- 371 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:31:38 ]
- 自作問題投下。
無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。 これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。 塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。 各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。 ・Aの(i,j)成分=(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0 ただし、i=jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると 定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ ことを示せ。 ・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。 ・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
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