- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 22:25:32 ]
- 昔の話で悪いですが
>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？
- 302 名前：258 mailto:sage [2007/11/14(水) 23:05:24 ]
- >>273
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 16:59:39 ]
- 2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これは ド－ミ の長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。
なんて感覚的な答じゃだめかな…
- 304 名前：258 mailto:sage [2007/11/18(日) 23:11:49 ]
- 素敵な答をありがとう！ もっと理屈をこねると次のようになるね。
ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。
音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。
私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:29:18 ]
- 豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:50:49 ]
- >>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 06:17:19 ]
- 【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1195394463/
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 15:39:19 ]
- 何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 20:11:22 ]
- 平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:08:48 ]
- さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、
2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい
という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である
と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:21:13 ]
- 1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である
と言える人なら完璧。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:08:25 ]
- >258
√2 > 1.4142 より
(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:15:06 ]
- >258
29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
29√2 > 41,
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:31:06 ]
- >>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:34:13 ]
- もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば 2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？ ペル方程式の３次元バージョンですけど。
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:36:56 ]
- ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:42:58 ]
- 単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:45:01 ]
- ×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 20:15:27 ]
- >317
ギャクも真なり…
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 07:23:46 ]
- 音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)
おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。
1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 10:30:31 ]
- 1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。
セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。
で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 12:50:50 ]
- >>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 16:21:32 ]
- >>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 18:39:31 ]
- 保守
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 21:27:28 ]
- あげ
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 21:50:22 ]
- よく小学生に出す問題
３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)
- 327 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 22:41:58 ]
- 消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました
さて消費税はいくら？
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 22:47:53 ]
- (3+3/7)*7=24
3/3+7*7=50円
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 00:52:43 ]
- 地方消費税を考慮する必要はありますか？
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 02:09:04 ]
- ab+c=a(b+c/a)
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 15:07:47 ]
- 3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。
注:3^n-2 の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 01:27:46 ]
- p:3^n-2の素因数として表れない素数とする
このとき
任意のｎに対して
3^n ≠ 2 (mod p)
一方、p＝３のときを例外として、明らかに
3^n ≠ 0 (mod p)
従って、任意の自然数ｎに対し
3^n = 1 (mod p)
つまりpは3^n-1を常に割り切る
とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る
2を割り切る素数、それは２しかない
∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない ⇒ p=２またはp=3
逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか
よって
(3^n-2の素因数全体の逆数和)
＝(2と3を除く全ての素数の逆数和)
素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 02:36:02 ]
- >>332
７行目がわかりません。
なんで「従って」？
その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから
3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって
3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
- 334 名前：333 mailto:sage [2007/12/09(日) 02:41:31 ]
- 間違った。
誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:00:56 ]
- 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:24:57 ]
- >>332
13 は 3^n-2 の素因数にならない
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 16:44:29 ]
- 332です
どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって
ヘンな勘違いをしてしまったようです
なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか
我ながら理解に苦しみます
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:22:29 ]
- >>335
いえません
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:50:06 ]
- 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:56:37 ]
- 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 23:30:23 ]
- 自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:30:28 ]
- 面白ければ。
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:33:43 ]
- 面白くないと承知しねーぞ。
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:38:02 ]
- では一つ。
(a, b) から R への C^1 級関数で、
有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 09:21:47 ]
- f(x)=1/x
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:46:06 ]
- そんな簡単なのがあったか！
ではもう一つ。
(a, b) から R への C^∞ 級関数で、
代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか
- 347 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:56:25 ]
- >>346
は複雑すぎるようだから、
>>344
で、単調増加とするとどうだろうか？
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 12:06:10 ]
- www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/70.html
の回答が
d.hatena.ne.jp/redcat_math/comment?date=20070621#c
にあった。よろ。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 14:30:08 ]
- >>347
f(x)=1-(1/x) on (0,1)
定義域をR全体にすると難しいかも。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 18:33:10 ]
- >>345
を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。
そろそろ数学やめようか。
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 19:32:32 ]
- >そろそろ数学やめようか。
面白い問題だな！
- 352 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:33:05 ]
- 0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。
その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという
この10桁の数は何でしょう？
- 353 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:39:22 ]
- どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:14:17 ]
- >352
3816547290
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/20(木) 03:18:50 ]
- >>354
おお、本当にそうなってる、うめぇｗ
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/22(土) 00:31:38 ]
- (1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋……
はいくつに収束するか？
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 03:51:21 ]
- >356
(与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8…
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 17:19:35 ]
- \Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/25(火) 22:25:17 ]
- >>354
今さらながら、どうやったの？
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:32:36 ]
- >>354
超うめぇｗ
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:35:41 ]
- >>353
エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓
www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/cardanos_formula.html
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:52:11 ]
- >>359
>>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。
順番としては最後に７の倍数判定かな
順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 05:08:17 ]
- OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。
- 364 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/26(水) 12:11:41 ]
- >>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 14:20:50 ]
- 動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 16:25:27 ]
- 2
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/29(土) 20:47:53 ]
- >>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。
- 368 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 21:06:20 ]
- xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 15:54:09 ]
- >>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。
ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 22:22:18 ]
- www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:31:38 ]
- 自作問題投下。
無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。
・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。
・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
- 372 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 23:32:27 ]
- 転載ですがどうぞ
1)10cmの直線ABを引く、
2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く
3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く
4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる
5)直線ABの中点E1から垂線を引く
6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く
7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする
8)Fから、点ABCDに線を引く
9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう
10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。
10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一
10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ
問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:32:45 ]
- たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。
□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□
次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば
□□□□□
□④②③□
□□□①□
□□□□□
と書き込む。このとき、行列Aは
１０１０
０１１１
１１１０
０１０１
となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:02:22 ]
- >>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:05:38 ]
- >>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:13:13 ]
- >>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:27:12 ]
- >>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 08:56:24 ]
- >>377
定理という程の名前はなかったと思う。
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 10:42:59 ]
- 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。
正十二面体ではどうか？
ここでは図を書けないので理論で答えよ。
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 11:38:11 ]
- a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 21:47:40 ]
- >>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:59:46 ]
- では書き直し。
a を非負の実数とする。
(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)
の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 04:30:54 ]
- >>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 05:15:44 ]
- >>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を
(i≠jのとき) Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき) Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1
に変えても
・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 08:39:11 ]
- >>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 09:44:31 ]
- >>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 11:00:26 ]
- >>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。
変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。
- 388 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:33:43 ]
- >>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．
- 389 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:30:38 ]
- >>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ
何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」
- 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:33:04 ]
- 多面体逆向二筆書き
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 12:48:01 ]
- >>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 13:53:06 ]
- >>389>>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 16:59:03 ]
- >>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn－1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 21:10:09 ]
- >>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記
だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で
(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1
と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。
- 395 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:17:56 ]
- >>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:26:34 ]
- >>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 00:52:39 ]
- >>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 07:05:13 ]
- 行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。
同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:54:58 ]
- >>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。
> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 12:11:00 ]
- >>398
>単一近似としての効率はどうかな。
効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。
立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。
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