- 483 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/29(木) 09:51:20.63 ]
- 命題
K を可換体とする。
AGL(n, K) （>>446）は K^n に 2 重推移的（>>382）に作用する。
証明
任意の α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → x + α は 0 を α に写すから
AGL(n, K) は K^n に推移的に作用する。
σ ∈ GL(n, K) （>>444）と α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → σx + α を
φ(σ, α) と書く。
φ(σ, α)(0) = α であるから φ(σ, α)(0) = 0 なら α = 0 である。
よって、0 ∈ K^n の安定化部分群（過去スレpart5の93）は GL(n, K) である。
>>476より GL(n, K) は K^n - {0} に推移的に作用する。
よって、>>386より AGL(n, K) は K^n に 2 重推移的に作用する。
証明終
