面白い問題おしえて～な十三問目

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面白い問題おしえて～な十三問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ]: 面白い問題、教えてください
2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/06(金) 09:02:00 ]: 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 03:30:30 ]: 虚数i面体のサイコロをπ回振ったときの期待値を求めなさい
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 04:26:17 ]: ('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ>>3
　くく　へﾍﾉ
5 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/07(土) 06:06:25 ]: 虚数iとπを公式にあてはめればいいだろう？
何も屁をかますことはないと思うが…
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 06:35:49 ]: 虚数面体ってなに？
明太子と関係ある？
7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 07:11:30 ]: 誰も丁度に書き込もうとしなかったな
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 14:17:18 ]: ゴルゴのような正確さでスルーにﾜﾗﾀ
9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 18:51:39 ]: A君は最初にR^2内の(0,1)にいる
そしてサイコロを振っていき、
・1or2が出ればx座標+1、y座標+1の地点へ
・3or4が出ればx座標+1の地点へ
・5or6が出ればx座標+1、y座標-1の地点へ
という風に移動する
この移動を繰り返しy座標が0の地点に着いたらストップする
線分(0,0)-(0,1)とA君が通ったルート、x軸で囲まれる面積の期待値は幾つ？
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 18:52:20 ]: 囲まれる面積→囲まれる領域の面積
11 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/07(土) 22:11:12 ]: 発散するんじゃないのか、これ？
12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 22:12:37 ]: このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
life8.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1174579828/l50x [生活全般]
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/08(日) 00:16:55 ]: 次は2008/08/08 08:08:08か。このスレなら射程距離だなｗ
14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/09(月) 16:24:43 ]: 縦、横の長さがa,bである長方形Xを有限個の正方形A1～Anに分割出来るとき、
a/bは有理数である事を証明せよ
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/09(月) 23:16:55 ]: こりゃ難しそうだ。
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 23:39:53 ]: 自作問題。

(1)f：[0,∞) → Rは2回微分可能であるとし、sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞であるとする。
さらに、任意のε＞0に対してΣ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^kが存在するとする。このとき、
lim[ε↓0]Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝－f(0)/2 が成り立つことを示せ。

(2)g(x)＝Σ[k＝1～∞](－1)^k/√(x^2＋k^2) (x∈R)とおく。右辺の級数は任意のx∈Rで
収束することを示し、lim[x→±∞]xg(x)＝－1/2となることを示せ(ある大学院入試の過去問より)。

(1)について…与えられた級数に形式的にε＝0を入れると、f(0)(－1＋1－1＋…)となる。
適当な総和法では－1＋1－1＋…＝－1/2となるので、、f(0)(－1＋1－1＋…)＝－f(0)/2
となり、右辺に一致する。……この現象は偶然ではない。今、任意のε＞0に対して
Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^kの存在が保障されているので、アーベル総和法による
シグマ(これをA-Σと書く)でも同じ値になる。すなわち、
Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝A-Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k
となる。sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞という条件は、この総和法の下でlimとA-Σの
順序交換が可能であることを保障する条件になっていて、
lim[ε↓0]Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝lim[ε↓0]A-Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k
＝f(0)A-Σ[k＝1～∞](－1)^k＝f(0)(－1/2)
となる。(こんなことしなくても、(1)は解けます)。
17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/15(日) 01:14:01 ]: 外接円の半径Rを～まで読んだ
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/15(日) 02:28:46 ]: >>17
つ眼科
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 01:09:46 ]: プロ野球の終盤になると安打を打つと打率が二厘上がり凡打だと一厘下がりますが
このことが始まるのは何打数からでしょうか？
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 02:48:48 ]: 脳みそ沸いてるの？
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 08:55:57 ]: 野球見ている奴って頭悪そうだな・・・
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 09:04:16 ]: おいおい、そういうことは答えてから言え
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:28:56 ]: これは流石に、答える前に言っても構わんだろう…
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:33:26 ]: 打率10割の人は、なん打数目だろうともうそれ以上上がることはないな。
打率0の人は、なん打数目だろうともうそれ以上下がることはないな。

それ以上下がるって変な表現だな。
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:43:27 ]: たぶん、あくまで推測の話だが、
普通、打率は1/10000の位で四捨五入して出す。
なので>>19の言っていることには一定の解答を与えることは出来る。

しかし面白くはない。質問スレに持っていくべきだろう。
26 名前：転載 mailto:sage [2007/07/21(土) 19:18:19 ]: 三角形ＡＢＣの
Ａを中心に半径Max(b,c)、
Ｂを中心に半径Max(a,c)
Cを中心に半径Max(a,b)
の３つの円を描くとき、それらの合併集合の面積を求めよ。

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183317476/499
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 01:40:48 ]: 平面格子上をA=(0,0)をスタート、B=(n,m)をゴールとして通る経路を考える
線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通ってゴールに至る経路で最短な奴の個数は幾つ？
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 01:55:52 ]: >>27
カタラン数の一般化ですな？
念のため訊いておくが、お主解答は用意出来て御座るか？
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 06:36:00 ]: >>26
正三角形の場合だけやってみた。
a^2*(11pi+3√3)/6

三角形ＡＢＣのＡを中心に半径ｒ（Ａ）.. として
ｒ(A)＝a,　ｒ(Ｂ)=b,　ｒ(Ｃ)=c
ｒ(A)＝c,　ｒ(Ｂ)=a,　ｒ(Ｃ)=b
etc とした方がきれいな結果になるような気がしないでもない。
30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 13:41:20 ]: >>28
すいませぬ。n>mという条件付で
×線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通って
○直線y=xに触れず（点Aは除く）に格子の辺のみを通って
だった

27だと階乗使うだけじゃ表せねぇ
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 14:29:14 ]: >>30
あーしてこーしてひっくり返すと
((n-m)/n)*C[n+m-1,m]
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 16:34:56 ]: >26

a≧b≧c としても一般性を失わない。
A,B,C を中心とする円を α,β,γ とすれば、
　(α∪β∪γ) = α + β + γ - (α∩β) - (β∩γ) - (γ∩α) + (α∩β∩γ),
　S(α) = πb^2,
　S(β) = S(γ)　= πa^2,
　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(a,b),
　S(β∩γ) = f(a,a),

【補題】
　0<r≦R とする。半径Rの円をC, その周上の点を中心とする半径rの円をcとすると,
　共通部分の面積 S(C∩c) は,
　　f(R,r) = (π/2)r^2 + (2R^2 -r^2)･arcsin(r/2R) -r√{R^2 -(r/2)^2},
　　f(R,R) = {(2π/3) - (√3)/2}R^2,

残った S(α∩β∩γ) をどうするかという問題。
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 17:31:42 ]: >>32
この問題ってa=BC, b=CA, c=ABってことでいいんだよね？

円と円の交点（一番外側にあるやつ）と、三角形の頂点を線分で結んでいくと、
4つの三角形と3つの扇形が出来る。
こっちのほうが楽でない？
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:05:48 ]: 必要なのってヘロンの公式だけで、わからんスレにあったやつだし、普通に高１の数学じゃね？
結果出してないから何ともいえんけど、結果は綺麗にならない悪寒がする。
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:20:37 ]: >>34
やってから言えよ、ジジイ！
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:36:57 ]: >32

　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(b,a),
【補題】は 0<r≦2R のとき。
r≧2R のときは πR^2 だった. ｽﾏｿ.
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 02:45:04 ]: >26

>32,34 より、S(α∩β∩γ) を求めればよい。
α周,β周とγ周の交点をD,Eとおく。△BCEは正3角形。

まづ B ≧ π/6 のときを考える。
B ≧ π/3 -B = ∠ABE,
b = AC ≧ AE, Eはα内にある。
CAの延長とγ周の交点をA'とおくと、
α∩β∩γは2直線BC,CA'により3分割される。
α∩β∩γ = (筍形BCE) + (筍形A'CD) - (扇形A'CB),
S(α∩β∩γ) = (1/2)f(a,a) + (1/2)f(b,a) - (1/2)(a^2)C.
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 03:46:02 ]: なぜこの問題はマルチのみならず、マルチ進行が許されるのですか？
教えてください。夏だからですか？
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 19:30:00 ]: deg(f)=2.
deg(g)=2.
f(g(x))=x^4+x^3+x^2+x+1.
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 23:12:11 ]: >>39
解あるの？
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/27(金) 19:12:45 ]: >37 の続き

B≧π/6 のときは
S(α∩β∩γ) = {(π/3) -(√3)/4 -C/2 +θ/2}a^2 + {(π/2)-θ}b^2 -(a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
S(αＵβＵγ) = {(5/3)π +(√3)/4 -B -C/2 -θ/2}a^2 + {(π/2)-A+θ}b^2 +2Δ + (a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
θ = arccos(a/2b),　ΔはABCの面積。

>32, >36
S(α∩β) = (a^2)B + (b^2)A -2Δ,
だな。
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/28(土) 23:28:08 ]: >41 の続き

　Ｂ≦π/6 のときは α周とβ周の交点をC,E'とする。E'はCとEの間にある。
　α∩β∩γ = (α∩γ) - (弓形CE') = (α∩γ) - {(扇形CAE') +2Δ -(扇形CBE')},
S(α∩β∩γ) = S(α∩γ) - {(b^2)(B+C) +2Δ -(a^2)B}.

ﾊｧﾊｧ
43 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 12:08:59 ]: >42 の続き

　CE'は2つの円周に挟まれてるから「三日月形CE'」と言うべきだな。
44 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 15:27:51 ]: >42 の続き

B≦π/6 のときは
　S(α∩β∩γ) = (B+θ)a^2 +(A-2θ)b^2 -2Δ -a√{b^2 -(a/2)^2},
　S(αＵβＵγ) = {(4/3)π +(√3)/2}a^2 = 5.05481560…a^2
45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/30(月) 03:31:25 ]: >44 の続き

B≦π/6 のときは
　α ⊂ (βＵγ)
　α∩β∩γ = β∩γ
だな…
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/31(火) 01:27:57 ]: >44 の続き

まちがえた…orz
B≦π/6 のときは
　αＵβＵγ = βＵγ
だった…
47 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/01(水) 20:33:38 ]: 3乗して下3桁が777になるような整数は存在するか？
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 20:38:27 ]: 753^3=426957777
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 21:39:40 ]: N,mを正の整数とし、nをNの桁数とする。
f(N,m)の値を以下の値で定義する。
「N^mを下からn桁ずつ区切っていき、それらの総和をf(N,m)とする。
n桁ずつ区切ったときに最上位の数字が0の部分は桁数がn未満の値として扱う」

(1)任意のnに対してf(N,2)=Nを満たすNが存在することを示せ。
(2)任意のnに対してf(N,2)=f(N,3)=Nを満たすNは存在するか？
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 22:08:38 ]: >>49
問題の意味を俺が理解できているか確認したいんだけど、例えば
f(101,3)=1+30+301=332
ってことでよい？
51 名前：49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:17:32 ]: >>50
それでＯＫです。
理解が早くて助かります。
52 名前：49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:23:57 ]: すいません、一つ追加です
(1)は｢二つ以上存在｣にしてください。10^k-1以外にも存在することを示す感じで。
53 名前：50 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:29:12 ]: >>49
ありがとう。チャレンジしてみるよ。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:16:42 ]: n！を10進法で表記したとき、それを1の位から見ていき、初めて0でない数が現れた
ところで、その数をf(n)と書く。たとえば
4！＝24なのでf(4)＝4
5！＝120なのでf(5)＝2
10！＝3628800なのでf(10)＝8
となる。自然数nの5進方表示n＝∑[i＝0～u](5^i)aiを与えたとき、
∑[i＝1～u]i*ai≡t (mod 4)となる自然数tを1つ選べば、
{au!a(u－1)!…a1!a0!}2^t の1桁目の数字がf(n)になっていることを示せ。
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:30:50 ]: 例：
n＝21のとき、5進法でn＝∑[i＝0～u](5^i)ai , u＝1 , a0＝1 , a1＝4
と表せる。∑[i＝1～1]i*ai≡t (mod 4)となるtはt≡1*a1＝4≡0 (mod 4)なので、
t＝4が選べる。このとき{au!a(u－1)!…a1!a0!}2^t＝4！1！2^4＝24*16 なので、
この数の1の位は4となり、f(21)＝4となる。
直接求めると、21！＝51090942171709440000であるから、f(21)＝4である。
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 00:50:58 ]: >>49の(1)をやってみた（出来てないけど）

p=10^nとして
　　N^2=ap+b, f(N,2)=a+b=N
の2式から
　　a=N(N-1)/(p-1), b=N(p-N)/(p-1)
となる。a, bが整数であるためには、
　　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
を満たす必要がある（p≡1 (mod p-1)だからbから来る式はいらない）。
任意のnに対して、(*)を満たす10^{n-1} ≦ N ＜ 10^nなるNがあれば万事OK。

p-1以外のNということで、n≡±1 (mod 3)の時は、I=(p-1)/9, d=1,2,...,8として
　　N = dI for n≡1 (mod 3)
　　N = dI+1 for n≡-1 (mod 3)
がある。ただし、dはnに応じて適当に選ぶ必要がある。だけどn≡0 (mod 3)はこのゾロ目形は通用しない。無念。

詳しくないので(*)の一般的な解法があるのか知らぬ。
57 名前：56 [2007/08/05(日) 00:56:13 ]: 後半の(mod 3)は全部(mod 9)だった。
58 名前：56 mailto:sage [2007/08/05(日) 01:05:05 ]: 簡単に修正しようとして失敗した。

I=(p-1)/9として、n≡1,2,4,5,7,8 (mod 9)の時はd=1,2,...,8を適当に選んで
　　nd≡1 (mod 9)と出来る場合　N = dI
　　nd≡-1 (mod 9)と出来る場合　N = dI+1
とすればOK。
だけどn≡0,3,6 (mod 9)のときはゾロ目形は通用しない。
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:37:36 ]: >>49
(1) N=99・・・9 (n桁)=(10^n)-1は条件を満たす。
実際，N^2=10^(2n)-2*10^n+1において，
下n桁は1，その後のn-1桁は99・・・8 (=10^n-2)なので
それらの和は(10^n)-1=N
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:41:23 ]: >>49
(2) 存在しない。
f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
ところがn=1のとき，N=9だが，N^3=729となり，f(3，N)=18≠N
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 02:05:42 ]: >>59
(1)に限っては、>>52で99・・・9 ｢以外でいつでもあるか｣と言ってるよ。

>>60
>f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
その必要は無いよ。
それと(2)では(1)と違って、その形であっても存在すればOKと出題者は言いたいのだと思う。

俺の計算機がしょぼいので、ここまでしか確認できてないけど、
f(N,2)=N
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222…
f(N,3)=N
1, 8, 10, 45, 297…

ちなみに俺は>>56だけど、n≡0,3,6 (mod 9)のとき、(1)を満たすNが無いと言いたいのではなくて、どのような形になるかわかってないと言いたかった。
（もちろん俺は出題者じゃないからね。誤解無いように。）
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:37:36 ]: 単位円がある。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

OP_1がx軸の正の向きとなす角がθ(0<θ<π/4)となるような点P_1をとる。
∠OP_1P_2=θとなるような点P_2をとる。
∠P_1P_2P_3=θとなるような点P_3をとる。
∠P_2P_3P_4=θとなるような点P_4をとる。

・・・以降同様に、∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)=θとなるような点P_(n+1)を順次とる。

ただし∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)は線分P_(n-1)P_(n)について、∠P_(n-2)P_(n-1)P_(n)と同じ側にある（同位角）とする。

P_(n)の座標をθを用いて表せ。

問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:43:37 ]: >>62
>問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。

ふざけんなｗｗｗ
他所にそれ相応のスレがある。
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 05:51:28 ]: >>63
え、このスレって答えも用意してないとダメなの？

正直スマンカッタ。問題ごと忘れてくれ。
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:24:58 ]: >>64
いや、答えがわからなくてもいいとは思うが、
>考えたけど面倒でやめたから後は任せた。
というところに突っ込みたくなった。それでは面白いかどうかわからないでしょ？
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:32:47 ]: >>65
別の問題を考えていた時に、ふと思いついた図形から考えてみた。グラフィカルに面白いと思ったから出してみただけ。そういう意味じゃないって？

いずれにしても答えはわからなかった。軟弱な俺を許して。
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 07:28:50 ]: >>>62
P_3の取り方に（一般性を失う）2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの？
68 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:31:27 ]: ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz

今何とか考えてみたらこうなった。

P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)
P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)　ただしn=0の時P_(0)は定義しない。
69 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:35:03 ]: >>67
意味わからない。どういうこと？
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:40:55 ]: 知将
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:58:27 ]: >>56
>　　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
N^2 ≡N (mod p-1)
N と p-1 の最大公約数を q とすると
N ≡1 (mod (p-1)/q)
N ≡0 (mod q)
の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の
整数解の存在は保証される。
そして、そのNがf(2，N)=Nを本当に満たしているって言うのは
不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。
というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。

(2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。
72 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 15:55:37 ]: >>70
多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。

まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。
73 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/05(日) 22:33:36 ]: >>72
簡単かつつまらないかつ解答も考えずに書き込んだお前は屑だ！
100年ロムって、そのままｓ…
74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 22:37:21 ]: 100年と言わず、半万年ろｍ（ｒｙ
75 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/06(月) 01:14:47 ]: 半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、
ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。
n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か？

長年疑問だったのでお尋ねします。
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 01:38:55 ]: mathnoriの問題か？
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 08:57:51 ]: >>62の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。

原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。
次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。
次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。

・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。

(1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。

(2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。

(3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。
定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。

なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い（注：ここだけ美しくなくて残念）。
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 09:03:55 ]: >>77
また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 11:12:22 ]: A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n]
B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n]
A[1]=1、A[2]=3
B[1]=1、B[2]=1
を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。
80 名前：75 mailto:sage [2007/08/06(月) 13:01:20 ]: >>76
問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。

中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団（配位子）
が結合(配位)したものを金属錯体と言います。

金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような
空間配置をします。

４つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります)
６つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。

５つの場合は、中心金属を含む平面内に正３角形の頂点をなすように３つ、
残りの２つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。

数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを
知りたくて出題させて頂きました。

数学素人の問題ですがお願いします。
類似の問題がありましたら教えてください。
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 13:15:22 ]: >>78
糞して寝ろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!
82 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/06(月) 17:30:01 ]: (ﾟДﾟ)
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:32 ]: >>77
とりあえず２分くらい考えただけだが
(2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7
(3)2sin3π/7-√3

あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:48 ]: >>80
立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、
問題>>75の｢距離の和｣が関係してるの？

むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:58:42 ]: 距離の二乗の和？
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:15:59 ]: >>83
解説は不要とのことなので、感想だけ。

2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:56:44 ]: >80
　それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね?
　Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min.
88 名前：83 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:04:41 ]: >>86
あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。
ほとんど当て推量で、
10-1=6+3=9
10-3=6+1=7
10-6=3+1=4
の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。
ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。
あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
89 名前：87 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:34:28 ]: >80
　3方両錐型のとき
　　Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小)
90 名前：75 [2007/08/07(火) 00:42:56 ]: >>84,85,87
レスありがとうございます。

イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは
どのような常態かが知りたくて>>75のような問題文になってしまいました。

この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。

球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に
点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。

これが球面になるとどうなってしまうのか？
とくに対象性の悪い数の場合はどうか？
が知りたくて出題しました。
91 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:57:39 ]: >>89
解答ありがとうございます。
各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に
なることの証明は難しいのでしょうか？
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/07(火) 01:05:30 ]: >>89
6.4746915
をぐぐったら　Distributing n Charges on a Sphere
tracer.lcc.uma.es/problems/thomson/thomson.html
なんてページが出てきた。
93 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:09:35 ]: 連投で申し訳ないです。
各点に立体角を割り振るようなうまい定義
ができていないのがダメですね。
94 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:14:31 ]: >>92
面白いページですね。
５つのときはやはり三方両錐型ですね。
95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 00:24:02 ]: >>88
勘違いすみませぬ。

(1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば
↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)
↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ)
=(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ)
以下同様にすれば
↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(∑[k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),∑[k=1,n]sin(k(k+1)θ/2))
・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな？

(2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。
変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので
sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。

(3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は
となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。

最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。
したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。

＞あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた（このへんが浅はかだなあ）から、
それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、
「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。

さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」
との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の
面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。
96 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/08(水) 03:47:31 ]: 2^186+1/65　が整数であることを証明せよ。
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 08:34:43 ]: (2^186+1)/65？
98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 17:44:15 ]: 以下65を法とする
2^6≡64≡-1
2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1
2^186+1≡-1+1≡0
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/09(木) 11:11:31 ]: 自作問題。

(1)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上でC^1級である
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。

(2)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない)
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。
100 名前：89 mailto:sage [2007/08/11(土) 01:17:39 ]: >92

㌧㌧ｸｽ

nが小さいところでは
n=2,　直径,　　 f(2) = 1/2,　a=2,
n=3,　正3角形,　f(3) = √3,　a = √3,
n=4,　正4面体,　f(4) = (3/2)√6,　a = √(8/3),
n=5,　三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3,　a(ax)=√2,　a(eq)=√3,　
n=6,　正8面体,　f(6) = (3/2) + 6√2,　a=√2,
n=7,　五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10},　a(ax)=√2,　a(eq)=√{(5-√5)/2},
n=8,　捩れ正方形柱,　f(8) < 2 + 6√3 + 3√6,　(square anti-prism),
　a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…,　a(side) = 1.28769352633104…,
n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2},
n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15,
かな。

n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?
101 名前：89 mailto:sage [2007/08/11(土) 01:51:01 ]: >80

平面正方形では,　f(4) < 1+2√2, a=√2,

でつが実在しまつね。

軌道函数どうしの重なり積分が≒0 となる必要があるので、結合角にも制約があり…
静電エネルギーだけで決まる訳ぢゃね…
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/24(金) 16:36:07 ]: ほしゅ
103 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/25(土) 18:24:43 ]: ひまでしたら解いてみてください
6桁の自然数ABCDEFは3桁の自然数ABC*DEFで割り切れる。
6桁の自然数ABCDEFをいくつか見つけてください。
104 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/25(土) 19:27:36 ]: ポテンシャル問題でしょ、普通に解けば？ラグランジェとかで？
105 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/25(土) 19:32:34 ]: V=eiej/dij
dij=d(ri-rj)
d(ri)=d(rj)
G=V-sjd(rj)
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 22:15:04 ]: >>103
143143 = 143*1001 = 143*143*7
167334 = 167*1002 = 167*167*6

この問題には深い意味ありますか？ただいま検討中。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 22:34:39 ]: >>104
さすがに (5-1)*2=8 の変数を単純計算では、取り付く島もなかろう。
せめて対称性を分析してからでないと。
108 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/26(日) 12:03:50 ]: 次の数式は何故そうなるのかわかる方どなたかご教授ください。

鉱山を営むとする鉱業権は、次により評価する。

(1)　操業している鉱山の鉱業権の場合
a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後はｎ乗です。

a　鉱山が毎年実現しうる純収益　
s　報酬利率　9パーセントから15パーセントまでの間において適正に定めた率
r　蓄積利率
n　可採年数　
E　今後投下されるべき起業費の現在価額

(2)　未着手のまま据置期間のある場合の鉱山の鉱業権の場合
(1／(1＋r)^m)×a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後ｍ乗、　　（１＋ｒ）のあとｎ乗

m　据置期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

(3)　開坑後予定収益を生ずるまでに期間のある場合における鉱業権の場合
a×(((1＋r)^n－1)／(r＋s｛(1＋r)^n＋m－1｝))－E

（１＋ｒ）のあとｎ乗、（１＋ｒ）のあと　ｎ＋ｍ乗

m　補償時から予定収益を生ずるまでの期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

どなたかわかる人がいればご教授ください。比較級数の和の公式のようにも思えるし、複利計算の式にも思えるし・・・悩み中です。
109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 12:51:28 ]: >>108
マルチ
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/19(水) 23:53:54 ]: ほしゅ
111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 17:10:38 ]: 転載。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190430000/22

半径r の円の中で一回に距離１だけ（好きな方向に）逃げたり
追いかけたりすることが出来る鬼ごっこをするとします。　
最初に、鬼は中央に子は円周にいるとして先に子が逃げるとします。
さて、半径ｒがある程度大きくなると永遠に逃げ回ることが
可能になるのでしょうか？それとも絶対に捕まるのでしょうか？

また、円以外の閉領域で上の鬼ごっこをするときに
必ず捕まる条件みたいなのは計算可能でしょうか？
112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 23:55:07 ]: >111
　鬼は子の方向に追いかけるとする。距離RがR-1になる。
　子が鬼の反対側に逃げた場合には距離がRに戻る。しかし θだけ逸れると
　R - √{R^2 -2(R-1)(1-cosθ)} ≧ (R-1)(1-cosθ)/R だけ近づく。
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 02:14:06 ]: 鬼が子の方向に必ず１進めるわけではないので
かならずそれが適応できるわけではない。
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 02:16:23 ]: ああ、ごめん。ルールを勘違いしてた。交互に逃げたり追ったりするんだね
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 10:16:51 ]: そもそも永遠に逃げられるパターンが思いつけない。
116 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/24(月) 11:11:50 ]: (1) 正方形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(2) 正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(3) 円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 13:18:23 ]: >>115
任意の凸領域（任意の二点を結ぶ線分がその領域内を通るもの）は毎回、鬼が子の方向に進んでいけば距離が小さくなっていく。
よってずっと逃げ回るためには境界が凹領域のところ（つまり、穴というか進入禁止領域）があることが必要。
それでは、どれだけの大きさの穴があれば逃げ回れるのでしょうか？

球面とか、トーラスのように境界がない曲面も逃げ回ることが出来る大きさの最小値がありそう。
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 13:23:22 ]: >>116（１）これでどうだ！　文句あるか！

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■■■■■■■■■■／□□□□□
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（／の部分は、フラクタル）
119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 14:02:17 ]: >>118
フラクタルはダメです
曲線でわけても結構です
120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 14:04:07 ]: >>118
相似にならねえじゃん
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:48:20 ]: >>116
(1)と(３)は思いついたが（２）が思いつかん。
122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:49:06 ]: >>120
なるだろ。
123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:49:24 ]: >>121
解答頼む
124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:50:34 ]: あ、(２)もできた。
125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:54:22 ]: 結局フラクタルな図形以外でできるのか？
126 名前：１２１，１２４ mailto:sage [2007/09/24(月) 18:19:14 ]: 自分が考えたのもどれもフラクタルな図形です。
そうでないのは出来るんだろうか？
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:23:40 ]: >>122
ならねえよ
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:24:54 ]: >>122
デカい方が角が2つ多いだろ。
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:29:20 ]: 誰か>>79教えて～
130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:32:05 ]: >>128
まず「フラクタル」について調べてから言え。
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:32:43 ]: >>127
フラクタルの意味はわかった上で、ならないと言ってるのか？
132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:46:34 ]: フラクタルはダメって言われてるのにフラクタルにこだわる奴ら
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:51:03 ]: 条件からはずれたところで揉めるなよ、おまいら。

しかし、フラクタルがダメとなると、4つの角のうち2つずつ引き受けねばならなくなってしまいそうだけどなあ。
でも、そうすると相似に出来ねえし。可能なのか？
134 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/24(月) 19:47:11 ]: フラクタル無しは厳しいな。
でも円はフラクタルありでも厳しいな
>>121さん、もし良かったら教えて
135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 21:05:47 ]: 点でしか接していなくてもひとつの図形としていいなら
円もできたんだが、それでもいいだろうか？

もちろんフラクタル図形。
136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 21:20:00 ]: (0-1)+(2-3)+(4-5)+....
(1-2)+(3-4)+(5-6)+....
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 21:54:06 ]: >>135
もしかして三日月がたくさんくっついたような形？
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 22:06:36 ]: >>137
全然違う
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 22:17:49 ]: >>137
135ですが、そうです。
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 22:19:35 ]: >>119
それ以前にフラクタル不使用の解答ってあるの?
ない場合、できない証明をすれば正解かな?
挑戦してみよう。
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 22:33:18 ]: 円の場合について考えたんだが
小さいほうの図形が円の外周を含むとしたらそれは連続した曲線としては含めず
また１点でしか含めないんではないかと思う。
連続した曲線として含んでも、２点以上含んでも、大きいほうの図形が構成できない。

つまり、小さいほうの図形の外周は、一点を除いて円の内部になければならない。
そしてその外周は、大きいほうと相似なのだから円形でなくてはならない。

てことは、>>137で言うような点で接するような図形を考えない限りは
ふたつの非合同な相似形には分割できない。

小さいほうが大きいほうの内部に含まれるような図形は自己相似形なので
フラクタルを禁止したら、この分割は出来ないということになる。

ぜんぜん厳密じゃないけど、どう？
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 06:54:04 ]: 切ってから組みなおすのではなく、最初からブッツリと二つにしないとけないのだろうか？
幾つかに切り離していいなら、例えば(1)なら
辺の長さが√5の正方形を5つに切り離して、辺の長さが1と2の正方形を作るという話はよくあるが…
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 11:29:54 ]: それはそれで考え進めていいと思う。
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 13:11:20 ]: 切り離して組み合わせていいなら、正方形と三角形は簡単なんじゃないか？
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 21:04:25 ]: >>136
これ問題？　「振動する」でいいんじゃない？
その他細かい条件があるのかは知らないけど
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 21:16:49 ]: 有限個に切り離して、組みなおしてもよいなら
(i) 長辺/短辺＞ 2 の長方形を作る（長辺/短辺 ≦ 2 になってしまったら、また半分に切って組み直す）。
(ii) 長辺/短辺＞ 2　の長方形は、長辺の適切な場所で、長辺に垂直に切れば、合同でない相似な二つの長方形に分けられる。
円をこの話に帰結できるかは分からないが。

やっぱり自己相似を使わず、さらに組みなおすこともなく、ということだろう。たぶん
147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 21:34:36 ]: んなややこしく考えなくても、組み直していいなら5*5に分けて3*3と4*4にするとかでいいじゃん。
三角形も25分割して16と9で出来るな。
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 21:41:07 ]: …まあ…正多角形なら全部これで片付くということで、目をつむってくれや
149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 21:49:33 ]: いくら分割してもよく、組みなおしていいなら楽勝だろう・・・。
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/25(火) 23:17:20 ]: 正方形を中心を通らずに合同な図形に二分割って出来る？
151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 00:02:35 ]: 出来ぬ
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 10:12:44 ]: >>117
穴があいていなくとも、たとえば半径3くらいの円板でも、
「子は円周を一定方向に回り続け、鬼はそれを馬鹿正直に追跡する」
というアルゴリズムでは、鬼の軌道は円周に漸近してくだけで
追いつけない気がする。つまり、鬼と子の距離は単調減少するが
0には収束しないという状況が起こりうるのではないか。

もちろん、鬼に先回りなどの知能を搭載すれば話は変わってくるけど。
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 10:54:36 ]: 1,2,3,...,L[mm]の長さの
L種類の棒を縦に並べて
きっちりL[mm]の長さにするには
何通りの場合があるか？
同じ長さの棒は何度でも使え、
区別もしないとする。
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 16:46:27 ]: >>153
2^(L-1)
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 16:47:57 ]: >>153

L種類の棒で作られるL[mm]の長さが何通りあるかを f(L)で表す。

L=1のとき、明らかに1mmの棒が一本の1通りである。

L=n (ただしn>1) の場合について考える。
一番上になる棒の長さが1であるものは f(n-1)の上に長さ1の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが2であるものは f(n-2)の上に長さ2の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが3であるものは f(n-3)の上に長さ3の棒を重ねたものと等しい
：
一番上になる棒の長さがL-1であるものは f(n-(L-1))の上に長さ(L-1)の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さがLであるものは1通り
なので
f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^n-1

この式は L=1のときにも f(L) = 2^n-1 =2^1-1 = 1 なので当てはまる。
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 16:50:50 ]: 下2行訂正

f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^(L-1)

この式は L=1のときにも f(L) = 2^(L-1) = 2^(1-1) = 1 なので当てはまる。
157 名前：153 mailto:sage [2007/09/26(水) 21:19:08 ]: 解答

問題の場合の数は
L[mm]の棒の1,2,...,L-1[mm]の箇所に印をつけ
それぞれを切断するか否かの場合の数に等しいので
2^(L-1)
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/26(水) 22:07:45 ]: 同じ部品からなる場合は重複と考える場合はどうだろうか？

（ 1+2+1で高さ4のものと 1+1+2で高さ4のものは同じとみなす）
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/27(木) 02:32:41 ]: >152
　子が外周を回るとき、鬼は子より内側の円周を回るので…
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/27(木) 10:10:56 ]: 円周はまわらんのでは。
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/27(木) 10:35:28 ]: 漸近的に円周に近づくだけで、円周に到達しないということ？
領域の円Aの円周上に中心を取って、一回の移動分の半径の円Bを書く
BとAの円の交点とAの中心を結んだ線が円Bの内側にあれば、鬼は円周に到達可能
円Bの接線と一致するなら、到達不能、か？・・・円Aじゃなくなりそうだけど。
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/27(木) 22:09:10 ]: ↓これ解けばよさげかな

子の座標(X,Y)
X=Rcos(ωt), Y=Rsin(ωt)

鬼の座標(x,y)
r=√((X-x)^2+(Y-y)^2)として
dx/dt =(X-x)/r, dy/dt=(Y-y)/r

R,ωは定数
X,Y,x,y,rは時刻tの関数

t->∞でr->0を示す
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/27(木) 22:46:01 ]: 円である限り追いつかれる？
164 名前：159 mailto:sage [2007/09/28(金) 03:05:52 ]: >160-163
　鬼は子より内側を回るので…　　でした。
165 名前：162 [2007/09/28(金) 03:57:49 ]: ってマズった

子と鬼が
距離1ずつ交互に逃げるのだったね

ということは
俺が書いたのは
一ステップあたりに
子と鬼が進める距離を無限小にとった場合
もしくは
領域となる円の半径を無限にとった場合に相当する･･･のか？
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 04:22:58 ]: 鬼の番のときに子との距離が１以下だったら捕まるということでいいのかな？
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 08:14:52 ]: 動くことが出来る領域をK、子を中心とした半径１の円内をM、鬼を中心とした半径１の円内をNとすると
子はMとNの共通部分以外の領域とKの共通部分L=K∪M ∪（MxorN)を動かないと捕まる。

逃げることが出来なくなるのはLが空集合になることを証明すればよい。。。
168 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/28(金) 10:11:25 ]: 鬼ごっこの問題は日本数学コンクールのヤツかな．

www10.plala.or.jp/mathcontest/2006s3.htm
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 11:55:38 ]: 問、
マッチ棒８５本を使用して正８角形をつくると何個できるか（１本のマッチを隣り合う複数の正８角形の１辺としてもよい）

この問題の答えを出す数式を教えてください
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:04:50 ]: 野暮な質問だけど
正八角形の一辺はかならずマッチ棒一個の長さで作らなきゃ駄目？
正八角形には重なりがあってもよい？
これが問題の趣旨なら答えなくてもいいけど
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:05:35 ]: ここ質問スレだっけ？
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:12:31 ]: >>167
何か解く指針になるような表現になってる？
言い換えにすぎない印象なんだけども・・・如何に。
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:16:50 ]: >>170

１辺は同じマッチ棒の長さで、昔のサッカーボールの６角形のように辺と辺で繋げてく感じなんですが…。

>>171
すんません。ここ質問スレじゃないんですね。
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 12:17:25 ]: >>169
立体は？
175 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/28(金) 13:08:34 ]: 平面です
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 13:55:48 ]: 二本のマッチの尻と尻を合わせて正８角形がひとつできる。
とりあえずそれだけで42個
177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/28(金) 21:11:54 ]: A , B⊂Nに対して、A＋B：＝{a＋b｜a∈A , b∈B}∪A∪B と定義する。
また、Aの元の個数を｜A｜で表すことにする。

(1)｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜≧nならば、n∈A＋Bとなることを示せ。

(2)自然数列{xn}はliminf[n→∞]n/xn＞1/2を満たすとする。
X＝{xn｜n∈N}とおくとき、X＋Xに含まれない自然数は有限個であることを示せ。
(十分大きな自然数は高々2個のxnの和で表せる、ということ)
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/30(日) 15:05:31 ]: (1)
ｎ∈A,もしくはn∈Bの時n∈A+Bは定義より明らかなので
AもBもnを含まない場合を考える

この時
｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜
=｜A∩{1,2,…,n-1}｜＋｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧nが成り立っている

以下、背理法でn∈A+Bを示す
あるA,Bが存在して、n∈A+Bではないとする

｜A∩{1,2,…,n-1}｜={a1,a2,...,ak}=kとすると
B∩{1,2,…,n-1}は{n-ak,...,n-a1}を含まない
(もし含むとするとn∈A+Bではないことに反する)
なのでB∩{1,2,…,n-1}は{1,2,…,n-1}から{n-ak,...,n-a1}を除いた元しか持ち得ず
これはn-1-k個以下である
しかしこれは
｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧n-｜A∩{1,2,…,n-1}｜=n-k
なので矛盾する

従ってn∈A+B

無駄があるかも
179 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/02(火) 18:26:01 ]: 正ｎ角形を一筆書きして出来る図形のパターンをp[n] 通りとする。
ただし、回転や鏡影を施して重なるものは同じパターンとします。
例　p[3]=1, p[4]=2

(1) p[5],p[6] を求めよ。
(2) p[n] を求めよ。
180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/02(火) 19:07:12 ]: >>179
>正ｎ角形を一筆書きして出来る図形

すべての正ｎ角形の頂点を通る一筆書き（頂点同士を直線で結ぶ）して出来る図形
星型etc
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/05(金) 04:38:29 ]: 通信網の問題：
互いに離れたところにいくつかの通信基地がある。
これらの基地の間には通信ケーブルが張り巡らされており、
どの二つの基地もちょうど一本のケーブルで結ばれている。
ところがこのケーブルは一方通行でしか情報を送れない。
つまり、二つの基地の間で、どちらかの基地は他方へ情報を送信できるが、逆方向へは直接送信はできない
このような通信基地たちとケーブルによって構成された通信網を考える。
さて、Ａを通信基地のひとつとする。
もし以下が成り立つならば、このようなＡを通信網の要と呼ぶ

「任意の基地Ｂ(Ａ自身は除く)に対してⅰまたはⅱが成り立つ
　ⅰ)ＡとＢの間のケーブルはＡが送信側でＢが受信側である
　　（これをＡ→Ｂと書くことにする）
　ⅱ）ある基地ＣがあってＡ→Ｃ→Ｂである　」

つまり、Ａが要であるとはＡは自分以外のどの基地へも高々２ステップで情報を送信できる事を意味する。

問題：
どんな通信網も必ず少なくとも一つ要を持つことを示せ
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/05(金) 07:07:44 ]: 同じ問題を出してもしょうがないでしょう。
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 04:03:50 ]: >>181
N個の基地からなる通信網に要Aがあると仮定する。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
仮定より、Cの基地は全て、あるBiから1ステップで到達できる。

ここに新たに基地Xを追加したとき、
・A→XならAが要。
・あるBiに対しBi→Xなら、A→Bi→Xとなるため、やはりAが要。
・X→A、かつ全てのBiに対しX→Biのときは、任意のCjに対し
　あるBkがあってX→Bk→Cjとなるため、Xが要になる。

よって、N+1個のときも要がある。
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 04:10:06 ]: >>117
　直径１以上の円形の穴。円周上も立入り禁止。
　鬼が近付いて来たら、円の中心Oについて対称な点に逃げる。
185 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/07(日) 12:23:15 ]: ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい

(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 12:31:51 ]: 「の３乗」なんて書くやつの問題がおもしろい確率を答えよ。
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 12:45:39 ]: ｢面白い｣の定義を答えよ
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 13:30:21 ]: 顔の表面が明るい無彩色
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 00:36:40 ]: 〔問題〕
　a = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおく。
次の双曲線函数
(1)　y = cosh(ax),
(2)　y = sinh(ax),
(3)　y = 2cosh(ax),
(4)　y = 2sinh(ax),
(5)　y = (2/√5)cosh(ax),
(6)　y = (2/√5)sinh(ax),
が通る格子点をもとめよ。
なお、(1)の格子点は(3)の格子点、(2)の格子点は(4)の格子点.
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 02:00:14 ]: >>183
俺も解いたけど、解き方が違ったので書いてみる。

背理法で証明ので、要がないと仮定する。
1ステップで到達できる基地の数がもっとも多い基地のうちの一つをＡとする。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
要がないという仮定から、Ci -> Bj (任意のi,j) という経路があることと、
Ci -> A (任意のi) を言って、Aの定義に矛盾することを示してＯＫ。
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 03:04:56 ]: >>190
下から2行目だけど、
「要がないという仮定から、あるCiが存在し、任意のBjに対しCi -> Bjとなることと」
じゃない？
192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 08:45:36 ]: >>191
証明のためだけなら、あるCiについて述べればそれで十分だけど
どのCiをとってもそうなっているのだから別にめくじらたてるほどのことでもない。
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 10:14:22 ]: なってねぇだろ
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 11:12:30 ]: ああ、Bのどの基地からも１ステップでいけない残り全部がCだ。
要がないと仮定したのでCは空でない。
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 16:33:19 ]: 結局、1ステップで到達できる基地の数が最も多い基地が
自動的に要になるってことか。
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 20:06:07 ]: ABCDEの5人に◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
これより各問の正解が◯×どちらであったかを推測して下さい

※abcdefghij
A:OxxOxOxOxx 8点
B:xxOOOxxOOx 7点
C:xxxOxOxxOO 6点
D:OOOOOxOxOx 5点
E:xOOxxOOOxO 4点
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 20:32:45 ]: oxooxoxoox
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/08(月) 22:35:00 ]: OxOOxOxOOx
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 08:44:43 ]: 長さ2009cmの紐があります.
コレを二人が交互に切るというゲームをします.
ひもは一本に付き一箇所だけ, cm単位でしか切れません.
# つまり, (5,2004)に切るのはokで(5.5,2003.5)に切るのはNG
また紐を好きなだけ何本でも重ねて切ることもできます.
# (5,2004) -> ((2,3),(1000,1004)) の様な切りかた
先に切れなくなった方が負けで, パスは出来ません

先手必勝でしょうか後手必勝でしょうか

p.s.
問題書きながら気になったんだけど
> ひもはcm単位でしか切れません.
という条件を緩めて"長さ1cm以下の紐を作っては良けません"にしても面白いかも
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 12:33:53 ]: 直径1cm、重さ1g、密度一様の球が毎秒一回転の速さで回っている時の運動エネルギーはいくらか？
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:29:33 ]: 0
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:32:05 ]: 回るってのは自転するのか楕円軌道を描いているのかどっちよ？
203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/10(水) 12:37:47 ]: >>200宿題にしか見えない･･･
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 04:27:21 ]: >200

KE = (1/2)Iω^2,
I = (2/5)ma^2
a: 球の半径[m],
m: 球の質量[kg],
I: 球の慣性モ－メント（中心を通る軸まわりの) [kg･m^2],
ω: 回転速度[rad/s],
KE: 運動エネルギー[J]
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 22:34:25 ]: >200
　ω = 2πf,
　f: 回転数 [Hz]
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 04:19:51 ]: >199

定義：
　ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
　先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
　そうでないとき後手必勝型と呼ぶ

場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。

同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち

さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ－１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
　この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ－１以下の奇数三つができる
　後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型

従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝
207 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/13(土) 19:25:03 ]: (1)
ある商品を買うと6種類の内1種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけを6種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?

(2)
ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:27:36 ]: オタク的には箱買いすればいい
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/14(日) 00:24:03 ]: （１）
すでにｋ(0≦k≦5)種類もっているとき、新たに一個買って
ｋ＋１種類になる確率は　１-ｋ/6
よってｋ種類からｋ＋１種類にするのに平均で買う個数は
Σ[ｎ＝１から∞]ｎ・(ｋ/6)＾(ｎ-1)・(1-ｋ/6)
＝１/(1-ｋ/6)
従って
６種類そろえるまで買う個数の期待値
＝Σ[k＝0から5](ｋ種類からｋ＋1種類にするまでの期待値)
＝１ + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6
＝147/10

(2)
同様に考えると、おまけが1種類つく場合のａ種類そろえるまでの期待値は
ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）
商品一個につきｂ種類のおまけがつく場合は、
「1種類のおまけがつく商品を常にｂ個セットで買う」と同じことだから
(ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）) / b
210 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/14(日) 07:35:18 ]: >>206
正解.

"長さ1cm以下の紐を作っては良けません",
"長さ1cm未満の紐を作っては良けません"
のケースも暇があったら考えてみてください^^
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 10:01:28 ]: × 「良けません」

△ 「行けません」
○ 「いけません」
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 23:02:50 ]: >209

「ｂ種類のおまけ」と「ｂ個のおまけ」を勘違いしてないか？
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 01:47:05 ]: >189

チェビシェフの多項式より、
(1)　(p,q) が格子点ならば (np, T_n(q) ) も格子点
(2)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)(q) )
(3)　(p,q) が格子点ならば (np, q*T_n(q/2) ) も格子点
(4)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, 2*U_(2n)(q/2) ) も格子点
(5)　(p,q) が格子点ならば (np, (2/√5)T_n((√5)q/2) ) も格子点
(6)　(p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)((√5)q/2) ) も格子点
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 03:30:30 ]: >>212
なぜそう思う？
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:08:32 ]: >>214
おまえの脳を読んだからさ！
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:15:13 ]: いや俺は考えていないからそうは思っていないはずだ。
それとも深層心理まで読み取られてしまったのだろうか？
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 19:08:54 ]: 任意の実数aに対して

f(a,a^2,a^3)=f(a^2,a^3,a)=f(a^3,a,a^2)=f(a,a^3,a^2)=f(a^3,a^2,a)=f(a^2,a^3,a)=0

を満たすようなx,y,zの多項式f(x,y,z)を求めよ。
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 23:17:13 ]: >>210

１未満を作ってはいけない場合：
まず、>>206で定義した先手必勝型、後手必勝型に加え、「作ると負けになる長さ」を
禁止型と呼ぶことにする。禁止型は広い意味では後手必勝型に含まれると考えられそうだが
これらを区別した方が後の議論に都合がいいので。
>>206の議論は切断位置を実数にした場合にも自然に拡張され
「場に存在するのが後手必勝型のみの局面はその手番の負け」、さらに
「場に少なくとも一本先手必勝型が存在すれば勝ち」が言える。
後者は整数ルールのときから言えたことであり、ここから
「全ての先手必勝型ｘに対して、少なくとも一つあるｙが存在し、ｙとｘ-ｙはともに後手必勝型」
が言える。
さて、半開区間(1,2]の要素はそれ以上切断できない。(切断しようとすると禁止型を生じる)
よってx∈(1,2]のとき、xは後手必勝型
またこの区間の要素の和で表せる(2,4]の要素は全て先手必勝型
ここで、ε＞０に対して4+εを先手必勝型とする。
先手必勝型の性質から4+εはある後手必勝型の和で表せるはずだが、既知の後手必勝型は最大でも２なので
可能なのはなにか未知の後手必勝型4+δが存在して4+ε→(4+δ,ε-δ)と分解されるときだけ
ここでε-δ＞1であり、とくにε＞１
まとめると「4+εが先手必勝型ならばεは１より大きい」
対偶を取って「ε≦1ならば4+εは後手必勝型」
よって半開区間(4,5]の要素は全て後手必勝型
こうしてまた新たに後手必勝型が見付かったので、それらの和で表せる(5,7]や(8,10]は先手必勝型
同様の議論を続けていくと、結局k＝0,1,2,3,・・・に対して
(3k+1,3k+2]は後手必勝型であり、(3k+2,3k+4]は先手必勝型
とくに2009＝3・669+2は後手必勝型
１以下を作ってはいけない場合もほとんど同様にして半開区間の向きだけ変わり、
2009は今度は先手必勝型になる
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 04:04:21 ]: >217
f(x,y,z) = (xy-z)(yz-x)(zx-y)g(x,y,z),
f(x,y,z) = (xy-z^2)(yz-x^2)(zx-y^2)h(x,y,z),
など。
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 20:01:48 ]: (x-yz)(y-xz)(y-x^2)
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 19:15:11 ]: f(x,y,z) = 0 で十分。
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 11:09:34 ]: >>215
人の脳を(ry
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 12:09:56 ]: 媒介変数tを用いて表される二曲線(i),(ii)がある。

(i)x=e^(-t)cost,y=e^(-t)sint
(ii)x=e^(-t)cos2t,y=e^(-t)sin2t

この二曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 18:14:30 ]: >>223
t≧0 でいいんかな。1/2 になったけど。
225 名前：224 mailto:sage [2007/10/19(金) 23:35:07 ]: 1/4だた
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 13:27:37 ]: >223
　囲まれる部分はたくさんあるが･･･
　(i)のtと(ii)のtは
227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 20:38:30 ]: 自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 05:31:39 ]: >>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 18:49:05 ]: >>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?

平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )　
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))

計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….
230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/25(木) 16:13:32 ]: P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。

(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？
231 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 06:12:35 ]: age
232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 21:20:30 ]: Zagier's problems
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 20:55:45 ]: >>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。

(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。

(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 01:06:02 ]: >>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5),　ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。

> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。
235 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/06(火) 12:09:07 ]: H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。
236 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 09:49:15 ]: スレ違い承知で。

15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。
237 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 10:00:49 ]: >>236

7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000

7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000

二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 10:03:58 ]: 15秒でレスできねえよ
239 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 11:08:53 ]: >>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。
240 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 21:47:09 ]: このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:15:09 ]: 56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:16:03 ]: 打ち損じた
5764801だ
243 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 00:13:11 ]: >>242
どうやって考えたのよ
244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:20:40 ]: >>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々
245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:21:23 ]: 「暗算の鬼」参上
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:46:26 ]: 面接官(　｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。

>>244 (　´∀｀)：7^8＝5764801　下2桁が01だから計算が楽々。

面接官(　・д・)：

面接官( ・д・ )：
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:51:37 ]: 面接官(　｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。

>>244 (　´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。

面接官：
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　　／ノ　　(●)＼　・
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248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:57:51 ]: むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい

と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…

俺数学的センスないなｗ
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:14:46 ]: >>248
お前は俺か！
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:34:49 ]: 1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)

もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。
251 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:08:37 ]: インド人なら簡単なのかな？
252 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:12:21 ]: 49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 10:14:18 ]: 4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)

本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。
254 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:34:10 ]: この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。
255 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:39:16 ]: 判定予想

×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい

ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
256 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:42:21 ]: 判定予想訂正

×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい

ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 11:18:40 ]: k=1000 でっせ
258 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 13:09:35 ]: 2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 15:21:41 ]: まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。
260 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 18:36:44 ]: 暗算シリーズ
261 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 20:12:53 ]: 20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな
262 名前：258 mailto:sage [2007/11/09(金) 23:45:44 ]: 数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:07:44 ]: 125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:08:31 ]: >258
　29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
　2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:24:15 ]: >263
　63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
　2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26
266 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 00:53:11 ]: 出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…
267 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/10(土) 01:05:04 ]: >258

　a_1 = 5/4,
　a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
　a_2 = 63/50,
　a_3 = 375047/297675,
　･･････
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 01:15:38 ]: >>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな
269 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 02:05:20 ]: Taylor展開による解答を御用意しております。
270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 02:24:15 ]: ………
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 04:56:22 ]: >269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
　ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
　2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･
272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 08:22:59 ]: 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
273 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:46:33 ]: 時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。

2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、

左辺＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから

(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008

である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると

2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26
274 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:49:38 ]: 時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。

(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2

だからこれに ε ＝ 0.024 を代入すると

1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064

である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり

2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992
275 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/11(日) 08:12:06 ]: >>258

　a_1 = 5/4,
　a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]},
の方が収束が早いらしいお。 >>267
　a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･

参考書
　一松信, ｢数値計算｣至文堂近代数学新書 (1963)
　　　　第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 11:53:01 ]: >>269
Taylor展開と聞いてやってみますた
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+…
にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。
1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747…
1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336…
よって 2^(1/3) ≒ 1.2599
暗算にはかなり苦労しますた。
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 20:09:49 ]: >>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。
おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが…
>>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも
割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。
278 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:10 ]: ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。
ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。
２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。
279 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:26 ]: こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・

１，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。
7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？

これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○
誰か答えを教えてください。。。
280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:12:05 ]: >>279
マルチ

終了
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:18:02 ]: >>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
282 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:21:36 ]: >>281
７人ではないです。

> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 01:34:05 ]: >>278
1+3+9=13
284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 08:46:45 ]: >>283
むずい。解説きぼん。
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 09:51:49 ]: 有限射影平面になるから。
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:04:41 ]: 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:17:02 ]: >>272 >>286 氏ね
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:27:24 ]: >>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:40:06 ]: てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:46:27 ]: そういう解法があっても構わない。>>289
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 12:43:02 ]: 生徒は全部で n 人いるとする。

1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。

2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。

3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数はちょうど 4n 人。

4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 13:06:05 ]: ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291
293 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:05 ]: >>285
難しくてよくわかりません・・・

１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。
294 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:40 ]: つづき

全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。

以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 01:07:10 ]: >>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。
296 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:10:01 ]: >>292 で書いた事のココロを描いてみる。

[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。

[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。

[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。
297 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:11:00 ]: [291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。

2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。

3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。

4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。
298 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:12:37 ]: >>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)

[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。

[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。

あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 03:13:39 ]: >>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。

>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
300 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 10:36:51 ]: >>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。

> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。

13人が未解決問題とか聞いたことあるな。
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 22:25:32 ]: 昔の話で悪いですが

>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？
302 名前：258 mailto:sage [2007/11/14(水) 23:05:24 ]: >>273
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 16:59:39 ]: 2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これはド－ミの長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。

なんて感覚的な答じゃだめかな…
304 名前：258 mailto:sage [2007/11/18(日) 23:11:49 ]: 素敵な答をありがとう！もっと理屈をこねると次のようになるね。

ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。

音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。

私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:29:18 ]: 豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:50:49 ]: >>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 06:17:19 ]: 【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1195394463/
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 15:39:19 ]: 何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 20:11:22 ]: 平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:08:48 ]: さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、

2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい

という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である

と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:21:13 ]: 1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である

と言える人なら完璧。
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:08:25 ]: >258

√2 > 1.4142 より
　(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
　3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
　√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
　1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:15:06 ]: >258

　29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
　29√2 > 41,
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:31:06 ]: >>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:34:13 ]: もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば　2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？　ペル方程式の３次元バージョンですけど。
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:36:56 ]: ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:42:58 ]: 単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:45:01 ]: ×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 20:15:27 ]: >317
ギャクも真なり…
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 07:23:46 ]: 音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)

おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。

1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 10:30:31 ]: 1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。

セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。

で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 12:50:50 ]: >>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 16:21:32 ]: >>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 18:39:31 ]: 保守
325 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 21:27:28 ]: あげ
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 21:50:22 ]: よく小学生に出す問題

３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)
327 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 22:41:58 ]: 消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました

さて消費税はいくら？
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 22:47:53 ]: (3+3/7)*7=24
3/3+7*7=50円
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 00:52:43 ]: 地方消費税を考慮する必要はありますか？
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 02:09:04 ]: ab+c=a(b+c/a)
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 15:07:47 ]: 3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。
注:3^n-2　の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 01:27:46 ]: p:3^n-2の素因数として表れない素数とする
このとき
任意のｎに対して
3^n ≠ 2 (mod p)
一方、p＝３のときを例外として、明らかに
3^n ≠ 0 (mod p)
従って、任意の自然数ｎに対し
3^n = 1 (mod p)
つまりpは3^n-1を常に割り切る
とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る
2を割り切る素数、それは２しかない
∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない　⇒　p=２またはp=3

逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか
よって
(3^n-2の素因数全体の逆数和)
＝(2と3を除く全ての素数の逆数和)

素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 02:36:02 ]: >>332
７行目がわかりません。
なんで「従って」？
その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから
3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって
3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
334 名前：333 mailto:sage [2007/12/09(日) 02:41:31 ]: 間違った。
誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:00:56 ]: 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:24:57 ]: >>332
13 は 3^n-2 の素因数にならない
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 16:44:29 ]: 332です
どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって
ヘンな勘違いをしてしまったようです
なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか
我ながら理解に苦しみます
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:22:29 ]: >>335
いえません
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:50:06 ]: 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:56:37 ]: 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 23:30:23 ]: 自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:30:28 ]: 面白ければ。
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:33:43 ]: 面白くないと承知しねーぞ。
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:38:02 ]: では一つ。
(a, b) から R への C^1 級関数で、
有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 09:21:47 ]: f(x)=1/x
346 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:46:06 ]: そんな簡単なのがあったか！
ではもう一つ。
(a, b) から R への C^∞ 級関数で、
代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか
347 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:56:25 ]: >>346
は複雑すぎるようだから、
>>344
で、単調増加とするとどうだろうか？
348 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 12:06:10 ]: www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/70.html
の回答が
d.hatena.ne.jp/redcat_math/comment?date=20070621#c
にあった。よろ。
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 14:30:08 ]: >>347
f(x)=1-(1/x) on (0,1)

定義域をR全体にすると難しいかも。
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 18:33:10 ]: >>345
を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。
そろそろ数学やめようか。
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 19:32:32 ]: >そろそろ数学やめようか。

面白い問題だな！
352 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:33:05 ]: 0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。
その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという

この10桁の数は何でしょう？
353 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:39:22 ]: どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:14:17 ]: >352
3816547290
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/20(木) 03:18:50 ]: >>354
おお、本当にそうなってる、うめぇｗ
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/22(土) 00:31:38 ]: (1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋……
はいくつに収束するか？
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 03:51:21 ]: >356

(与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8…
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 17:19:35 ]: \Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！
359 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/25(火) 22:25:17 ]: >>354
今さらながら、どうやったの？
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:32:36 ]: >>354
超うめぇｗ
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:35:41 ]: >>353
エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓

www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/cardanos_formula.html
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:52:11 ]: >>359

>>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。
順番としては最後に７の倍数判定かな
順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 05:08:17 ]: OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。
364 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/26(水) 12:11:41 ]: >>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 14:20:50 ]: 動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 16:25:27 ]: 2
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/29(土) 20:47:53 ]: >>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。
368 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 21:06:20 ]: xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 15:54:09 ]: >>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。

ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 22:22:18 ]: www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:31:38 ]: 自作問題投下。

無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。

・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0

ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。

・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
372 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 23:32:27 ]: 転載ですがどうぞ

1)10cmの直線ABを引く、

2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く

3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く

4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる

5)直線ABの中点E1から垂線を引く

6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く

7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする

8)Fから、点ABCDに線を引く

9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう

10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。

10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一

10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ

問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:32:45 ]: たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。

□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□

次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば

□□□□□
□④②③□
□□□①□
□□□□□

と書き込む。このとき、行列Aは

１０１０
０１１１
１１１０
０１０１

となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:02:22 ]: >>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:05:38 ]: >>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:13:13 ]: >>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:27:12 ]: >>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 08:56:24 ]: >>377
定理という程の名前はなかったと思う。
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 10:42:59 ]: 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。

正十二面体ではどうか？

ここでは図を書けないので理論で答えよ。
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 11:38:11 ]: a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。
381 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 21:47:40 ]: >>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:59:46 ]: では書き直し。

a を非負の実数とする。

(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)

の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 04:30:54 ]: >>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 05:15:44 ]: >>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を

(i≠jのとき)　Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき)　Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1

に変えても

・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。

が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？
385 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 08:39:11 ]: >>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 09:44:31 ]: >>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 11:00:26 ]: >>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。

変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。
388 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:33:43 ]: >>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．
389 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:30:38 ]: >>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ

何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」
390 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:33:04 ]: 多面体逆向二筆書き
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 12:48:01 ]: >>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 13:53:06 ]: >>389 >>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 16:59:03 ]: >>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn－1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 21:10:09 ]: >>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。

x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記

だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で

(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1

と因数分解して「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。
395 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:17:56 ]: >>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:26:34 ]: >>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 00:52:39 ]: >>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 07:05:13 ]: 行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数の形になるのかな。

同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:54:58 ]: >>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。

不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。

> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、

[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 12:11:00 ]: >>398
>単一近似としての効率はどうかな。

効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。

立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:05:37 ]: >>399 >>400
tkx
大部感じが分かってきた。有難う。
402 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:37:11 ]: リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？
　例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！）
　　　　□ＡＢＣＤ
　　　　Ａ□１２３　　第１節がＡ－Ｂ＆ＣーＤ
　　　　Ｂ１□３２　　第２節がＡ－Ｃ＆ＢーＤ
　　　　Ｃ２３□１　　第３節がＡ－Ｄ＆ＢーＣ
　　　　Ｄ３２１□　
一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。
403 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:47:00 ]: 放置推奨
404 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 19:01:25 ]: >>401
↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。
93.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath2&c_num=83037
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:07:43 ]: >>400
　f(x) = x^2 -2/x = 0
を使えば3次の収束らしいお。 >>275
406 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/03(木) 19:27:32 ]: mainichi.jp/select/opinion/editorial/news/20080103k0000m070070000c.html
407 名前：405 mailto:sage [2008/01/03(木) 19:38:30 ]: a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2},
　　　　= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3},
408 名前：400 mailto:sage [2008/01/03(木) 21:33:05 ]: >>405
本当だ、確かに3次収束だ。はえー
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 23:22:15 ]: >>359が2007/12/25(火) 22:25:17
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 04:55:41 ]: >>394-401
同じように整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として

x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n

で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。
ただし Dは
D =
[0,0,d]
[1,0,0]
[0,1,0]
であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として
Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1]
Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1]
Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1]

Aの固有値は上のそれぞれに対して
a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2
になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば
c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。
このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 06:13:30 ]: >>成る程。
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 17:43:27 ]: >>409
数学板は全般的にこの通りだな。
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 00:23:35 ]: www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。
但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、
知っている人は別として、過去問は見ないやうに。

a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、
det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2
なる物が存在する。
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:20:46 ]: >>413
電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が
det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2
をみたすな。
E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f
とすれば題意をみたす行列の出来上がり。
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:51:12 ]: >>382 の (ii)
簡単の為 a ＞ 0 とする。
a = e^(log a)
a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a)
よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、
これが a の収束範囲。
416 名前：410 mailto:sage [2008/01/05(土) 11:05:43 ]: >>410
× (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立)
○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立)
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:50:06 ]: >>414
意外と簡単だったか！
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:30:21 ]: >>413
が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。
n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。
この時、連立方程式

x^n = f (x, y)
y^n = g (x, y)

は、少なくとも一つの実数解を持つ。
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:50:46 ]: >>418
そっちのほうが簡単な気が…

実係数、奇数次だから
(∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y)
(∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y)
よって（ry
420 名前：419 mailto:sage [2008/01/05(土) 15:57:07 ]: ごめん。できてなかった。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 16:49:57 ]: >>399
前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、
整点でそんな点はないんじゃないか？
だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？
いや待てよ、やっぱり云えないか。
複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:17:41 ]: >>382
(1)
a ≧ 1 だと当然収束しないから、
0　≦ a ＜ 1 とする。
この時適当な定数 C により、
a^(√n) ≦ C/n^2
と評価されるから、その範囲で収束。
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:32:24 ]: >>418
F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y)
G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y)
を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:44:34 ]: >>423
F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:07:25 ]: 遅ればせながら高校生スレに便乗

(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう

(2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう

(1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする
てかあの問題と同じ仕様で
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:13:27 ]: ん？
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:14:14 ]: >>425
ポリアの定理で計算出来る。
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:52:00 ]: >>379
が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。

正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。
また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。

正十二面体ではどうか？
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 21:32:15 ]: D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件：
任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。
また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき

(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy

を示せ。
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:00:51 ]: >429
　ただの ∑乱順序積 ≦ ∑同順序積 (積分版) だって…

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/206-207
不等式スレ３
431 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 00:07:59 ]: X=cosX Xはいくつ？
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:20:41 ]: >>431
で、問題は？
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:ｓage [2008/01/06(日) 02:07:17 ]: で、答えは？
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:44:35 ]: >>431
X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589…
死ぬほどクダラナイ
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:52:44 ]: >>427
ポリア？
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 09:16:28 ]: xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？
a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？

a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、0 ≦ x, y, z ≦ n　なる領域は幾つの領域に分割されるか？

a, b, c, d, n が奇数の時、
x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n
なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、幾つの領域に分割されるか？
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 13:13:22 ]: >>435
www.mathreference.com/grp-act,bpt.html
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 15:15:01 ]: >>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、
それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 17:49:50 ]: >>437
英語は嫌いだぁ
実際に解いてみてよ
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/06(日) 18:01:45 ]: 英語が嫌いでは高等数学は出来ない。
441 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 19:06:39 ]: >>428
シンプルな問題だったのが台無し

正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？
ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。

のほうが汎用性がある。
頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:19:11 ]: >>425 >>439
では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
を解いてみよう。
先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4.
このうち、自明でない回転で一致する物は、
各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!.
従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4.
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 07:46:34 ]: 各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で
1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。
S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。
444 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 15:09:09 ]: >>425
等間隔とかの条件がないから無限大
線対称は別の条件を入れないと誤解
445 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/07(月) 21:30:59 ]: 【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで)

１２個の硬貨ある。　そしてその中には贋金が一つ含まれている。

その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。

上皿天秤が与えられている。　その上皿天秤を３回だけ使って、

その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある

どんな方法か？　Web Page を作ってその方法を示せ。

E-mailの宛先は：－ ms.eurms@gmail.com

Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai
ga aru !

Good Luck to YOU and to US ALL !
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 05:03:26 ]: >>444
馬鹿無限大
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 15:43:48 ]: >>443
存在しない。二次体の簡単な話題。
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/10(木) 02:46:04 ]: ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、
玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、
赤玉が r 回であるである確率はいくらか？

と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、
途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、
次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。
最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 03:27:41 ]: >>443
の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。

これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、
この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。

(i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。
相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ...
とすれば、相似でない物が無限に得られる。

(ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY).
K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。
Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:00:01 ]: x^2+y^2-axy=1.
y=1+tx.
x=(a-2t)/(1-at+t^2).
y=(1-t^2)/(1-at+t^2).
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:29:01 ]: >>450
当然有理曲線ではあるよ。
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 09:00:18 ]: んー
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 16:43:25 ]: n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が
sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1
を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 17:17:56 ]: 0
455 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/10(木) 22:16:08 ]: ルービックキューブ（３Ｘ３Ｘ３、面中心色固定）をばらして無作為に組み直すと
完成出来なくなる場合がある。何通りあるか。
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/11(金) 02:08:18 ]: どこまでどうばらして良いのだ？
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/11(金) 03:14:06 ]: クォーク・レベルまで分解して、ハニーフラッシュ。
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/11(金) 23:26:13 ]: 世の中、馬鹿が多い様だな。
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 12:05:10 ]: ルービックキューブと言えば、

同形の立方体を27個使って、3×3×3に組み上げ、大きな立方体を作る。
はじめに赤いペンキで、その立方体の表面を塗る。
その後、一旦バラバラにして、まだ塗られていない面が表に出るように、
再び大きな立方体を作る。
次に、緑色で表面を塗る。
その後、同様に一旦組みなおして、まだ塗られていない面を表にして
大きな立方体を作る。
最後に、表面を黄色いペンキで塗る。

ここまでの作業で、ひとつひとつの立方体に着目したとき、
6面が2種類の色で塗られているものは何個あるか ( あるいは
その個数は定まるだろうか )。

って問題を思い出した。
なんか発展した問題ない?
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 15:58:34 ]: ばらして組みなおしてもまたばらして組みなおせるから完成できなくならない。
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 16:22:07 ]: >>455
直感的には
八つの角について位置の違いが２通り。向きの違いが３通り。
辺について位置の違いが２通り。向きが２通り。

２×３×２×２＝２４通り。

違うか…？
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 19:38:58 ]: 全ての部品が正解位置にある場合だけでも3^8*2^12-1通りはある。
463 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/12(土) 21:58:17 ]: 9*AB*CDE=ABCDE
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 22:21:14 ]: >>463
その種の問題はもう飽きた
465 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/12(土) 22:27:23 ]: どんな問題が「面白いか」は人さまざまだろうが…
このスレの他の問題のレベルを見てから投稿しても遅くはないだろう。
466 名前：455 [2008/01/12(土) 22:52:59 ]: 予想通り茶化された（まじ予想では無視スルーだったから感謝）
コマネチ大の１６パズルの発展系として考えたんだが
ルービックキューブを壊した事がない人には問題自体理解するのも無理か？
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 23:10:07 ]: 壊した事は無いが、「壊れた」事ならあるよ。
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 23:53:28 ]: 俺はメタメタにシールを貼りかえたことがある
4歳とか5歳とかそれくらいのときに
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:30:14 ]: >>468
そりゃばったもの
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:31:23 ]: もうかなり昔、中1の春にルービックキューブを買った。中の構造が気に
なったんだけど、でも壊すのは勿体無くて、しょうがないから、キューブと
キューブの間の僅かなスキマから中を覗いて、その構造を想像してた。
半年くらい考えて、中1の秋のころ、構造を解明した。友達の持っていた
キーホルダーサイズのルービックキューブを分解してもらい(結局、自分のは
分解せずｗ)実際の構造を見てみたら、バッチリ合ってた。
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:51:56 ]: >>466
どんな状態からでも1段と半分までは揃うんだな。
あとは3軸周りの移動回数で場合分けすればいけそうだが面倒だな。
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 01:44:33 ]: 正方形のみで作る立方体の展開図の個数を数学的に解くとか、ってある？
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/13(日) 02:33:09 ]: >>472
無限個
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 02:49:47 ]: 正方形のみで作る立方体の意味が分からん
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 03:29:05 ]: 問題
無理数の無理数乗が有理数になる事はあるか？
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 03:43:34 ]: e^(ln 2)
477 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/13(日) 10:38:57 ]: a^b、b^aがいずれも有理数となる無理数a、bは存在するか
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 11:07:31 ]: >>466
ばらしたあとどう組みなおせるのかもわからん。
対象の位置にあるのは全部入れ替え可能なのか？
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 11:36:18 ]: >>477
x^x = 3 なる実数 x が存在するから、
これが無理数なる事も容易に分かり、
a = b = x とする。
480 名前：475 mailto:sage [2008/01/13(日) 12:31:31 ]: 一応用意しておいた解答を書いとくと

まず√2は無理数である
従って(√2)＾(√2)が有理数ならば、主張が成り立つ
(√2)＾(√2)が無理数ならば((√2)＾(√2))＾(√2)=2　なので
やはり主張が言える

というのがあった
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 12:43:52 ]: >>480
(√2)＾((√2)＾(√2)) は、どうして有理数なの？
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 13:03:29 ]: >>481
475は(√2)＾((√2)＾(√2))という数には触れてないぞ。((√2)＾(√2))＾(√2)でしょ。
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 13:44:15 ]: あ、いや、わかった。>>477と勘違いした。
484 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/13(日) 14:46:38 ]: >>478
もちろん！
原型に直したら数学の問題にならない
機械組立工作の問題になる
485 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 13:30:20 ]: 1から6までの数字を1回ずつと＋､－､×､÷､括弧のいずれかを使った式を考えます
それを例えば6×(1＋25)÷3－4とします
この式を逆から読むと4－3÷(52＋1)×6となります
この2式の差は48－3.66037……≒44.33963となります
この様に逆から見た値と元の式との差が､
0にはならず､できる限り0に近くなる様な式を見つけて下さい

[ﾙｰﾙ]
(1)1から6までの数字を全て1回ずつ使う.これ以外の数字の使用は不可
(2)156の様に数字をくっつけてもよい
(3)＋､－､×､÷､括弧はそれぞれ何回使ってもよいし､使わないものがあってもよい
それ以外の演算子の使用は不可
(4)4の斜め上に3を書いて4の3乗にする等は不可
486 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 14:19:18 ]: >>485
ルールをつけたす必要があるぞ
1+2+3+4+5+6
6+5+4+3+2+1
差は0
487 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 16:17:30 ]: >>486
「0にはならず」だよ
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 16:55:06 ]: >>485
数学的な魅力に乏しい気がする。

条件を満たす最良の式を求めたりチェックしたりするには、総当りしかないだろうから。
489 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 17:37:33 ]: ﾙｰﾙを厳密に定義したければ追加要
負の数を表す-は不可
（）は逆使用

例　1+(-2x3)+4+5+6⇔6+5+4+)3+2-(+1
意味不明
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 19:01:38 ]: 156/234 -> 625/90000
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:47:44 ]: >480
何が言いたいのかよくわからないけど
(√2)＾(√2)　は無理数だよ
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:51:19 ]: >>491
元の問題良く読め。
(√2)＾(√2) が有理数であっても無理数であっても、どちらを仮定しても、
元の問題が高校レベルで解けるという事だ。
493 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 20:52:04 ]: >>491
高校生向きの解答なら>>480じゃないと無理だろ
高校生には(√2)^√2が無理数であることの証明はできない
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:56:32 ]: ああ、なるほど　よく読んでなかった
すまぬ

うまく考えたものね
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 21:11:48 ]: nを2以上の自然数とするとき
√1+√2+…+√n が無理数であることを示せ
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 00:21:31 ]: >>485
少しだけやってみた
5÷6＋24÷31＝1.6074･･･

13÷42＋6÷5＝1.5095･･･

上－下≒0.0979

ただこれが最小な自信も根拠も何も無い
問題というかチャレンジだねコレ
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 00:37:23 ]: >>490が0.003くらいだな
498 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 01:20:30 ]: 156/432-234/651≒0.001664
プログラム書いてこのタイプの商の差を求めたらこれが最小だった
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 01:21:17 ]: プログラム書くなら全部やればいいのにｗ
500 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 01:26:02 ]: 演算子や括弧まで網羅するのは俺には無理
３桁の商の差は網羅した
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 01:46:49 ]: 逆ポーランド記法使えば括弧使わなくて済むから
プログラミングが楽になるよ。

でも計算量がなぁ…
502 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:14:45 ]: プログラムをちょっと変更して↓のタイプのを試した
6÷5132÷4-4÷2315÷6＝0.00000431
503 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:18:11 ]: 0でない有理数というと結局は割り算しかないのだからこの辺で限界じゃまいか
504 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:39:56 ]: 1.05の4分の1乗はどうやって解くのですか?
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 02:40:27 ]: >>504
「解く」とは？
506 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:44:45 ]: どのように計算したら良いですか？
507 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:47:52 ]: 平方根の筆算ができるのなら、それを２回やるといいよ
508 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 03:02:15 ]: ごめんなさい。
よくわかりません…
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 03:07:58 ]: 平方根の筆算は検索すればすぐ見つかる。
それができないなら、電卓を使うしかないな。

それから、その問題はこのスレじゃない方がいいだろうね。
510 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 16:52:45 ]: 23:MASUDA◆5cS5qOgH3M :2008/01/14(月) 21:46:37
以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ．
条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 23:01:32 ]: >510
p≧2, b[k]≧2 として
　c[n] = Π[k=1,n] b[k],
　a[n] = p^c[n]
とおく。
　a[j]/a[i] -1 = p^(c[j]-c[i]) -1 = p^{c[i](c[j]/c[i] -1)} -1 = a[i]^(c[j]/c[i] -1) -1,
　c[j]/c[i] -1 ≧ 1 だから a[i] -1 の倍数。

　a[j] -1 = (a[i] -1)(a[j]/a[i]) + a[j]/a[i] -1,
より
　gcd(a[i] -1, a[j] -1) = gcd(a[i] -1, (a[j]/a[i]) -1) = (a[j]/a[i]) -1.

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/23-29
東大入試作問者スレ１３
512 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/17(木) 02:34:57 ]: >>511
その答えに反例が挙がってるようだが
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 16:07:40 ]: Nを任意の自然数とし、F(n)をフィボナッチ数列とする
F(n)がNで割り切れるような自然数n全体を決定せよ
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 17:16:18 ]: >>513
www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#118
より、フィボナッチ数 F(n) はmod. N 周期を持つが、
それすら分からない難問であるから、
もっと易しくしてちょ。
なお上記より、 N で割り切れるフィボナッチ数が必ず存在することは分かる。
515 名前：513 mailto:sage [2008/01/17(木) 17:53:43 ]: >>514
n|m ならば F(n)|F(m) であることに注意する
F(n) ≡ 0 (mod M) となる最小の n を n(M) とする
N = Π^{m}_{k=1} p^{a_k}_k と素因数分解されるとする
このとき Chinese Remainder Theorem より次が成り立つ
n(N) = LCM( n(p^{a_1)_{1}) , ... , n(p^{a_m)_{m}) )
従って求める自然数全体は n(N) の倍数全体となる
以上より、素数 p と自然数 a に対して n(p^a) を具体的に求めれば良い

n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 20:39:05 ]: >>515
>n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ
良く知られた予想はあるが、誰も証明した物はいない。
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:00:41 ]: www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#118
とその解答参照
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:16:16 ]: なんだよ転載かよ
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:43:10 ]: >>441
蛇足
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:56:54 ]: >>518
www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/link1.html
くらいチェックしておけ
521 名前：513 mailto:sage [2008/01/17(木) 22:58:17 ]: >>516
用意していた解答にミスを見つけたorz
てか、有名な問題だったのね。知らんかった

お騒がせしました
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/19(土) 23:02:13 ]: 平面ではなくて空間に世界地図があるとする。
各国は空間領域とする。各国に色を塗って塗り分けたい。
但し、点や線で接している国は同じ色にしても良いが、
面で接する国は違う色で塗り分けねばならない。最低何色必要か？・・・・

と言いたいが、これでは何色でも必要になってしまう。
それでは条件を付けて、国は全て有界凸閉多面体で、
国の数も有限とするとどうか？
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:14:08 ]: 小学校の時、先生が遊びで出した問題です。

マラソンランナーは42キロの距離をを、1時間で残りの距離の1/2進めるとします。
いつまで行ってもその残りの1/2が残りますが、数は無限大にあるので、
ランナーは永久にゴールできないのか？

確かゴールできるという答えだったと思うのですが、
理系の大学に入った今でもわかりませんｗ
ふと思い出したので、答えを教えてください。
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:24:59 ]: 高校の内容を使ってもいいなら↓

スタート地点をｘ、ゴール地点をｙ、ランナーをaとする。
このとき、aはｙに限りなく近づく。
よって、a=y
つまり、aとｙの位置が同じとなり、ランナーはゴールできる。
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:42:22 ]: n時間後のランナーとゴールの距離をd[n]とすれば
d[n]=42*(1/2)^n>0
であるから、決してたどり着けない
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 01:00:39 ]: 足元がゴールラインすれすれになった頃に胸を突き出せばゴールイン扱いになる
そういう問題ではないのか
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 01:19:57 ]: 実数列A[n]で、以下の条件を満たすものが存在するか？
存在するなら具体例を、存在しないならその証明を示せ
１、lim[n→∞] A[n] = +∞
２、lim[n→∞] A[2^n]/A[n] が存在
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 02:08:05 ]: >>527
数列{fn}を次のように定める。

f1＝2 , f(n＋1)＝2^fn

数列{fn}は明らかに狭義単調増加である。g：[2,＋∞)→Rを

g(x)＝k ( fk≦x＜f(k＋1) )

として定め、数列A[n]をA[n]＝g(n)で定義する。このA[n]は、
１と２をともに満たす。
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 02:22:56 ]: >>528
別の問題になってしまうが、その fn をn(>0)について実解析的に拡張できないものだろうか。
何らかの意味で自然に。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:02:39 ]: f(x)=x^a，a=x^a とする．

(1)x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
(2)x＜1の場合を論ぜよ．
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:52:35 ]: >>530
「収束する」という単語は、数列にしか使わない。
「数列{1/n}は0に収束する」という使い方しかしない。
1つの実数を持ってきて、それが何かに収束する、という言い回しはしない。
たとえば、「実数1は1に収束する」という言い回しはしない。

＞x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
f(x)は数列では無い。各xごとに、f(x)は実数を表しているから、「f(x)が収束するような」
という言い回しはしない。これに対し、たとえば、関数列{fn(x)}が与えられたとき、
「関数列{fn(x)}が収束するようなxの範囲を求めよ」という言い回しは正しい。
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:56:07 ]: 収束フォーーー
数列フォーーー
実数フォーーー
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 09:33:29 ]: >>530
x^a = a なんだから、 f (x) = x^a = a は定数
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 09:38:30 ]: 10^30 を 1002 で割った数の 10 の位を求めよ。
535 名前：530 mailto:sage [2008/01/20(日) 11:22:45 ]: >>531
訂正どうも。だめだめでｺﾞﾐﾝ
>>533
確かに・・。
f(x)=x^a ←このaにa=x^aを代入を繰り返して
f(x)=x^(x^(x^(x^(x^･･･))))
ってさせたかったんだけど、これじゃ結果が一意にならない？（のかな？）
混乱してきたので問題訂正しますorz

【問】
x^(x^(x^(x^(x^･･･))))＝α (α∈R)
となるようなxの値の範囲を求めよ．
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 11:27:48 ]: >>535
f(1)=x
f(n)=x^(f(n-1))
lim [k->∞] f(k) = α

と理解してよいか？
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:01:11 ]: >>536
なるほどそれなら>>533で指摘された不備が出ないですね。
問題無いと思います
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:06:07 ]: >>537
-1<x<=1
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:47:19 ]: >>535-537
www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/towerp.pdf
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:09:29 ]: 巡回するとなると厄介だな
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:10:36 ]: >>539
鼻血出た
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:20:36 ]: 1≦x≦exp(1/e)
と思ったら
exp(-e)≦x≦exp(1/e) までいけるのか
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:04:44 ]: >>542
学部二年の時にそれ導いたわ
有界で単調な数列は収束する、が本質だった
複素数の範囲は難しくて諦めた
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:05:09 ]: >>536
そいつを f と書いてしまうと、最初の出題の「 f(x) 」という書き方ができなくなってしまう。
g(x,1):=x
g(x,n):=x^( g(x,n-1) )
f(x):=lim [n→∞] g(x,n)
にしとこうぜ。

なおこのf は f^(-1) が簡単な式で書けるな。
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:07:20 ]: >>543
> 複素数の範囲は難しくて諦めた

y=f(x) は
x=y^(1/y) をみたすから、これを用いて解析接続することになるね。
546 名前：529 mailto:sage [2008/01/20(日) 14:12:26 ]: オレは >>544 の g(x,n) を、
xについてではなく nについて解析的な拡張をしたい。
g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、 zが実数を動くときはzについて対数凸な、
そんな拡張はできませんか。
547 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/20(日) 16:59:56 ]: 全部数字を入れるクロスワードです。入れる数字は全て平方数(何とかの2乗)です。同じ数は2度使っては駄目です。
　
■□■■□□
□□□■□■
□■□□□□
□□□□■□
■□■□□□
□□■■□■
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:04:08 ]: >>547
それが埋まると、何か面白い数学的事実が証明できたりするのか?
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:44:07 ]: >>547
平方数の「数字」は 0, 1, 4, 9 の四つだから重複を許さねば埋まる訳がない。
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:47:28 ]: >>549
バカなの？
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:53:24 ]: >>550
お前がな
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:58:17 ]: 〔527の変形〕
以下の条件を満たす実数列 A[n] の具体例を示せ。
1.　lim[n→∞)　A[n] = +∞
2.　lim[n→∞) A[2^n]/A[n] = α,　　　　(α>0)
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:02:33 ]: >552
　A[n] = k*α^g(n),　　　　　　(k>0, α≧1)
ただし、g(x) は >>528 に定義されているもの。
554 名前：546 mailto:sage [2008/01/20(日) 18:11:12 ]: × g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、
○ g(a,z+1)=a^( g(a,z) ) が成立し、
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:21:17 ]: >>547
ほう、最近はこういうのも「クロスワード」というのか。
ところで君の言う「クロスワード」の定義を教えてくれないか？
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:48:30 ]: >>552
α＜1だと困るがな
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:58:05 ]: mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
ぱわたわ…
558 名前：552 mailto:sage [2008/01/20(日) 20:54:37 ]: >556
　α≧1 だった … ｽﾏｿ.
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/20(日) 21:30:21 ]: >>557
も>>529の疑問には答えていない様だな。
これはアーベルの問題として昔から有名な問題だ。
幾つかの解も知られている。
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 23:26:53 ]: >>559
kwsk
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 01:12:25 ]: >>560
色々検索しても出てこなかったが、
サーティ編「現代の数学 III」（岩波）第一章に出ていた。
君が良く行く図書館にこれがあることを祈る。
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 01:17:23 ]: ありがとう。 >>561
英語でいいから、もっといい検索キーはないもんかな。
abel
interpolatoin
power
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 13:55:30 ]: 俺が今考えてる問題
おまいらにも考えて欲しい

n，mを自然数とする．1からnまでの数字が書かれたカードがそれぞれm枚ずつ，
合計nm枚ある．これらをm枚ずつn組に無作為に分けるとき，それぞれの組から
うまく1枚ずつのカードを拾って1からnまでの数字を集めることができるか．
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 14:02:09 ]: >>563
その問題の本質的な部分だけを取り出した問題を、
俺が過去ログに書いたことがある。解答もされた。
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 14:45:10 ]: >>564
むうｶﾞｲｼｭﾂだったか
すまん指摘ありがとう
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 15:11:04 ]: >>560
やっと見つかった。
en.wikipedia.org/wiki/Functional_equation
に出てくる
f (h(x)) = f (x) + 1 で h (x) = e^x の場合。
解の具体例まではここには書いてない。
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 15:12:08 ]: >>565
過去ログは
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 16:16:23 ]: ありがとう!! >>566
analytic solution ( "abel functional equation" OR "abel equation")
で検索したら、面白そうなのがザクザク出てきた。
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 17:07:37 ]: >>568
そんなに沢山出て来たんだったら、分かり易くて面白いの、一つ教えて！
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 21:22:30 ]: 方眼紙で，縦2マス，横nマスの長方形を考える．
この長方形の１つの角の点をＳ，Ｓからもっとも遠い点をＧとする．
Ｓを出発してＧに至る経路のうち，同じ点を2度通らないものの個数をa_nとする．
a_nを求めよ．
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/24(木) 11:02:05 ]: >>570
n×2の方眼紙内において
(0,0)を出発して(n,1), (n,0)に行き着く道順の総数をそれぞれb_n, c_nとおく
a_nのうち(n,0)→(n,1)の順路を含むものの数をa'_nとする
c_nのうち(n,2)→(n,1)の順路を含む物の数をc'_nとする
a_0 = a'_0 = b_0 = c_0 = 1, c'_0 = 0 となる
漸化式を図から考えて
a_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + a'_(n-1)
b_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1)
c_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + c'_(n-1)
a'_n = c_(n-1) + a'_(n-1)
c'_n = a_(n-1) + c'_(n-1)

…もっときれいな解法あるんだろうな
572 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:21:46 ]: (m+1)×(n+1) マスの升目がある。一番左側の列と一番下の行には既に碁石が置かれている。
（合計 n*m + 1 個）
残りの n×m の空白の升目に一つずつ碁石を置いて行って全部埋める方法は何通りあるか？
但し碁石を一つ置くには、そのすぐ左とすぐ下には既に碁石が置かれていなければならない。
（結構有名問題？）
573 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:40:43 ]: 株価2000円の会社があるとして、
ボラティリティ40%の場合、
株価が1000円を一回でも下回るのは、
5年間の場合、何%ありますか？
574 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:45:56 ]: >>537
ボラレたくないからあっち行け
575 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 00:11:23 ]: 数時間かけて作ってみた。興味あればやってみてな。答えから先に作ったので矛盾はないと思うが・・・。

二次の係数が1、一次の係数と定数項が整数の二次方程式がある。
その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。

正しい二次方程式を示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。
576 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 01:17:50 ]: 1,1,5,8を使って10って作れますか？
教えてくださいm(__)m
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 01:19:33 ]: >>576
8/(1-1/5)
578 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 01:33:15 ]: >>575
取り違えた方はもはや
>その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
を満たさなくても良いんだな？
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 01:50:14 ]: 1.8*5+1
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 02:45:51 ]: 5*{√(8+1)-1}
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 15:01:41 ]: >>578
おｋ。これは正しい二次方程式についての解の性質。

・・・っていうかすまん！よく見たら問題に重大な欠陥があった。
作り直してくるから>>575は無かったことにしてくれ！
582 名前：575の改訂版 mailto:sage [2008/02/02(土) 16:17:18 ]: 二次の係数が1、一次の係数と定数項がいずれも絶対値が一桁の整数という二次方程式がある。
その異なる二解のうち小さい方は-2より大きく、大きい方は2より大きいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。
正しい二次方程式の候補をすべて示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。

今度こそ間違いはないはず・・・問題作成って想像以上に気を遣うなあ。
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 17:09:51 ]: 二次方程式の解の大きい方、小さい方という言い方をする以上は
重解の場合（大きい方や小さい方というの解はない）や
解が非実数になる場合（そもそも大小関係がない）は
成り立たないものだと考えてよいのだな？
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 19:03:14 ]: >>583
その通り。「～その異なる二実数解～」とでも書けばベターだったかな。
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 20:04:09 ]: X_n = { 2^a + 2^b + 2^c | a, b, c は 1 ≦ a, b, c ≦ n なる自然数 } の濃度を求めよ。
586 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 21:43:20 ]: >>585
２０％くらいじゃないの？
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 21:45:31 ]: 集合の濃度ってそういう意味じゃないだろ…

a＜b＜cのときは、2進法表示の一意性により、全部異なる。
あとは、それ以外の場合でどれだけ重複があるかを調べる。
面倒くさいので他の人に任せた！(＾o＾)
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 04:04:37 ]: >>586
４年前にタイムスリップしたのかとオモタじゃないか。
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 23:49:40 ]: >>582
>をすべて示せ。
では面白い問題とは云えない。そんな問題なら誰でも作れる。
唯一つ解が有ってこそ面白い。
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:05:09 ]: >>589
そんなことは百も承知さ。だから初めは>>575のようにしていた。
でもこれは欠陥問題だったから涙を呑んで改変したわけだ。

「間違えて○○してしまった」系の問題って面白いだろ？あとは矛盾無く問題にできるかどうか、だ。
だから君に期待する。「間違えて○○してしまった」系の問題を作っておくれよ・・・。
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:07:28 ]: >>589
構造を調べたりするのも面白いと思う
まぁ>>582の設問は確かにつまらないが
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 05:26:11 ]: １００以上あるのを全て書くのは面倒
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 11:33:51 ]: いったい何が１００以上もあるのだろう？
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/02/05(火) 22:08:05 ]: 実数 x_1, x_2, ........... , x_n が全て正なる為の必要十分条件は、
それらの基本対称式の値が全て正なる事である。
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 23:53:17 ]: yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1201948696/

問題文がちょっと悪いと思っても気のせいです。
596 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 00:12:05 ]: それ落ちてない？
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 00:15:09 ]: うん。未解決なんだ。困ってる。
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 01:19:30 ]: 糞スレ立ててまで
答え出したのじゃないのか？

11 ：１３２人目の素数さん：2008/02/05(火) 23:04:52
・・・でも解いてくれます？多分オレ答え出したんだけど。
出題者いなくなっちゃったし。数学板の人なら、と思ったんだけど
先にオレの解き方言っちゃたら面白くないだろから言いづらいですけど

IQ160以上の超難問題解けるやついる？
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202217368/11
599 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 01:20:55 ]: 韓東の極左のゴミ共へ

①jp.youtube.com/watch?v=MOnh3ff3djY&feature=user
②jp.youtube.com/watch?v=sSx5OACLdUg&feature=user
③jp.youtube.com/watch?v=nkRQvoIEePU&feature=user
④jp.youtube.com/watch?v=y3o_R2GwCyk&feature=user
⑤jp.youtube.com/watch?v=kOnxs8jEo7c&feature=user
⑥jp.youtube.com/watch?v=ismanizU9l0&feature=user
⑦jp.youtube.com/watch?v=8fiBJRt8BC4&feature=user
⑧jp.youtube.com/watch?v=AenI3lTX6Vk&feature=user
⑨jp.youtube.com/watch?v=VPE-mofvZ2g&feature=user
600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 03:54:15 ]: >594
必要性は明らかなので十分性を示す。
基本対称式 S_1, S_2, ……, S_(n-1), S_n がすべて正とする。
　f(x) = (x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)…(x+x_n) = x^n + S_1･x^(n-1) + S_2･x^(n-2) + …… + S_(n-1)x + S_n,
とおくと
　x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0,
根 -x_1, -x_2, ……, -x_n はすべて負。

数セミの「エレガントな解答をもとむ」に出てた…
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:30:25 ]: 具体的な問題でなくてすまん。
ここの住人なら何か情報を知っているんじゃないかと思って
あえてスレ違いを承知で尋ねたい。

平面上の位相幾何の問題なのだけど、
幾つかの点とそれを任意に結ぶ辺からなる図形が
辺が交差しないように変形(点の移動)できるか否か
についての研究などの情報をお持ちでないでしょうか？

・正方形の頂点(４点)を互いに全て結んだもの(辺は６本)はそのままでは対角線で交差しているが
　正三角形と重心の位置に点を移動させれば辺は交差しないように変形可能。

・正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
　しかしどこか一箇所を切ったものならば可能。

・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:54:19 ]: >>601
その研究についての情報は持っていないが、
＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に
5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。
凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。
以下、凸四角形が存在することの証明。

5つの点の凸包を考え、場合分けする。
凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。
凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。
凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に
存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 11:07:04 ]: >>594 >>600
昔どこかのスレで見た
>>601
平面グラフ
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 12:19:45 ]: >>601
＞・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？

グラフが K5 あるいは K3,3 に位相同形な部分グラフを
含まなければ変形可能。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 14:11:18 ]: K5ってのは先に出た５角形のようだが
K3,3 ってどんな図形？
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 15:12:26 ]: >>605
www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no9.htm
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 16:52:23 ]: >>600
thx 確かにエレガントな解答だ。
www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#115
に、微分を使った解答が載っていたのだが、そんな簡単に証明できるとは気がつかなかった。
608 名前：570 mailto:sage [2008/02/06(水) 20:29:47 ]: 亀ですが
>>571
一解答例としてはその方針でおｋ
a'_nとc'_nについてはもう少し考察が必要
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:04 ]: >>595の問題

>1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2008/02/02(土) 19:38:16.48 ID:8Qf0u1wDO
>幽霊が次のような問題を出した
>800ml入る容器が8つあり1～8まで番号がついていて　今それぞれ100mlずつ水が入っている
>何個かの容器の水には　お前らには見えないし触れない魚の幽霊が　容器の番号と同じ匹数だけ入っている
>それ以外の容器には水しか入っていない
>何らかの理由で容器が空になった場合は　すぐに100mlの水と最初に魚の幽霊が入っていた場合は魚の幽霊を　容器の番号と同じだけ入れる
>大きな水槽があるがこれに容器の水を移した時　移った魚の幽霊の数を教えてやる
>その際水槽に移す時使用した容器は没収する
>魚の幽霊の数はたまに適当な数を教えるがその後3回は正しい数を教えてやる
>最初にどの容器に魚の幽霊が入っていたか確実にわかるためには　何回容器を水槽に移せばいいか　またどのようにすればよいか

は>>610のようにすれば容器に移す回数は5回以内である事が分かる
4回以内だと無理かどうかはまた今度考える
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:14 ]: 番号nがついた容器に最初に入っていた水を水nと書くとする
ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)
と容器内の水を移し変えれば水1,2,4,8のうちどれに幽霊が入ってるかを3回確かめられる
(3)(6)(5)(7)→(37)(65)(57)(7)→(37)(65)(57)(3655777)→(37)(3657)(365577)(3655777)
と移し変えれば水3,5,6,7についても同様に3回確かめられる

水1,2,4,8について確かめる動作を2回行い、同じ結果が得られれば
水3,5,6,7について確かめる動作を3回行う。
違う結果が得られた場合はもう一度水1,2,4,8について確かめ、
その後に水3,5,6,7について確かめる動作を2回行う。
これで水1-8のうちどれに幽霊が入っていたかが確実に分かる。
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:50:42 ]: なにを言ってるんだかさっぱりわからん。
このあたりは間違いなく意図通りに正しく書かれているのか？

>　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
>　(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 19:11:06 ]: >>611
まず最初に容器n（n=1～8）に水nが100mlずつ入っている
この状態は(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)と書ける
次に容器8の水を容器1に入れる
状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()となる
幽霊が容器8に水8を100ml補充してくれるから状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)となる
容器4の水を容器2に入れる。幽霊が容器4に水4を補充する。
容器8の水を容器4に入れる。幽霊が容器8に水8を補充する。
これで状態は(18)(24)(3)(48)(5)(6)(7)(8)となる。
容器1,2,4の水を容器8に入れると
状態は()()(3)()(5)(6)(7)(1244888)となる。

このように操作を繰り返して最終的に
状態を(18)(1248)(37)(124488)(3657)(365577)(3655777)(1244888)
としたかったんだが、勘違いしてて上手く出来ないっぽい…やり直す
あと>>595のスレ見ると4回のやり方もあるっぽいな
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 20:10:55 ]: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)→(14) () (3) () (5) (6) (7) (28)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (28)→(14) () (3) (4) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (248)→(14) () (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→() (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(1) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (8)→() (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)→() (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
（略）→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (35677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) () (3567) (355677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (355677) (12488)
と水を移し変える
水1,2,4,8が入った容器の中身を水槽に入れると
幽霊は0～15匹のどれかを言う→水1,2,4,8のどれに魚の幽霊がいるか分かる
水1,2,4が100ml、水8が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合、
水3,6が100ml、水5,7が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合も同様に分かる

ただ幽霊は嘘をつく事があるから2,3回同じことを確かめなきゃいけず
この場合だと5回かかる

>>611　この説明でも駄目か？
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:32:27 ]: >>612

>　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする

オレにはこれは「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」を意味しているように見えるんだが
444は400mlなのか？ 300mlはどう書くんだ？

意図どおりに正しく書かれているのかを確認してくれ。
前提の大事なところにタイプミスがあったりしたら、意思の疎通ができない。
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 14:50:04 ]: >>614
あぁ…そこでタイプミスしてたようでごめんよ
「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」だ
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:18:01 ]: △ABCがあり、三辺の長さは公差がdの等差数列をなしている。
最大辺の延長上に点Pを取ると、元の辺から増えた長さがdであった。
また、最小辺上に点Qを取ると、元の辺から切り取った長さがd/2であった。
ただしQが切り取った長さは、最大辺を含む点から測ったものとする。
さらに、直線PQの延長が△ABCの残った一辺と交わる点をRとする。
すると、直線PQRは△ABCの面積のうち半分を切り取ることとなった。
三辺の長さをdを用いて表せ。
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 04:22:45 ]: >>616
AB < AC < BC として一般性を失わない。
AB = x とすると、 AB + AC > BC より x > d。
Q は AB 上にあり、 R は AC 上にある。
△ABC = 2△AQR より AB*AC = 2*AQ*AR。
メネラウスの定理より (PC/PB)*(QB/QA)*(RA/RC) = 1。
これらを連立して x について解けば良い。
618 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 22:05:18 ]: ABCに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい
ただし同じ文字には同じ整数,違う文字には違う整数が入ります

(A＋B－C)×{(1/A)＋(1/B)－(1/C)}＝564
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 18:17:31 ]: 正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ(フラクタル不可)
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 20:41:18 ]: >>619
七問目-26
621 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 14:11:16 ]: 五段の階段があり、サイコロを振って出た目だけ上り、ちょうど一番上に止まったら終了する。
ただし、五段目までの段数よりサイコロの出た目が大きい時は、その分だけ下がるとする。
例えば、三段目で５が出たら、二段上った後三段下がるので、二段目になる。
サイコロの目が出る確率はすべて等しいとする。
一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。

問１．A(2-0),A(2-1),A(2-2),A(2-3),A(2-4),A(2-5)を求めよ。
問２．A(N-5) (N≧1) を、Nを用いてあらわせ。
622 名前：621 [2008/02/18(月) 15:29:35 ]: せっかく作ったんだから解いてよ！
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:19:49 ]: まだ一日もたってないだろ&終了したらどうなる？&何故引き算？
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:21:36 ]: A(i-3-1)
625 名前：621 [2008/02/18(月) 16:24:53 ]: >>622
引き算？

>一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。
N-nは引き算じゃなくて、添え字ｗｗ
626 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 16:56:36 ]: >>625
だったらN_nって書け
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:08:06 ]: 漸化式書いて終わりのよくある問題にしか見えん
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:20:00 ]: ttp://www.vippers.org/img/uho2820.jpg
□の次は何でこうなるの・・・？
わからん・・・やばい・・・
629 名前：sage [2008/02/18(月) 17:33:11 ]: 職場で
図の斜線が引いてある部分の面積を求めよ。但し、π=3 √3=1.7とする。

と言う問題が出たのですが無知な私にはさっぱり解りません。どなたかご教授お願いします

図
a.pic.to/nkx34
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:37:05 ]: なんというスレ違い
631 名前：sage [2008/02/18(月) 17:59:28 ]: お手数ですがお願いします。皆様が頼りなんです
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:03:59 ]: 取り下げて移動しないとここでは回答はいただけないかと
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/

>>629
◆指定されたページは存在しないか、携帯端末以外からのアクセスは許可されていません
633 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 18:04:52 ]: >>627
解けないくせに…
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:37:19 ]: >>633
難しくて全然分からないよ
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:52:11 ]: >>621
スレ違い
636 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 21:07:26 ]: 30になった
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 23:22:22 ]: 三十路か。
誕生日おめ。
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 01:51:03 ]: >>622名大入試問題のパクリやん…
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 04:19:38 ]: 五段だと他のどこの段にいたときも1/6の確率であがれるわけだから全然面白くない
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:45:23 ]: ４段目で６が出たら落ちて死亡して終了ですか？
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:50:00 ]: あれ？ひょっとして５段の階段というのは高さは６種あるのかな？
階段の段数は高さの種類-1なんですかね？
０段の階段というのはいわゆる平地なんでしょうか？

じゃあ１段目ってのは地面と同じ高さ？
それともひとつ上？

１階って地面と同じ高さ、２階はその上
てことは１段目は地面と同じで、ひとつ登ると２段目？
いやいや、ｎ階建のnは高さの種類と等しいから階段とは違うのかな？
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:01:15 ]: >>618
　A = 122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁)
　B = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁)
　C = 3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁)

なお、因数分解すると
　A = bc * 19 * 29 * 46591 * 100363979,
　B = ca * 37 * 1806705194075701,
　C = ab * 3 * 11 * 73 * 1543 * 4663 * 169789,
　a = lcd(B,C) = 2^2 * 5 * 449 * 35869 * 516624461,
　b = lcd(C,A) = 97 * 3769 * 19329352219,
　c = lcd(A,B) = 7 * 79 * 239441 * 50787883,
　lcd(a,b,c) =1,
らしい。

〔参考文献〕
A.Bremner, R.K.Guy and R.J.Nowakowski;
"Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?"
　Math. Comput. Vol.６１, No.203, (1993 July)
www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math03/math0304.htm
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:17:27 ]: 〔問題〕
x,y,z に整数を入れて等式を成立させて下さいです。。。
1)　x^3 + y^3 + z^3 = 564,
2)　x^3 + y^3 +2z^3 = 564,
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:11:54 ]: z=0は明らかなんだからただの二元三次連立方程式だな
645 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 04:06:17 ]: >644

1) と 2) は別々の問題でつ。 2) の方が易しいでつ。
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:50:19 ]: 問題番号見てなかったぜorz

>>645
2もｚが奇数でｘ,ｙが偶数であることしかわからないんだぜ
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:52:49 ]: ん！！？

よく考えたらxyzすべて奇数だよな・・・？
648 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 05:31:00 ]: >643 の 2) はすべて奇数で、2桁以下らしいよ。1桁もあるらしい。
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 06:47:58 ]: この問題の面白さがよくわからんのだが

2)
-1^3 - 21^3 + 2*17^3
= 23^3 - 33^3 + 2*23^3
= 93^3 + 95^3 - 2*94^3
= 564
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 09:24:38 ]: 564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3
(Leonid Durman, 2007)

きっと ttp://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math04/math0403.htm から
持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？

俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと
思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。
651 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 22:39:22 ]: >>649-650
御名答.
見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが）
因数分解しても、とくに面白くないし……
　564 = 2^2 * 3 * 47,
　53872419107 = 13 * 1193 * 3473623,
　 1300749634 = 2 * 223 * 2916479,
　53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277,

>>642
　B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947,
　gcd(a,b,c) =1,
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 23:30:00 ]: lcd＝最大公約数？
653 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:19:14 ]: いくつ解けますか？

ブラジル数学オリンピック本選 2004 小学生対象
[1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。
n は奇数である
n は平方数である
n の各位の数字の平方の和は平方数となる

[2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。

　△
△▽△

先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。
作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。

　黒　 | 　白
白白灰 | 灰白黒
↑同じペア

　黒　 | 　黒
灰白白 | 白白灰
↑異なるペア

この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。
654 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:22:29 ]: [3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。
たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。
2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。

[4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。
プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。
テーブルにおけなくなった方の負けである。
どちらのプレイヤーが必勝であるか？
(a) n = 2004 の時は？
(b) n = 2005 の時は？

[5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か
もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 03:51:19 ]: >654
[3問目]
　2^(3m) + 2 = 4n + 2,
　2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5)
∴　5 の倍数…
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 04:50:26 ]: >>654
[4問目]
nが偶数なら後手必勝。先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。
nが奇数なら先手必勝。一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。

[5問目]
辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？
だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。

それとも凸型に限定されるのか？
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:09:11 ]: AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり
もらえるポスターはランダムです。
そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート
するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？

別に問題的には面白くないかｗ
ニュースとしては面白かったが・・・
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:24:55 ]: >>657
クーポンコレクター問題。

問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:28:03 ]: ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎくらいだね。(ｎが十分大きいとき)
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 13:37:02 ]: >>657-658
ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:16:33 ]: 3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、
十の位は常に偶数であることを示せ。
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:33:19 ]: 3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81
3^(n+4)-3^n=3^n*80
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:52:23 ]: ゴリ押しで解いてみた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204281995

ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは
期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は
MΣ[k＝1～M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。

>>659
γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1～n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1　(n＝1,2,…)
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 20:46:34 ]: なんか添え字ミスがいっぱいあった。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204285553
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:38:29 ]: >>655,656
正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた.

[Q1] 幾何の問題なので省略

[Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる.
5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である.
a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか
b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか

[Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている.
彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ
その積を紙に書きこむ.
そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす.
一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ.
紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:40:51 ]: 前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正.

[Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする.
それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない.
このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する.
Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か.

[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.
a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.

[Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える.
どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が
含まれているというとき、nの最大値を求めよ.
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 10:05:24 ]: >>665
[Q2] a)
この数列は奇数、偶数、奇数、偶数、偶数の並びを繰り返すので４つ偶数が並ぶことはない。
b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。

「Q3]
Σ_[n=1→99]{n}
ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。
さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
結局どう分けようとも…

[Q4]
nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。
2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を
そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。
後手必勝である。
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 12:18:37 ]: Q2のb
ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:22:01 ]: a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。
(1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、
(1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると
2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:24:38 ]: 訂正。

2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
↓
2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の
ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。
671 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/01(土) 15:47:36 ]: >>666
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.

a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了)

b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。

解答は計算が面倒なので...すいません。

[自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30°
回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を
求めよ.

　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:52:49 ]: >>668
ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。
もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:55:51 ]: >>671
> 角線を中心に30°回転

線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが
しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？
674 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:24:58 ]: >>672
ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある
・途中からループに入る
・最初からループしている
途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？
４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。
だから最初からループしてるてことだ

俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:27:56 ]: >>674
いやすまん。
> ４つの並びからその前が決るとなら
ここがわからないんだ。
676 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:30:56 ]: a+b+c+d≡e (mod. 10)
なら
a≡e-b-c-d (mod. 10)

aは0～9だから丁度1個ある
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:33:25 ]: なるほどそうか。サンキュ。
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 21:38:01 ]: >>666
[Q6]の意味がいまひとつわからん。
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 22:38:32 ]: 並べ方Aに対し
i行にr_i(A)種類の数字
j列にc_j(A)種類の数字
があるとする
r(A):=max_i(r_i(A))
c(A):=max_j(c_j(A))
n(A):=max{r,c}
としたとき
min_A(n(A))を求めよ、ということだろう
680 名前：671 [2008/03/01(土) 23:50:28 ]: >>673さん。
　問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり
ます。書き間違えまえてしまってすみません。

[自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本
の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の
重なった部分の面積を求めよ.
681 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/04(火) 10:48:57 ]: □に1～9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい
同じ数字2度使いは不可

□□□×□□＝□□×□□
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 10:55:33 ]: 既出
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:09:16 ]: 134*29 = 58*67
138*27 = 54*69
146*29 = 58*73
158*23 = 46*79
158*32 = 64*79
174*23 = 58*69
174*32 = 58*96
186*27 = 54*93
259*18 = 63*74
532*14 = 76*98
584*12 = 73*96
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:34:32 ]: >>600
アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？
685 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/04(火) 11:50:51 ]: >>684
x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から
f(x)=0の解はx≧0には存在しない
つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負
と考えてるんだと思う
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:49:41 ]: 正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:53:24 ]: >>686
ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの)
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:09:07 ]: 三進法と同じです
条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:12:18 ]: Aを含む集合ならOKだし
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:16:41 ]: ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:24:52 ]: まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが
もうちょっとシャンとしてくれや
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:35:26 ]: シャンとしなくて申し訳ないです
問題文を改めてみました

正整数全体の集合をNとする。
相異なる三つ整数からなら集合Aに対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 03:54:27 ]: この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。
既出だったらすまん

三角形がある。
今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で
ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。

このとき、∠ＡＤＢを求めろ。
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 04:35:44 ]: ラングレーでググれ
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 07:57:30 ]: >>649
レスthx
でもこれラングレーとちがくね？
ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし
求める角度の場所も違うような
一応ググったが・・・すまん
696 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 08:07:35 ]: AとBとCそれぞれに0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可

AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 09:53:08 ]: 15864*9327 = 18654*7932 = 147963528
37962*5148 = 51948*3762 = 195428376
26475*9381 = 62481*3975 = 248361975
54186*7923 = 87153*4926 = 429315678
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 10:24:05 ]: 197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968
253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248
192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845
820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584
435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460
154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936
286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782
158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280
537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840
319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750
379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760
249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753
815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970
264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750
286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134
405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056
549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180
541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780
453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572
651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120
704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952
751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160
564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760
699 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 18:54:47 ]: >>697-698 どうやって求めんの
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:33:02 ]: ?に0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可

??分??秒×?＝?時間??分??秒
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:49:25 ]: kingは死ぬ
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:55:12 ]: 明日ここにカキコしたあと心臓麻痺で死ぬ、とデスノートに書いておいた
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:24:23 ]: つぎの　やさいのうち　なかまはずれは　どれ　?

1. だいこん　　2. にんじん　3.　ごほう　4. じゃがいも

私立幼稚園入試問題
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:26:57 ]: じゃがいも。
ほかのみっつはふといねっこそのものをたべる。
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:35:29 ]: せいかい

3. ごぼう　　です。

だいにじせかいたいせん　のとき

ほりょとなった　あめりかじん　にだした　りょうりに

ごほう　を　だしたら、　にほんじんは　われわれに

きのねっこ　を　たべさした　と　くじょうがあり

そのご　しゅうせん　を　むかえ　ほりょしゅうようじょ　の

しょちょうが　じぃえいちきゅう　から　せんぱん　の　ようぎ　を

かけられました。

とさ
706 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/03/05(水) 21:35:47 ]: Reply:>>701 お前が先に死ね。
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:50:29 ]: もんだい

1. しゃつ　　2.　ぱんつ　3. くつした　4. はんかち

なかまはずれは　どれ　?

国立教育大付属幼稚園入試問題
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:54:24 ]: ぱんつ

これはニオイかいでみたいから
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:55:18 ]: 面白くない問題は自粛願います
710 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/03/05(水) 22:02:18 ]: Generalist の修行が足りない奴が仲間はずれを決めてはならぬ。
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 22:10:22 ]: >>710
スレチ
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 22:14:14 ]: せいかい

4. はんかち

ほかのものは　どれも　りったいてき　であります。

また、ことばに　つ　が　ついています。
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/06(木) 00:35:04 ]: >>700
50分42秒 * 9 = 7時間36分18秒
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/06(木) 03:41:02 ]: シャツとパンツ（小用穴付き）は同相。
ハンカチと靴下は同相。
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/07(金) 07:11:22 ]: >>705

ようぎをかけられたのはよくわかったが
なぜそれがなかまはずれのりゆうになるんだ？
716 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/07(金) 15:35:15 ]: >>693 >>695

線分BCのC側の延長上に、BE=ACとなるような点Eをとり、
△BEF≡△ABCとなるような点Fを、BEから見てAと同じ側にとると
△ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形
△EDBはED=EBの二等辺三角形

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