- 878 名前：１３２人目の素数さん [04/03/04 16:52]
- ２つ質問させていただきます。
(A)
「ほとんどいたるところで成立する」の定義が本によって違うのですが、
どちらが正しいのでしょうか?
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数列fn(x)がm-a.e.x∈Xで関数f(x)
に収束する、すなわちlim(n→∞)fn(x)=f(x) m-a.e.x∈Xを例に挙げます。
(1)A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}とおくと、m(A)=0が成り立つ。
(2)m(E)=0を満たすある集合E∈Fの点を除くすべての点x∈Xで
lim(n→∞)fn(x)=f(x)が成り立つ。
A⊂Eかつm(E)=0なので、Aがm-零集合であることが分かります。
(2)においては、(X,F,m)が完備測度空間またはf(x)が可測関数でなければ、
m(A)=0であることは言えないと思います。
そこで、次の質問です。
(B)
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)がm-a.e.x∈Xで関数g(x)に
等しい時、すなわちf(x)=g(x) m-a.e.x∈Xである時、
g(x)は可測関数である。これは正しいのでしょうか?
(B)に関しては、正しければ証明をお願いしたいです。
「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。
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