- 715 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 20:39]
- >>709で気づいたこと。
その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で
ある「加法性」すら成り立たない。
（理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。
f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数
で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。
いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。
よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En)
でなければならない。
ここホントにこうなのですか？ｆとｇは単函数では無い気が。
値域を有限個に分割してその引き戻しを用いて変域を分割するのだから、
Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ２+・・・・Ｅｎと有限個の類の直和に表現されるはず。
なんか変。
