- 491 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 11:19:21.30 ]
- 命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
N を含む G の正規部分群全体を Γ(G, N) とする。
G/N の正規部分群全体を Γ(G/N) とする。
H ∈ Γ(G, N) のとき H/N ∈ Γ(G/N) であり、
この対応は全単射 Γ(G, N) → Γ(G/N) である。
証明
π：G → G/N を標準写像とする。
H ∈ Γ(G, N) とする。
任意の x ∈ G と h ∈ H に対して xhx^(-1) ∈ H
よって、π(xhx^(-1)) = π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H)
よって、π(H) = H/N ∈ Γ(G/N) である。
逆に Γ(G/N) の任意の元は H/N の形に一意に書ける。
ここで、H は N を含む G の部分群である。
π(H) = H/N は G/N の正規部分群である。
よって、任意の x ∈ G と h ∈ H に対して π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H) である。
π(x)π(h)π(x)^(-1) = π(xhx^(-1)) であるから xhx^(-1) ∈ HN = H
よって、H は G の正規部分群である。
証明終
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