命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。 このとき N = {τ_b； b ∈ K} は K と群として同型であり、 AGL(1, K) （>>446）の唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群である。 さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。
証明 G = AGL(1, K) とおく。 >>492の証明より Gは (K⊿K^*)_ψ （>>452）と同型である。 写像 f：K → (K⊿K^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。 >>453より f は単射準同型であり f(K) は (K⊿K^*)_ψ の正規部分群である。 f(K) に対応する G の部分群は N であるから N は K と同型であり G の正規部分群である。
>>483より G は K に忠実（過去スレpart5の843）かつ 2 重推移的（>>382）に作用する。 よって、>>401より G は K に原始的（>>355）に作用する。 >>492より G は可解群（過去スレpart1の550）である。 よって、>>464より本命題の主張が得られる。 証明終
