- 790 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/18 03:29]
- 723 ：１３２人目の素数さん ：03/11/02 19:54
たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。
たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w
集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。
関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。
集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は
上からで、関数の場合は下からでやるのか。答えられるヤシいる？
亀レスだが、今重要なトコで同じ疑問に突き当たり、一つの考えが浮かんだので書いておく。
つーか、間違ってたら指摘キボンヌ。
可測な函数に対して単関数積分の単調増加列で面積を下から漸近させるとあるが、
つまり、
ｆｎ＝ｋ−1/２＾ｎ 但し ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
ＯＲ
ｎ 但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
でしたから近似するってことだよね。でも、よく考えたら、別の単函数の列
ｇｎ＝ｋ/２＾ｎ 但し ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
ＯＲ
∞ 但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
を考えたら、任意のｎで、∫ｆｎ＝＜∫ｆ＜＝∫ｇｎが成り立つ。
ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、
∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から
実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの?
逆に聞きたいのは、可測函数ｆが一様有界でない時や、∞の値を取る場合には、
今のように上下から単函数列でサンドイッチする作業が出来ない場合があると思うが、どうよ？
つまり、リーマン式で言う広義積分（＝積分もどき）になっちまう。でもルベ−グ式では特に二つの間に区別が無い。
これってなんかおかしくね？
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