- 475 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 06:38:23.89 ]
- 命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
Aut(A^n) をアーベル群としての A^n の自己同型群とする。
H = GL(n, A) （>>444）とおく。
H は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。
よって、H ⊂ Aut(A^n) と見なされる。
ψ：H → Aut(A^n) を包含写像とする。
σ ∈ H と α ∈ A^n に対して写像 f：A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
>>445と>>446より φ(σ, α) ∈ AGL(n, A)（>>446）である。
このとき、(α, σ) ∈ ((A^n)⊿H)_ψ （>>452）に φ(σ, α) ∈ AGL(n, A) を対応させる写像
Ψ：((A^n)⊿H)_ψ → AGL(n, A) は同型である。
証明
>>445より Ψ は全単射である。
よって、Ψ が準同型であることを証明すればよい。
(α, σ)、(β, τ) ∈ ((A^n)⊿H)_ψ のとき
(α, σ)(β, τ) = (α + σβ, στ)
他方、>>445の証明より
φ(σ, α)φ(τ, β) = φ(στ, σβ + α)
よって、Ψ は準同型である。
証明終
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