーグの意味で定義して
おけば、Ｌ２空間は完備」とかの事実だけ知ってればいいんじゃないん？
769 名前：１３２人目の素数さん [03/12/06 23:06]: 物理のための確率論（確率過程とか）のためだったら
伊藤と西尾のどちらがいいですか？
770 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 08:39]: 関数解析と表現論が関係してるらしい話を聞いたのですが本当ですか？
だとしたらどの様に関係しているか教えて欲しいのですが…
771 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 12:30]: >>770
例えば、リー群の無限次元ユニタリ表現なんて、もろ関数解析と
関係してますが。
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 16:05]: >>770
調和解析とか？
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 01:27]: >>769
伊藤ってどの本のこと？岩波の古いやつ？
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 01:40]: 学部2年なのに全くルベーグ積分の本を読んでないよ…
溝畑のほうをとりあえず買いに行ってきます…
775 名前：１３２人目の素数さん [03/12/08 02:16]: 確率論―確率の解析的理論現代数学の系譜
伊藤清, 樋口順四郎単行本 (1986/11) 共立出版
通常11～13日以内に発送
価格：￥10,000

8. 確率論新数学講座
伊藤雄二 (著), その他単行本 (2002/04) 朝倉書店
通常3日間以内に発送
価格：￥5,200

9. 確率論岩波基礎数学選書
伊藤清 (著) 単行本 (1991/05) 岩波書店
おすすめ度：
在庫切れ
価格：￥4,400
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 02:18]: >>743曰く絶版らしいのだが…
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 03:26]: >>769
西尾はとてもいい本だけど数学者向きと思う。
それと、離散時間どまりなので、連続時間の確率過程が必要なら不十分。
778 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/08 12:49]: >>777
そうなんですか。
フェラーとかどうですかね？
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 13:57]: Williams, "Probability with Martingales" とかコンパクトで良さそう。
でも、文章がうざいらしい。
780 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 17:26]: (X，A，μ)をσ有限な測度空間とする。
P_0,P_1はμに関して確率密度関数p_0，p_1を持つものとする。

このとき，
∫ φ(x)p_0μ(x)=0かつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1
となるA可測関数φ：X→[0,1]は存在しない。

この命題、合ってると思うのですが、うまく示すことができません。
反例はあるのでしょうか？
また、示すとしたらどのような手続きをとるのでしょうか？
どなたかヒントを下さい！
781 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [03/12/09 22:11]: >>780
思いつきだけど、こんな反例はどう？

Ｘ＝［０，１］、ＡはLebesgue可測集合、μはLebesgue測度とする。
Ｐ_０、Ｐ_１を夫々［０，０．５］，［０．５，１］の一様分布確率測度とする（これらはμ－絶対連続）。
すると、ｐ_０、ｐ_１は、夫々［０，０．５］，［０．５，１］の定義関数の二倍になっている。
φを［０．５，１］の定義関数とすると、φはＡ可測で、
∫φ（ｘ）ｐ_０（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_０（ｘ）＝０　∧　∫φ（ｘ）ｐ_１（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_１（ｘ）＝１
782 名前：１３２人目の素数さん [03/12/10 22:01]: その通りですね。

α∈(0,1)とする。
∫ φ(x)p_0μ(x)<αかつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1
となるφが存在しない。

という条件を加えて問題は解決しました。

ぼるじょあさんには前にも答えたもらいますた。
ありがとうございますた。
783 名前：１３２人目の素数さん [03/12/12 01:47]: 素股age
784 名前：１３２人目の素数さん [03/12/12 23:30]: 3人から2人を選んでｾｸｰｽする順列は?
785 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/13 00:01]: 須之内さんの関数解析入門買ったよ。
確かに易しい本だね。
物理屋ならこれで十分かな。
786 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/16 12:19]: 伊藤清三「ルベグ積分入門」ｐ６４　補助定理（エゴロフの定理の前振り）
が理解できん。関数列がｆに収束するって書いてあるけど、
一様収束じゃないと無理っぽくない？来週関数解析のテスト。まじでヤヴァイ。
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/16 14:16]: lim E_n = E のところかね？
{E_n}が単調増加だから
lim E_n = ∪E_n
これがEと等しいことをいうには
x∈E に対してx∈∪E_nをいえばいいんだから
あるnがあってx∈E_nをいえばよい。後は簡単だよね
788 名前：１３２人目の素数さん [03/12/16 21:34]: 明日卒研発表会
漏ﾚは数学科じゃないが卒研で関数解析のｾﾐﾅｰ受けてる
発表会では20分で数学をろくに氏らない厨達に弱解の存在と一意性を発表する罠
789 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/16 22:15]: >>787
のわぁぁぁ。すまんすまん。ちょっと考えてようやく
エゴロフの考えが理解できた。あのままでオッケイだった。
わからんかったらまたお願いします。
790 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/18 03:29]: 723 ：１３２人目の素数さん：03/11/02 19:54
たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。
たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w
集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。
関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。
集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は
上からで、関数の場合は下からでやるのか。答えられるヤシいる？

亀レスだが、今重要なトコで同じ疑問に突き当たり、一つの考えが浮かんだので書いておく。
つーか、間違ってたら指摘キボンヌ。
可測な函数に対して単関数積分の単調増加列で面積を下から漸近させるとあるが、
つまり、
ｆｎ＝ｋ－1/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ－1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
　　　　　　　　　　ＯＲ
　　　　ｎ　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
でしたから近似するってことだよね。でも、よく考えたら、別の単函数の列
ｇｎ＝ｋ/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ－1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
　　　　　　　　　　　　　　ＯＲ
　　　　∞　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
を考えたら、任意のｎで、∫ｆｎ＝＜∫ｆ＜＝∫ｇｎが成り立つ。
ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、
∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から
実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの?
逆に聞きたいのは、可測函数ｆが一様有界でない時や、∞の値を取る場合には、
今のように上下から単函数列でサンドイッチする作業が出来ない場合があると思うが、どうよ？
つまり、リーマン式で言う広義積分（＝積分もどき）になっちまう。でもルベ－グ式では特に二つの間に区別が無い。
これってなんかおかしくね？
791 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/18 03:32]: 間違えた。訂正。

ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、
∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から
実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの?
↓
limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 12:01]: 測度が有限でないときでも容易に示せる？
793 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 18:18]: >>792
∫ｇｎが無限になれば∫ｆｎも無限になるから、Ｓは∞。

∫ｇｎが有限になれば∫ｆｎも有限になるから、どっちにせよ

limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。さっきも書いたけど、
あくまでｆが一様有界な場合の話ね。
794 名前：１３２人目の素数さん [03/12/19 19:06]: ほんとに測度が有限でないときも容易に示せる？
795 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 20:08]: ぐぁぁぁ。外側から押さえつける単函数の面積が無限になっちまう。
でも、測度空間全体の測度が無限の場合は、古典論の言葉遣いで言えば、
広義リーマン積分に相当するわけじゃないの?じゃあ、俺の論理がこの場合
に対して適切な記述を与えられなくても、全否定される謂れは無いと思うのだが。。。。。
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 20:25]: >>795
全否定してほしかったのか？
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 21:52]: ちょっと疑問なのですが
σ有限測度でなくても広義リーマン積分に相当するのでしょうか
798 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 23:19]: >>796?
基本的な場合（ｆが一様有界、測度空間の測度が有限）には、
俺の方法で下と上から押さえつけて実数の一点に面積を追い込めるってのは同意してくれるわけ?
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/20 00:05]: リーマン積分と違って
挟まなくても収束することが言えるしねえ
挟むなら0≦f≦φな可積分関数φがある場合は
上から >>790 にある単関数 g_n の代わりに
min(g_n, φ)とか使うほうが自然な気がする
800 名前：１３２人目の素数さん [03/12/20 18:58]: 物理板の者ですが、ヒルベルト空間論のよい本ありませんか？
定番でもいいです。
801 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 12:32]: >>800
石村園子
すぐ分かるﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間
802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 14:13]: >>800
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/432001703X/
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535608822/
803 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 16:23]: >>802
それの下の奴はちょっと・・・
上のヒルベルト空間論というのは定番なんですか？復刊されたみたいですが。
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 16:25]: >>803
吉田耕作のヒルベルト空間論は、定番中の定番ですね。
805 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 17:46]: >>804
そのわりにはあまり話題に出てこないような・・・
806 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/21 22:20]: 関数解析の教科書キボンヌ、ルベグ積分は目処つきました。
807 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 00:00]: 増田って人のが良さそうだよ。
808 名前：723 mailto:sage [03/12/22 00:57]: >>790-798
スマソ、しばらくアクセスしてなかった。（年末は忙しい～）

有限測度空間で、一様有界な関数に対しては、単関数による上からの積分近似と下か
らの積分近似が一致することと、可測であることは同値になる。
>>798の主張と同じ内容を明確に述べているものとしては、たとえば谷島賢二「ルベーグ積
分と関数解析」（朝倉書店講座数学の考え方）p.51定理4.12がある。：
「m(E)<∞, f:E→Rは有界とする。このとき、
inf{∫_E ψ : ψは単関数,ψ≧f} = sup{∫_E φ : φは単関数,ψ≦f}
であることとfが可測であることは同値である。このとき、上の両辺は∫_E f に等
しい。」
（証明の考え方もほぼ>>790と同じ。主張はsup,infになっているが、証明では上下
からの単調列のlimを使う）
809 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/22 03:43]: >>723
レスサンクス子でつ。てことは概略において俺の考えは正しいわけですね。
聞きたいのは>>723氏は>>706から俺に教えてくれてた人でつか?
810 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [03/12/22 03:45]: >>807
増田久弥でつか？アレはちょっとやさしすぎる気が。ブランド好きな漏れとしては
もう少しアカデミックな雰囲気の奴キボン。
811 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 16:12]: >>810
ブレジスとかコルモゴロフ＆フォーミンではいかかでしょう？
812 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [03/12/22 16:41]: コルモゴロフでつか。なるほど。図書館で見ましたが、手強そうでした（ｗ
Air4th ◆xWn.OsrdWE氏は物理版の住人なのに、
数学にも強いでつね。数学専攻の漏れが負けては話にならないので励みまつ。
813 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 17:23]: >>812
いや～コルモゴロフは名前知ってるだけで読んだことはないよ。
増田さんのが易しいなんて君のほうが数学強いんじゃない？
俺は物理屋だから須之内で十分だね。
コルモゴロフ読んだら感想きかせてね～
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:13]: ｱﾚ嫁。岩波。
815 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 18:24]: ヒルベルト空間と量子力学
黒田の関数解析
あたりがいいんじゃない？
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:33]: 黒田先生は共立がいいと思います。
L^2のFourier解析とかもあるけど。
817 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 18:33]: >>815
新井さんのだよね？
タイトルに量子力学ってあるけど、内容は数学科向け？
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:45]: Yes
819 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 19:58]: 日本ってBanach algebrasを学部でやる？ちなみにBanach algebraとは

In functional analysis, a Banach algebra is an associative algebra over the real or complex numbers which at the same time is also a Banach space.
The algebra multiplication and the Banach space norm are required to be related by the following inequality:

||xy|| ≤ ||x|| ||y|| for all x and y
820 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 00:12]: いきなりブレジスは無理だろー
突然ハーンバナッハが出てきて困惑するんだ
間違いない

増田か黒田がいいんじゃないの
821 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 00:13]: ブレジスはあの日本語に困惑するんだ
間違いない
822 名前：723 mailto:sage [03/12/23 00:18]: >>809
イエス。>>706=>>723でつ。
ここに書き込んでるヤシってせいぜい数人かも(w

コルモゴロフ・フォミーンは数学屋にとっては分かりやすく書かれていると思う。
ちなみに、ルベーグ積分の定義で、「単関数」を定義関数の可算無限個の一次結合で
定義して、無限級数の絶対収束で｢単関数」の積分を定義し、可測関数が「単関数」
の一様収束極限であることを使う流儀は、この本が元ネタではないかと思うのだが…。
823 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 01:01]: コルモゴロフ・フォミンって日本語版と英語版どっちが
いいんですか？日本語版のほうが中身が多いって聞いた
ことがあるんですが。
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/23 12:44]: つか結局>>693ってどっちなの?

webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773
webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00664006

この辺によると Elements のほうっぽいのだが…。
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/23 12:57]: >>823
webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773
には原書第4版(Москва : 《Наука》, 1976)の全訳って書いてるけど、
www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486406830/
には 1957 ed. って書いてある。

なんかでも、Introductory Real Analysis のほうが新しいみたいだな。
Introductory Real Analysis は新しい版の訳なのかな?
826 名前：１３２人目の素数さん [03/12/26 17:58]: 加藤敏夫の「位相解析」ってどうなんですか？
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/29 06:43]: ``Introductory Real Analysis'' from Dover looks so different from the books from Iwanami.
(First of all, it has only some 400 pages. The books from Iwanami consists of vol. I and II)
The other one might be the translated book.

Nihongo henkan ga sinjatta yo...
828 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 23:20]: 作用素環論における近年の研究の主流は何でつか?
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/10 06:44]: 220
830 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 02:40]: R^n上の凸集合の境界をA、R^n上のルベーグ測度をμとおくとき，
μ(A)=0
となりますか？
なるのならどういう方針で証明すると思いますか？
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/20 17:40]: >>830

eps^n の小箱で覆う方法が最初に思い浮かびますが
これでは証明できない簡単なありますか？
832 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 22:59]: >>831

それって有限個の小箱で覆うのですか？
また、どのような定理から覆えることが補償されるのでしょうか？
833 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 13:27]: age
834 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:15]: L^2(Ω)の定義をおしえてくらさい。
835 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:58]: うん？ルベーグ？なつかしい。
836 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 21:21]: >>834　（・３・）工エェー

Ｌ²（Ω）が定義できるためには、前提として、Ωには可測集合と測度が定義されていることが必要だＹｏ。
（Ω，Ｂ，μ）がこの測度だとするＹｏ。
ＫはＲまたはＣとし、ｐ≧１とするとき、
　Ｌ＾ｐ（Ω）：＝｛ｆ：Ω→Ｋ｜ｆはＢ可測∧∫_Ω|ｆ|＾ｐｄμ＜∞｝
だＹｏ。
837 名前：834 [04/01/25 21:29]: >836　ｔｈｘ。
一応自分なりにも調べてみました。
測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が

∫　|f(s)|^p dx < ∞
　Ω
を満たすとき f(x) はＬp(Ω)に入るという．ただし，1≦p＜+∞ である.

こんな感じでいいですかね？
838 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 21:33]: パロマ湯沸器は世界初の不完全燃防止装置を開発。以来今日まで、25年間不完全燃焼無事故！！
www.paloma.co.jp/products/kettle/kettle.html
の謳い文句を見て中古の湯沸し器を買った漏れなわけだが・・・　今のところ快適ﾓﾅｰ
839 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 22:29]: >>837
誤字を除けば、それでいい。

＞測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が
⇒測度空間Ω上の可測関数 f(x) が

＞∫　|f(s)|^p dx < ∞
⇒∫　|f(x)|^p dx < ∞
等

ちなみに、Ωの測度がμのとき、∫|f(x)|^p dx　は、μを明示して　∫｜ｆ｜＾ｐｄμ、∫｜ｆ（ｘ）｜＾ｐｄμ（ｘ）　等と書く方が無難
840 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/01/25 22:30]: フーリエ・ラプラス変換と演算子法、微分方程式での応用ついて、
コンパクトで原理的な解説の教科書って無いですか？テストまじかなので。
841 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 21:46]: スペクトル定理わからん。なにが言いたいんだ。
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/26 22:40]: スペクトルマン変身せよ
843 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 00:46]: 空手踊り
844 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:04]: >>839
積分における測度の明示の仕方って、

∫ |f|^p dμ、 ∫|f(x)|^p dμ(x)、 ∫|f(x)|^p μ(dx)

のどれがbestと思う？
845 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:29]: >>840
本当の意味で「原理的な」解説はみたことない。（だから自分でまとめようとした
ことはあるが）
テストのレベルならまあ適当でもいいんだろうけどさ…
漏れの認識はこうなので↓

・フーリエ変換とラプラス変換は実は同じ（実軸上のξで定義されたフーリエ変換
を上半平面に解析接続したものがラプラス変換）

・フーリエ展開とローラン展開は実は同じ（単位円の周上で定義されたξを内部
に解析接続）

・ミクシンスキー演算子法と漸化式（差分方程式）の生成関数法は実は同じ

・微積分法と和差分法（組合せ解析）は実は同じ。ラプラス変換とＺ変換（生
成関数法と同値）が対応し、超関数のレベルまでいくと演算子法（ミクシンス
キーはもちろん、線形微分方程式の一般解を求める演算子法）やグリーン関数
のレベルまですべて対応

・上記全ては同じ原理で統一できる
846 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:50]: >>841
有限次元の場合を理解すればいい。
線形作用素というのは、無限次元線形空間の上の線形写像だから、有限次元線
形空間の場合は行列のことになる。

単純な場合、対称行列（orエルミート行列）Aは、固有値をλ1,…,λn, 各固
有空間への射影行列をP1,…,Pnとすると、A = λ1P1 + … + λnPn とあらわせる。
これがスペクトル展開。

ちなみに、適当な境界条件をつけた関数空間で、ベクトルと思った関数を「直交基
底」sinnx,cosnxで成分表示したのがフーリエ展開だが、二階微分作用素A=d^2/dx^2
が（適切な設定のもとで）「エルミート」になり、その固有値nの固有空間が{sinnx,
cosnx}になる。フーリエ展開と二階微分方程式の相性がいいのは、作用素の「対角
化」になってるから。
（細かい問題はいろいろあるが、認識論だけなら小針「確率・統計入門」（岩波）の
真中へんに「フーリエ変換」という短い解説がある。あと、志賀30講シリーズ
の「固有値問題」あたりもわかりやすい。）
847 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/01/27 17:07]: Re:>>837
それはp乗可積分の説明でしかない。
L^pというのは、p乗可積分関数全体のなす集合の、{殆ど至る所0となる関数}による類別によって定義される。
どうしてこんな面倒なことをするかと云うと、L^pにノルムの構造を入れたいからだ。
L^pの元[f]の代表元をfとするとき、汎関数
||[f]||_p=(∫|f|^pdμ)^(1/p)
によってノルムが与えられる。同値類をとらないと、セミノルムにしかならない。
(ちなみに、通常はL^pの元は同値類らしい書き方がされていない。通常の関数と同じに書くことが多い。これは初心者が引っかかるところだ。)
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 00:12]: ほとんどいたるところ一致する関数を同一視するのって、ルベーグ測度論やったあと
ではかなり自然に思えるけど、リーマン積分できない関数として有名な、[0,1]の有理
数全体の定義関数（有理数で1,無理数で0）も、なんのことはない、いたるところ0と
いう連続関数と同値になってしまうんだよね。
　初学者の頃ってこういうあたりの感覚的理解があいまいだったりするかも。
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 15:19]: 伊藤清三の『ルベーグ積分入門』の定理4.2(p.19)の証明って
かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
を詰めるのは結構面倒な気がする。
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 00:08]: >>849
>かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
>を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
>場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
>を詰めるのは結構面倒な気がする。

なんで？あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が∞のと
きはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、測度も同じま
まだからべつにかまわない）。
851 名前：１３２人目の素数さん [04/01/29 02:44]: >>849
飛躍はないと思うけど、伊藤清三のこの部分の運びは気に入らないな。

この定理（定理4.2）はユークリッド空間のルベーグ測度構成の基本部分（一般に、
有限加法族F上の測度mが完全加法的ならば、mをFの生成する完全加法族σ(F)上の
完全加法的測度に拡張できるので、ユークリッド空間の場合は区間塊が作る有限
加法族F上で普通の体積mがF上完全加法的であることを示すことが基本になる）。

（なお、この証明にはどうしても(4.21)式＋有界閉集合のコンパクト性が必要で、
その部分がもっとも本質的。コンパクト概念のひとつの起源にもなった。）

それを、最初から非有界な区間塊を扱い、しかもいきなりスティルチェス測度の場合でや
るものだから、証明がいたずらに長くなってて、本質が見えにくい。

第一に、mが有限加法的測度であるとき
「mが完全加法性をもつ ⇔ mが完全劣加法性をもつ ⇔ mが完全被覆劣加法性をもつ」
で、これらは一般論で簡単に言えるので、そのことは分離したほうが見通しがいいの
に、伊藤清三は定理4.2の中でまとめてやっている。
（(第3段)をみると分かるように、結局は完全被覆劣加法性を示す。）

第二に、有限加法族Fとして有界な区間塊だけ考えても、どうせσ(F)は同じボレル集
合族になるのに、なぜわざわざ最初から非有界を含めて話を面倒にするのかがわからん。
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 09:53]: >>850
> なんで？あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が
> ∞のときはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、
> 測度も同じままだからべつにかまわない）。

m(I)はIが非有界な区間の場合には、それに含まれる有界区間Jに
ついてのm(J)の上限として定義されているのだから、Iが有界で
ない場合にもm(I)が成分毎の積で表されることが示されてなければ、
この成分に関する議論は通用しないでしょう。
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 13:23]: 続き。で、あるνについて区間左端が-∞、右端が実数b_νのとき、
その成分について、f_ν(b_ν) - inf f_ν(x)がf_νの単調増加
から出てくるわけだけど、やっぱり一言欲しいというのが感想です。
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:11]: >>852
ああなるほど。Iが非有界な場合のm(I)を、成分ごとのsupの積として定義してあれば
よかったのかな。
　あるいは伊藤の定義とこの定義が同値であることを先に示しておくとか。

　教科書は注意して書かないと非本質的なところでひっかかられるものなのだなあと
いう感想を持った。（非本質的部分だからこそ深く考えずに書いてしまうわけだが。）
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:23]: 折れの思い出。講義でルベーグ測度→ルベーグ積分のあと、変数変換公式の証明が
あった。ヤコビアンがかかるやつ。で、その証明中で平行四辺形の面積が行列式で
表されることを自明として使っているのが気になった。解析概論でその証明を調べ
ると、平行四辺形の面積の定義を底辺×高さとして証明していた。
　しかし傾いた平行四辺形の面積のルベーグ測度は、座標軸に平行な長方形の合併
（区間塊）で覆って、その面積の下限で定義するんじゃなかったか？とすると、
その定義と初等的な面積の定義が一致することの証明が先に必要では？
　そのあたりの論理的整合性を深く考え始めるとだんだん混乱してきたので、講義
の先生に質問してみたが、「それは確かにそうだ」というだけで、具体的なことは
教えてくれなかった。「やればできる」が「たいしたことではない」ので「面倒」
だったのだろう。いまはわかる。

（有名な話として、lim(x→∞)(sinx/x)の証明はへたすると循環論法になるが、
それと似たようなものか）
856 名前：855 mailto:sage [04/01/29 15:26]: 訂正。lim(x→0)(sinx/x) ね。寝ぼけてる…
857 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/29 21:45]: （・３・）
伊藤先生のLebesgue積分入門はとても良い本だと思うが、可測関数の説明は晦渋だ。可測関数を普通に
　ｆ：（Ω，Ｂ）→（Ω’，Ｂ’）が可測　⇔　∀Ａ∈Ｂ’ ｆ＾（－１）（Ａ）∈Ｂ
と定義すれば、後の記述で結構簡単化できるところが各所ある。
伊藤先生は、なぜこの様な記述方法にしたのだろうか。
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/30 00:29]: >>857
たしかに伊藤流（測度→積分）ではそのほうがスマートな気がする。
基礎的な部分がところどころ洗練されてないような…。
（ちなみに漏れが気に入っているのは岩波「現代数学概説２」。）

まあ積分の導入をどうやるかによって、可測関数の定義はベストな選択が変わるとは思うが。
（>>717の(1)-(5)すべてのパターンが実際にある。）
859 名前：ド素人 mailto:sage [04/01/31 21:50]: 関数解析とルベーグ積分にどういう関係があるのですか？
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 22:09]: ルベーグ積分だと話が上手くいく。
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/01 01:26]: 積分で距離を定義した距離空間が完備になるというのが関数解析におけるルベーグ
積分の最大の意義かな。
862 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [04/02/04 04:31]: 高村多賀子’函数解析入門’なかなかイイと思って購入したが、
なんとｐ25に、’ルベーグ積分を仮定しないわれわれの立場’などと言う
台詞が。この本の位置付けってどうなんでしょう？
結構レベル高めと思って買ったが、そう思ったのは実は俺だけ？
あと、この本のスレを立てるか上げて欲しいんだが、見つからない。。。。。。
863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 04:42]: 君いつも本ばっか買ってるね。
864 名前：１３２人目の素数さん [04/02/04 15:18]: >>862
その本の専用スレなんて需要ないだろ。
865 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:53]: Re:>>862
吾は「測度論を介さずにルベーグ積分に類する演算を定義できる。」という話を知っている。
(Rietz(スペルが怪しい。)が導入した積分論らしい。)
866 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:54]: RietzじゃなくてRieszだった。
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 22:06]: 福田和也はちょっとねじゆるんでるとおもう。
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/05 01:38]: で、結局さ、どのルベーグ積分を勉強するにはどの本がいいのさ？
伊藤清三よりいい本ってあるの？
869 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/02/05 03:03]: ３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。
870 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:07]: リーマン積分は短冊をうーんと増やして足してるから
完全加法的測度ではないの？
DQNでスマソ・・・
871 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:36]: >>861
それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。

>>869 「３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。」
嘘だろ。その程度ですむのか？その程度ですむような
範囲でしか使わないなら構わないが。
伊藤清三は基本中の基本。あれは本当に基本的なことしか
書いてないから、あれだけで十分だと思ったら大間違いですよ。
872 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/02/16 22:58]: >>870
そういうこと。リーマン測度は、有限加法的測度。
873 名前：870 [04/02/16 23:57]: >>872
レスありがとうございます。自分の表現がわるかったです。
リーマン積分は、短冊をうーんと（無限個まで）
増やしたのを足しているから完全加法的ではないかと思うのですが・・・。
ということなんです。
どうやらこの解釈は違うのですね・・・
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/17 00:48]: あげ
875 名前：870 [04/02/17 06:21]: リーマンは最初に有限個で覆ったのち、それを無限まで飛ばしてるだけだから有限加法的測度。
（だから[0,1]の有理数点は最初に有限個で覆えず、外測度と内測度が一致しない｡）
ルベーグはいきなり最初から加算無限個で覆えちゃう。これが完全加法的。
ということか！
間違ってたら指摘お願いします｡一人でうだうだすみません。
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 10:16]: >>875
いいんでない。
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 11:42]: >>871
>それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
>統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。

それはどっちかっていうと関数解析における意義というより、確率論における意義だ
ろう。汎関数積分にしても確率論的色彩が強いし。
関数解析で抽象積分が要ることはないではないけどさ。（連続スペクトルの積分とか）
878 名前：１３２人目の素数さん [04/03/04 16:52]: ２つ質問させていただきます。
(A)
「ほとんどいたるところで成立する」の定義が本によって違うのですが、
どちらが正しいのでしょうか?
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数列fn(x)がm-a.e.x∈Xで関数f(x)
に収束する、すなわちlim(n→∞)fn(x)=f(x) m-a.e.x∈Xを例に挙げます。
(1)A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}とおくと、m(A)=0が成り立つ。
(2)m(E)=0を満たすある集合E∈Fの点を除くすべての点x∈Xで
lim(n→∞)fn(x)=f(x)が成り立つ。
A⊂Eかつm(E)=0なので、Aがm-零集合であることが分かります。
(2)においては、(X,F,m)が完備測度空間またはf(x)が可測関数でなければ、
m(A)=0であることは言えないと思います。
そこで、次の質問です。
(B)
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)がm-a.e.x∈Xで関数g(x)に
等しい時、すなわちf(x)=g(x) m-a.e.x∈Xである時、
g(x)は可測関数である。これは正しいのでしょうか?
(B)に関しては、正しければ証明をお願いしたいです。
「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。
879 名前：878 [04/03/05 14:33]: 追加です
｢ただし、(X,F,m)は完備測度空間でないものとします｣
880 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 14:59]: >>877　ちゃうちゃう全然。関数解析だろうが確率論だろうが
関係ない。
汎関数積分？確率積分のことか？確率積分は
ルベーグ積分が前提だぞ。
連続関数の空間の上で積分するにはルベーグ（式）積分が必要だぞ。
関数解析での「抽象積分」ってなに？
連続スペクトルの積分？「スペクトル測度」による
ルベーグ（式）積分のことか？
ボホナー積分は関数解析では必須。その基礎となるのは
ルベーグ（式）積分論だよ。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:04]: 880は知識が狭いんとちゃう？
882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:31]: >>878
(A)について
(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば可測になる
ので、どちらの定義でもよい。
理由： A = ∪[ε>0] ∩[N≧1] ∪[n≧N] {x∈X ; |fn(x) - f(x)| >ε }
と書けることに注意すればわかる。（ε>0のところは、εn→0となる適当な可
算列で十分であることにも注意）

(B)について
測度空間が完備でない場合、成り立たない。
反例：Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。gとしてE'の
定義関数をとれば、gは可測関数f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。

測度論の理解を深める役に立つ良い質問と思いますが、ひとつだけ気になった
記述：

>「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
>等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。

各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでもなく
自明では？
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:45]: (A)については
(1)のAは確かに可測でない場合がある。
m(A)=0というのは、
Aが可測であってさらにm(A)=0だといってるんだと思う。
これが成立すればf(x)は可測関数でもある
(2)のほうが普通の定義だと思うね
(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。

P(x) a.e.の意味を普通は
m({x:P(x)でない})=0
ではなくて
∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立
と定義するのと同じこと
884 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:33]: >>881
理由は？
885 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:43]: ８８１　君の知識を披露してくれ。何も知らないと思うが。
886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 18:00]: >>883は>>881と逆の主張をしている？

＞(1)のAは確かに可測でない場合がある。
＞(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。

証明というか例キボン。
887 名前：886 mailto:sage [04/03/05 18:01]: 間違えた
>>883と>>882の話ね
888 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:53]: (1)はコピペですまぬが
Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。fとしてE'の
定義関数をとれば、f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。
さらに、fn≡0 on X とすれば
A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}={x∈X:0≠f(x)}=E'
なのでAは可測ではない。
というか>>882 が同じこと書いてる気がする
一方、(2)はこの場合でも成立する
889 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:58]: ＞これが成立すればf(x)は可測関数でもある
ｽﾏｿ、これは嘘だ釣ってくる
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 20:20]: なんかややこしくなってきたので、事実をまとめよう。
・fnが可測関数ならば、f=limfnも（存在する限り）可測関数である。（cf.伊藤清三定理10.6）
・fn,fが可測関数ならば、A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}は可測集合である。cf.>>882
・fnが可測関数でも、fが可測関数でないならば、Aは可測集合とは限らない。cf.>>888
・P(x) a.e.の定義は、通常「∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立」とする。
・f=limfn a.e.を考えるときはfはX-E上でのみ定義されたものと考えるようである
（たとえば伊藤でegoroffの定理10.9の記述を、>>888の例を念頭において読むとよくわかる）。

伊藤のように「fとfnを別々に与える場合はつねに各点収束で考え、a.e.収束におい
てはfはlimfnにより定義された場合だけ考える」ようにして議論できるので、これで
問題はない。（一番上の主張のfは各点収束で定義されていることに注意）
しかしそれだと、「fとfnをX上の関数として別々に与えてa.e.収束を問題にする」よ
うな場合の記述が不便ではある。

P(x)a.e.を「A={x;P(x)が成立しない}とおくときAが可測でm(A)=0」と定義したほう
が本当はすっきりするように思うがどうだろう。（この定義だと>>878の質問(B)も真
になる。）
891 名前：883 mailto:sage [04/03/05 21:16]: ＞この定義だと>>878の質問(B)も真になる。
漏れも一瞬そう思ったが、それは間違ってる。
例えば、B,C を互いに交わらない非可測零集合で、B∪Cは可測集合とすると
0=χ_B(x)-χ_C(x) a.e.
だけど、右辺は可測関数ではない
892 名前：890 mailto:sage [04/03/05 21:35]: >>891
おおなるほど、おっしゃる通り。
893 名前：878 [04/03/06 02:56]: 質問のお答えありがとうございます
>>882
(A)について
>(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば
可測になるので、どちらの定義でもよい。

少し分かりづらかったかもしれませんが、f(x)が可測関数であるという
条件は付けていません。したがって、｢(1),(2)のどちらの定義でもよい｣
となるためには、｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度
空間である｣でないといけませんよね?

(B)について
>測度空間が完備でない場合、成り立たない。

その通りだと思います。
逆に、測度空間が完備な場合は成り立つと思います。

>各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでも
なく自明では？

すいません。少しぼけてました。
実は(B)のf(x)の部分はlim(n→∞)fn(x)だったのですが、勝手にf(x)に
変えたら、自明になってしまいました。

>>883
そう、(2)の方が弱い定義なんだよなあ。
だから、(2)を定義とするときは、上にも書いたように、｢f(x)が
可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
と思います。
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 10:40]: >>893を補足しておくと、
＞｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
＞条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
というのはたしかにそうだけれども、本で(1)を使う場合は>>890にあるようにf(x)
はlimfn(x)によって定義されたものと考えているはずで、そのとき>>890の一番上
にあるようにf(x)は可測になる。
limfn(x)が定義できないxがある場合にどう約束するかとか、∞という値を許すか
どうかなどで、主張の記述に微妙な差が生じ、微妙だがtrivialでない問題を含む
のだが、そのへんを明確に書いてある本はほとんどない。>>893はそのあたりのひ
とつを浮き彫りにするいい指摘と思う。
（漏れも同様の問題意識から、｢単調収束定理」と「Beppo-Leviの定理」が本質的
に異なる主張であることに気づいたときは愕然とした）
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:43]: f=g&g=h&f!=h
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:52]: 435
897 名前：１３２人目の素数さん [04/03/11 12:26]: ルベ－グ積分入門（州之内治男）で質問です
この本は階段関数の積分の拡張として（測度論を使わずに）積分を定義するのですが、
測度0の集合の定義を階段関数の列の積分で言い換えたものらしいのですが

集合　Ｚ⊂（a,b）が測度0　⇔
任意のεに対し、階段関数の増加列
(3)　0≦φ1^(ε)≦φ2^(ε)≦φ3^(ε)・・・・
を選び、しかも
(4)　∫[a,b]φn^(ε)dx<ε
(5)　(Sup_n)φn^(ε)≧1　x∈Z
とできる

と書いてあります
最後の(5)はSupではなくてInfのような気がするのですけど。
898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/11 12:30]: 木の精。
899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 06:54]: >>144
無いけど、去年の話か・・・
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 15:22]: >>899
不存在証明ってどうやるの？
901 名前：ペプシ工員 mailto:sage [04/03/13 17:31]: >>900
science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/732
902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:00]: >>901
(2) だけれど、空でない R の G_δ集合ではなく R で稠密な G_δ 集合が正しい。
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:50]: >>897
その命題の証明をちゃんと読めば分かるはずだが、直観的にピンとこないというの
であれば、次のことに注意すればよい：

単調非減少を仮定しているから (Inf_n)φn^(ε)は有限個のφnにしか関係しないが、
(Sup_n)φn^(ε)は無限個のφnに関係する。
あるいは、limφn^(ε)=(Sup_n)φn^(ε)だから、と言えばよいか？
904 名前：|дﾟ) [04/03/18 04:24]: 最近サイエンス社から出た吉田善章氏の「応用のための関数解析」は結構いいかも．age
905 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 20:41]: 確率論以外では測度空間は大抵位相空間にもなっている。
だからラドン測度が重要だと思うんだが、これについて
扱ってる本って少ないよね？　さらにHaar測度も非常に基本的かつ
重要なんだが、これを扱った本も少ない。
906 名前：１３２人目の素数さん [04/03/19 05:59]: 売れそうもないから
907 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 18:19]: リーマン「おい、おまいら！！積分できない関数発見しますた。集合しる！」
ジョルダン「詳細キボンヌ」
リーマン「上積分と下積分の値が違いますが、何か？」
ジョルダン「積分不可能な関数ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
カラテオドリ「ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
ルベ－グ「リーマン積分ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ」
カラテオドリ「オマエモナー」
ジョルダン--------終了-------
リーマン --------再開-------
ジョルダン「再開すなＤＱＮが！それより積分の改善うｐキボンヌ」
ルベ－グ「外測度うｐ」
リーマン「↑誤爆？」
カラテオドリ「ルベ－グ可測集合キボンヌ」
ルベ－グ「ほらよルベ－グ可測集合age＞関数」
リーマン「神降臨！！」
カラテオドリ「可測集合の別定義age」
ルベ－グ「糞定義ageんな！sageろ」
カラテオドリ「より抽象化した測度論age」
ジョルダン「抽象概念uzeeeeeeeeeeee！！」
ルベ－グ「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」
グロタン「イタイ名前の数学者がいるのはここですか？」
カラテオドリ「氏ね」
ルベ－グ「むしろゐ㌔」
カラテオドリ「可測集合age」
グロタン「空　手　踊　り　、　必　死　だ　な　（　藁　）

2ch + 数学 = ?
science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1078753069/
908 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 11:36]: 笑った
909 名前：１３２人目の素数さん [04/03/31 19:51]: 洋書の入門書で、

Introductory Real Analysis (Kolmogorov and Fomin)
Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (Kolmogorov and Fomin)

Real Analysis (Royden)

Real and Complex Analysis (Rudin)
Functional Analysis (Rudin)

みたいのがあると思うんですが、
読んだことある人います？
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/31 19:56]: 積読。実際に読んでる人もいっぱいいるだろうけど、何が訊きたいの?
911 名前：909 [04/03/31 20:13]: 伊藤清三なんかと比べてどこが良いとか悪いとかですね。
912 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:31]: 測度論では測度空間の定義に
集合Ｘ　Ｘ上のσ体Ｍ　Ｍ上の非負かつσ加法的な集合関数μ
が与えられた時この組（X,M,μ）を測度空間、μを測度（後は略）とよぶ

となってますが、
R^n上のリーマン測度などを考えると
明らかにリーマン可測な集合の全体の集合はσ環ではありませんし
リーマン可測な集合族に対してだってσ加法的ではないです

てことはＲ^n上のリーマン可測な集合全体の集合やリーマン測度の組
(R^n.M,μ)などは測度空間とはいわないのでしょうか
またリーマン測度μも一般的には測度のうちには入らないのでしょうか
913 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 14:40]: Re:>>912 吾はジョルダン可測とルベーグ可測は知ってるが、リーマン可測って何？
914 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:50]: ～を面積確定あるいはリーマン可測（あるいはジョルダン可測）と呼ぶ　らしいです。
915 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 15:08]: Re:>>912 リーマン測度の場合は、有限加法的測度空間になるだろう。
916 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 15:26]: 測度空間──┬──完全加法的
　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　└──有限加法的

ってことですか？
917 名前：１３２人目の素数さん [04/04/03 20:26]: 複素関数のルベーグ積分はありますか？
918 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/04/03 22:50]: あります。
919 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 10:50]: R^kにおいて
ボレル集合全体⊂可測集合全体⊂部分集合全体
ですよね

可側ではない集合に付いては色々考察されてますけど
ボレル集合ではない可測集合ってあるんですか？
あるとしたら具体的にどのような集合になるのでしょう
920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/05 16:07]: >>919
吉田洋一著「ルベグ積分入門」新数学シリーズ23 培風館 1965
付録反例そのほか §7. ルベグ可測な集合はボレル集合であるとは限らない
921 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 20:28]: ∫fXQdx+∫fXQcdx=∫1XQdx+∫0XQcdx=1*m(Q)+0*m(Qc)=0
922 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 14:03]: X, Yが位相空間でZ=X×Yが直積位相空間のとき、Zのボレル集合族が、
Xのボレル集合とYのボレル集合の直積全体から生成されるσ-集合族に
一致するためには、XとYが第2可算公理を満たせば十分だと思うんですが、
これって必要条件でもありますか？
923 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 14:17]: Re:>>922 有限直積の場合は直積位相空間と箱型位相空間が一致する。
σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、
これをどうやって示せばいいのかを考察することにしよう。
924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 14:51]: >>923
> σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、

これは一般に言えますが、こっちは？

B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

O(X), O(Y), O(Z)をそれぞれX, Y, Zの開集合系とすると、一般には
O(Z)は開集合の筒集合の必ずしも可算とは限らない任意個の和になる
ので、可算和と可算共通分、及び補集合演算(まとめてススリン演算で
良かったのかな？)で、そもそもO(Z)自身が得られるとは限らないような。
925 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 15:12]: お前等こういう話してて面白いと思ってるの？
926 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 15:34]: Re:>>924 箱型位相、直積位相で同じO(Z)が得られる。
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49]: ￢（∀ｘ（Ａ（ｘ）⇒Ｂ（ｘ））≡∃ｘ（Ａｘ）∧￢Ｂ（ｘ）
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49]: いやだから、箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その
「任意個」の和集合を開集合にするんでしょう？可算和ならばB(Z)
に入ることは定義から言えるけど、非可算和だとB(Z)に入らないZの
開集合が存在する可能性があるのでは？で、第2可算公理があれば、
O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて
Z自身第2可算公理を満たすから、O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))となって
等号成立となると。

う～ん。間違ってるのかなぁ？
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:01]: >>928
> O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて

「筒集合」じゃなくて「箱集合」だったかな？すんません。用語を忘
れてしまった。要するに開集合の直積。
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:20]: ああ、完全におかしい。B(Z)じゃなくてσ(B(X)×B(Y))だ。再び訂正。

箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その「任意個」の和集合を
開集合にする。可算和ならばσ(B(X)×B(Y))に入ることは定義から言える
けど、非可算和だとσ(B(X)×B(Y))に入らないZの開集合が存在する可能性
があるのでは？で、第2可算公理があれば、O(Z)の基底で開集合の直積から
なる可算なものが取れて、Z自身第2可算公理を満たすから、

O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) ⇒ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

となって等号成立。
931 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 19:15]: Re:>>930 ルベーグ測度のときは、ユークリッド空間が可分であることを使っていた。
第二可算公理を仮定する必要が無いような気がするが、どうか？
932 名前：１３２人目の素数さん [04/04/19 09:37]: ルベーグ測度って案外難しいのね・・・。
933 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/19 12:50]: Re:>>932 ボレル測度、ルベーグ測度、ともに難しい。
ジョルダン測度はどうだろう？
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/19 13:39]: >>931
距離空間だから可分と第2可算公理が同値。一般の位相空間では
そうはいかないでしょう。勿論ヒルベルト空間やバナッハ空間の
ようなノルム空間ならば、可分であればいいわけですが。ええと、
取りあえず知りたかったのは

O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

から位相空間(X, O(X)),(Y, O(Y))が第2可算公理を満足することを
言えるかどうか、です。あるいは、第2可算公理を満たさない位相
空間の直積位相空間でボレル集合族がボレル集合の直積全体から
生成されるような例があるのか。
935 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/04/20 14:00]: ｜Ｚ｜＜｜Ａ｜でＢ⊂ＡがＢ＝Ａまたは｜Ｂ｜＜｜Ｚ｜のとき
ＢはＡの閉集合とするとＡは位相空間。
936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/20 14:21]: >>935
誤爆？それとも非可算濃度の集合を考えるとA×Aが>>934の例になるの？
937 名前：１３２人目の素数さん [04/04/20 17:14]: ここのルベーグ測度論入門って、わかりやすくないですか？

www.s.fpu.ac.jp/u-sano/pdf.html
938 名前：１３２人目の素数さん [04/04/21 07:49]: >>937
うん、非常に分かりやすい。カラテオドリーの可測性の定義の
導入方法が優れている。普通の測度論の本はここが説明不足だな。
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/01 22:07]: 712
940 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:29]: せっかくなら１０００目指せよバカ。
941 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:30]: せっかくなら１０００までがんばれよバカ
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 02:27]: すみません、数学は全然専門外の者ですが…
ディラックのデルタ関数って、ルベーグ積分するとゼロになりそうな気がするのですが、
なぜ１になるのですか？？
いや、デルタ関数の定義の問題なのかもしれませんけど
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 05:00]: そもそも、どうやってルベーグ積分すればいいのですか？
944 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 18:26]: >>942とは違いますが、最近全く同じ事を考えてます
超関数なんてまだ手もつけてませんが
理論的にどの様に構成するのか教えてもらえませんか？
945 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 19:32]: デルタ関数は関数ではありません。したがって、積分はできません。
デルタ関数をちゃんとした実体として捕らえたければ、
超関数をやるしかありませんし、超関数の理解にはルベーグ積分の
理解は欠かせません。今はとりあえず、連続関数と一緒に
「形式的に積分」したら積分の値が、連続関数の原点での値になる、
そんな、仮想的な「関数」と思って計算方法だけﾏｽﾀｰするのも
いいかと思います。
946 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/05/13 22:25]: Re:>>944 超関数とは、Schwarzのdistributionでいいのかな？
無限回連続的偏微分可能でコンパクトサポートを持つ関数全体の集合を(D)としよう。
(D)の点列f_1,f_2,…が(D)の元fに収束することを、
supp(f_1),supp(f_2),…がある一定のコンパクト集合の部分集合で、
各偏導関数∂^αf_1,∂^αf_2,…が、∂^αfに一様収束することとして定義する。
distributionとは、(D)→Rの連続線型汎関数のことである。
(まぁ、初学者はこの説明だけでどうして「超関数」なのか理解できないとは思う。
その辺に関しては、先ずはf(x)→f(u)=∫f(x)u(x)dxという対応関係
から学んで慣れることを勧めよう。)
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 23:33]: スレを全部読みました。

今年からルベーグ積分（関数解析と確率過程論と熱方程式、全部別の講義）を習うことになったのですが、
測度論をやらずに、積分から始める先生で、
来週にH^+上でのα<∞倍、そして引き算をやれるようになるそうです。（これが『積分の加法性の証明』or『エゴロフ』なのでしょう）

「積分が先、測度が後」なら溝畑を読んでおけばいいのかな？
学校で探してみますが…

これからこのスレに厄介になります。
948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 01:28]: >>947
　いわゆるDaniell積分でしょうか？ブルバキの「積分」がこの方法ですね。
この方法でやる場合は、底集合には位相が入っていてしかも局所コンパクトであると仮定する
ことが多いですが、そう仮定しない（位相空間であることも仮定しない）方法もあります。
　いわゆるDiniの性質、すなわち0に各点収束する単調減少な可積分関数の積分は0に収束する、
という性質を公理にすると、底空間に位相を入れなくてもルベーグ式の積分が展開できます。
講義で行われるのはどっちの方法でしょうか？
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 02:09]: Diniって言葉は出てきましたが、あなたのおっしゃっていることが正直全然理解出来ません。
学部３年の講義なので、その辺はお手柔らかに。

講義のノート見て、単語拾っておきます。
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 07:26]: >>いわゆるDaniell積分でしょうか
一番最初の講義でそれを書いてました、あれだけの情報でよく分かりますね…。

参考書として志賀浩二『ルベーグ積分３０講』が挙げられていました。

この先生の例え話が面白かったのでちょっと書きます。
Riemann積分は小さな丘で誰でも登れる、そしてLebesgueは大きな大きな山、エベレスト級なので登るにはそれ相応の覚悟が必要、
そして何よりRiemannとLebesgueの間には測度論という断崖絶壁があり、ここで命を落とす人が大半。
そこで、地図をよく見てみると、実はRiemannとLebesgueの山の尾根が小さな道ではあるがつながっているのを発見、
そこでRiemannからLebesgueへ山の頂上を介して行き、Lebesgueの山を下りて、最後に断崖絶壁の測度論へ向かおうと。
951 名前：１３２人目の素数さん [04/05/14 23:01]: うまい表現だな
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 00:50]: 先生にも伝えておきます。(w
953 名前：948 mailto:sage [04/05/15 01:11]: >>950
　「位相空間」のような抽象的な概念は習ってなかったのですね。失礼しました。
それでは実数の区間 [a, b] 上の積分で説明しましょう。
[a, b] 上で連続な関数の全体を F と書き、f∈F のRiemann積分を I(f) と書くことにします。
{ f_n } を F の元の単調減少列で、各点で 0 に収束するものとします。
このとき、解析学で有名なDiniの定理により、{ f_n } は一様に 0 に収束し、したがって I(f_m)
も 0 に収束します。
　この性質を用いると、F の（単調減少とは限らない）列 { f_n } で、Σ I(|f_n|) ＜ ∞ となるよ
うなものに対する Σ f_n という級数を考えると、これに x を代入した Σ f_n(x) という級数は、
x の値によって収束したりしなかったりしますが、絶対収束する点でその極限値、それ以外の点で
任意の値を与えて得られる関数 f のことをDaniell積分可能な関数といって、f の積分を Σ I(f_n)
で定義します。上のDiniの定理の性質によって、この定義がell-definedであることが証明できます。
　このDaniell積分はLebesgue積分と同一のものであることが知られていますが、Daniell積分では
測度の概念を導入せずに積分が定義できるので、初心者にはとっつき易いと思います。
954 名前：１３２人目の素数さん [04/05/28 12:33]: 109
955 名前：１３２人目の素数さん [04/06/03 03:59]: 683
956 名前：１３２人目の素数さん [04/06/10 16:16]: 457
957 名前：１３２人目の素数さん [04/06/15 14:05]: あげようかな。
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 14:22]: test
959 名前：１３２人目の素数さん [04/06/22 22:21]: Bを反射的(B**=B)とは限らないバナッハ空間として、
D≡domain(A)がBでdenseなdomain(A)→Bなる非有界閉作用素とします。
D*={μ∈B*|あるη∈B*が存在してμ(Au)=η(u) for all v∈D}
と定めることによりB*の部分空間D*を定めることができますが、
Aのadjoint operator A*をD*→B*なる作用素でA*μ=η
で定めることにします。もちろんηは存在すれば一意なのでwell-defind。
こうすることによって非有界作用素のadjointを定義できますが、
このときA*もまた非有界になるというのはどうやって示したらよいですか？

ヒルベルト空間の場合については多くの本で言及されています。
また反射的バナッハ空間の場合も証明できると思います。
問題は反射的とは限らないバナッハ空間の場合で、主張が正しいかすら
わかっていません。ですがまだ反例も構成できていないので、
なんともいえません。ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。

A*はA^*を省略して書いたものです。A*μが少々ややこしい記述ですみません。
960 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/22 22:28]: Re:>959
A*が有界ならば、A**も有界である。
そして、BをB**の部分集合であると見て、
A**の定義域をBに制限すると、それはAになる。
…とりあえず作戦を練ってから書き込むことにするか？
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/25 18:27]: ルベーグ積分の「無矛盾性」を証明した人っているんだろうか？
962 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/25 22:32]: Re:>961 それが知られていないことは確かだ。
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:04]: ルベーグ積分に矛盾があることが発見されたら一大事だな（ｗ
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:29]: ルベーグ積分の無矛盾性って意味がわからんのだが。
965 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 08:18]: ルベーグ積分の土台となる(?)
測度論に対してのひとつの疑問。
σ加法性(互いに交わらない可測集合の可算列{E_{n}}に対して、∑m(E_{n})=m(∪(E_{n}))が成り立つ。)
は何故認められるのか？
[>961]の言うことには、これが関係しているのだろうか？
966 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 09:52]: [0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,7/8),[7/8,15/16),‥
の Lubesgue measure が1になってほしいとかいう願望が
あったりするのでは。
967 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 13:51]: Re:>966 それは大して問題にならない。

どこかに同じ事書いてあるかもしれないが、
有理数全体を亘る列{q_{n}}(有理数全体の集合は可算集合だからそういう列ができる。)
をとって、区間の列(q_{n}-2^(-n-1),q_{n}+2^(-n-1))をとる。
これ全体の和集合のルベーグ測度が1以下になるということを貴方は認められるか？
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 16:05]: 認められる。
969 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 16:35]: 私は有限加法性までなら認められる。
だが、σ加法性を素直に認めるのは少々危険である。
(しかしそうは言ったが、私も測度論からルベーグ積分に入った。)
970 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 16:37]: ジョルダン測度では決して分かり得ないこと。
971 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 16:58]: 学部２年の俺にはさっぱり
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:08]: >>969
区間 { －１ ,１ } において、区間 { －１/2 ,１/2 } 内の有理数全体を亘る列{q_{n}}について、
>>967 と同様のものを考えて、967 のものと比べて見たらどうなるか？
若干面倒かな。多分危惧は消えよう。
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:11]: >>971
有理数の加算列を図形的にイメージできんのか？
学部２年だろう、しっかりしろ。
974 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 18:30]: >>973
学部２年でルベーグ積分学ぶの？
975 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 18:36]: Re:>972 それは、[>967]から逃げているだけだよ。
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 18:57]: >>975
そうは見えんが。
977 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 19:01]: Re:>977
[>972]の考えをしたところで、[>967]が解消したわけではない。
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 20:05]: 測度論からではなく面積の考えから入っていくと自然に導かれたような…
＞σ加法性
979 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:05]: Re:>978 詳細は？
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 22:22]: ルベーグ積分の「無矛盾性」が証明されていないのなら、ルベーグ積分は将来つぶれることになる可能性が無くは無いわけだよね。
981 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 22:23]: ルベーグ積分の「無矛盾性」って、どういうことなの？
982 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:25]: Re:>981 私は文字通りに解釈しているのだが。

Re:>980 他の分野で無矛盾性が証明された例があるのか？
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 09:23]: 無矛盾性って普通「公理」に対して使われる言葉だろ。
で、ルベーグ積分の無矛盾性って何？
984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 19:05]: ルベーグ積分の場合、何が公理なのかがハッキリしてないな。何が公理なのかを明確にせずして、数学理論と言えるのか？？？
985 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/30 19:31]: Re:>984 ツェルメロの公理、実数の公理。他にはあるかな？
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 04:48]: >>980 >>984
ルベーグ積分論は通常の数学の体系の中で展開されてるわけで、
ルベーグ積分論に矛盾があったら数学に矛盾があるということ。

まあ、ルベーグ積分論を通常の数学よりも弱い体系
(ペアノの公理系を満たすものを作れない体系)で展開できるなら、
無矛盾性を証明できるのかもしれないけど。
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 05:19]: ↓次スレ立ててくれや
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 09:50]: 測度論を書き足せば不都合有るかのぉ？
989 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:05]: 次スレはまだか？
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:07]: >>989
解析専門のおめぇが立てれ
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:08]: >>989
それとも最近糞スレ立てたから漏れみたく新しくスレを立てれないのか？
992 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:11]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:14]: >>992
乙
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]: それでは埋めるか
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16]: Functional Analysis, Lebesgue Integral II
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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