ガロア生誕200周年記念スレ part 6

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1 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/23(木) 09:04:21.71 ]: 2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
449 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 10:25:18.85 ]: 命題
G を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|G| = p^n とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
このとき Aut(G) は GL(n, Z/pZ)（>>444）に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
>>409より G は Z/pZ 上の線型空間と見なされる。
G は Z/pZ 上の線型空間として (Z/pZ)^n と同型である。
(Z/pZ)^n を Z/pZ 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
このとき GL(n, Z/pZ) は (Z/pZ)^n の Z/pZ 上の線型空間としての自己同型群と見なされる。
G の群としての自己同型は Z/pZ 上の線型空間としての自己同型である。
よって、Aut(G) は GL(n, Z/pZ) に同型である。
証明終
450 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 10:39:32.58 ]: 命題
N を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
σ ∈ Aut(N) と α ∈ N に対して写像 f：N → N を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
このとき、φ(σ, α) ∈ Sym(N)（>>6）である。
写像 φ：Aut(N)×N → Sym(N) は単射であり、
φ(Aut(N)×N) は Sym(N) の部分群である。
さらに φ(Aut(N)×N) は AGL(n, Z/pZ) （>>446）に同型である。

証明
>>449と>>445より明らかである。
451 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 11:53:16.56 ]: 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) を x^s と書く。
直積集合 N×H に次のような演算を入れる。
(x, s)(y, t) = (x(y^s), st)
このとき N×H は群となる。

証明
((x, s)(y, t))(z, u) = (x(y^s), st)(z, u) = (x(y^s)z^(st), stu)
(x, s)((y, t)(z, u)) = (x, s)(y(z^t), tu) = (x(y(z^t))^s, stu) = (x(y^s)z^(st), stu)
よって、((x, s)(y, t))(z, u) = (x, s)((y, t)(z, u))
よって、N×H は結合律を満たす。

(x, s)(1, 1) = (x(1^s), s) = (x, s)
(1, 1)(x, s) = (1(x^1), s) = (x, s)
よって、(1, 1) は N×H の単位元である。

(x, s) の逆元を求めてみよう。
(x, s)(y, t) = (1, 1) とする。
(x(y^s), st) = (1, 1)
よって、x(y^s) = 1、st = 1
よって、y^s = x^(-1)、t = s^(-1)
よって、y = (x^(-1))^(s^(-1)
よって、(y, t) = ((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) である。

これが (x, s) の逆元であることは次のように確かめられる。
(x, s)((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) = (1, 1)
((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1))(x, s) = (1, 1)
証明終
452 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 11:59:33.80 ]: 定義
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
>>451より N×H は群となる。
この群を N と H の ψ による半直積といい (N⊿H)_ψ と書く。
453 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 12:20:52.61 ]: 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
写像 f：N → G を f(x) = (x, 1) で定義する。
写像 g：H → G を g(s) = (1, s) で定義する。
明らかに f と g はそれぞれ単射準同型である。
このとき f(N) は G の正規部分群であり G = f(N)g(H)、f(N) ∩ g(H) = 1 となる。

証明
λ：G → H を λ(x, s) = s で定義する。
λ は準同型でありその核は f(N) である。
よって、f(N) は G の正規部分群である。
任意の (x, s) ∈ G に対して (x, s) = (x, 1)(1, s) である。
よって、G = f(N)g(H) である。
f(N) ∩ g(H) = 1 は明らかである。
証明終
454 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 12:28:24.10 ]: 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) を x^s と書く。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
写像 f：N → G を f(x) = (x, 1) で定義する。
写像 g：H → G を g(s) = (1, s) で定義する。
x ∈ N、s ∈ H のとき
g(s)f(x)g(s)^(-1) = f(x^s) である。

証明
g(s)f(x)g(s)^(-1) = (1, s)(x, 1)(1, s)^(-1) = (x^s, s)(1, s)^(-1) = (x^s, 1) = f(x^s)
証明終
455 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 12:55:37.91 ]: 命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。
過去スレpart1の537より G の任意の元 σ は σ = xs、x ∈ N、s ∈ H と一意に書ける。
g に (x, s) ∈ (N⊿H)_ψ （>>452）を対応させる写像を λ：G → (N⊿H)_ψ とする。
このとき λ は群としての同型である。

証明
λ は全単射であるから λ が準同型であることを証明すればよい。

s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) = sxs^(-1) を x^s と書く。

σ、τ ∈ G とし、
σ = xs、x ∈ N、s ∈ H
τ = yt、y ∈ N、t ∈ H
とする。

στ = (xs)(yt) = x(sy)t = x(sys^(-1)s)t = x(y^s)st
よって、λ(στ) = λ(σ)λ(τ)
証明終
456 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 14:01:44.95 ]: 次の補題は過去スレpart5の75の特別な場合である。

補題
G を群とする。
X を集合とする。
End(X) を X から X への写像全体とする。
f：G → End(X) を写像とする。
f は以下の条件を満たすとする。

（1）f(1) = 1

（2）任意の x、y ∈ G に対して f(xy) = f(x)f(y)

このとき f(G) ⊂ Sym(X) （>>6）である。

証明
任意の x ∈ G に対して
f(x)f(x^(-1)) = f(x^(-1))f(x) = f(1) = 1
よって、f(x) と f(x^(-1)) は互いに逆写像である。
よって、f(x) ∈ Sym(X)
証明終
457 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 14:08:07.07 ]: 命題
N をアーベル群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
(x, s) ∈ G に対して写像 f：N → N を f(u) = ψ(s)(u) + x で定義する。
この写像を φ(x, s) と書く。
このとき φ(x, s) ∈ Sym(N)（>>6）であり
φ：G → Sym(N) は準同型である。

証明
(0, 1) は G の単位元であり、φ(0, 1) = 1 である。

任意の u ∈ N と (x, s)、(y, t) ∈ G に対して

φ(x, s)φ(y, t)(u) = φ(x, s)(ψ(t)(u) + y)
= ψ(s)(ψ(t)(u) + y) + x = ψ(st)(u) + ψ(s)y + x
= φ(ψ(s)y + x, st)(u)
= φ((x, s)(y, t))(u)

よって、
φ((x, s)(y, t)) = φ(x, s)φ(y, t)

よって、>>456より φ(x, s) ∈ Sym(N) でありφ：G → Sym(N) は準同型である。
証明終
458 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 14:30:40.72 ]: 命題
N をアーベル群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
φ：G → Sym(N) を>>457で定義した準同型とする。
このとき Ker(φ) = {0}×Ker(ψ) = {(0, s)； s ∈ Ker(ψ)} である。

証明
φ(x, s) = 1 とする。
任意の u ∈ N に対して φ(x, s)(u) = ψ(s)(u) + x = u
よって、φ(x, s)(0) = x = 0
よって、φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、ψ(s) = 1
よって、s ∈ Ker(ψ)

逆に s ∈ Ker(ψ) のとき φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、φ(0, s) = 1
証明終
459 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 14:42:07.19 ]: >>455の修正

命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。
過去スレpart1の537より G の任意の元 σ は σ = xs、x ∈ N、s ∈ H と一意に書ける。
σ に (x, s) ∈ (N⊿H)_ψ （>>452）を対応させる写像を λ：G → (N⊿H)_ψ とする。
このとき λ は群としての同型である。

証明
λ は全単射であるから λ が準同型であることを証明すればよい。

s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) = sxs^(-1) を x^s と書く。

σ、τ ∈ G とし、
σ = xs、x ∈ N、s ∈ H
τ = yt、y ∈ N、t ∈ H
とする。

στ = (xs)(yt) = x(sy)t = x(sys^(-1)s)t = x(y^s)st
よって、λ(στ) = λ(σ)λ(τ)
証明終
460 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 15:35:55.67 ]: 命題
N を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ：H → Aut(N) を単射準同型とする。
このとき (N⊿H)_ψ （>>452）は AGL(n, Z/pZ) （>>446）の部分群に同型である。

証明
>>450と>>457と>>458による。
461 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 15:46:23.95 ]: 命題
G を群とする。
N をその正規部分群で指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|N| = p^n とする。
H を G の部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。
このとき ψ が単射であれば G は AGL(n, Z/pZ) （>>446）の部分群に同型である。

証明
>>459より G は (N⊿H)_ψ （>>452）に同型である。
>>460より (N⊿H)_ψ は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終
462 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 15:58:20.97 ]: 命題
G を有限可解群とする。
X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。
>>439より |X| は素数冪 p^n である。
このとき G は AGL(n, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
N を G の極小正規部分群（>>412）とする。
>>436より N は基本アーベル群（>>406）である。
>>443より N は X に正則（>>280）に作用する。
よって、|X| = |N| = p^n である。
x を X の任意の元とする。
H を G に関する x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。
>>447より G = NH である。
>>443より N は X に正則（>>280）に作用する。
よって、>>284より N ∩ H = 1 である。

Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。
s ∈ H のとき Int(s)(N) = N であるから Int(s) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(s) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。
>>448より ψ は単射である。
よって、>>461より G は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終
463 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 16:11:30.34 ]: 命題（Galois）
G を有限可解群とする。
X を素数次数（>>275）の忠実（過去スレpart5の843）かつ推移的（過去スレpart5の107）な
G-集合（過去スレpart5の77）とする。
このとき G は AGL(1, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
>>363より G は X に原始的（>>355）に作用する。
よって、>>462より G は AGL(1, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終
464 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 17:00:45.09 ]: 命題
G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。
X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。
このとき G は唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群 H を持つ。
H は G の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。

証明
G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。
よって、>>437より G ≠ 1 である。
よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）N を持つ。
>>436より N は基本アーベル群である。
>>438より N は X に推移的に作用する。
>>440より N は正則に X に作用する。
よって、|N| = |X| である。

H ≠ 1 を G のアーベル正規部分群とする。
N = H を示せば良い。
>>438より H は X に推移的に作用する。
よって、>>440より H は正則に X に作用する。
よって、|H| = |X| である。
N は G の極小正規部分群だから H ∩ N = 1 または H ∩ N = N である。
H ∩ N = 1 なら HN は G のアーベル正規部分群であり |HN| = |H||N| = |X|^2 となる。
他方 NH は正則に X に作用するから |NH| = |X| である。
これは矛盾である。
よって、N ∩ H = H である。
よって、H ⊂ N である。
|H| = |N| = |X| であるから H = N である。
証明終
465 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 18:24:45.55 ]: 定義
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。
σ ∈ G、x = (x_1、．．．、x_m) ∈ X^[m]（>>381）のとき
σx = (σx_1、．．．、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。
X^[m] が正則（>>280）な G-集合のとき
X を m 重強推移的（sharply m-transitive）な G-集合という。
466 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 18:48:57.01 ]: 命題
Z を有理整数環とする。
p を素数とする。
G = AGL(1, Z/pZ) (>>446) とおく。
X = Z/pZ とおく。
G は Sym(X) の部分群である。
よって、X は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合と見なせる。
このとき X は 2 重強推移的（>>465）な G-集合である。

証明
任意の b ∈ X に対して X 上の置換 x → x + b は 0 を b に写すから G は X に推移的に作用する。
H を G に関する 0 の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。
H は X 上の置換 x → ax 全体からなる。
ここで a ∈ X - {0} である。
任意の x、y ∈ X - {0} に対して y = ax となる a ∈ X - {0} が存在する。
よって、H は X - {0} に推移的に作用する。
よって、>>386より G は X に 2 重推移的（>>382）に作用する。
a ∈ X - {0} に対して ax = x となる x ∈ X - {0} が存在するなら a = 1 である。
よって、>>284より X は 2 重強推移的な G-集合である。
証明終
467 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 04:49:31.37 ]: 命題
N を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ：H → Aut(N) を同型とする。
このとき (N⊿H)_ψ （>>452）は AGL(n, Z/pZ) （>>446）に同型である。

証明
>>450と>>457と>>458による。
468 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:02:49.30 ]: 命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
π：G → G/N を標準射とする。
ι：H → G を包含写像とする。
このとき πι：H → G/N は同型である。

証明
f = πι とおく。
f(H) = NH/N = G/N であるから f は全射である。
Ker(f) = H ∩ N = {1}
よって、f は同型である。
証明終
469 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:13:06.81 ]: 命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
このとき G が可解（過去スレpart1の550）であるためには N と H が可解であることが必要十分である。

証明
必要性：
過去スレpart1の565より N は可解である。
過去スレpart1の560より G/N は可解である。
>>468より G/N は H と同型であるから H は可解である。

十分性：
>>468より G/N は H と同型であるから G/N は可解である。
よって、過去スレpart1の566より G は可解である。
証明終
470 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:16:59.70 ]: 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
このとき (N⊿H)_ψ （>>452）が可解（過去スレpart1の550）であるためには
N と H が可解であることが必要十分である。

証明
>>453と>>469による。
471 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:24:09.48 ]: 命題
N を素数位数 p の巡回群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
このとき Aut(N) は Z/pZ の乗法群 (Z/pZ)^* に同型である。

証明
>>449より明らかである。
472 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 05:24:42.02 ]: >>Kummer
うるせぇインキン野郎が
473 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:28:45.50 ]: 命題
N を素数位数 p の巡回群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
このとき Aut(N) は位数 p - 1 の巡回群である。

証明
>>471より Aut(N) は (Z/pZ)^* に同型である。
過去スレpart1の332より (Z/pZ)^* は巡回群である。
証明終
474 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 05:40:33.48 ]: 命題
p を任意の素数とする。
AGL(1, Z/pZ) （>>446）は位数 p(p - 1) の可解群（過去スレpart1の550）である。

証明
N を素数位数 p の巡回群とする。
H を N の自己同型群とする。
ψ：H → H を恒等写像とする。
>>467より (N⊿H)_ψ （>>452）は AGL(1, Z/pZ) に同型である。
>>473より H は位数 p - 1 の巡回群である。
よって、>>470より (N⊿H)_ψ は可解である。
|(N⊿H)_ψ| = |N||H| = p(p - 1) である。
証明終
475 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 06:38:23.89 ]: 命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
Aut(A^n) をアーベル群としての A^n の自己同型群とする。
H = GL(n, A) （>>444）とおく。
H は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。
よって、H ⊂ Aut(A^n) と見なされる。
ψ：H → Aut(A^n) を包含写像とする。
σ ∈ H と α ∈ A^n に対して写像 f：A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
>>445と>>446より φ(σ, α) ∈ AGL(n, A)（>>446）である。
このとき、(α, σ) ∈ ((A^n)⊿H)_ψ （>>452）に φ(σ, α) ∈ AGL(n, A) を対応させる写像
Ψ：((A^n)⊿H)_ψ → AGL(n, A) は同型である。

証明
>>445より Ψ は全単射である。
よって、Ψ が準同型であることを証明すればよい。

(α, σ)、(β, τ) ∈ ((A^n)⊿H)_ψ のとき
(α, σ)(β, τ) = (α + σβ, στ)

他方、>>445の証明より
φ(σ, α)φ(τ, β) = φ(στ, σβ + α)

よって、Ψ は準同型である。
証明終
476 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 07:28:25.74 ]: 命題
K を可換体とする。
GL(n, K) （>>444）は K^n - {0} に推移的（過去スレpart5の107）に作用する。

証明
x と y を K^n - {0} の任意の元とする。
x ≠ 0 であるから K^n の K 上の基底 e_1、．．．、e_n で x = e_1 となるものが存在する。
y ≠ 0 であるから K^n の K 上の基底 f_1、．．．、f_n で y = f_1 となるものが存在する。
σ(e_i) = f_i、i = 1、．．．、n となる σ ∈ GL(n, K) が一意に存在する。
このとき σ(x) = y である。
証明終
477 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 08:28:39.74 ]: 命題
K を可換体とする。
|K| ≠ 2 とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) （>>444）は K^n - {0} 上 2 重推移的（過去スレpart5の107）ではない。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x と y は K 上線型独立とする。
|K| ≠ 2 であるから α ∈ K - {0, 1} がある。
αx ∈ K^n - {0} で x ≠ αx である。
x と αx は K 上線型独立ではないから σx = x、σy = αx となる σ ∈ GL(n, K) は存在しない。
証明終
478 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 08:37:18.74 ]: 命題
Z を有理整数環とする。
K = Z/2Z とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) （>>444）は K^n - {0} 上 2 重推移的（過去スレpart5の107）である。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x ≠ y とする。
このとき x と y は K 上線型独立である。
よって、x と y を含む K^n の K 上の基底が存在する。
よって、>>476の証明と同様にして GL(n, K) は K^n - {0} 上 2 重推移的である。
証明終
479 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 08:40:35.49 ]: >>477の修正

命題
K を可換体とする。
|K| ≠ 2 とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) （>>444）は K^n - {0} 上 2 重推移的（>>382）ではない。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x と y は K 上線型独立とする。
|K| ≠ 2 であるから α ∈ K - {0, 1} がある。
αx ∈ K^n - {0} で x ≠ αx である。
x と αx は K 上線型独立ではないから σx = x、σy = αx となる σ ∈ GL(n, K) は存在しない。
証明終
480 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 08:43:23.13 ]: >>478の修正

命題
Z を有理整数環とする。
K = Z/2Z とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) （>>444）は K^n - {0} 上 2 重推移的（>>382）である。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x ≠ y とする。
このとき x と y は K 上線型独立である。
よって、x と y を含む K^n の K 上の基底が存在する。
よって、>>476の証明と同様にして GL(n, K) は K^n - {0} 上 2 重推移的である。
証明終
481 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 09:05:43.42 ]: 多重推移的（>>382）置換群の分類は長く未解決の問題であったが有限単純群の分類の結果を使って解決された。
英語版 wikipediaによると対称群と交代群以外の 4 重推移的な置換群は
Mathieu群と呼ばれる 4 個の群しかない。
対称群と交代群以外の 3 重推移的な置換群は無限個ある。
482 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 09:14:26.34 ]: >>481
>対称群と交代群以外の 3 重推移的な置換群は無限個ある。
有限体上の射影直線上の射影変換群
483 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 09:51:20.63 ]: 命題
K を可換体とする。
AGL(n, K) （>>446）は K^n に 2 重推移的（>>382）に作用する。

証明
任意の α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → x + α は 0 を α に写すから
AGL(n, K) は K^n に推移的に作用する。
σ ∈ GL(n, K) （>>444）と α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → σx + α を
φ(σ, α) と書く。
φ(σ, α)(0) = α であるから φ(σ, α)(0) = 0 なら α = 0 である。
よって、0 ∈ K^n の安定化部分群（過去スレpart5の93）は GL(n, K) である。
>>476より GL(n, K) は K^n - {0} に推移的に作用する。
よって、>>386より AGL(n, K) は K^n に 2 重推移的に作用する。
証明終
484 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 10:13:00.30 ]: >>481
ここでいう置換群は有限集合上の置換群のことである。
無限集合上の置換群では事情は異なる。
485 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 10:18:06.15 ]: >>484
は？ふざけんな！
486 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 10:38:36.61 ]: 命題
K を可換体とする。
AGL(1, K) （>>446）は K に 2 重強推移的（>>465）に作用する。

証明
>>483より AGL(1, K) は K に 2 重推移的（>>382）に作用する。
即ち AGL(1, K) は K^[2]（>>381）に推移的（過去スレpart5の107）に作用する。
x ∈ K - {0} を任意にとる。
>>284より (0, x) ∈ K^[2] の安定化部分群（過去スレpart5の93）が 1 であることを示せばよい。

任意の σ ∈ AGL(1, K) は K 上の置換 z → az + b である。
ここで、a ∈ K - {0}、b ∈ K である。
σ(0, x) = (0, x) とする。
即ち σ0 = 0、σx = x とする。
b = 0 であるから ax = x である。
x ≠ 0 であるから a = 1 である。
よって、σ = 1 である。
証明終
487 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 10:44:34.84 ]: >>485
意味不明
488 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 10:53:08.16 ]: >>487
いつまでたっても被災者に謝罪しないお前が意味不明だよ
489 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 10:59:16.28 ]: 何の謝罪？
490 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 11:07:19.34 ]: >>488
何の謝罪？
491 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 11:19:21.30 ]: 命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
N を含む G の正規部分群全体を Γ(G, N) とする。
G/N の正規部分群全体を Γ(G/N) とする。
H ∈ Γ(G, N) のとき H/N ∈ Γ(G/N) であり、
この対応は全単射 Γ(G, N) → Γ(G/N) である。

証明
π：G → G/N を標準写像とする。
H ∈ Γ(G, N) とする。
任意の x ∈ G と h ∈ H に対して xhx^(-1) ∈ H
よって、π(xhx^(-1)) = π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H)
よって、π(H) = H/N ∈ Γ(G/N) である。

逆に Γ(G/N) の任意の元は H/N の形に一意に書ける。
ここで、H は N を含む G の部分群である。
π(H) = H/N は G/N の正規部分群である。
よって、任意の x ∈ G と h ∈ H に対して π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H) である。
π(x)π(h)π(x)^(-1) = π(xhx^(-1)) であるから xhx^(-1) ∈ HN = H
よって、H は G の正規部分群である。
証明終
492 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 12:08:55.28 ]: 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
|K| = q とする。
AGL(1, K) （>>446）は位数 q(q - 1) の可解群（過去スレpart1の550）である。

証明
K^* = K - {0} を K の乗法群とする。
K を加法に関してアーベル群とみたときの自己同型群を Aut(K) とする。
a ∈ K^* のとき K の置換 x → ax は Aut(K) の元である。
よって、単射準同型 ψ：K^* → Aut(K) が定義される。
>>475より (K⊿K^*)_ψ （>>452）は AGL(1, K) に同型である。
過去スレpart1の332より K^* は巡回群である。
K はアーベル群だから>>470より (K⊿K^*)_ψ は可解群である。
よって、AGL(1, K) は可解群である。
|AGL(1, K)| = |(K⊿K^*)_ψ| = |K||K^*| = q(q - 1) である。
証明終
493 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 12:41:07.51 ]: 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。
このとき N = {τ_b； b ∈ K} は K と群として同型であり、
AGL(1, K) （>>446）の唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群である。
さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。

証明
>>492の証明より AGL(1, K) （>>446）は (K⊿K^*)_ψ （>>452）と同型である。
写像 f：K → (K⊿K^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。
>>453より f は単射準同型であり f(K) は (K⊿K^*)_ψ の正規部分群である。
f(K) に対応する AGL(1, K) の部分群は N であるから
N は K と同型であり AGL(1, K) の正規部分群である。

>>483より AGL(1, K) は K に忠実（過去スレpart5の843）かつ 2 重推移的（>>382）に作用する。
>>401より AGL(1, K) は K に原始的（>>355）に作用する。
よって、>>464より本命題の主張が得られる。
証明終
494 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/29(木) 12:44:05.58 ]: >>Kummer
賠償は？
495 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 12:46:16.43 ]: >>493の修正

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。
このとき N = {τ_b； b ∈ K} は K と群として同型であり、
AGL(1, K) （>>446）の唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群である。
さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。

証明
G = AGL(1, K) とおく。
>>492の証明より Gは (K⊿K^*)_ψ （>>452）と同型である。
写像 f：K → (K⊿K^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。
>>453より f は単射準同型であり f(K) は (K⊿K^*)_ψ の正規部分群である。
f(K) に対応する G の部分群は N であるから
N は K と同型であり G の正規部分群である。

>>483より G は K に忠実（過去スレpart5の843）かつ 2 重推移的（>>382）に作用する。
よって、>>401より G は K に原始的（>>355）に作用する。
>>492より G は可解群（過去スレpart1の550）である。
よって、>>464より本命題の主張が得られる。
証明終
496 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 13:11:35.56 ]: 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
|K| = q とする。
G = AGL(1, K) （>>446）とする。
G の単位群でない正規部分群の全体を Ω^* とする。
このとき Ω^* から q - 1 の約数全体への全単射が存在する。

証明
>>495より Ω^* は最小元 N を持つ。
>>492の証明より G は (K⊿K^*)_ψ （>>452）と同型である。
>>453と>>468より G/N は K^* に同型である。
過去スレpart1の332より K^* は巡回群である。
|K^*| = q - 1 であるから K^* の部分群全体は q - 1 の約数全体と１対１に対応する。
よって、>>491より本命題の主張が得られる。
証明終
497 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/05(木) 13:39:07.18 ]: 保
498 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/16(月) 19:51:12.70 ]: test
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/27(金) 08:55:20.47 ]: Kummer
どこへ？
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/27(金) 08:58:40.09 ]: 転載

137 ：１３２人目の素数さん：2012/03/05(月) 11:40:47.44
>>Kummer
寂しいのか？

138 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/05(月) 12:00:47.62
からかってるだけだｗ
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 16:37:00.41 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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502 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 15:28:41.46 ]: 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 09:31:00.93 ]: 転載
134 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/04(日) 17:52:28.41
で逮捕厨はどこ行った？
ｗ

136 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/05(月) 11:39:12.23
おーい逮捕厨どこ行った？

146 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 13:34:04.40
で逮捕厨はどこ行った？
恥ずかしがらずに出て来いよｗ

147 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 13:35:30.79
まだあれから３ヶ月しかたってないから諦めるのは早いぞｗ
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 13:02:41.12 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 18:43:02.33 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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506 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 05:00:06.02 ]: test
507 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 07:00:17.08 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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508 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/23(水) 08:16:21.51 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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509 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 07:31:54.32 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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510 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 13:34:35.07 ]: test
511 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 14:05:15.15 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/29(火) 15:01:06.71 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/29(火) 19:30:04.45 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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514 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/29(火) 20:56:26.27 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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515 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/31(木) 14:17:48.56 ]: AA貼っている奴はアク禁にならないの？
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/31(木) 15:54:02.15 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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517 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/01(金) 01:07:30.81 ]: 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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518 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/01(金) 01:51:08.87 ]: とりあえず、生誕201年おめでとう
519 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/01(金) 05:08:50.53 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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520 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/02(土) 02:21:52.42 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/02(土) 15:01:02.85 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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522 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/02(土) 20:24:50.33 ]: 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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523 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/05(火) 06:56:11.21 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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524 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/09(土) 20:27:50.66 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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525 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/12(火) 23:12:21.44 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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526 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/23(土) 00:23:00.67 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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527 名前：１３２人目の素数さん [2012/06/30(土) 20:36:13.32 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/07/24(火) 01:38:01.22 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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529 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/06(月) 20:37:51.53 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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530 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/06(月) 21:44:42.68 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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534 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/09(木) 08:06:14.85 ]: 　　　　　　.　 ∧_∧ 　
　　　　　　　（´･ω･）　ﾆｬｰ
　　　　　　 .c(,_ｕｕﾉ
535 名前：baka描 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2012/08/09(木) 10:42:21.93 ]: 描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/11(土) 14:02:37.00 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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537 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/11(土) 19:57:55.53 ]: がロア
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/11(土) 19:59:08.57 ]: この前ズリダチとタイマン勝負したことを書くぜ。
互いに六尺姿でまずは威嚇、腕組みヤニ咥えガン飛ばし、
大股で筋肉と勃起誇張して、野郎比べだ。
雄臭ぇポーズで挑発しあう。腰突き出し勃起を振り回し、
オラオラ節で興奮に火が付く。
やわらオイルをタップリ仕込んで、いよいよズリ戦開始だ。
胴ズリ、逆ズリ、雁ズリ、玉ズリ、上ズリ、下ズリ。
野郎うなぎ責め、腰砕けの手マンコ、野郎泣かせの亀頭責め。
片手技と両手技の競り合いで、雄の粋と艶を比べ合う。
ズリ見せ根性丸出しでな。
一息入れる時にゃ、奴の胸板めがけて、勃起ションベン。
ビシバシ痛ぇくらいに、照射すりゃ、雄の征服感が全身を
快感となって駆け回る。
さらにオイルを仕込んで２Ｒ。
今度は俺のズリビデオ見せながらのダブルズリ攻撃さ。
ラッシュ飛ばして、ド淫乱野郎に変獣し、チンポ・センズリ・押忍の連呼。
俺達はまさに、チンポ、ズリ、男意気を激しく比べ合う戦闘士だ。
寸止めのエロい表情も相手を落とす神技、何度も食らう度に金玉の
引きつる痛みさえ新たな快感に変わる。
その時、ほんの少しの気の緩みで奴は快感のコントロールを失い
野獣の如く咆哮し射精の痙攣に突入。
２回に渡るファイトはいずれも俺の勝利、最後は奴のチンポめがけて、
野郎征服の快感に酔いながら勝利の照射！
３時間勝負は俺達ズリ舎弟の絆を更に固めたぜ！
539 名前：baka描 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2012/08/11(土) 22:57:58.36 ]: 描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>
540 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/22(水) 02:41:59.92 ]: ガロア理論を知らなくても数論で修士を取れるこんな世の中じゃ
541 名前：541 mailto:sage [2012/09/06(木) 21:32:13.61 ]: 5-4=1
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 09:17:33.49 ]: 転載
213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
どっちかにしろよ
俺が犯罪者なのかキチガイなのか
両立はしないから

215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
キチガイは逮捕されても無罪
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 09:19:28.29 ]: 転載

564 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/28(水) 22:34:00.66
俺を現実の人間と錯覚してるアホがいるな。
俺は2chという電脳空間にのみ存在している。
俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。
真に受けてる奴がいたら大馬鹿者だよ。

565 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 07:00:36.61
勿論、俺が書く数学の話は別。
2chだからと言って手は抜かない。
というより自分の為に書いてるから手を抜くわけがない。
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 09:21:37.92 ]: 19 ：１３２人目の素数さん：2011/05/04(水) 15:56:11.74
本物のクマーなの？

20 ：Kummer ◆sIhn3vKAn6iI ：2011/05/04(水) 16:05:01.20
>>19
はい、そうです。
今後とも宜しくお願い致します。
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/10/08(月) 13:03:46.07 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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546 名前：１３２人目の素数さん [2012/10/14(日) 10:14:28.40 ]: 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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547 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/11/13(火) 19:05:11.04 ]: 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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548 名前：１３２人目の素数さん [2012/12/07(金) 02:36:04.04 ]: 代数方程式が5次になれば加減乗除と冪根で解けないのは悲劇ではない
むしろそれは群論という極めて有用な理論を生む種になった
さて話を鏡音ﾘﾝの｢五時のｼﾝﾃﾞﾚﾗ｣という歌の内容に切り替える
時刻が5時になれば果たし合いのため推敲を断念せざるを得なかったのは悲劇に違いない
彼がどんなｱｲﾃﾞｱを持っていたかは永久にわからなくなったのだ
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/12/11(火) 15:18:04.33 ]: もう、荒らされないよな...？
550 名前：１３２人目の素数さん [2012/12/13(木) 13:16:54.71 ]: うむ
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/12/13(木) 20:48:38.80 ]: 数学板は2ちゃん語でいう「荒らし」がもっとも頻出する板にして
2ちゃんでもっとも荒らされない板だよ

達観wしてるからな
552 名前：御令嬢 mailto:age [2012/12/14(金) 01:37:54.89 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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