面白い問題おしえて〜な 十三問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ] 面白い問題、教えてください 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/06(金) 09:02:00 ] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 03:30:30 ] 虚数i面体のサイコロをπ回振ったときの期待値を求めなさい 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 04:26:17 ] ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>3 　 くく　へﾍﾉ 5 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/07(土) 06:06:25 ] 虚数iとπを公式にあてはめればいいだろう？ 何も屁をかますことはないと思うが… 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 06:35:49 ] 虚数面体ってなに？ 明太子と関係ある？ 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 07:11:30 ] 誰も丁度に書き込もうとしなかったな 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 14:17:18 ] ゴルゴのような正確さでスルーにﾜﾗﾀ 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 18:51:39 ] A君は最初にR^2内の(0,1)にいる そしてサイコロを振っていき、 ・1or2が出ればx座標+1、y座標+1の地点へ ・3or4が出ればx座標+1の地点へ ・5or6が出ればx座標+1、y座標-1の地点へ という風に移動する この移動を繰り返しy座標が0の地点に着いたらストップする 線分(0,0)-(0,1)とA君が通ったルート、x軸で囲まれる面積の期待値は幾つ？ 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 18:52:20 ] 囲まれる面積→囲まれる領域の面積 11 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/07(土) 22:11:12 ] 発散するんじゃないのか、これ？ 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 22:12:37 ] このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20) life8.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1174579828/l50x [生活全般] 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/08(日) 00:16:55 ] 次は2008/08/08 08:08:08か。このスレなら射程距離だなｗ 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/09(月) 16:24:43 ] 縦、横の長さがa,bである長方形Xを有限個の正方形A1〜Anに分割出来るとき、 a/bは有理数である事を証明せよ 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/09(月) 23:16:55 ] こりゃ難しそうだ。 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 23:39:53 ] 自作問題。 (1)f：[0,∞) → Rは2回微分可能であるとし、sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞であるとする。 さらに、任意のε＞0に対してΣ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^kが存在するとする。このとき、 lim[ε↓0]Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝−f(0)/2 が成り立つことを示せ。 (2)g(x)＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k/√(x^2＋k^2) (x∈R)とおく。右辺の級数は任意のx∈Rで 収束することを示し、lim[x→±∞]xg(x)＝−1/2となることを示せ(ある大学院入試の過去問より)。 (1)について…与えられた級数に形式的にε＝0を入れると、f(0)(−1＋1−1＋…)となる。 適当な総和法では−1＋1−1＋…＝−1/2となるので、、f(0)(−1＋1−1＋…)＝−f(0)/2 となり、右辺に一致する。……この現象は偶然ではない。今、任意のε＞0に対して Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^kの存在が保障されているので、アーベル総和法による シグマ(これをA-Σと書く)でも同じ値になる。すなわち、 Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝A-Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k となる。sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞という条件は、この総和法の下でlimとA-Σの 順序交換が可能であることを保障する条件になっていて、 lim[ε↓0]Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k＝lim[ε↓0]A-Σ[k＝1〜∞]f(εk)(−1)^k ＝f(0)A-Σ[k＝1〜∞](−1)^k＝f(0)(−1/2) となる。(こんなことしなくても、(1)は解けます)。 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/15(日) 01:14:01 ] 外接円の半径Rを〜まで読んだ 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/15(日) 02:28:46 ] >>17 つ眼科 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 01:09:46 ] プロ野球の終盤になると安打を打つと打率が二厘上がり凡打だと一厘下がりますが このことが始まるのは何打数からでしょうか？ 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 02:48:48 ] 脳みそ沸いてるの？ 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 08:55:57 ] 野球見ている奴って頭悪そうだな・・・ 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 09:04:16 ] おいおい、そういうことは答えてから言え 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:28:56 ] これは流石に、答える前に言っても構わんだろう… 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:33:26 ] 打率10割の人は、なん打数目だろうともうそれ以上上がることはないな。 打率0の人は、なん打数目だろうともうそれ以上下がることはないな。 それ以上下がるって変な表現だな。 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/18(水) 15:43:27 ] たぶん、あくまで推測の話だが、 普通、打率は1/10000の位で四捨五入して出す。 なので>>19の言っていることには一定の解答を与えることは出来る。 しかし面白くはない。質問スレに持っていくべきだろう。 26 名前：転載 mailto:sage [2007/07/21(土) 19:18:19 ] 三角形ＡＢＣの Ａを中心に半径Max(b,c)、 Ｂを中心に半径Max(a,c) Cを中心に半径Max(a,b) の３つの円を描くとき、それらの合併集合の面積を求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183317476/499 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 01:40:48 ] 平面格子上をA=(0,0)をスタート、B=(n,m)をゴールとして通る経路を考える 線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通ってゴールに至る経路で最短な奴の個数は幾つ？ 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 01:55:52 ] >>27 カタラン数の一般化ですな？ 念のため訊いておくが、お主解答は用意出来て御座るか？ 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 06:36:00 ] >>26 正三角形の場合だけやってみた。 a^2*(11pi+3√3)/6 三角形ＡＢＣのＡを中心に半径ｒ（Ａ）.. として ｒ(A)＝a,　ｒ(Ｂ)=b,　ｒ(Ｃ)=c ｒ(A)＝c,　ｒ(Ｂ)=a,　ｒ(Ｃ)=b etc とした方がきれいな結果になるような気がしないでもない。 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 13:41:20 ] >>28 すいませぬ。n>mという条件付で ×線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通って ○直線y=xに触れず（点Aは除く）に格子の辺のみを通って だった 27だと階乗使うだけじゃ表せねぇ 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 14:29:14 ] >>30 あーしてこーしてひっくり返すと ((n-m)/n)*C[n+m-1,m] 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 16:34:56 ] >26 a≧b≧c としても一般性を失わない。 A,B,C を中心とする円を α,β,γ とすれば、 　(α∪β∪γ) = α + β + γ - (α∩β) - (β∩γ) - (γ∩α) + (α∩β∩γ), 　S(α) = πb^2, 　S(β) = S(γ)　= πa^2, 　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(a,b), 　S(β∩γ) = f(a,a), 【補題】 　0<r≦R とする。半径Rの円をC, その周上の点を中心とする半径rの円をcとすると, 　共通部分の面積 S(C∩c) は, 　　f(R,r) = (π/2)r^2 + (2R^2 -r^2)･arcsin(r/2R) -r√{R^2 -(r/2)^2}, 　　f(R,R) = {(2π/3) - (√3)/2}R^2, 残った S(α∩β∩γ) をどうするかという問題。 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 17:31:42 ] >>32 この問題ってa=BC, b=CA, c=ABってことでいいんだよね？ 円と円の交点（一番外側にあるやつ）と、三角形の頂点を線分で結んでいくと、 4つの三角形と3つの扇形が出来る。 こっちのほうが楽でない？ 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:05:48 ] 必要なのってヘロンの公式だけで、わからんスレにあったやつだし、普通に高１の数学じゃね？ 結果出してないから何ともいえんけど、結果は綺麗にならない悪寒がする。 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:20:37 ] >>34 やってから言えよ、ジジイ！ 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:36:57 ] >32 　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(b,a), 【補題】は 0<r≦2R のとき。 r≧2R のときは πR^2 だった. ｽﾏｿ. 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 02:45:04 ] >26 >32,34 より、S(α∩β∩γ) を求めればよい。 α周,β周とγ周の交点をD,Eとおく。△BCEは正3角形。 まづ B ≧ π/6 のときを考える。 B ≧ π/3 -B = ∠ABE, b = AC ≧ AE, Eはα内にある。 CAの延長とγ周の交点をA'とおくと、 α∩β∩γは2直線BC,CA'により3分割される。 α∩β∩γ = (筍形BCE) + (筍形A'CD) - (扇形A'CB), S(α∩β∩γ) = (1/2)f(a,a) + (1/2)f(b,a) - (1/2)(a^2)C. 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 03:46:02 ] なぜこの問題はマルチのみならず、マルチ進行が許されるのですか？ 教えてください。夏だからですか？ 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 19:30:00 ] deg(f)=2. deg(g)=2. f(g(x))=x^4+x^3+x^2+x+1. 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 23:12:11 ] >>39 解あるの？ 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/27(金) 19:12:45 ] >37 の続き B≧π/6 のときは S(α∩β∩γ) = {(π/3) -(√3)/4 -C/2 +θ/2}a^2 + {(π/2)-θ}b^2 -(a/2)√{b^2 -(a/2)^2}, S(αＵβＵγ) = {(5/3)π +(√3)/4 -B -C/2 -θ/2}a^2 + {(π/2)-A+θ}b^2 +2Δ + (a/2)√{b^2 -(a/2)^2}, θ = arccos(a/2b),　ΔはABCの面積。 >32, >36 S(α∩β) = (a^2)B + (b^2)A -2Δ, だな。 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/28(土) 23:28:08 ] >41 の続き 　Ｂ≦π/6 のときは α周とβ周の交点をC,E'とする。E'はCとEの間にある。 　α∩β∩γ = (α∩γ) - (弓形CE') = (α∩γ) - {(扇形CAE') +2Δ -(扇形CBE')}, S(α∩β∩γ) = S(α∩γ) - {(b^2)(B+C) +2Δ -(a^2)B}. ﾊｧﾊｧ 43 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 12:08:59 ] >42 の続き 　CE'は2つの円周に挟まれてるから「三日月形CE'」と言うべきだな。 44 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 15:27:51 ] >42 の続き B≦π/6 のときは 　S(α∩β∩γ) = (B+θ)a^2 +(A-2θ)b^2 -2Δ -a√{b^2 -(a/2)^2}, 　S(αＵβＵγ) = {(4/3)π +(√3)/2}a^2 = 5.05481560…a^2 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/30(月) 03:31:25 ] >44 の続き B≦π/6 のときは 　α ⊂ (βＵγ) 　α∩β∩γ = β∩γ だな… 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/31(火) 01:27:57 ] >44 の続き まちがえた…orz B≦π/6 のときは 　αＵβＵγ = βＵγ だった… 47 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/01(水) 20:33:38 ] 3乗して下3桁が777になるような整数は存在するか？ 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 20:38:27 ] 753^3=426957777 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 21:39:40 ] N,mを正の整数とし、nをNの桁数とする。 f(N,m)の値を以下の値で定義する。 「N^mを下からn桁ずつ区切っていき、それらの総和をf(N,m)とする。 n桁ずつ区切ったときに最上位の数字が0の部分は桁数がn未満の値として扱う」 (1)任意のnに対してf(N,2)=Nを満たすNが存在することを示せ。 (2)任意のnに対してf(N,2)=f(N,3)=Nを満たすNは存在するか？ 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 22:08:38 ] >>49 問題の意味を俺が理解できているか確認したいんだけど、例えば f(101,3)=1+30+301=332 ってことでよい？ 51 名前：49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:17:32 ] >>50 それでＯＫです。 理解が早くて助かります。 52 名前：49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:23:57 ] すいません、一つ追加です (1)は｢二つ以上存在｣にしてください。10^k-1以外にも存在することを示す感じで。 53 名前：50 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:29:12 ] >>49 ありがとう。チャレンジしてみるよ。 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:16:42 ] n！を10進法で表記したとき、それを1の位から見ていき、初めて0でない数が現れた ところで、その数をf(n)と書く。たとえば 4！＝24なのでf(4)＝4 5！＝120なのでf(5)＝2 10！＝3628800なのでf(10)＝8 となる。自然数nの5進方表示n＝�納i＝0〜u](5^i)aiを与えたとき、 �納i＝1〜u]i*ai≡t (mod 4)となる自然数tを1つ選べば、 {au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t の1桁目の数字がf(n)になっていることを示せ。 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:30:50 ] 例： n＝21のとき、5進法でn＝�納i＝0〜u](5^i)ai , u＝1 , a0＝1 , a1＝4 と表せる。�納i＝1〜1]i*ai≡t (mod 4)となるtはt≡1*a1＝4≡0 (mod 4)なので、 t＝4が選べる。このとき{au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t＝4！1！2^4＝24*16 なので、 この数の1の位は4となり、f(21)＝4となる。 直接求めると、21！＝51090942171709440000であるから、f(21)＝4である。 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 00:50:58 ] >>49の(1)をやってみた（出来てないけど） p=10^nとして 　 　N^2=ap+b, f(N,2)=a+b=N の2式から 　 　a=N(N-1)/(p-1), b=N(p-N)/(p-1) となる。a, bが整数であるためには、 　 　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*) を満たす必要がある（p≡1 (mod p-1)だからbから来る式はいらない）。 任意のnに対して、(*)を満たす10^{n-1} ≦ N ＜ 10^nなるNがあれば万事OK。 p-1以外のNということで、n≡±1 (mod 3)の時は、I=(p-1)/9, d=1,2,...,8として 　 　N = dI for n≡1 (mod 3) 　 　N = dI+1 for n≡-1 (mod 3) がある。ただし、dはnに応じて適当に選ぶ必要がある。だけどn≡0 (mod 3)はこのゾロ目形は通用しない。無念。 詳しくないので(*)の一般的な解法があるのか知らぬ。 57 名前：56 [2007/08/05(日) 00:56:13 ] 後半の(mod 3)は全部(mod 9)だった。 58 名前：56 mailto:sage [2007/08/05(日) 01:05:05 ] 簡単に修正しようとして失敗した。 I=(p-1)/9として、n≡1,2,4,5,7,8 (mod 9)の時はd=1,2,...,8を適当に選んで 　 　nd≡1 (mod 9)と出来る場合　N = dI 　 　nd≡-1 (mod 9)と出来る場合　N = dI+1 とすればOK。 だけどn≡0,3,6 (mod 9)のときはゾロ目形は通用しない。 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:37:36 ] >>49 (1) N=99・・・9 (n桁)=(10^n)-1は条件を満たす。 実際，N^2=10^(2n)-2*10^n+1において， 下n桁は1，その後のn-1桁は99・・・8 (=10^n-2)なので それらの和は(10^n)-1=N 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:41:23 ] >>49 (2) 存在しない。 f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。 ところがn=1のとき，N=9だが，N^3=729となり，f(3，N)=18≠N 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 02:05:42 ] >>59 (1)に限っては、>>52で99・・・9 ｢以外でいつでもあるか｣と言ってるよ。 >>60 >f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。 その必要は無いよ。 それと(2)では(1)と違って、その形であっても存在すればOKと出題者は言いたいのだと思う。 俺の計算機がしょぼいので、ここまでしか確認できてないけど、 f(N,2)=N 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222… f(N,3)=N 1, 8, 10, 45, 297… ちなみに俺は>>56だけど、n≡0,3,6 (mod 9)のとき、(1)を満たすNが無いと言いたいのではなくて、どのような形になるかわかってないと言いたかった。 （もちろん俺は出題者じゃないからね。誤解無いように。） 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:37:36 ] 単位円がある。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。 OP_1がx軸の正の向きとなす角がθ(0<θ<π/4)となるような点P_1をとる。 ∠OP_1P_2=θとなるような点P_2をとる。 ∠P_1P_2P_3=θとなるような点P_3をとる。 ∠P_2P_3P_4=θとなるような点P_4をとる。 ・・・以降同様に、∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)=θとなるような点P_(n+1)を順次とる。 ただし∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)は線分P_(n-1)P_(n)について、∠P_(n-2)P_(n-1)P_(n)と同じ側にある（同位角）とする。 P_(n)の座標をθを用いて表せ。 問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:43:37 ] >>62 >問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。 ふざけんなｗｗｗ 他所にそれ相応のスレがある。 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 05:51:28 ] >>63 え、このスレって答えも用意してないとダメなの？ 正直スマンカッタ。問題ごと忘れてくれ。 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:24:58 ] >>64 いや、答えがわからなくてもいいとは思うが、 >考えたけど面倒でやめたから後は任せた。 というところに突っ込みたくなった。それでは面白いかどうかわからないでしょ？ 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:32:47 ] >>65 別の問題を考えていた時に、ふと思いついた図形から考えてみた。グラフィカルに面白いと思ったから出してみただけ。そういう意味じゃないって？ いずれにしても答えはわからなかった。軟弱な俺を許して。 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 07:28:50 ] >>>62 P_3の取り方に（一般性を失う）2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの？ 68 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:31:27 ] ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz 今何とか考えてみたらこうなった。 P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ) P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)　ただしn=0の時P_(0)は定義しない。 69 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:35:03 ] >>67 意味わからない。どういうこと？ 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:40:55 ] 知将 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:58:27 ] >>56 >　 　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*) N^2 ≡N (mod p-1) N と p-1 の最大公約数を q とすると N ≡1 (mod (p-1)/q) N ≡0 (mod q) の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の 整数解の存在は保証される。 そして、そのNがf(2，N)=Nを本当に満たしているって言うのは 不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。 というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。 (2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。 72 名前：66 mailto:sage [2007/08/05(日) 15:55:37 ] >>70 多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。 まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。 73 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/05(日) 22:33:36 ] >>72 簡単 かつ つまらない かつ 解答も考えずに書き込んだお前は屑だ！ 100年ロムって、そのままｓ… 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 22:37:21 ] 100年と言わず、半万年ろｍ（ｒｙ 75 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/06(月) 01:14:47 ] 半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、 ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。 n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か？ 長年疑問だったのでお尋ねします。 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 01:38:55 ] mathnoriの問題か？ 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 08:57:51 ] >>62の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。 原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。 線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。 次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。 次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。 ・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。 (1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。 (2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。 (3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。 定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。 なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い（注：ここだけ美しくなくて残念）。 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 09:03:55 ] >>77 また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 11:12:22 ] A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n] B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n] A[1]=1、A[2]=3 B[1]=1、B[2]=1 を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。 80 名前：75 mailto:sage [2007/08/06(月) 13:01:20 ] >>76 問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。 中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団（配位子） が結合(配位)したものを金属錯体と言います。 金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような 空間配置をします。 ４つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります) ６つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。 ５つの場合は、中心金属を含む平面内に正３角形の頂点をなすように３つ、 残りの２つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。 数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを 知りたくて出題させて頂きました。 数学素人の問題ですがお願いします。 類似の問題がありましたら教えてください。 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 13:15:22 ] >>78 糞して寝ろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 82 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/06(月) 17:30:01 ] (ﾟДﾟ) 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:32 ] >>77 とりあえず２分くらい考えただけだが (2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7 (3)2sin3π/7-√3 あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:48 ] >>80 立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、 問題>>75の｢距離の和｣が関係してるの？ むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:58:42 ] 距離の二乗の和？ 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:15:59 ] >>83 解説は不要とのことなので、感想だけ。 2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:56:44 ] >80 　それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね? 　Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min. 88 名前：83 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:04:41 ] >>86 あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。 ほとんど当て推量で、 10-1=6+3=9 10-3=6+1=7 10-6=3+1=4 の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。 ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。 あと(3)はなんか意味のある問題だったり？ 89 名前：87 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:34:28 ] >80 　3方両錐型のとき 　　Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小) 90 名前：75 [2007/08/07(火) 00:42:56 ] >>84,85,87 レスありがとうございます。 イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは どのような常態かが知りたくて>>75のような問題文になってしまいました。 この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。 球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に 点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。 これが球面になるとどうなってしまうのか？ とくに対象性の悪い数の場合はどうか？ が知りたくて出題しました。 91 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:57:39 ] >>89 解答ありがとうございます。 各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に なることの証明は難しいのでしょうか？ 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/07(火) 01:05:30 ] >>89 6.4746915 をぐぐったら　Distributing n Charges on a Sphere tracer.lcc.uma.es/problems/thomson/thomson.html なんてページが出てきた。 93 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:09:35 ] 連投で申し訳ないです。 各点に立体角を割り振るようなうまい定義 ができていないのがダメですね。 94 名前：75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:14:31 ] >>92 面白いページですね。 ５つのときはやはり三方両錐型ですね。 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 00:24:02 ] >>88 勘違いすみませぬ。 (1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば ↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ) ↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ) =(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ) 以下同様にすれば ↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(�納k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),�納k=1,n]sin(k(k+1)θ/2)) ・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな？ (2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。 変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。 (3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。 最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。 したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。 ＞あと(3)はなんか意味のある問題だったり？ 別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた（このへんが浅はかだなあ）から、 それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、 「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。 さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」 との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の 面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。 96 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/08(水) 03:47:31 ] 2^186+1/65　が整数であることを証明せよ。 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 08:34:43 ] (2^186+1)/65？ 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 17:44:15 ] 以下65を法とする 2^6≡64≡-1 2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1 2^186+1≡-1+1≡0 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/09(木) 11:11:31 ] 自作問題。 (1)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。 ・fは(-1,1)上でC^1級である ・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ ・f(0)＝0である このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。 ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。 (2)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。 ・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない) ・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ ・f(0)＝0である このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。 ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。 100 名前：89 mailto:sage [2007/08/11(土) 01:17:39 ] >92 �d�dｸｽ nが小さいところでは n=2,　直径,　　 f(2) = 1/2,　a=2, n=3,　正3角形,　f(3) = √3,　a = √3, n=4,　正4面体,　f(4) = (3/2)√6,　a = √(8/3), n=5,　三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3,　a(ax)=√2,　a(eq)=√3,　 n=6,　正8面体,　f(6) = (3/2) + 6√2,　a=√2, n=7,　五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10},　a(ax)=√2,　a(eq)=√{(5-√5)/2}, n=8,　捩れ正方形柱,　f(8) < 2 + 6√3 + 3√6,　(square anti-prism), 　a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…,　a(side) = 1.28769352633104…, n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2}, n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15, かな。 n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef