- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:29:33 ]
- 0
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/09(火) 15:32:05 ]
- 回るってのは自転するのか楕円軌道を描いているのかどっちよ？
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/10(水) 12:37:47 ]
- >>200宿題にしか見えない･･･
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 04:27:21 ]
- >200
KE = (1/2)Iω^2,
I = (2/5)ma^2
a: 球の半径[m],
m: 球の質量[kg],
I: 球の慣性モ−メント（中心を通る軸まわりの) [kg･m^2],
ω: 回転速度[rad/s],
KE: 運動エネルギー[J]
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/11(木) 22:34:25 ]
- >200
ω = 2πf,
f: 回転数 [Hz]
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 04:19:51 ]
- >199
定義：
ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
そうでないとき後手必勝型と呼ぶ
場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。
同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち
さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ−１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ−１以下の奇数三つができる
後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型
従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/13(土) 19:25:03 ]
- (1)
ある商品を買うと6種類の内1種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけを6種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
(2)
ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:27:36 ]
- オタク的には箱買いすればいい
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/14(日) 00:24:03 ]
- （１）
すでにｋ(0≦k≦5)種類もっているとき、新たに一個買って
ｋ＋１種類になる確率は １-ｋ/6
よってｋ種類からｋ＋１種類にするのに平均で買う個数は
Σ[ｎ＝１から∞]ｎ・(ｋ/6)＾(ｎ-1)・(1-ｋ/6)
＝１/(1-ｋ/6)
従って
６種類そろえるまで買う個数の期待値
＝Σ[k＝0から5](ｋ種類からｋ＋1種類にするまでの期待値)
＝１ + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6
＝147/10
(2)
同様に考えると、おまけが1種類つく場合のａ種類そろえるまでの期待値は
ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）
商品一個につきｂ種類のおまけがつく場合は、
「1種類のおまけがつく商品を常にｂ個セットで買う」と同じことだから
(ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）) / b
- 210 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/14(日) 07:35:18 ]
- >>206
正解.
"長さ1cm以下の紐を作っては良けません",
"長さ1cm未満の紐を作っては良けません"
のケースも暇があったら考えてみてください^^
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 10:01:28 ]
- × 「良けません」
△ 「行けません」
○ 「いけません」
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 23:02:50 ]
- >209
「ｂ種類のおまけ」と「ｂ個のおまけ」を勘違いしてないか？
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 01:47:05 ]
- >189
チェビシェフの多項式より、
(1) (p,q) が格子点ならば (np, T_n(q) ) も格子点
(2) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)(q) )
(3) (p,q) が格子点ならば (np, q*T_n(q/2) ) も格子点
(4) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, 2*U_(2n)(q/2) ) も格子点
(5) (p,q) が格子点ならば (np, (2/√5)T_n((√5)q/2) ) も格子点
(6) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)((√5)q/2) ) も格子点
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 03:30:30 ]
- >>212
なぜそう思う？
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:08:32 ]
- >>214
おまえの脳を読んだからさ！
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 04:15:13 ]
- いや俺は考えていないからそうは思っていないはずだ。
それとも深層心理まで読み取られてしまったのだろうか？
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 19:08:54 ]
- 任意の実数aに対して
f(a,a^2,a^3)=f(a^2,a^3,a)=f(a^3,a,a^2)=f(a,a^3,a^2)=f(a^3,a^2,a)=f(a^2,a^3,a)=0
を満たすようなx,y,zの多項式f(x,y,z)を求めよ。
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/16(火) 23:17:13 ]
- >>210
１未満を作ってはいけない場合：
まず、>>206で定義した先手必勝型、後手必勝型に加え、「作ると負けになる長さ」を
禁止型と呼ぶことにする。禁止型は広い意味では後手必勝型に含まれると考えられそうだが
これらを区別した方が後の議論に都合がいいので。
>>206の議論は切断位置を実数にした場合にも自然に拡張され
「場に存在するのが後手必勝型のみの局面はその手番の負け」、さらに
「場に少なくとも一本先手必勝型が存在すれば勝ち」が言える。
後者は整数ルールのときから言えたことであり、ここから
「全ての先手必勝型ｘに対して、少なくとも一つあるｙが存在し、ｙとｘ-ｙはともに後手必勝型」
が言える。
さて、半開区間(1,2]の要素はそれ以上切断できない。(切断しようとすると禁止型を生じる)
よってx∈(1,2]のとき、xは後手必勝型
またこの区間の要素の和で表せる(2,4]の要素は全て先手必勝型
ここで、ε＞０に対して4+εを先手必勝型とする。
先手必勝型の性質から4+εはある後手必勝型の和で表せるはずだが、既知の後手必勝型は最大でも２なので
可能なのはなにか未知の後手必勝型4+δが存在して4+ε→(4+δ,ε-δ)と分解されるときだけ
ここでε-δ＞1であり、とくにε＞１
まとめると「4+εが先手必勝型ならばεは１より大きい」
対偶を取って「ε≦1ならば4+εは後手必勝型」
よって半開区間(4,5]の要素は全て後手必勝型
こうしてまた新たに後手必勝型が見付かったので、それらの和で表せる(5,7]や(8,10]は先手必勝型
同様の議論を続けていくと、結局k＝0,1,2,3,・・・に対して
(3k+1,3k+2]は後手必勝型であり、(3k+2,3k+4]は先手必勝型
とくに2009＝3・669+2は後手必勝型
１以下を作ってはいけない場合もほとんど同様にして半開区間の向きだけ変わり、
2009は今度は先手必勝型になる
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 04:04:21 ]
- >217
f(x,y,z) = (xy-z)(yz-x)(zx-y)g(x,y,z),
f(x,y,z) = (xy-z^2)(yz-x^2)(zx-y^2)h(x,y,z),
など。
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/17(水) 20:01:48 ]
- (x-yz)(y-xz)(y-x^2)
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 19:15:11 ]
- f(x,y,z) = 0 で十分。
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 11:09:34 ]
- >>215
人の脳を(ry
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 12:09:56 ]
- 媒介変数tを用いて表される二曲線(i),(ii)がある。
(i)x=e^(-t)cost,y=e^(-t)sint
(ii)x=e^(-t)cos2t,y=e^(-t)sin2t
この二曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/19(金) 18:14:30 ]
- >>223
t≧0 でいいんかな。1/2 になったけど。
- 225 名前：224 mailto:sage [2007/10/19(金) 23:35:07 ]
- 1/4だた
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 13:27:37 ]
- >223
囲まれる部分はたくさんあるが･･･
(i)のtと(ii)のtは
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 20:38:30 ]
- 自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 05:31:39 ]
- >>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 18:49:05 ]
- >>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))
計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/25(木) 16:13:32 ]
- P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。
(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？
- 231 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 06:12:35 ]
- age
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 21:20:30 ]
- Zagier's problems
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 20:55:45 ]
- >>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。
(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 01:06:02 ]
- >>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5), ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。
> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/06(火) 12:09:07 ]
- H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 09:49:15 ]
- スレ違い承知で。
15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 10:00:49 ]
- >>236
7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000
7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000
二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 10:03:58 ]
- 15秒でレスできねえよ
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 11:08:53 ]
- >>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 21:47:09 ]
- このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:15:09 ]
- 56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:16:03 ]
- 打ち損じた
5764801だ
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 00:13:11 ]
- >>242
どうやって考えたのよ
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:20:40 ]
- >>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:21:23 ]
- 「暗算の鬼」参上
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:46:26 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：7^8＝5764801 下2桁が01だから計算が楽々。
面接官( ・д・)：
面接官( ・д・ )：
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:51:37 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。
面接官：
＿__ ━┓
／ ―＼ ┏┛
／ノ (●)＼ ・
. ｜ (●) ⌒）＼
. ｜ （__ノ￣ |
＼ /
＼ _ノ
/´ ｀＼
| |
| |
＿＿＿ ━┓
／ ― ＼ ┏┛
／ (●) ＼ヽ ・
/ （⌒ (●) /
/ ￣ヽ__） ／
. ／´ _＿_／
| ＼
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- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:57:51 ]
- むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい
と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…
俺数学的センスないなｗ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:14:46 ]
- >>248
お前は俺か！
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:34:49 ]
- 1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)
もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:08:37 ]
- インド人なら簡単なのかな？
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:12:21 ]
- 49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 10:14:18 ]
- 4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)
本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:34:10 ]
- この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:39:16 ]
- 判定予想
×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 256 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:42:21 ]
- 判定予想 訂正
×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 11:18:40 ]
- k=1000 でっせ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 13:09:35 ]
- 2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 15:21:41 ]
- まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 18:36:44 ]
- 暗算シリーズ
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 20:12:53 ]
- 20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな
- 262 名前：258 mailto:sage [2007/11/09(金) 23:45:44 ]
- 数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:07:44 ]
- 125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:08:31 ]
- >258
29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:24:15 ]
- >263
63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26
- 266 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 00:53:11 ]
- 出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…
- 267 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/10(土) 01:05:04 ]
- >258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
a_2 = 63/50,
a_3 = 375047/297675,
･･････
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 01:15:38 ]
- >>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな
- 269 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 02:05:20 ]
- Taylor展開による解答を御用意しております。
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 02:24:15 ]
- ………
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 04:56:22 ]
- >269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 08:22:59 ]
- 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
- 273 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:46:33 ]
- 時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。
2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、
左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから
(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008
である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると
2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26
- 274 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:49:38 ]
- 時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。
(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2
だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると
1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064
である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり
2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992
- 275 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/11(日) 08:12:06 ]
- >>258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]},
の方が収束が早いらしいお。 >>267
a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･
参考書
一松 信, ｢数値計算｣ 至文堂 近代数学新書 (1963)
第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 11:53:01 ]
- >>269
Taylor展開と聞いてやってみますた
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+…
にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。
1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747…
1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336…
よって 2^(1/3) ≒ 1.2599
暗算にはかなり苦労しますた。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 20:09:49 ]
- >>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。
おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが…
>>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも
割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:10 ]
- ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。
ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。
２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:26 ]
- こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・
１，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。
7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？
これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○
誰か答えを教えてください。。。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:12:05 ]
- >>279
マルチ
終了
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:18:02 ]
- >>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:21:36 ]
- >>281
７人ではないです。
> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 01:34:05 ]
- >>278
1+3+9=13
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 08:46:45 ]
- >>283
むずい。解説きぼん。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 09:51:49 ]
- 有限射影平面になるから。
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:04:41 ]
- 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:17:02 ]
- >>272 >>286 氏ね
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:27:24 ]
- >>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:40:06 ]
- てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:46:27 ]
- そういう解法があっても構わない。>>289
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 12:43:02 ]
- 生徒は全部で n 人いるとする。
1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。
2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。
3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数は ちょうど 4n 人。
4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 13:06:05 ]
- ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291
- 293 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:05 ]
- >>285
難しくてよくわかりません・・・
１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。
- 294 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:40 ]
- つづき
全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。
以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 01:07:10 ]
- >>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。
- 296 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:10:01 ]
- >>292 で書いた事のココロを描いてみる。
[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。
[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。
[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。
- 297 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:11:00 ]
- [291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。
2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。
3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。
4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。
- 298 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:12:37 ]
- >>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)
[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。
[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。
あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 03:13:39 ]
- >>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
- 300 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 10:36:51 ]
- >>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。
> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
13人が未解決問題とか聞いたことあるな。
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