- 717 名前：709 [03/10/30 22:06]
- 余談だが、(X,M,μ)を（完全加法的）測度空間とするとき、X上の実数値関数
fが「可測」であることを、すべてのボレル集合Bに対しf^(-1)(B)∈Mとなる
ことで定義し、可測集合の定義関数の有限個の一次結合である関数を「単関数」、
可算個の一次結合である関数をσ-単関数とでも呼ぶことにすると、次の(1)〜
(5)はすべて同値であることに注意されたし。（証明は良い演習だろう）
(1)fは可測関数である
(2)fはσ-単関数列の一様極限である。
(3)fは単関数列の各点極限である。
(4)fは階段関数列のほとんどいたるところの極限である。
(5)fは階段関数列の測度的極限である。
さらに、Xがユークリッド空間の部分集合で、有限測度の場合は、次の(6)〜
(8)も同値。
(6)∀ε>0に対して、μ(E)<εとなるEが存在して、X-E上でfは連続関数列の
一様極限である。
(7)∀ε>0に対して、μ({x;f(x)≠φ(x)})<εとなるX上の連続関数φが存在する。
(8)fは連続関数列のほとんどいたるところの極限である。
