- 492 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 12:08:55.28 ]
- 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
|K| = q とする。
AGL(1, K) （>>446）は位数 q(q - 1) の可解群（過去スレpart1の550）である。
証明
K^* = K - {0} を K の乗法群とする。
K を加法に関してアーベル群とみたときの自己同型群を Aut(K) とする。
a ∈ K^* のとき K の置換 x → ax は Aut(K) の元である。
よって、単射準同型 ψ：K^* → Aut(K) が定義される。
>>475より (K⊿K^*)_ψ （>>452）は AGL(1, K) に同型である。
過去スレpart1の332より K^* は巡回群である。
K はアーベル群だから>>470より (K⊿K^*)_ψ は可解群である。
よって、AGL(1, K) は可解群である。
|AGL(1, K)| = |(K⊿K^*)_ψ| = |K||K^*| = q(q - 1) である。
証明終
