面白い問題おしえて〜な 十三問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ] 面白い問題、教えてください 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:30:25 ] 具体的な問題でなくてすまん。 ここの住人なら何か情報を知っているんじゃないかと思って あえてスレ違いを承知で尋ねたい。 平面上の位相幾何の問題なのだけど、 幾つかの点とそれを任意に結ぶ辺からなる図形が 辺が交差しないように変形(点の移動)できるか否か についての研究などの情報をお持ちでないでしょうか？ ・正方形の頂点(４点)を互いに全て結んだもの(辺は６本)はそのままでは対角線で交差しているが 　正三角形と重心の位置に点を移動させれば辺は交差しないように変形可能。 ・正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?) 　しかしどこか一箇所を切ったものならば可能。 ・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:54:19 ] >>601 その研究についての情報は持っていないが、 ＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?) これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に 5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。 凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。 以下、凸四角形が存在することの証明。 5つの点の凸包を考え、場合分けする。 凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。 凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。 凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に 存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 11:07:04 ] >>594>>600 昔どこかのスレで見た >>601 平面グラフ 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 12:19:45 ] >>601 ＞・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？ グラフが K5 あるいは K3,3 に位相同形な部分グラフを 含まなければ変形可能。 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 14:11:18 ] K5ってのは先に出た５角形のようだが K3,3 ってどんな図形？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 15:12:26 ] >>605 www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no9.htm 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 16:52:23 ] >>600 thx 確かにエレガントな解答だ。 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#115 に、微分を使った解答が載っていたのだが、そんな簡単に証明できるとは気がつかなかった。 608 名前：570 mailto:sage [2008/02/06(水) 20:29:47 ] 亀ですが >>571 一解答例としてはその方針でおｋ a'_nとc'_nについてはもう少し考察が必要 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:04 ] >>595の問題 >1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2008/02/02(土) 19:38:16.48 ID:8Qf0u1wDO >幽霊が次のような問題を出した >800ml入る容器が8つあり1〜8まで番号がついていて　今それぞれ100mlずつ水が入っている >何個かの容器の水には　お前らには見えないし触れない魚の幽霊が　容器の番号と同じ匹数だけ入っている >それ以外の容器には水しか入っていない >何らかの理由で容器が空になった場合は　すぐに100mlの水と最初に魚の幽霊が入っていた場合は魚の幽霊を　容器の番号と同じだけ入れる >大きな水槽があるがこれに容器の水を移した時　移った魚の幽霊の数を教えてやる >その際水槽に移す時使用した容器は没収する >魚の幽霊の数はたまに適当な数を教えるがその後3回は正しい数を教えてやる >最初にどの容器に魚の幽霊が入っていたか確実にわかるためには　何回容器を水槽に移せばいいか　またどのようにすればよいか は>>610のようにすれば容器に移す回数は5回以内である事が分かる 4回以内だと無理かどうかはまた今度考える 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:14 ] 番号nがついた容器に最初に入っていた水を水nと書くとする ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする まず (1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888) と容器内の水を移し変えれば水1,2,4,8のうちどれに幽霊が入ってるかを3回確かめられる (3)(6)(5)(7)→(37)(65)(57)(7)→(37)(65)(57)(3655777)→(37)(3657)(365577)(3655777) と移し変えれば水3,5,6,7についても同様に3回確かめられる 水1,2,4,8について確かめる動作を2回行い、同じ結果が得られれば 水3,5,6,7について確かめる動作を3回行う。 違う結果が得られた場合はもう一度水1,2,4,8について確かめ、 その後に水3,5,6,7について確かめる動作を2回行う。 これで水1-8のうちどれに幽霊が入っていたかが確実に分かる。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:50:42 ] なにを言ってるんだかさっぱりわからん。 このあたりは間違いなく意図通りに正しく書かれているのか？ >　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする まず >　(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888) 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 19:11:06 ] >>611 まず最初に容器n（n=1〜8）に水nが100mlずつ入っている この状態は(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)と書ける 次に容器8の水を容器1に入れる 状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()となる 幽霊が容器8に水8を100ml補充してくれるから状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)となる 容器4の水を容器2に入れる。幽霊が容器4に水4を補充する。 容器8の水を容器4に入れる。幽霊が容器8に水8を補充する。 これで状態は(18)(24)(3)(48)(5)(6)(7)(8)となる。 容器1,2,4の水を容器8に入れると 状態は()()(3)()(5)(6)(7)(1244888)となる。 このように操作を繰り返して最終的に 状態を(18)(1248)(37)(124488)(3657)(365577)(3655777)(1244888) としたかったんだが、勘違いしてて上手く出来ないっぽい…やり直す あと>>595のスレ見ると4回のやり方もあるっぽいな 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 20:10:55 ] (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)→(14) () (3) () (5) (6) (7) (28) →(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (28)→(14) () (3) (4) (5) (6) (7) (248) →(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (248)→(14) () (3) (24) (5) (6) (7) (248) →(14) (2) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→() (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248) →(1) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) () →(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) () →(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) () →(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (8)→() (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488) →(1) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)→() (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488) →(1) (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488) （略）→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (35677) (12488) →(1) (1248) (3567) (1248) () (3567) (355677) (12488) →(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (355677) (12488) と水を移し変える 水1,2,4,8が入った容器の中身を水槽に入れると 幽霊は0〜15匹のどれかを言う→水1,2,4,8のどれに魚の幽霊がいるか分かる 水1,2,4が100ml、水8が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合、 水3,6が100ml、水5,7が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合も同様に分かる ただ幽霊は嘘をつく事があるから2,3回同じことを確かめなきゃいけず この場合だと5回かかる >>611　この説明でも駄目か？ 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:32:27 ] >>612 >　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする オレにはこれは 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」 を意味しているように見えるんだが 444は400mlなのか？ 300mlはどう書くんだ？ 意図どおりに正しく書かれているのかを確認してくれ。 前提の大事なところにタイプミスがあったりしたら、意思の疎通ができない。 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 14:50:04 ] >>614 あぁ…そこでタイプミスしてたようでごめんよ 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」だ 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:18:01 ] △ABCがあり、三辺の長さは公差がdの等差数列をなしている。 最大辺の延長上に点Pを取ると、元の辺から増えた長さがdであった。 また、最小辺上に点Qを取ると、元の辺から切り取った長さがd/2であった。 ただしQが切り取った長さは、最大辺を含む点から測ったものとする。 さらに、直線PQの延長が△ABCの残った一辺と交わる点をRとする。 すると、直線PQRは△ABCの面積のうち半分を切り取ることとなった。 三辺の長さをdを用いて表せ。 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 04:22:45 ] >>616 AB < AC < BC として一般性を失わない。 AB = x とすると、 AB + AC > BC より x > d。 Q は AB 上にあり、 R は AC 上にある。 △ABC = 2△AQR より AB*AC = 2*AQ*AR。 メネラウスの定理より (PC/PB)*(QB/QA)*(RA/RC) = 1。 これらを連立して x について解けば良い。 618 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 22:05:18 ] ABCに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい ただし同じ文字には同じ整数,違う文字には違う整数が入ります (A＋B−C)×{(1/A)＋(1/B)−(1/C)}＝564 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 18:17:31 ] 正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ(フラクタル不可) 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 20:41:18 ] >>619 七問目-26 621 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 14:11:16 ] 五段の階段があり、サイコロを振って出た目だけ上り、ちょうど一番上に止まったら終了する。 ただし、五段目までの段数よりサイコロの出た目が大きい時は、その分だけ下がるとする。 例えば、三段目で５が出たら、二段上った後三段下がるので、二段目になる。 サイコロの目が出る確率はすべて等しいとする。 一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。 問１．A(2-0),A(2-1),A(2-2),A(2-3),A(2-4),A(2-5)を求めよ。 問２．A(N-5) (N≧1) を、Nを用いてあらわせ。 622 名前：621 [2008/02/18(月) 15:29:35 ] せっかく作ったんだから解いてよ！ 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:19:49 ] まだ一日もたってないだろ&終了したらどうなる？&何故引き算？ 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:21:36 ] A(i-3-1) 625 名前：621 [2008/02/18(月) 16:24:53 ] >>622 引き算？ >一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。 N-nは引き算じゃなくて、添え字ｗｗ 626 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 16:56:36 ] >>625 だったらN_nって書け 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:08:06 ] 漸化式書いて終わりのよくある問題にしか見えん 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:20:00 ] ttp://www.vippers.org/img/uho2820.jpg □の次は何でこうなるの・・・？ わからん・・・やばい・・・ 629 名前：sage [2008/02/18(月) 17:33:11 ] 職場で 図の斜線が引いてある部分の面積を求めよ。但し、π=3 √3=1.7とする。 と言う問題が出たのですが無知な私にはさっぱり解りません。どなたかご教授お願いします 図 a.pic.to/nkx34 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:37:05 ] なんというスレ違い 631 名前：sage [2008/02/18(月) 17:59:28 ] お手数ですがお願いします。皆様が頼りなんです 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:03:59 ] 取り下げて移動しないとここでは回答はいただけないかと science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/ >>629 ◆指定されたページは存在しないか、携帯端末以外からのアクセスは許可されていません 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 18:04:52 ] >>627 解けないくせに… 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:37:19 ] >>633 難しくて全然分からないよ 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:52:11 ] >>621 スレ違い 636 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 21:07:26 ] 30になった 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 23:22:22 ] 三十路か。 誕生日おめ。 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 01:51:03 ] >>622名大入試問題のパクリやん… 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 04:19:38 ] 五段だと他のどこの段にいたときも1/6の確率であがれるわけだから全然面白くない 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:45:23 ] ４段目で６が出たら落ちて死亡して終了ですか？ 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:50:00 ] あれ？ ひょっとして５段の階段というのは高さは６種あるのかな？ 階段の段数は高さの種類-1なんですかね？ ０段の階段というのはいわゆる平地なんでしょうか？ じゃあ１段目ってのは地面と同じ高さ？ それともひとつ上？ １階って地面と同じ高さ、２階はその上 てことは１段目は地面と同じで、ひとつ登ると２段目？ いやいや、ｎ階建のnは高さの種類と等しいから階段とは違うのかな？ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:01:15 ] >>618 　A = 122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁) 　B = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁) 　C = 3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁) なお、因数分解すると 　A = bc * 19 * 29 * 46591 * 100363979, 　B = ca * 37 * 1806705194075701, 　C = ab * 3 * 11 * 73 * 1543 * 4663 * 169789, 　a = lcd(B,C) = 2^2 * 5 * 449 * 35869 * 516624461, 　b = lcd(C,A) = 97 * 3769 * 19329352219, 　c = lcd(A,B) = 7 * 79 * 239441 * 50787883, 　lcd(a,b,c) =1, らしい。 〔参考文献〕 A.Bremner, R.K.Guy and R.J.Nowakowski; "Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?" 　Math. Comput. Vol.６１, No.203, (1993 July) www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math03/math0304.htm 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:17:27 ] 〔問題〕 x,y,z に整数を入れて等式を成立させて下さいです。。。 1)　x^3 + y^3 + z^3 = 564, 2)　x^3 + y^3 +2z^3 = 564, 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:11:54 ] z=0は明らかなんだからただの二元三次連立方程式だな 645 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 04:06:17 ] >644 1) と 2) は別々の問題でつ。 2) の方が易しいでつ。 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:50:19 ] 問題番号見てなかったぜorz >>645 2もｚが奇数でｘ,ｙが偶数であることしかわからないんだぜ 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:52:49 ] ん！！？ よく考えたらxyzすべて奇数だよな・・・？ 648 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 05:31:00 ] >643 の 2) はすべて奇数で、2桁以下らしいよ。1桁もあるらしい。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 06:47:58 ] この問題の面白さがよくわからんのだが 2) -1^3 - 21^3 + 2*17^3 = 23^3 - 33^3 + 2*23^3 = 93^3 + 95^3 - 2*94^3 = 564 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 09:24:38 ] 564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3 (Leonid Durman, 2007) きっと ttp://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math04/math0403.htm から 持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？ 俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと 思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。 651 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 22:39:22 ] >>649-650 御名答. 見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが） 因数分解しても、とくに面白くないし…… 　564 = 2^2 * 3 * 47, 　53872419107 = 13 * 1193 * 3473623, 　 1300749634 = 2 * 223 * 2916479, 　53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277, >>642 　B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947, 　gcd(a,b,c) =1, 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 23:30:00 ] lcd＝最大公約数？ 653 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:19:14 ] いくつ解けますか？ ブラジル数学オリンピック 本選 2004 小学生対象 [1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。 n は奇数である n は平方数である n の各位の数字の平方の和は平方数となる [2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。 　△ △▽△ 先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。 作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。 　黒　 | 　白 白白灰 | 灰白黒 ↑同じペア 　黒　 | 　黒 灰白白 | 白白灰 ↑異なるペア この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。 654 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:22:29 ] [3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。 たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。 2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。 [4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。 プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。 テーブルにおけなくなった方の負けである。 どちらのプレイヤーが必勝であるか？ (a) n = 2004 の時は？ (b) n = 2005 の時は？ [5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 03:51:19 ] >654 [3問目] 　2^(3m) + 2 = 4n + 2, 　2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5) ∴　5 の倍数… 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 04:50:26 ] >>654 [4問目] nが偶数なら後手必勝。 先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。 nが奇数なら先手必勝。 一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。 [5問目] 辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？ だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。 それとも凸型に限定されるのか？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:09:11 ] AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり もらえるポスターはランダムです。 そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？ 別に問題的には面白くないかｗ ニュースとしては面白かったが・・・ 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:24:55 ] >>657 クーポンコレクター問題。 問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:28:03 ] ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎ くらいだね。(ｎが十分大きいとき) 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 13:37:02 ] >>657-658 ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:16:33 ] 3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、 十の位は常に偶数であることを示せ。 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:33:19 ] 3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81 3^(n+4)-3^n=3^n*80 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:52:23 ] ゴリ押しで解いてみた。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204281995 ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは 期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は MΣ[k＝1〜M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。 >>659 γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1〜n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1　(n＝1,2,…) 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 20:46:34 ] なんか添え字ミスがいっぱいあった。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204285553 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:38:29 ] >>655,656 正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた. [Q1] 幾何の問題なので省略 [Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる. 5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である. a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか [Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている. 彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ その積を紙に書きこむ. そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす. 一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ. 紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？ 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:40:51 ] 前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正. [Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする. それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない. このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する. Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か. [Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする. O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする. a) 角O1DO2が直角である事を示せ. b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ. [Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える. どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が 含まれているというとき、nの最大値を求めよ. 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 10:05:24 ] >>665 [Q2] a) この数列は 奇数、偶数、奇数、偶数、偶数 の並びを繰り返すので ４つ偶数が並ぶことはない。 b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。 「Q3] Σ_[n=1→99]{n} ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。 さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを… さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを… 結局どう分けようとも… [Q4] nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。 2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。 後手必勝である。 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 12:18:37 ] Q2のb ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:22:01 ] a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。 (1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、 (1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると 2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:24:38 ] 訂正。 2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。 ↓ 2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。 671 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/01(土) 15:47:36 ] >>666 [Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする. O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする. a) 角O1DO2が直角である事を示せ. 外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了) b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ. [方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。 解答は計算が面倒なので...すいません。 [自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30° 回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を 求めよ. 　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:52:49 ] >>668 ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。 もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？ 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:55:51 ] >>671 > 角線を中心に30°回転 線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？ 674 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:24:58 ] >>672 ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある ・途中からループに入る ・最初からループしている 途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？ ４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。 だから最初からループしてるてことだ 俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:27:56 ] >>674 いやすまん。 > ４つの並びからその前が決るとなら ここがわからないんだ。 676 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:30:56 ] a+b+c+d≡e (mod. 10) なら a≡e-b-c-d (mod. 10) aは0〜9だから丁度1個ある 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:33:25 ] なるほどそうか。 サンキュ。 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 21:38:01 ] >>666 [Q6]の意味がいまひとつわからん。 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 22:38:32 ] 並べ方Aに対し i行にr_i(A)種類の数字 j列にc_j(A)種類の数字 があるとする r(A):=max_i(r_i(A)) c(A):=max_j(c_j(A)) n(A):=max{r,c} としたとき min_A(n(A))を求めよ、ということだろう 680 名前：671 [2008/03/01(土) 23:50:28 ] >>673さん。 　問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり ます。書き間違えまえてしまってすみません。 [自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本 の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の 重なった部分の面積を求めよ. 681 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/04(火) 10:48:57 ] □に1〜9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい 同じ数字2度使いは不可 □□□×□□＝□□×□□ 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 10:55:33 ] 既出 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:09:16 ] 134*29 = 58*67 138*27 = 54*69 146*29 = 58*73 158*23 = 46*79 158*32 = 64*79 174*23 = 58*69 174*32 = 58*96 186*27 = 54*93 259*18 = 63*74 532*14 = 76*98 584*12 = 73*96 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:34:32 ] >>600 アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？ 685 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/04(火) 11:50:51 ] >>684 x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から f(x)=0の解はx≧0には存在しない つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負 と考えてるんだと思う 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:49:41 ] 正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A} とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:53:24 ] >>686 ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの) 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:09:07 ] 三進法と同じです 条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:12:18 ] Aを含む集合ならOKだし 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:16:41 ] ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:24:52 ] まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが もうちょっとシャンとしてくれや 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:35:26 ] シャンとしなくて申し訳ないです 問題文を改めてみました 正整数全体の集合をNとする。 相異なる三つ整数からなら集合Aに対して M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A} とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 03:54:27 ] この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。 既出だったらすまん 三角形がある。 今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。 このとき、∠ＡＤＢを求めろ。 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 04:35:44 ] ラングレーでググれ 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 07:57:30 ] >>649 レスthx でもこれラングレーとちがくね？ ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし 求める角度の場所も違うような 一応ググったが・・・すまん 696 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 08:07:35 ] AとBとCそれぞれに0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可 AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 09:53:08 ] 15864*9327 = 18654*7932 = 147963528 37962*5148 = 51948*3762 = 195428376 26475*9381 = 62481*3975 = 248361975 54186*7923 = 87153*4926 = 429315678 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 10:24:05 ] 197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968 253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248 192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845 820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584 435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460 154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936 286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782 158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280 537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840 319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750 379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760 249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753 815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970 264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750 286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134 405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056 549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180 541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780 453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572 651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120 704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952 751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160 564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760 699 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 18:54:47 ] >>697-698 どうやって求めんの 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:33:02 ] ?に0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい 分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可 ??分??秒×?＝?時間??分??秒

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