- 453 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 12:20:52.61 ]
- 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
写像 f：N → G を f(x) = (x, 1) で定義する。
写像 g：H → G を g(s) = (1, s) で定義する。
明らかに f と g はそれぞれ単射準同型である。
このとき f(N) は G の正規部分群であり G = f(N)g(H)、f(N) ∩ g(H) = 1 となる。
証明
λ：G → H を λ(x, s) = s で定義する。
λ は準同型でありその核は f(N) である。
よって、f(N) は G の正規部分群である。
任意の (x, s) ∈ G に対して (x, s) = (x, 1)(1, s) である。
よって、G = f(N)g(H) である。
f(N) ∩ g(H) = 1 は明らかである。
証明終
