２つの封筒問題スレ

[表示 : 全て最新50 1-99 101- 201- 301- 401- 501- 2chのread.cgiへ]
Update time : 12/16 12:25 / Filesize : 254 KB / Number-of Response : 585
[このスレッドの書き込みを削除する]
[＋板最近立ったスレ＆熱いスレ一覧 : ＋板最近立ったスレ／記者別一覧] [類似スレッド一覧]


↑キャッシュ検索、類似スレ動作を修正しました、ご迷惑をお掛けしました

２つの封筒問題スレ

1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]: [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？

この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。

こんな確率求めてみたいその1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 12:45:35 ]: ～Fin～
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:06:16 ]: 代数学で解ける
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:14:48 ]: じゃあ俺は幾何学で解くよ
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:24:32 ]: m/hは速度の単位
例えば10m/hは「1時間に10m進む」という速度を表す
しかし「　」内が速度を表しているからと言ってmが速度の単位という事にはならない
mはあくまでも長さ・距離の単位

「期待値は12500円」これも同様
「　」内は期待値を表してるが、円が期待値の単位という事にはならない
円はあくまでも金額の単位

こんな当然の事もわからないのに何か主張をするでもなく
横から「円は期待値の単位だ」と口を出すだけの人間が大量発生して嫌気がさしたのと
>>579の真ん中辺りにどう答えるか悩んでたのと
2chダウンが重なって
次に見たときは流れが変わってたとさ

で、ここの>>1と確率スレの>>560は違う問題だと思うのだが
とりあえず
＞>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
は怪しい
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:35:25 ]: せっかくだから俺はこの赤い封筒を選ぶぜ
7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:07:44 ]: >>560を書いた者です。
>>5は受け答えしてくれてた>>573？

>>560の問題をもう1度書きます。
賞金の組は
{1250,2500},{2500,5000},{5000,10000},{10000,20000},{20000,40000},{40000,80000}
のいずれかで、どれが選ばれるかは等確率とします。どの組かを決め、袋X,Yにそれぞれ賞金をいれます。
どちらの袋に大きい金額が入れるのかも、等確率とします。A君はXを受け取り、B君はYを受け取ります。
(追加訂正)A君,B君には賞金の組は上のいずれかで、等確率で選ばれることは教えます。
[状況1]A君はまだ、X,Yの金額を知らない。
[状況2a]A君が、Xの金額のみを確認すると、10000円であった
[状況2b]B君が、Yの金額のみを確認すると、5000円であった
[状況3]さらに、A君がYの金額も確認すると5000円であった

状況1,2a,3におけるA君にとってのXの金額の期待値,Yの金額の期待値と
状況2bにおけるB君にとっての Xの金額の期待値,Yの金額の期待値を
Xの金額,Yの金額でそれぞれ表すことはできるか？

＞＞>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
＞は怪しい
のなら
[状況２a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
[状況２b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的にお願いします。

期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
一応答えとくと、"物理量の次元(Wikipedia「次元」を参照)"みたいな意味合いで
(金額の単位=金額の期待値の単位)と言ったのであって、私は金額と金額の期待値が同じものだとは
思っていません。金額の値(量)10000の次元と、金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であるので、このことを「金額の期待値の単位は、金額の単位と同じ」という
言い方で表現しただけで、特に深い意味はありません。
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:38:54 ]: >>560での確認に意味があるのは
端であるかという部分においてのみ
それ以外では確認に差は生じない

が、この差が問題をややこしくしている
本来の端の無い問題ならば他方の期待値が1.25倍とした時に生じるおかしな事態はわかりやすい
端ではない事が保証されているのなら確認に意味は無く
常に他方の方が期待値が高くなるという問題が浮き彫りになる
端がある問題ではその点の指摘が難しく、俺には
＞反論(どこが間違っているのか)を具体的に
を複雑にならないように指摘するのは無理だし
複雑な指摘をした後に完璧に伝えきるまでやり取りを続ける気力も無い
しかし俺が具体的な指摘ができない事を根拠に同様の問題を孕んでいるはずの
＞[状況２a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
＞[状況２b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
が正しいとするのは俺を過大評価し過ぎだろう
元の問題ではどのようなパラドックスが発生していたかを理解できていたのなら
>>560でもそれが解決していないのはわかるはず
俺の指摘を待つのではなく、そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては

＞期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
これ、毎回言ってるが続けたいのか続けたくないのかどっちなんだ
続けるなら変な断り入れる必要は無いし
続けないなら行動が伴ってない
で、表現はともかく、速度に時間をかけると距離が出る、m/h×h=mのような事が
期待値と確率と事象で常に成立するとは限らない事が伝わればそれでいい
9 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 15:46:46 ]: >>8
レスどうも。私に対して返信する時はできれば名前
つけてくれると助かります。

期待値と単位の話は、金額の値(量)10000の次元と金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であることが伝わっていれば、こっちもそれでいい。
金額の期待値の値(量)12500につく円を"金額の期待値の単位"と呼ぶのが相応しいかどうか
意見が食い違うのならそれもしょうがないし、交通事故みたいなもんだと割り切って諦める。

＞そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては
(私の立場では)発生してもいないパラドックスを、私が存在しないことを示すというのは
とても難しい。パラドックスが発生していると思う人が、どこがパラドックスなのか
とか、私の推論のどこがインチキなのか指摘してくれないと、私にはわからない。

私は
元の問題のパラドックスが、>>7(>>560)にも残っているのではなく
元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
であることということを納得させるために、単純にした有限の問題>>7を出した。

例えば、前の問題で"(A君とB君の金額合計)＝(C君D君の金額合計)はおかしい"
という意見があったけれど、>>7の問題でも
(互いに袋を交換した時のA,Bの得る金額の合計)=(交換しない時のA,Bの得る金額の合計)
は当然成り立つ。これは当たり前の話なのに
"どうして成り立つのか？、成り立つなんておかしい！"
と言われても、"そもそも成立だとおかしいと思うのが、考え違いなのでは？"
と思っているので、パラドックスがないことを示せと言われても、これ以上
何をするべきかわからない。
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 16:30:40 ]: 有限の問題の方が複雑なんだが
そして俺は有限の問題にはそこまで興味が沸いてないし
全く同一の問題ではないと思っている
＞元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
＞であることということを納得させるため
というのなら元の問題のままやって欲しい

ところで>>9は、>>9の立場ではただの勘違いであるパラドックスもどきが
どのようなものかについても把握していないのか？
把握しているのなら、それが発生していない事を示すのは可能だと思うのだが
それとは別に把握していないとなると話が大きく後退するな
11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 19:06:16 ]: 転載

649 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2010/03/06(土) 18:59:25
>>645
＞ >>560では、互いに相手の期待値は自分の金額の1.25倍になっていることや
＞ (中略)
＞と主張してた人は、この結果をどう思うのか？

べつにどうも思わないんじゃないかな？

＞ "互いに相手の方が得に見えるのはおかしい"
＞ "得に見える選択をしても、損に見える選択をしても、それぞれの合計金額が等しくなるのは変"

これは、「封筒をあけたときの金額がいかなる金額のときにでも」がつくときの話だと思うよ。
>>560の問題では、あけて出てきた金額によっては期待値が1.25倍にならなくなることがある。
さらに、２組のペアでっやる得に見える選択だけをするとか、損に見える選択だけをする実験は
できなくなる。
12 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 22:33:51 ]: >>10
パラドックスだとよく言われてる箇所は自覚はある。有限の>>7の問題なら
・双方にとって、相手の方が得に見えるというのはおかしい
という意見。この派生の(他の細かな点も全部この派生だと考えている)
・(双方交換した時の合計金額)＝(双方交換しなかった時の合計金額)はおかしい
とか。おかしいとは思わない私にとっては、ただの勘違いじゃないか？としか言えない。
私がまだ気づいてない不思議な点や、私または他の人の勘違いによって
>>7には別のパラドックスもあると言われる可能性は否定できないので
>>7にどんなパラドックス(もどき)があるか全部把握してるとは言えない。

納得してくれるかどうかはわからないが
互いに相手の方がよく見えるというのは日常の感覚としてよくあることだし
[2a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍になる計算は
論理的に妥当でない箇所は(私には)見あたらない。
金額の期待値的に得な方を選択する場合,損する方を選択する場合で
最終的な損得に差がなくっても不思議ではないと思う。例えば
n回ゲームをする(>>7の場合なら最初に確認したのが10000円だった回数がn回になるまでやる)
として、X,YのうちXの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回
X,YのうちYの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回になるのだから
A君であってもB君であっても、必ずXを選ぶ戦略をとる場合は
n/2回は多い方を選び、n/2回は少ない方を選ぶと期待されるので
必ずXを選ぶ戦略は金額の方が大きい回の回数の期待値という観点からは
有利でも不利でもないこと言える。

関係あるかどうかは知らないが、聖ペテルスブルグのパラドクスでも
賞金金額の期待値は発散してしまうので妥当な参加費は計算できないが
コインが初めて裏になるまでに投げた回数の期待値(収束する)は求まるので
そこから参加費を計算すれば1つの目安になる、という話を思い出した。
13 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 22:43:07 ]: 関係あるかどうかは知らないが、次の会話例(コピペだが)も思い出した。
生徒「1=-√(-1)*√(-1)=-√((-1)*(-1))=-1の何処が間違いですか」
教師「√(a*b)=√a*√bは一般には成り立たないから」
生徒「どうして成り立たないのですか」
教師「君がその反例を以って証明してくれたじゃないか」
生徒「……」

>>10
有限の問題を扱わずに、無限の場合の問題を扱うことはできないよ。
無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
あるんじゃないかな？無限による誤魔化しがないか(適切な場面で無限の性質を用いてるか)
の確認も、>>7の重要な役割の一つ。無限の問題では、無限であることが原因で感覚的に
おかしいと思うかもしれないことはあるとは思うよ。
端(特異点)がある場合もない場合も、他方の金額が自分の金額の1.25倍となる(問題を考える)のなら
1.25倍になる原因は特異点の有無と無関係と考えるのが私にとっては自然。
関係あるというのなら、なんで関係あるのか説明を求める。

>>11は>>10とは別人だよね…？
取り敢えず>>7(>>560)はパラドックスはないということを納得してくれてる
と受け取ってよいのかな？つまり
どちらかが10000円を確認がした時は互いに相手の方が良く見える
(見えるだけで、実際に良いかどうかはわからない)には納得する？
ご指摘の通り>>7では、もしA君B君のどちらも10000円を確認しなかった場合は
相手の期待値が1.25倍にはならない。>>7では取り得る賞金の組は
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)
であったけどnの取り得る値を[-100以上99以下の整数]とか[10以下の整数]
はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる
なら、議論はほとんど終わったも同じ。
14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:11:15 ]: 矛盾を生んでしまう原因

■視点の混同
封筒を選ぶ人に注目するか
場の２つの封筒に注目するか
これらは別物

■確率分布の混同
その封筒が高額の方である確率は1/2でいいのかを考えよう

■定義域の無自覚
金額問題なので整数値にこだわると
金額の値が奇数のときは少額封筒と判明してしまうなど
本来の問題とは別物になってしまう
実際は正の有理数もしくは正の実数（負のみでも良い）
金額の比の値が負の場合は０以外の実数となる
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 02:24:17 ]: ２封筒問題の名物、1.5倍の珍説君はどこにいったの？
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 02:58:21 ]: >>13
有限の場合は確認に意味が生じる
>>7の例では1250円だったら確実に交換した方がよいし
80000円だったら確実に交換しない方がよい
毎回例外を考慮しつつ論じるのは
例外が発生しないケースで論じるのに比べて面倒な事になるのは当然だろう

＞無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
これは酷いな
考えやすいを誤魔化しやすいと受け取るか
それは相手を誤魔化してまで主張を曲げたくない人間だと思ってるって事だよな
正直そのような先入観を持った>>13とまともに議論できるとは思えない
無限で考えても>>13がその例
＞に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的
にすればよいだけではないか

また>>7はパラドックスは無いと言っているがそれは
「↓の文章は正しい」には何もパラドックスは無いと言っているようなものだ
「↑の文書は間違っている」とあるが？と言っても
「↓の文章は正しい」の正しさのみを主張しそれゆえパラドックスは無いとしてるように感じられる
やはりパラドックスを把握てもらわないと話が進まないようだ

元は無限の場合の問題であったのに有限を持ち出し
無限で考えていて、無限方に興味がある俺にそれは誤魔化すためだと言い
1.25倍になるから1.25倍でパラドックスは無いと主張する

1倍になるから1倍でパラドックスは無いと反論する事もできるが
正直やってられん、降りるわ
あとは勝利宣言でもなんでも好きなだけやってくれ
17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 09:54:54 ]: >>13
＞はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる

ここには同意できないな。
「パラドクスがあるかないか」にではなくて
範囲を無批判に無限に拡張しているところに
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:05:33 ]: ＞範囲を無批判に無限に拡張しているところに

ここの気持ち悪さはこの問題に似ている。
↓
パンの耳が好きな男が考えた
もっと大きなパンがあれば、たくさんの耳が食べられる。
２０cm四方のパンなら80cmのパンの耳。
１m四方のパンなら４mのパンの耳。
１0km四方のパンなら40kmのパンの耳。
無限大のパンなら、無限大のパンの耳。
いやしかし、無限大のパンには耳はあるのだろうか？
もしあったとしても男はパンの耳にたどり着けるのだろうか？
大きなパンを望んだ男は
大好きなパンの耳をたべられなくなってしまった。
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:34:49 ]: >>18
1辺を20cm→1mにしなくても
20cmの正方形を縦横50等分にして一辺4mmにすると
耳は20*50*50*4/100=2mに増える
一辺1nmまで切り刻むと
耳は3200000kmになる
もちろん切り刻まなくてもペアノ曲線のパンにすればおｋ
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:03:22 ]: それ耳じゃない。
パンを切っても切り口が増えるだけで耳は増えないよ
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:08:03 ]: もし焼く前に形を整えたとしても
ペアノ曲線やシェルピンスキーガスケットの形状のパンでは
焼き上がりが不均一でうまく耳はできないだろう
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:19:36 ]: 耳は切り刻んでも耳だろう。
パンを切るのではなく、耳を切り刻むか
耳にペアノ曲線を描けば、耳の長さが
無限であると示せる
23 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 11:44:33 ]: >>16
パラドックスとは広義では、正しそうな前提と正しそうな推論から
間違ってそうな結論が出ることという意味で、>>16もそのような意味で
用いてると思うのだが、私は>>7は前提(問題文)に矛盾はなく
少なくとも[2a]のA君にとってのYの期待値はXの1.25倍である計算も
妥当で、結論(互いに相手の方が良く見える)も間違っていないと思っているので
パラドックスはないと言った。パラドックスがないことを示せと言われても
私は前提・推論・結論の正しさを主張するしかない。

>>7の例では、[2a]以降ではA君の確認した金額は10000円と確定してるので
例外(特異点)もなにも関係ないと私は主張してる。>>16は
>>7の[2a]でもパラドックスが残る(発生する)としながら
毎回例外を考慮しなければならないと主張しているように見えるが
もしそうなら>>7の[2a]でも特異点の有無が関係あること
>>7の[2a]でも特異点を考慮しなければならないことを示して欲しい。
[1]でのXの期待値については、私が前に示したやり方では特異点の有無が
関係してることは、こちらも認める。

勝利宣言するほどのものではないが、説明できるのにする気がない
という態度を続けるなら、降りてくれた方がこちらも助かる。
24 名前：s5179 [2010/03/07(日) 12:03:24 ]: ２つの封筒問題でこんな問題はどうだろう

数学者が死ぬと神様が現れる
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には１：２の比になるような数字が書かれていて
大きい方の数字を選べば天国行き、小さい方の数字を選べば地獄行きと言う
数学者が１つ封筒をぶと２００と書いてあった
神様は他方の封筒を選択してもよいと言う

①他方の封筒の期待値はいくつか

②このとき数学者はどうすればよいか

③すべての数学者は死ぬとこの神様が現れ同じような事を言う
　数学者の取りうる戦術によって地獄に行く確率は変化するか
25 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:07:39 ]: >>17
確かに、範囲を無限に広げる時には慎重にやらなきゃいかんし
どうにかして期待値1.25倍を保持させたまま無限に拡張した時
にそれなりの気持ち悪さは残る。元の問題とは違うことをやろう
としてるので、拡張するときに変な条件が必要かもしれない。
それは認める。

>>7の取り得る賞金の組を
"{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)"から
"任意の整数M,N(但し、Mは-3以下,Nは2以上)として
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nはM以上N以下の整数)"
に換えるだけなら、パラドクスはないと納得できるはず。

>>7の問題もまだ全部かたづいていない。
確率スレで前に書いた(>>566 >>567 >>645)けれど
[2a]での
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のs倍(s:定数)
A君にとってのYの金額の期待値はYの金額のt倍(t:定数)
とはいえない
[2a]に別の条件を仮定するなら、Xの金額の期待値はYの金額の1.25倍と
いえるかもしれないが、それはもはや[2a]でのXの金額の期待値ではない

[1]での
A君にとってのXの金額の期待値はXの金額のu倍(u:定数)
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のv倍(v:定数)
とはいえない
というのが私の意見なのだが、これについてはどう思う？
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 12:10:48 ]: >>24
根本的に問題が違う、話にならない
それだと＋200と‐100の数の違いの意味がないだろ
27 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:20:58 ]: >>24
最初に受け取る封筒が２つの袋のうちの大きい方か
小さいほうなのかが同様に確からしいとするなら
②数学者はどんな決め方をしても地獄に行く確率は同じ
③それぞれがどんな戦術を取ろうが地獄に行く確率1/2。
　地獄に行く数学者の人数の期待値は(死んだ数学者の半数)人

①一方の封筒に２００が入っていた時の他方に100が入っている確率と
　400が入っている確率の比がわからないので答えられない。
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 12:35:39 ]: >>22
本気で言ってるのならもういいや。
29 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:43:27 ]: >>27
おお、自分が考える解と全く同じだわ

①の期待値が分からないとするのがポイントだよね
200とすると100が入っている確率が2/3、400が入っている確率が1/3になる

よって他の封筒問題でも一方を引いたとしても他方の期待値は分からないとするのがいいと思うんだけど
30 名前：ｓ5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:55:34 ]: あ、ごめん最初に受け取る封筒が大きいか小さいかは関係ないと思う
受け取ってから数学者が一方を選ぶので

前提条件として『神様の書く数字に偏りは無い』を入れた方がいいかな？
でないと神様の書く数字の確率分布みたいな話が出て来るから
それとも『神様は無限大の数字を書ける』をいれる方がいい？
でないと書く数字が有限か無限かで答えが変るみたいな話になるから
31 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 13:12:10 ]: >>24の問題を考えたのは他所でお父さんがこどもに小遣いをくれる問題を解いたから
この問題は現実世界の話らしいのでお父さんの経済力や
こどもへあげようと思う金額【２つの封筒の中身が（X円、２X円）ならば3/2X円】が影響してくる
だから死後の世界にしたんだけど

それでも数学者達は封筒を選ぶ時に
『封筒に書く数字に偏りはありますか？』
『書く数字は有限ですか無限ですか？』
といった質問を神様にするのだろうか？
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:50:02 ]: こいつバカじゃないの
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:54:05 ]: >>22
線密度が一定でないパンの耳を長さで比較することはできない
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:57:32 ]: 人格を否定する発言はしたくはないので控えるが
彼が何を言いたいのかはさっぱりわからない。
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:58:48 ]: >>34 は >s5179向け
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:10:18 ]: s5179って確率スレで初期から1倍って言い張ってた人じゃないの
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:27:53 ]: この問題ってもう解決した？
電車でボーッと考えてて思い至った考えなんだけど、ちょっと書きなぐっても良いかな？

この問題を設定した時点で、封筒A,Bが持ちうる金額の確率分布は非自明なんじゃないかな
分布の設定方法は無数にあるだろうけど、一例として
Aが0円～n円の一様分布だとすると、Bの分布は密度5/4nのS1(0円～n/2円),密度1/4nのS2(n/2円～2n円)にわかれる
この分布を加味して期待値計算したら矛盾は無くなるんじゃないかな(まだ計算してないけど)

派生元スレ読んでないから既出だったらごめん。
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:06:38 ]: あやまる必要はないが既出。
39 名前：ｓ5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 18:00:42 ]: >>37
そう、その分布の密度って考え方が分からないんだ

因みに今日は家族サービスしながら考えてたのは
AがXであったときBの期待値がXと仮定する
そうするとBがX/2の確率は2/3、２Xの確率は1/3になる
つまりX/2と２Xの比率は2:1
封筒に入っている数の比率が3:1の場合はX/3と３Xの比率は同じく3:1になる
ここからなにか導けそうなんだけど説明が上手くできない・・・

イメージとしては
封筒に入っている数の比率が２：１の場合
2,4,8,16,32・・・・・2のｎ乗・・・・・
3,6,12,24,48・・・・3(2のn乗)・・・・・
5,10,20,40,80・・・・5(２のｎ乗)・・・・・
取りうる値はつまり素数に２のｎ乗をかけた値になる
Aを開けたときにXという値が出るとするとBの値は小さい方に濃くて
大きい方に薄いように思うんだ
40 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 18:45:16 ]: >>39
出題にはとり得る値が自然数とは書いてないぞ

とセルフ突っ込み

自然数の場合は先に素数を引けば勝てるな・・・
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 19:26:34 ]: >>39
分からないと言ってるわりには
答えの間近まで来てるな
元スレのさらに前スレから出てる答えだ

整数に限った問題ではないし
素数をかける必要はないが。
42 名前：s5179 [2010/03/07(日) 22:29:16 ]: <<41マジで！！　出来れば答えを教えてほしいな
<<24の問題は悪意が含まれているし、得られる値の意味が薄れてしまうので改変

ある数学者死ぬと神様が現れるた
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には１：２の比になるような正の実数が天国で使える小切手に書かれていると言う
数学者が１つ封筒をぶと1０００＄と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選択してもよいと言う

このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 22:38:26 ]: >>42
なんで無駄に神なんか持ち出すんだよｗ>>24も。

神なら神能力でその都度確率分布を操作する存在と見られてもしかたないぞ
不要な小細工しすぎ。
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 22:41:51 ]: すいません>>42だと神様が封筒をくれないかもしれないので訂正

ある数学者が死ぬと神様が現れた
二つの封筒を差し出し、この封筒の中には１：２の比になるような
正の実数が小切手に書かれていて天国で使える、一つ選びなさいと言う
数学者が１つ封筒をぶと1０００と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選んでもよいと言う

このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は
45 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 22:47:32 ]: >>43
ごめん、人間だとなんか傾向があるような気がしていやなんだ
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:01:50 ]: 神だともっと駄目だろ。
変なとこにこだわって脱線するなぁ…
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:24:28 ]: >>44
良いというのが期待値を意味するなら当然交換した方が良い
48 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 23:36:24 ]: >>47
交換した方が良い理由は？
あとこんな誤字脱字の多い問題に答えてくれてありがとう

>>14の人って正解知ってそうなんだけどなー
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:43:48 ]: 結局、正解が示されても納得いかない人、それが答えだと気づけない人が
あの手この手で納得する手段を模索するスレってとこでしょ。
50 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/07(日) 23:47:46 ]: みんな一言ずつコメントしていってくれたら幸せです
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:48:34 ]: >>48
１：２である任意の組である確率を同様に確からしいことを前提とする
上記より1000と2000である確率と500と1000である確率は等しい
封筒の洗濯は無作為であるので、1000である条件付き確率は各々の確率の1/2である
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は等しい
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は1/2である
よって他方の期待値は1250である
これは元の1000より大きいので、期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:50:33 ]: >>51
一行目がさっそく日本語になってないのだが
助詞の使い方間違ってないか？
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:54:07 ]: >>51
前提が正しいかどうかをまず検証することが必要

その答えは>>51が新たに用意した前提から導かれているだけ。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:57:27 ]: >>52
確かに酷いと思った

どの１：２である正実数の組である確率も同様に確からしいことを前提とする。
その確率をαとする。
開けた封筒が1000であった時、他方が500である確率も2000である確率も、
(α/2)/((α/2)+(α/2))＝1/2。
よって期待値は1250。期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い。
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:59:47 ]: >>53
数学の問題では特に条件が与えられていなければそれらは同様に確からしいと解釈される。
今回の場合、「どの組であるか」と「組のどちらを引くか」は同様に確からしい。
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:01:36 ]: >>55
全く与えられていないのならば、ね。
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:02:15 ]: >>56
どこかに与えられていたか？
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:04:52 ]: 明確に与えられている
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:05:32 ]: 言ってみろ
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:10:47 ]: 金額１：２という条件によって
それぞれの組の存在確率が規程されるということに気付くか気付かないかだろうね

対数をとるなどの数学的操作を行えば
当面、金額設定における存在確率を考えずにすませる方法もあるが
その場合は対数をとるという余計な操作をした分
期待値の算出方法も変わってしまうが結果的には同じこと
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:12:11 ]: >>60
もちろん金額１：２という条件によって規程される中での等確率しか論じていないよ。
見えないか？
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:13:47 ]: ＞規程される中での等確率

なるほど、それでは別の問題をあつかっていたのね。
神が途中で都合のいい確率操作でもしてくれるわけですか。
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:12 ]: >>62
特に指定されていないので神が確率操作したならば等確率であるように確率操作したものとする。
君の言う都合のいいが何に都合のいいことを指しているかを明示しない限り後者に答えられない。
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:39 ]: ほら、1倍って言ってる人は結論ありきだから確率分布もそれに沿って考えるんですよ
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:21:19 ]: >>63
神が現実を曲げた世界ですな

明示されても気付けない人には仕方ないんじゃないかな。
気付くまで頑張ってみてください

一個人が数学的事実を理解できなくても
数学的事実の方は変わらないので
いろいろ不具合やおかしさを受け止めて頭を働かせる謙虚さがあれば
そのうち辿りつけるでしょう
66 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:23:10 ]: >>52
でも>>51の言いたい事は分かった
( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１なら
1000が出たときに他方が500の確率が1/2、2000の確率が1/2になるってことだよね

これを交換しない派に呼び込むには
①封筒の中身が１：２になるような数字は大きくなるにつれ比率が下がる
（小さいペア：大きいペア=２：１に　)
②( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１であっても1000が出たときに
　500が1/2の確率、2000が1/2の確率になるとは限らない

①もしくは②が説明出来ればいいんだ、やっぱ議論した方が考えがすっきりするわ
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:25:16 ]: >>65
ふむ、反論できなくなればそうやって「こいつらは気付かなくても自分は気付いてるんだ」と根拠の無い特権意識に逃げるしかないか。
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:27:21 ]: >>66
①そうした確率分布にする根拠が無い。
②全事象の確率の和から個々の確率で割れば1/2になる。
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:01 ]: 成程な。
条件整理できてなかった人が
議論の中のふとした部分から条件整理できるようになったりするのなら
無駄ではないわけだ

というより、そのための隔離スレだったな。
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:03 ]: ミス
②全事象の確率の和で個々の確率を割れば1/2になる。
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:00 ]: >>67
根拠の有無も
（事実や理解から）逃げているのがどっちなのかも
運が良ければ気付ける日が来るよ
現実とかみ合っていない原因を納得できてない>>67が
納得いくかいかないかだけの問題なわけだから。
あるいは神が現実を曲げた仮想ルールに基づいた確率論を構築するのも一興かもね。

反論っていう次元の内容じゃないしね…
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:54 ]: >>68の答えから①の方が崩しやすいと感じる
なぜなら『そうした確率分布にする根拠が無い』の根拠が示されていないから
73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:34:12 ]: >>71
反論できければ反論なんて次元じゃないというしかありませんよね＾＾
74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:07 ]: ゴールはどこだろう

封筒の中の金額をA,Bとして
1)任意のAに対して、Bの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Aで表せる。
2)任意のBに対して、Aの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Bで表せる。
1),2)が同時に成り立つような(A,B)の密度関数f(x,y)が存在し得ないことの証明？
75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:51 ]: >>72
組に関する提示された制限は「１：２である」のみで他に根拠となる情報は見当たらないが。
76 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:51:23 ]: 元の問題文(>>1)には
一方を選んで確認すると10000円だった時の
他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない。
書いてないので、1:1が自然だと思う人が居る
書かれてないが、金額比から2:1が自然だと思う人も居て
書かれてないが、金額比から1:2が自然だと思う人も居る
私は、書かれてないのだから特定の比が自然なんてことはないと思っている

でも、どれが正解か、どれが自然か、どの立場が優れているかというのは
>>1の問題文から論理的に出てくることではなく
感性とか慣習の問題だ。このことは確率の比だけに言えることではない。
立場の違う人同士では話が噛み合わないのも当然だ。

この問題がなかなか解決されず、どこかのスレで質問される度に
荒れるのは、誰も正解がわからないというより
色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
明確なことを何一つ書かないのも、ある意味賢いと思うけどね。
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:10 ]: >>76
＞他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない
それは書かれるべきものではなく計算すべきものだ。
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:30 ]: >>76
比が書かれていないけど、期待値がデカくなりそうなことは仄めかしてる
これを崩すために「どちらから見ても相手の期待値が＋になること」を仮定して
背理法により確率分布の矛盾を導けば良い。
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:56:28 ]: >>7
情緒的、曖昧過ぎる
それが良いとも悪いとも言わないが数学板ではその姿勢では無視されるだろう
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:58:39 ]: どちらから見ても期待値が+になることは条件が違うから何も矛盾していないが
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:04:46 ]: ＞感性とか慣習の問題だ。
それは違うでしょ。問題解決のためのスキルの有無の違いとは言えるかもしれないが。

１：２というところからちゃんと
数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
１：２は分布に全く影響しないと思ってる人もいるわけで。

数学的感性、思考的慣習の違いとは言えるかもしれない。

＞荒れるのは、誰も正解がわからないというより
＞色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
正確には
違う意見に接したときに、違いを理解することを放棄しているから、ではないかな。
あるいは、自分にとって理解できないものは明確でないと切り捨ててしまうなど。

負の数や複素数などの概念にしたところで、
まずは直観的に納得がいかなくてもそういうものがあると受け入れてみることからはじめないと
先には進めないわけでね。数直線上のどこに現れるんだ？あらわそうとすると矛盾だとか
複素平面なんてものは詭弁だとか言ってる段階で止まってると理解は進むわけがない
負の数や複素数なら考える前に計算練習で慣れてしまうことができる分
受け入れるには単純でいいけど。
82 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:05:27 ]: 思考実験として小さい値の封筒ペアAが取り得る値を
(1,2)(2,4)(3,6)(4:8)・・・・・・(99,198)(100,200)とする
そうすると大きい値のペアBは
(2,4)(4,8)(6,12)(8,16)・・・・・（198,396)(200,400)となる
ペアBが小さい値のペアだとするとペアCは
(4,8)(8,16)(12,24)(16,32)・・・・（396,792)(400,800)となる

１～１００までに２６２個
１００～２００までに１６３個
２００～４００までに１２５個
４００～８００までに５０個
数字が偏っているように思える
これは０から始まる直線に印を入れるとより顕著に見えると思う
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:06:36 ]: >>80
だな
これは>>14でいうところの
視点を混同してるケースに近いか。
２人いるときに、双方の情報を混同している場合
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:07:19 ]: ＞感性（中略）の問題だ。
それは違うでしょ。（中略）
数学的感性（中略）の違いとは言えるかもしれない。
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:11:38 ]: >>82
そこからもう少し整理すれば
正しいイメージにいきあたりそう

思考実験の段階なので
最初に考えたAのペアの金額が等間隔になっているが
整合性をとるためには
その等間隔というところも不自然だということが
直観的にもわかってくると思う
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:12:29 ]: >>81
負の数や複素数を提唱した人は君のように何の根拠も無く
「俺のイメージがちゃんとしたイメージなんだ！」なんて言わないけどねｗ
87 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:10 ]: >>82
などから大きな数字は小さな数字より２倍薄くなる公式を導きたいんだけど
誰か助けて下さい
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:34 ]: >>82
「小さい値の封筒ペア」って何？
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:35 ]: >>86
理解する気がない特定の（ｗ）人はそこ止まりなんだろう、いつも。
90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:16:38 ]: >>89
何も反論しないくせに「俺の言うこと理解してくれない」ｗ
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:20:14 ]: >>87
もし本当にそれが正しいなら定義をきちんと整備すれば自ずと導けるだろう
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:08 ]: >>67
そういうのは
「お前に反論することはできないが、お前には構っていたいんだ」
という意思表示だよ。
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:43 ]: >>90
理解できてる人はいくらでもいるからね
あと、「俺の言うこと」ではなく数学的な考え方ね。

>>90みたいな理解を放棄して挑発しかしない態度の人には
数学的思考なんて無縁なことなのかもしれないな
94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]: >>92
論を唱えない人に反論を求められてもなー
頭大丈夫でっか？
95 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]: >>85
あなた>>14の人ですね
ヒントはくれるけど答えは教えてくれないなんて
さては数学者だな
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:24:10 ]: >>93
出ましたｗ
「根拠は無いけど俺の考えの方が数学的な考え」ｗ
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:25:49 ]: >>95
答えは出ているのでは？
答えを導く過程を納得できない人がいろいろこねくり回す場なんでしょ、ここ。
98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:26:15 ]: >>97
出ていると思ってるなら言ってみれば？
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:28:31 ]: >>98
理解する気もないし
理解しようとする態度でもないでしょ。
100 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:18 ]: 試しに>>1の問題文に
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
　どちらになる確率も同様に確からしいとする」
とか
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
　{5000,10000}になる確率2/3,{10000,20000}になる確率2/3とする」
とかさらに別の適当な条件をそれぞれ加えても、別の問題ができあがるだけで
>>1の問題文中の条件と矛盾したりはしないでしょ？
>>1の段階では、どれを採用すべきかは論理的には決められないよ。

もちろん、これこれを採用するのが自然だと思うという流儀
があること自体は批判はしないが、論理的根拠もなく
他の流儀を認めないというのは困る。
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:25 ]: >>81
＞数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば

実際に数が大きくなるほど密度が小さくなるの？
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:31:03 ]: >>99
もちろん正しいと思えるだけの論証を沿えて頂ければ理解しますよ
これが正しいんだとしか言えずに駄々を捏ねるので無ければね
103 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:33:50 ]: すみません>>99さん
どうかお願いですから教えて下さい
合ってても、間違ってても私には分かりませんが
いつか理解出来るように今聞いておきたい
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:34:10 ]: >>100
「１～４の書かれたカードのうち１枚与えられた時、それが１である確率は1/4」かどうかも流儀に依るという立場かな？
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:48:01 ]: ここの人達は期待値の以前に平均値の意味もよく理解してないからなぁ・・・
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:51:18 ]: >>101（>>103へも。）
比で規程されていれば。

差で規程されていればどこも密度は同じ。
1000円だろうと、10000000000000000000000000000円だろうと、
-10000円だろうと。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:52:04 ]: きてい

規定
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:53:48 ]: >>94
>>92は反論など求めていないので
それは誤読か誤アンカーのどちらかである。
109 名前：前355 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:54:49 ]: 独立お疲れ。

>>76 が正しいな。
大きい方の袋の金額がどうやって決まるか、
それは全ての金額において等確率だ、
というところまではＯＫだよね。

それ以後は、「自分が取ったのが大きい方である確率：小さい方である確率」は、
金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1 が正しいし、
上限付き一様分布の上限∞への極限なら 1:2 が正しい。

で、そこは指定されてないんだから、どちらもあり得る。
ガンマ分布とか適当なのを選ぶと、
その比は極限とは関係の無いパラメータで任意に決まりそう。
結局「不定」が解だね。
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:59:10 ]: ＞色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
けっこう当たってるな、ワロタ
111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:00:16 ]: >>106
ある一定の金額の入っている封筒が、
大きいほうの金額の封筒であることと、小さいほうの金額の封筒であることとで
密度が違うといっているのだと思いますが
その密度というのは何の何に対する密度ですか？

たとえば人口密度は、土地の面積に対する人間の数である密度だと思います。
その場合の密度となんなのでしょう？
112 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 02:01:38 ]: >>104
もちろん、うるさく言うなら問題文に
"どのカードが選ばれる確率も同様に確からしい"等がないなら
"同等に確からしいと仮定するなら1/4"と答えるし
もっとうるさく言うなら、問題文から自然言語をできるだけ排除して
「この[論理式]が正しい証明をしろ」という形式でなければ
答えられない。こういう意味ではこんな流儀は他の流儀より優れているとは
とても言えない。

コインやサイコロ、>>104のような問題なら特定の条件がない限り
確率1/2とか1/6,1/4で考えることに文句はないよ。
ただ>>1の問題を例えるなら
「数字の書かれたカードのうち１枚与えられた時、それが１である確率は？」
って訊かれても、カードの枚数とかカードにどんな数字が書かれているのか
が異なれば確率も異なるし、その条件が全く与えられないなら
求められない・勝手に仮定したことを明記した上で答えるしかない
ってこと。
113 名前：s5179 [2010/03/08(月) 02:05:55 ]: >>109

>金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1
>上限付き一様分布の上限∞への極限なら2:1

それは設問の時間軸で判断は出来ないのでしょうか？
『上限付き一様分布の上限∞への極限』はどういった前提条件が必要になるのでしょう？
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:12:54 ]: >>112
前段落に関しては正に同意するところです。
後段落に関して言うなら>>104が妥当だと考えるのと同程度にどの組が出る確率が等しいと考えます。
つまりは期待値は12500になるという立場ですね。
と言っても仕方が無いでしょうから１つ質問ですが、
無限を取り扱う場合には分布が提示されなければ解は決まらないという立場なら、
「異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
それが他方より大きい確率は幾らか」という問題も解が決まらないという立場ですか？
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:45:29 ]: 112ではないが、

（等しい場合はとりあえず考えないことにする）
そのカードに書かれている数字を見てしまったら
分布が提示されなければ決まらない。

見ていなければ1/2
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 03:51:04 ]: >>115
これは見ても見なくても1/2じゃないの
一方を渡された段階で大きいか小さいかは決まってるよね
見てからなんか選べるの？
117 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:06:12 ]: >>115
カードに書かれている数字をみる
分布の提示を求める

それはもはや別の問題を解いているのでは・・・
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 04:07:14 ]: >>116
極端な事を言うと、「一方のカードは0、もう一方は1」という場合すらあり得る
当然ながら、この場合はカードを見た時点でどちらのカードが大きいかわかる
119 名前：118 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:09:05 ]: あ、俺は>>115じゃないよ
120 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:35:51 ]: >>119
その場合の設問は

異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
カードに書いてある数字は１もしくは０である
それが他方より大きい確率は幾らか

になるのかな？

もうその場合、『異なる実数が書かれた』のところは省略していい？だめ？
121 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:57:44 ]: 異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
それが他方より大きい確率は幾らか

の設問だったら
1/∞だけ大きい確率が増して解は1/2

Xの取り得る値の確率分布がX≦1のとき2/3、１≦Xのときは1/3
だったら解は1/3

ってあってる？
122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 11:23:02 ]: 分布と組は同じ概念でしょ？

「組」って言ってるのは、無数の1:2の数字ペアを袋に入れてそこからペアを一つ無作為に取り出すっていう操作
特定の数字ペアが取り出される確率はその「重複度」によって定められる

分布(密度関数)は、(x,2x)が得られる確率をf(x)で定義したもの
123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 16:31:22 ]: 重複度？
変なとこで使うんですね
124 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 17:21:17 ]: 初めに封筒に入れた金額に重点を置いて>>1を解きます。

Aは偏りのない実数とする
封筒の中身を（A、２A）とする
A≠0円は金額比が　1：2　より自明である。
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。

1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。
1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。

よって封筒の中身の期待値は

1/2×A+1/2×２A＝3/2Aとなる。

一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。

A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。

A＝10000円、２A＝10000円は独立した事象であり連続性はない

この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
獲得できる金額は期待値の総和に近づく

次は封筒一つに重点を置いた解法を見つけてみたいと思います。
お金では無理かもしれませんが、αを偏りのない実数として2のα乗でいけるのではないかと
125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 17:59:41 ]: ＞中を見ると10000円であった
ここで逆にたどると
3A/2 = 10000円
より、Aの期待値は2/3 * 10000円
よって他方の封筒の期待値は
1/2 * 2/3 * 10000 + 1/2 * 2/3 * 10000 * 2 = 10000円

一方、選んだ封筒に10000円入っていたことから(10000,20000)又は(5000,10000)が二つの封筒の中身である。
前者である確率をpとして
p * 20000 + (1-p) * 5000 = 10000
p = 1/3
より、選んだ封筒が少額側である確率は1/3である

よって僕はバカである
誰か頭良い人、どこでおかしくなったか教えて頂けませんか？
126 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:19:32 ]: >>125

>>124に書いてある通り期待値の決定は封筒を２つとも開けたときになります。
もし期待値から遡るのであれば起点は２つの封筒を開けた時からにして頂ければ幸いです。

>選んだ封筒が少額側である確率は1/3

これはαを偏りのない実数として2のα乗で説明できそうです
αに偏りはなくても、2のα乗にすると密度が少ない側にかたよるように思います
たぶん封筒の中の金額　5000：10000：20000=√2：1：1/√2と予想します。

しかし２のα乗の方法の期待値だと
>この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
>獲得できる金額は期待値の総和に近づく
は満たせなくなると予想します
これは封筒を1つ選んだ時点で期待値を求める為に起こります

なので２のα乗を使った解法を見つけるモチベーションが下がっています。
127 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:24:32 ]: すみません

>選んだ封筒が少額側である確率は1/3

ではなく

選んだ封筒が少額側である確率は2/3になると予想しています。
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 23:22:02 ]: よって僕はバカである

なんだこれ
129 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:20:31 ]: １００００円が出たときに
他方の封筒の中身は５０００円か２００００円に絞られます
そしてその比率は１：１であるかのように感じます
しかしそれは

5000円の確率：20000円の確率＝1/（∞-∞＋2）：１/（∞-∞＋2）≠１：１

の状態なのではないでしょうか？

これが正しいか間違ってるか
この分母に入るのが∞-1、∞-2、∞-3、∞-∞＋1、∞-∞＋2、∞-∞＋3のいずれか
議論する価値はあるかと思います

上の疑問は最近寝不足でレス待ちしてたら寝てしまい夢に出た
粘着で気分の浮き沈みも激くなってきてるし病気かも・・・・
130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 00:23:57 ]: 自覚症状あるうちは大丈夫だ
図書館にでも行ってくる方が手っとり早いし健全だよ
131 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:34:08 ]: >>130　はい、そうしますありがとう
今は２つの封筒問題に夢中です、この前まではCOD：MW2でした
２つの封筒問題をアルファルファで見つけて以来やってませんが
今日はもう寝ます・・・・かゆ・・・・・うま・・・・・な状態です。
132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 18:15:49 ]: 完全な決着が付いてない問題だから調べたところでどうもねぇ・・・
図書館、というか論文でなら期待値12500で交換した方が（期待値的に）良いとしてるもの方がよく見るけど・・・
133 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:10:18 ]: >>130
>>132
134 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:17:11 ]: >>130
>>132

今日は仕事で遅くなり図書館には行けませんでした。
仕事中にいろいろ考えたので書き込みしてみます。

２のα乗で解を求めるのには失敗しました。
値の数の分布に偏りはみられませんでした。
やはり１つの封筒を開けた段階で期待値は求められないのかもしれません。

あと∞－∞＋２も誤りでした。
気づいた時に顔が真っ赤になりました。
135 名前：s5179 [2010/03/09(火) 22:54:18 ]: [２つの封筒問題、上限20000円版]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする、上限を20000円とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？

(解）
Aは１～10000の整数とする、封筒の中身を（A、２A）とする
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。

1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は　1/2×A+1/2×2A＝3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。

A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A＝10000円、2A＝10000円は独立した事象であり連続性はない

封筒を引く確率を　（5000円,10000円,20000円）の並びで示す
封筒が選ばれていない時　（1/10000,1/10000,1/20000)
(5000円,10000円）を封筒に入れたとき（1/2,1/2,0) 　
(5000円,10000円）の内10000円を引いた後（1,0,0)
(10000円,20000円）を封筒に入れたとき（0,1/2,1/2)
(10000円,20000円）の内10000円を引いた後 (0,0,1)

∞は考えがまとまらないので有限に、円が単位なので整数にしてみました。
136 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 02:22:52 ]: 期待値から、引いた方が得

感覚的には、安い方を引いたなら次は高い方が出る可能性が高い。
高い方を引いたなら安い方が出る可能性が高い。
可能性がどれぐらい高いかを考えれば、引いた方が得になる。
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 02:43:23 ]: ＞Aは１～10000の整数とする
これは「場合により１：２が成り立つ」
「場合によっては１：２が成り立たない」という
ものすごくいびつな条件を作った上で計算していることになる。
ぶっちゃけてしまえば無意味。

＞他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
それは期待値とは言わない。
138 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:19:33 ]: >>137

まずは１：２が成り立たない反例からどうぞ
139 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:22:09 ]: う、寝起きは日本語がおかしい
>>137　１：２にならない反例を一つ示して下さい
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 06:03:06 ]: １００００の場合
５０００と１００００のうちの１００００および
１００００と２００００のうちの１００００

１の場合
１と２のうちの１のみ
０．５と１のうちの１　という可能性は排除されている

２００００の場合
１００００と２００００のうちの２００００のみ
２００００と４００００のうちの４００００　という可能性は排除されている

関与する数字にこれだけのいびつさが生まれている

すなわち１００００という金額を確認したという事実だけ優先する立場なのに
理由もなく１から１００００という選択肢を後から用意したため

これが良く言われている結論ありきの論法と言うやつかな
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:27:54 ]: >>137はなにを言っとるの？

＞「場合によっては１：２が成り立たない」

その条件下では成り立つという話なのに
それ以外の話をしてもそりゃ無意味だわな。
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:31:30 ]: >>140
「上限20000円版」とことわってんだから別の問題なのだと思うが。
脊髄反射で反論する前に、もう少しよく読んだほうがいいのではないか。
143 名前：s5179 [2010/03/10(水) 21:49:46 ]: 期待値12500円派もしくは11250円派の>>140さん
反例ありがとうございます。
着眼点は間違っていないと思います。
論理的思考のできる>>140さんは数学が得意な方だと推測します。

期待値は分らない派もしくはその他の関数派の>>141さん >>142さん
的確な指摘です、議論の参加を願います。

私は10000円を開けて見た時に期待値は分らない派です（15000円派ではありません）

>>140　での指摘は期待値12500円での解法では間違っていません、まさに的確です。
しかし>>141さん>>142さんには>>135に違和感はなかったと思います。

期待値12500円もしくは11250円での解法では有限かつ取り得る値が整数の場合
初めに1,3,5,7,9などの奇数や、10002以上の値を引くことが出来ません

これはどんなに値の上限を増やしても変りませんし。
有限の場合、整数を実数に替えても上限の1/2より大きな数字を最初に引くことが出来ません。

期待値12500円もしくは11250円の解法は応用が効かなく、実施するのにパラドクスを含み過ぎているように感じます。
144 名前：s5179 [2010/03/10(水) 22:07:54 ]: >>136さん

理由が曖昧過ぎます、この文系脳め！！

>>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です。
145 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:22:21 ]: たびたびすみません日本語を訂正します。

誤　>>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です
正　>>135の問題は引く前から勝率75%が決まっている超ウルトラボーナス問題です
146 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 22:33:11 ]: >>144
いや理由は期待値から明らかなんだよ。数学的に答えが出ているんだから、
これ以上の理由はないだろう

ただ理解できないようだから感覚的に理解するために、
わかりやすく答えただけ。
147 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:43:24 ]: べさんの出した期待値を教えて頂ければ
少しは理解出来るようになるかもしれません
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:10:56 ]: > s5179
そろそろ病院行ったら？
149 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:13:54 ]: ええ、行ってきました。
脳に異常は見られませんでした。
150 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:22:22 ]: レスを待つのも暇なので
●を購入して「こんな確率求めてみたいその1/7」を読んでいます。
みんな楽しそうだなー
その時に参加したかったです
151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:31:53 ]: 成程、脳がやばそうだという自覚はあったんだ。
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:32:54 ]: >>150
「語るに落ちる」とはこれか
やっぱりなｗ
153 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:39:32 ]: >>152　
落ちてないけど、そう言いたい気持ちはわかる
似たようなのがいるね俺と
850まで読んだけど歴史は繰り返すを地で行ってる
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:41:55 ]: 苦笑
155 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:45:25 ]: >>153
読み終わった
850-1000はスレが荒れて理解しながら読まなくていいから楽だった
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 00:19:22 ]: s5179は結構まともだとおもうぞ
言ってる事はいまいち分からないが、話せば分かりそうな感じ
157 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:28:24 ]: >>156
ありがとう
説明が難しいので、分りにくくなっていると思います。
でも矛盾はないと思います
158 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:33:12 ]: たとえば、一番分ってもらえないと思うのは

「期待値12500円の解法は(5000,10000)(10000,20000)の場合なのに
初めに5000、20000を引く可能性を排除してしまっている、これには矛盾がある」
などです。

多分　初めに10000引いたんだから当たり前だろボケと思われるでしょう

しかし本当なのです。
159 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:25:30 ]: >>158
それは「矛盾がある｣という言い方をするのがいけない
普通の条件付き確率の問題として説明すれば良いんじゃないか？
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 01:27:16 ]: 説明能力の問題？
161 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:38:14 ]: >>160
>>126とか>>129とかは意味不明だが、最近の書き込みはそうなんじゃないか
162 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:12:59 ]: 遅レスですみません反証します。

初めに引いた値が10000の時
（5000、10000）もしくは（10000、20000）の組み合わせであると考えられる
カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①　
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000

期待値12500円の解法は②と③の平均をとっています、10000を初めに引いた事によって①と④の可能性を切り離しています。
しかし①と②は同一のゲームで切り離せません、同じように③と④も切り離せません
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変りません、
試行Aの場合、封筒は1/2の確率で5000もしくは10000で期待値は-7500です
試行Bの場合、封筒は１/2の確率で10000もしくは20000で期待値は-15000です

試行A、Bの平均をとったものが11250円派の解法です。
試行A、Bは起こりうる確率は同じです。
しかし試行A、Bは同じ回数起こるとは限りません
たとえば試行C（100、200）もA、Bと同じ確率で起こり得ます。

これが期待値12500円と11250円の反証です。
163 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:29:53 ]: >>158
そうですね
10000円を最初に引いた問題だけど
5000円や20000円も最初に引く可能性があるよねと言いたかったのです。

でもたぶんこの言い方だと12500円派の人にその時の期待値は6250円と25000円ですよ、ププ
とか言われそうだなと思って。
164 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:48:06 ]: >>162　によりこの２つの封筒問題（>>1)では子の選択により親の期待値に変化はありません
よって封筒を引く必要はありません。

因みに>>135は　　（A、2A) Aは１～10000の整数なので
（1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)・・・・・（4999,9998)(5000,10000)(5001,1002)・・・・（9999,19998)(10000,20000)
のように10000通りの封筒の組み合わせになります。

初めに選んだ数字が奇数のときはもう１枚ひく　2500/10000
初めに選んだ数字が偶数で２～10000は大きい数を引く確率1/2×5000/10000
初めに選んだ数字が偶数で10002以上の時は引かない　2500/10000

で勝率0.750の問題です。
165 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:06:37 ]: >>164より
その他の２つの封筒問題の場合でも
封筒の中身が有限で実数の場合は値の範囲が分れば
その半分より大きければそのままで必勝（全体の1/4の割合)で1×1/4
それ以下であれば勝敗は　1/2×3/4
勝率5/8で少し有利

値の範囲が∞で整数の場合
初めに出た値が奇数でもう一枚引くで必勝1/4
その他は勝敗　1/2×3/4
勝率5/8で少し有利

になると思います。
166 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:09:33 ]: >>162は
誤　カード
正　封筒

でお願いします。
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 05:17:52 ]: ・・・・・・・・・
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 16:24:18 ]: >>162

ヒント：条件付き期待値

問題には，
> 一方を選んで中を見ると10000円だった。
とあるので，5000を選んでから10000を選ぶ場合や
20000を選んでから10000を選ぶ場合は除外されている．

>>14

の指摘のように，２つ目の封筒が高額の方である確率が1/2である
かどうかは，定かではないが，この問題の場合，
残りの封筒の中身が5000円か10000円かは
等確率であるとするのが妥当と思われる．
（いずれにしても，この確率を求めることは数学ではない．）
したがって，
>>1
の通りに期待値は，12500円でいいと思われる．

だからといって，別の袋を選んだ方が，得になるかどうかは微妙な問題
ではなかろうか？
10000円が確定しているところから，確率1/2で損をするのだから．

金額の比が１：１００であって，最初の封筒の中身が
１億円だった場合なら，残りの封筒を選ぶと期待値は
５０億５０万円になるが，封筒を変更する人がいるでしょうか？
確率1/2で１００万円になってしまうのは損と考えるのが
常識的と思われるが．．．．
169 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 20:47:17 ]: >>168

のヒントにより自分の答えが間違っていることに気が付きました。

封筒の中身が１：２になっている　　・・・・①
一方の封筒を引くと10000円だった　・・・・②　NEW

より

（Ⅰ）　他方の封筒の期待値を求める。
（Ⅱ）　他方の封筒を引いた方が得か

これを求める問題だったんですね
やっと理解出来ました。

またあとで自分なりの答えを書き込みたいと思います。
170 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:24:36 ]: 絶望した
答えに絶望した・・・

そして>>1をよく読んでいない自分に絶望した

>>1の
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？

間違っています。

>>1の問題の答えは

期待値の計算式　5000a＋20000(1-a) (aは5000、10000の封筒ペアを用意する割合）

期待値は分らない（期待値の取り得る範囲は5000円～20000円）
期待値＞10000円になるかどうか分らないので引くべきかどうか分らない

出題ミスじゃん時間返せ
171 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:40:59 ]: 因みに

>>1
の問題は明示していなければ1/2とするならば　期待値12500円となり引いた方が得

2/3より多い割合で5000円を入れるならば期待値が10000円を下回り引いた方が損
172 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:43:14 ]: また間違えた

もう一度やり直します。
173 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:46:12 ]: 間違えていなかった

もういいよ・・・・
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 23:37:33 ]: この調子で完走してくれｗ
175 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:19:54 ]: 期待値12500円の時に感じるパラドクスを解明

10000円を引く・・・①　現在１
金額が１：２より
（b,5000、A,10000）・・・②　　推測の過去
もしくは
（A,10000、B,20000）・・・③　　推測の過去　

②は③等確率なので次の封筒の期待値は
5000×1/2+20000×1/2=12500

期待値が12500円なので他方を必ず選ぶと決める　・・・④　現在2

③においてB,20000円を引いて期待値25000として必ず他方を選ぶ　
③においてA10000を選んでもB20000を選んでも必ず他方を選ぶ選択をする

封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために
封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、
今度は同じ議論で封筒Aに交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続ける

どんな２つの封筒の組み合わせでも大きい方を引いた時も小さい時を引いた時も他方っを選択するのはおかしい。
176 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:28:41 ]: 途中で書き込んでしまった
まだ書き加えたり削除したりの途中です。
年度末で忙しいのに死んでしまう

10000円が出たときに
他方が5000円もしくは20000円であることを等確率にしていいんだろうか？とか
等確率に定義してしまって、問題を解く、パラドクスも説明する
を目指しています。

前スレ、前々スレ、他のサイトを参考にしながらですが。

やはり親目線の解き方が楽でいいなー、と思っています。
177 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 04:01:17 ]: <<1

の問題は
明示されてなければ確率は均等の法則に従えば12500円

引いた方が良いかどうかは、
1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので、引いても引かなくてもどちらでもよい。

みたいね、睡眠時間返して欲しいよ・・・
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:26:05 ]: 「明示されていなければ確率は均等」には異論はないが
だからといって、何が何に対して均等であるかの要請については
特別な法則があるわけではない

たとえば
主催者が、ある１円について、このゲームのためにそれを用立てる確率は
どの１円についても均等と仮定すれば
２つの封筒の合計金額が15000円のゲームと合計金額が30000円のゲームが
執り行われる確率は等しくはならない。
179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:27:01 ]: >>177
＞ 1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので

同額ではないけど？
180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:07:53 ]: >>178
ですな。

だからこそ何について均等なのかを考え
どこに影響が出て、どこに矛盾が起きうるか考える必要が出てくる
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:33:50 ]: 何について均等かによっては矛盾が起こるのですか？
182 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 17:20:00 ]: >>179

カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①　
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000

便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変わらない

これだったら間違ってない？
この問題は引く人間の選択によって獲得出来る金額に差はでないと思う。

じゃあ、期待値の計算式　5000a＋20000(1-a)
においてaの取り得る値は１か0、１か０の比率はわからない。
期待値は5000もしくは20000、
あたりまえだし期待値じゃないけど真理は含まれていると思う

なんか１つ目の封筒を見ないと取り得る値の範囲が絞れないけど
見てしまうと低い値、高い値を最初引けなくなってしまう。
ウロボロスの蛇に首を絞められてる気分だ

②と③を足すからおかしくなるんだよ
試行AとBは全く別だから、足したり引いたりできないのに
183 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 22:03:58 ]: みんなはどんなイメージで>>1の問題を解いているのだろうか？

私は、
大きな封筒がありその中に小さな封筒が２つ入ってる
封筒の中にはそれぞれ数値が書かれた紙が入っていて、その比は1：2になっている。
大きな封筒は非常にたくさんあり、数値に偏りなく、見た目には無地で見分けがつかない
その大きな封筒が大きな箱にぎっしり入っている
試行の度に大きな封筒を１枚選び、試行が終われば戻す

こんなイメージで問題を解いているので
１度(5000,10000)の大きな封筒を選んだからといって、次に引く封筒は全く違う値だし
どんどん繰り返し、やっと10000がでたらまた5000がペアだった
そんなイメージで解いているんですが

因みに
私は社会人で仕事ぶりもそこそこです。
妻も子もいます（虹の嫁ではないです）。
言いたい事は
私は頭も精神もおかしくはありません
２ｃｈでは粘着ですが、久しぶりの書き込みなので暴走気味なだけです
議論を楽しんでいるので反論は大歓迎です、もっと議論したいので煽り気味です
数学は好きでした、特に確率の問題は大好きでした。
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 23:29:25 ]: 分裂症の気はあるかもしれんね
自分で分かってたことが分かってない等
185 名前：7 mailto:sage [2010/03/12(金) 23:52:15 ]: >>182
所々私の理解の及ばない箇所があるけれど
子が金額10000円を確認した後、交換するかどうか決める前の時点では
二つの封筒の金額は{5000,10000}か{10000,20000}かのどちらかに決定しているし
{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行なのだから
子が{5000,10000}の時と{10000,20000}の時を同時に考えて期待値を求めるのは
おかしい、と言ってるように見える(全然違ってたらすまん)
が、{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行だかといって一緒に考えることは
できないというのは早計だと思う。

例えば、親が賞金の組を決める時
{5000,10000}が選ばれる確率と{10000,20000}が選ばれる確率の比を1:99
として、子もそのことを知っているとする。金額の組が決まり、親が２つの封筒を
用意し、子が１つの封筒を選んで中を確認する。すると中身の金額は10000円であった。
もしこの子が私であったら「この時点で金額の組は{5000,10000}か{10000,20000}か
のどちらかに決定しているけれど、{10000,20000}が選ばれた可能性が高い、つまり
他方が20000円である可能性が高い」と考えて交換する。
子にとって10000円を確認したことは重要な情報であり、交換するかしないかの
判断材料になり得る。

別の問題として比が99:1とし、それ以外は同じ(確認した金額10000円)だったら、私は交換しない。
>>1の問題では、この比が何対何かは論理的には判断できないし、1:1と考えるのが自然だとは
思えないので、交換するかどうかは決められない、というのが答え(>>1自体はこれで終了)だと思う。
けれど、比が1:1となるような問題(または2:1となるような問題)を考えた場合
子にとっての他方の金額の期待値が12500円(10000円)と言えるか？
交換した方が良い(交換しない方が良い)と言えるか？
ということが私の個人的な課題。そして上はyes,下はnoと自分の中では答えも出てる。
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 00:34:58 ]: s5179さん
あまりに混乱しているようなのでフォローです。
エクセルできますよね。
数学は実際に計算やってみるのが基本です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
と入力します。
意味的には、
　A列が一様な整数分布（の一部）→封筒の組を選ぶ
　B列が手にした数値（割り切れる問題を避けるため2^Aにしてあります）
　C列が交換して増える場合
　D列が交換して減る場合
仮の計算のため、とりあえずは１から１０で計算します。
11行目で合計を求めてください。
B列が2046、C列が4092、D列が1023になります。
BからCの場合と、BからDの場合はA列の整数を一様に取ることができれば1/2になることも理解できると思います。
この場合のBの数値を手にした人の期待値は、
　=（Cの合計＋Dの合計）/（Bの合計*2）
で計算でき、上の数値を使って計算すると1.25になります。
187 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 00:35:43 ]: 続き

さて、この表をよく見るとこのパラドクスの原因がどこにあるか一目瞭然で、
10組しか封筒がないのであれば、整数10のときの封筒の組からは2048に増えることは無く、
「交換しない！」が正解なので、2048を1024へ書き換える。
同様に整数1のときも書き換えるとパラドクスは消え、比率は1.00になります。

いまは１から１０でやりましたが、この上限を無限に飛ばしたのがもとの問題だと考えています。
私の立場は、
・片方の封筒の中身を確認したあとの条件付確率として、1.25倍はパラドクスではない
・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
　→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
・当然、他の人が仮定しているような発散しない分布を仮定すれば、交換後も1倍になる
という感じです。
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 02:23:52 ]: >>186-187
この問題を現実に置き換えることは不可能ということでよろしいですか？
それなら同意見。
189 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:30:13 ]: ありがとう御座います。

>>186-187

そう、そこです、そこが混乱する所です。

A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2

これのA列を正の実数にして封筒の1方に
C列を一方に入れパッケージしたものが自分の考える大きな封筒の中身です。・・・①
A列とB列のパッケージでも同じ分布の封筒になるかと思います。・・・・②

しかし①と②の大きな封筒の色は違いませんでしょうか？

①と②を同じ箱に入れると①と②の大きな封筒の枚数は同じですが
数値は発散してしまいます。

B列とD列の大きな封筒の色は同じです、少し色は薄いかもしれません。

（A、B）の大きな封筒＜黒い＞、（A、C）の大きな封筒＜白い＞、（A、D）の大きな封筒＜A、Bのものより少し薄いが十分に黒い＞
のまだらな箱の中身が出来るように思います。

あとE列に(1/2)^A列の封筒も在りかと思います。（A、E）の大きな封筒の色はグレー？か？・・・④

①、②、③、④が混ざった箱はとてもカオスで自分の理解に耐えません、ええ頭が爆発しそうです。
A列をただの実数にしてみんなに封筒を引かせ借金まみれにしたくなります。
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:31:33 ]: 整理ができるまであと800レス強で足りますかのう
191 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:33:53 ]: 訂正

>>189の②において同じ分布としたのは誤りです。
寝起きなのでご容赦願います・・・・

ではまた寝ます。
レス待ちは寝ることにしました、
これで健康が取り戻せそうです。
192 名前：s5179 [2010/03/13(土) 04:37:05 ]: >>190

そうじゃのう、わしらが死ぬ前に解けるとよいのう
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:53:28 ]: ＞・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
＞→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
一様分布でない分布のもとでも、同様のパラドクスが起きるように設定できるらしい。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
その場合でも、封筒を引く前の期待値は発散するようだが。
194 名前：s5179 [2010/03/13(土) 05:46:11 ]: 寝付けなかったので、寝る前に補足

>>189
の②のパッケージの仕方は【２＾A、２＾（A+1)】です、④も同様です。
④の色は青？

せっかく円と言う単位が付いているので
Aは正の整数
一方はA円、もう一方は２A円
Aの値の範囲が∞までの場合と160,000円くらいまでに分けて考えたらどうでしょうか？
そうすれば１≦A≦80,000で
箱の中身は大きな封筒80,000枚で考え易いののですが・・・・

まあ、この大きな封筒にパッケージと言う考え方の同意自体取れていないのですが・・・

明示されていない条件を明示して（または仮定して）
みなで同じ問題を解かないですか？
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 05:48:52 ]: 寝付けなかったので、
196 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 10:36:23 ]: >>188
そうです現実問題としては、整数・自然数全体に一様分布を入れることはできないと考えています。
197 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 11:01:03 ]: >>189
失礼ですが、混乱されているようなので、いきなり連続体上での分布を考えるのは避けたほうがよいと思います。
今回の例示を1～10の整数にしたのは、離散であればいろいろ検討しやすいと思ったからです。

私の考える、この問題の作業ステップは
・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
・プレイヤーはこのうちのひとつを選択し、中身を確認
という流れです。
この1ステップ目のN大きくなり、最終的に無限大に発散させたものがこの問題の1例となります。
※他の例を作成することも可能
　繰り返しになりますが、無限大に発散させた状態で確率を論じることは不可能

考え方としては、
・1/Nの確率でひく、最大値Nを引かない限り1.25倍になることは異論がないと思います。
→ひとつの封筒の中身を確認し、2^(N+1)でなければ1.25倍
・このNを大きくしていくと、最大値Nを引く確率はどんどん小さくなる
・Nを無限大まで発散させた場合を想定すると、どんな数値を引いても、それは最大値ではないので、1.25倍が適応される
という風に考えています。
198 名前：s5179 [2010/03/13(土) 12:42:54 ]: 186さん

まず１点、2^Nは不味いんじゃないでしょうか？
自然数ですよ
たとえば2^N=10000としてNの値を教えて頂きたいのですが・・・
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 15:42:18 ]: >>198

俺は>>197=>>186ではないが、

＞・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
＞・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意

>>197の場合、１からNまでの任意の自然数なのはｎの部分のことであって
2^nが１からNまでの任意の自然数とは言っていない
200 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 15:54:28 ]: >>198
（199さんフォローありがとうございます）
199さんの言うとおりで、いきなり任意の自然数で考えると、２で割り切れない不都合が起きるので、2^Nに置き換えて考えています。
2で割れる、有理数体や実数体で考えると、自然数での単純さが無くなり混乱の元となるので、代替案としての説明です。
すぐには納得行かないかもしれませんが、基本的な考え方は一緒なので、このやり方で一度考えてみませんか。
201 名前：s5179 [2010/03/13(土) 17:26:34 ]: >>200

A=2^nとすると
2^(n+1)=2・2^n=2Aです。

つまり（A、２A）で表す事が可能です。
金額の比は1:2とありますので全てのやり方で応用可能です。

期待値12500派の人は（A、２A）ではイケナイ何かやましい事があるのですか？

<<<例えば最大値の半分を超る値を初めに引けないとか>>>
202 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 18:33:09 ]: >>201
確かに私は期待値12500派ですが、（A,2A)でいけないとは、言っていませんよ。
ただし、普通にAが自然数であれば、奇数は2Aになりえないので、交換するときに
余計な条件となりかねないので、今回の思考実験では避けたいのです。
＃Aが有理数や実数とする場合は別の困難が発生します。

自然数全体と2^n（n:自然数）は１対１対応するので、ひとつの例としては問題ないと考えています。
203 名前：s5179 [2010/03/13(土) 18:55:41 ]: >>186
問題はない？

先ほど出した
『2^ｎ=10000としてｎの値を教えて頂きたい』
の答えが必要になりそうですね
答えられないのでしたら2の累乗を使うのであれば対数も使えるように
実数に代えて下さい
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:17:24 ]: 期待値12500を満たす母集合を考えると、有限ではありえない。
無限の母集合から何かを選択する操作に、統計とか期待値の概念はない。
205 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:18:31 ]: >>203
いやまあ、どうしても実数で考えたいというであれば、止めはしません。
実数で考えて、混乱されているようなので、自然数（整数）で考えてみることをお勧めしたつもりです。
実数上での確率の扱いに慣れているのであれば問題ないです。
（とてもそのようには見えませんでした）

私もs5179さんのおっしゃるように封筒の作り方を確立することには賛成です。
私の提案が、自然数nに対して、「2^n」と「2^(n+1)=2*2^n」の組をつくることです。
この利点は、最大値と最小値以外であれば、どの数値を引いても勝つ確率が1/2であることがわかりやすいことです。
206 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:27:39 ]: >>203
欠点としては、もともとの問題の10000円に対する自然数nが設定できないことですね。
（まあ、「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」にしてもいいのですが）
とにかく、自分の理解できるところまで引き返してほしいです。
（複雑なものを複雑なままで考えても前進は厳しいですよ）
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:32:05 ]: 結局期待値　1.25　って言ってる人は、
任意の実数xを選んだとき、(2x + x/2)/2 が 1.25x だと言ってるだけじゃないの？
そんなの統計でも期待値でもない。
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:34:17 ]: 俺の知る限り、実証する方法のないものは期待値とは呼ばない。
209 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:46:11 ]: 私は

（A、２A）　でAは自然数を推します。
値の分布も均一で密度の偏りもありません。

Aの値の範囲は∞の場合と有限１≦A≦40000の場合を分けて考えればよいと思います。

設問はA＝10000で奇数ではないので、当面は奇数が出る問題は考える必要が無いかと思います。
210 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:49:43 ]: >>209
s5179さん

ある封筒を開けて、その数値が9999だった場合はどのようにするのですか？
または、その数値は入っていないのか？
（期待値を理解するためには、封筒に含まれる数値の組の分布を考える必要があります）
211 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:40:57 ]: >>209
入っています。

入らなくする為に（2A、4A)も考えましたが。
そこまで作為的に値を決めた場合、その問題は>>1とは別問題であると考えます。

あくまで>>1の解釈の統一を望んでいます。
212 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:42:54 ]: >>210　

186さんもちろん9999の場合は次の封筒を引いた方が良いと思います。
213 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:03:07 ]: 186さん

上限40000としたときの封筒の組み合わせは20000通りです。
その内の半分には奇数が含まれています。
その半分が選択した封筒の組み合わせになった場合1/2の確率で奇数を初めに引き
そこで必勝となります。
20002以上の数を引いても必勝です、これも組み合わせの半分は対象となり1/2で必勝です。
その他の場合を考えます。

その他の場合に必ず得をする（その試行の獲得賞金の平均を上回れる）戦術があるか考えます。

>>1の問題は取りあえず置いておいて上限200くらいでやってみるのも一興かと
214 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:07:42 ]: >>211

s5179さん
>>1に基づいて考えたいということはわかりました。
ただし、1には「入っている金額の比は１：２とする」という設定があるので、これを満たすためには、
どの封筒をあけても、1:2になる数値が必要と考えています。
この２点を満たすために、
　「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」（n:自然数）の封筒の組を考える
では、いけませんか。

自然数全体で、1:2の比の存在のありなしを考えると、素数分布を考えるような感じで話がそれすぎると思います。
（もとの単純なパラドクスからはるかにずれてしまいます）
215 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:20:31 ]: >>214

186さん下記の封筒の組は１：２になっていませんか？
なにか自分が気づいていないミスでもあるのでしょうか？

（A.2A)

(1.2)
(2.4)
(3.6)
(4,8)
(5.10)
(6.12)
・
・
・
(49.98)
(50.100)
・
・
・
(10000.20000)
・
・
(20000.40000)
216 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:27:59 ]: >>213

わかりました。それでは、簡単のためA:1～10でやってみましょう。
大きい封筒が、10ありその中に小さい封筒が20。
最初に小さい封筒をあけて出てくる数値は、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20のどれか。
（このうち、2,4,6,8,10は２つ入っています）
このうち、1,3,5,7,9,12,14,16,18,20を引いた場合は迷うことなく終了。
（今回の期待値計算から除きます）
2のとき、1が1/2、4が1/2　（1.25倍）
4のとき、2が1/2、8が1/2　（1.25倍）
6のとき、3が1/2、12が1/2　（1.25倍）
8のとき、4が1/2、16が1/2　（1.25倍）
10のとき、5が1/2、20が1/2　（1.25倍）
となり、2,4,6,8,10を引いたときの条件付確率では、1.25倍になります。

ただこれは単なる条件付確率で、パラドクスの解決に役に立たないと思います。
217 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:32:26 ]: >>215
いえ、それでも問題はありません。
ただし、上に書いたようにいびつな形で無視される場合があり、
もともとのパラドクスがどこにあるのかわかりづらくなると考えています。
＃単純な条件付確率の話をしたいわけではないでしょう。

どの数値を引いても問題が成立し、かつ1.25倍にならないと、元の問題のパラドクスの楽しさが損なわれます。
218 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/13(土) 22:36:13 ]: 確率スレは盛り上がるよな
219 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:02:20 ]: >>216

186さん、それを親から見ると

（１、２）の封筒で　1/2の確率で先１必勝＜＞先２後１　　損得なし

（２、４）の封筒で　1/2の確率で２を先に引く後に４になる＜＞1/2の確率で４を先に引き２になる　損得なし

(３，６）の封筒で　1/2の確率で先３必勝＜＞1/2で先６後３　損得なし

（４、８）の封筒で　1/2の確率で先４後８＜＞1/2で先８後４　　損得なし

（５、１０）の封筒で　1/2の確率で　先５後１０＜＞1/2で先１０後５　損得なし
・
・
・
・

（１０、２０）の封筒で　1/2の確率で　先１０後２０＜＞1/2の確率で先２０後１０　損得なし

どうでしょう？損得の観点からみて、必ず交換で得しました？
大きい封筒を先に引けないと期待値が上がってしまう説明になりませんか？
220 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:11:15 ]: >>219はなんかいろいろおかしな事になってます

確認せずに書き込みすみませんでした
221 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:17:12 ]: しかし
２つの封筒問題を解くときに
封筒を引く側だけの視点でなく、封筒を出す側からの>>219のような考査も必要なのではないでしょうか？

値を∞にしても親からの視点であれば、
子がいろいろと考えてるな損得は運しだいなのにと思うはずです。

>>219の件は本当にどうもすみませんでした
222 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:18:50 ]: >>219
いくつか勘違いがあるかもしれませんので、確認のため、私の考えをもう一度
・分布が期待値が計算できるものの場合、パラドクスは発生しません
（今回のように離散で有界の場合）
・1.25倍になり、パラドクスが発生するようにみえるのは、それが「現実には構成できない」からです。

問題に戻ると、パラドクスの発生源は端点にでるので、そこをぞんざいに扱うとパラドクスは発生しません。
前のスレで紹介されていましたが、
「二人で勝負します、ひとりが自然数全体からある数字を（等確率で）先にひとつ選ぶ」
「それがどんな数字であろうと、後から引くほうがそれより大きい数値を引く確率が大きい」
というパラドクスと根は同一だと考えています。

つまりこのように、自然数全体から一様にひとつの数値を選ぶこと自体が不可能。
223 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:32:01 ]: 186さん

２つの封筒問題で一つの封筒を見た後、
他方の封筒を選択したほうがよいかどうかお答えください。

私は（頭の悪い書き方ですが）
（∞、2∞)の封筒の組でも同様の損も得もしない状況が生まれると考えています。
もちろんこの場合自分が２∞を引いた事は知る由も在りません。

他の場合も同様で取り得る値が実数になってしまうと奇数の縛りもなくなり
すべての事象で引いても引かなくても同じになるかと思います。
因みに>>1の10000を引いた場合においても同じです。
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:33:49 ]: >>223
>それが「現実には構成できない」からです。
て回答してるじゃん。
225 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:40:09 ]: 有限でも期待値１．２５になったじゃん
有限の自然数で解こうぜ兄貴
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:41:54 ]: >>222　が最終解だな。この設問だと分布が不明なため、期待値自体が存在しない。
227 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:44:10 ]: >>223
>>224（フォローありがとうございます）

損や得という言葉を不明確に使うのは危険です。

先にあげたように、
「このような状況を作ることは不可能」
「（不可能であることを無視して）1のような状況の元では、交換すれば期待値が1.25倍になる」
「この状況下では、得になる（＝多いほうをとる）か損になる（少ないほうをとる）かは1/2であると仮定している」

大きい封筒（中に２つの封筒）の視点から見たら、つまらない問題になってしまいますよ。
228 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:47:50 ]: >>225
OKです。
なので、前提をすり合わせたいのですが、今の時点でなかなか一致点が見つかりません。

封筒の分布だけでも認めてもらいたいのですが。
229 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:59:06 ]: 個人的には

（１，２）の場合
（２，４）の場合
（４、８）の場合
（A、２A）の場合
（X、２X）の場合

それぞれの事象は独立で他に影響を及ぼさない
それぞれの事象の期待値は２つの封筒の合計金額の半分である。
期待値は１つめの封筒を開けた時ではなく２つの封筒を選んだときに出題者が知る
選択によって期待値の増減は無い

封筒を一つ開けただけでは期待値は分らないと思います。

パラドクスは１つめの封筒を見ると、その封筒を後で選ぶ可能性が消えること
それにより期待値？が上がってしまうこと
230 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:19:17 ]: >>229
それでは、s5179さんの「期待値」と、1の問題に設定されている「期待値」の意味が異なっていますよ。

小さい封筒を開けたときに、もうひとつの数値が設問の「期待値」です。
大きな封筒の期待値で考えるならば、
・小さい封筒を開けると、「2」だった
・大きい封筒（1,2）か（2,4）のどちらか
・この二組の「大きい封筒」が選ばれる確率は同等としてみる
・（1,2）の封筒の期待値は1.5、（2,4)の封筒の期待値は3（しかし、これは小さい封筒を弾いている人には関係ない）
・２つの組が同等の確率であれば、2→1が1/2、2→4が1/2で期待値は、2.5（1.25倍）

どこが問題ですかね？
231 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:30:28 ]: >>230

186さん勿論理解しております。
期待値、獲得金額、のズレからパラドクスのポイントを探っています。
232 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:40:25 ]: >>231
であれば、OKです。
s5179さんの考えを聞かせてもらったほうが、話は早いかもしれません。
・「2」を引いた
・（1,2）の封筒の期待値は1.5→この場合、期待値+0.5
・（2,4）の封筒の期待値は3→この場合、期待値-1
・この２つの大きな封筒の出現率が同一なら、このままでいたら期待値はマイナス
→じゃあ交換したほうが得
ってな感じですかね。
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:46:49 ]: テスト
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:49:01 ]: 「パラドクス｣という用語が何か誤解を生む種のように見える
sの人と186の人、意味を合わせておいた方がいいと思うよ
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:51:10 ]: この問題、「交換した方がいい」が正解みたいな空気になってるけど、それ間違いだよ
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:53:27 ]: >>207
設問と
(2x + x/2)/2 が 1.25xとのギャップ、ずれに気付くかどうか

(2x + x/2)/2 が 1.25x派は結局
「(2x + x/2)/2 が 1.25xだから(2x + x/2)/2 が 1.25xである」を
回りくどく言って仮定と結論が同じに見えなくする努力をしてるだけだから
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:54:56 ]: >>234
言葉遊びはすでに開始しているんだぜ
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:03:10 ]: >>236
読みにくい
　「(2x + x/2)/2 が 1.25x」とのギャップ
のように、括弧を使ってくれ
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:22:42 ]: 本当だな＞言葉遊び
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 04:54:23 ]: ２つの封筒であることが問題を複雑にしている。
１つで考えれば問題の本質がわかりやすい。
１、有限で一様な確立分布
２、有限で非一様な確立分布
３、無限で一様な確立分布
４、無限で非一様な確立分布
241 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:08:04 ]: １、（１から６までの整数が）書かれたカードのうち１枚が封筒に入っている。
ただし、どのカードが入っているかは同様に（確からしい）。期待値は？（答３．５）
２、（同文）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
３、（正の実数が書かれた）、、、（確からしい）。期待値は？
（答、ありえない問題設定。そんな確立分布存在しない。）
４、（正の実数が書かれた）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
242 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:20:34 ]: いかさまされたサイコロの期待値なんてわからない。
確立の問題では、通常（問題文に書かれていなくても）「同様に確からしい」とする。
このため、二つの封筒の問題の場合にも、他方の封筒の金額が２倍か１/２かは、
同様に確からしいと考えてしまう人が多い。
しかし、そんな確率分布は存在しないから問題が成立しない。（←ここ重要）

一方、「同様に確からしい」としない場合には、確率分布が分からない以上答えは
分からない。

よって、どちらの立場をとっても問題が成立していない。
243 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:28:21 ]: 最後に現実の場合について述べておく。
その場合、相手をよく見て確率分布を推測する。
これに照らしあわせて、考えて選択すると良い。
244 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 08:31:37 ]: >>241

240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？

240さんは頭がよいようなので

>>1の試行の前にサイコロをふって出た目×１万円を上限として問題を解いてみてください、
ただしあまりお金がないので４，５，６が出たときはサイコロを振りなおす。
封筒の中身は（n,2n)

これだったら実地可能だと思いませんか？
答えをお聞きしたい
245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 08:49:56 ]: >>244
>これだったら実地可能だと思いませんか？

それは別の問題じゃね？このスレで検討する意味ないよ。
246 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:13:51 ]: >>244
（私は240ではありませんが）
サイコロの1,2,3で、（1,2）（2,4）（3,6）の組ができます。
最初の封筒をあけて出てくる金額（万円）は
　1,2,2,3,4,6（わかりやすさのため、2を2回書いています）
このうち、1,3,4,6の場合→交換の問題が成立しない
　2のとき、交換後1/2で1、1/2で4（期待値2.5、1.25倍）
となります。

これは以前話した、有限一様分布での条件付確率の問題と一緒ですよね。
>>232にも書きましたが、s5179さんがやりたいことをまとめてもらえませんか？
＃s5179さんが話したい内容がいまいちつかめません。
247 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:17:09 ]: >>246
「やりたいこと」はいままでに書いてありますね。
「主張したいこと」をまとめてもらえませんか？
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:19:45 ]: 何を主張したいかをまとめたい
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:25:17 ]: なにかしら 1.25　になるものを探しているんだろうね。
みなさん、もうつきあうことないよ。結論出てるし。
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:26:00 ]: どこにパラドックスが潜んでいるのかを明確にしたい
251 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:27:15 ]: >240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？
だめ。s5179さんは最も重要な部分について理解していないようなので、
かみくだいて説明する。
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。
252 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:43:58 ]: しかも封筒が二つの場合には二次元空間上の確率分布を考えなければならないので、少し難しい。
しかし、２倍と１/２の確立が常に同じと仮定すると同様の矛盾が現れる。

この問題の本質は「無限」にあるので、有限の場合はまったくの別問題。私はめんどうな計算問題には興味ない。
253 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:45:30 ]: 訂正。上の文の始まりの「しかも」は削除。
254 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:08:52 ]: >>246　
186さん問題を取り違えています。
４，５，６が出たときはサイコロを振りなおすが抜けています。
やり直して下さい。

>>252
高々可算の集合の問題なのに焦りすぎです。
メンドウな計算を避けて数学の問題を解くことは出来ません。
いつでもいいので気の向いた時に答えをお聞かせ下さい。

私の答えは、分らない、引いても引かなくても損も得もしないです。

【重要】
240さん、以下を証明するか、証明されている論文の提示を求めます。
出来ないならばあなたの脳内設定です。
脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。

>1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。
255 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:12:50 ]: s5179って本物？
こんな攻撃的な人だっけか？
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:14:02 ]: ＞脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。

んなこと言ったらみんな病院行くことになるんんじゃね？
そんな人々が脳内条件を並べて曲りなりに会話するための隔離スレなんだから
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:14:46 ]: >>255
今までにもけっこうボロが出てる
258 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:18:52 ]: >>254

「4,5,6のとき振りなおす」という条件ですと、1,2,3の面しかないサイコロを振るのと同値ですよ。
（そこがどうしても納得いかないというのであれば、計算してもいいですが）
259 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:20:47 ]: >1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。
具体的に何行目が理解できないの？
1行目は>251の仮定「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい」より。
２行目は、確立の定義より。
３行目は１行目と２行目より明らか。
４行目も証明する必要ある？
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:25:34 ]: 確立はいい加減やめようや
261 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:25:57 ]: 期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？

期待値だから得したことにはならない。wktkしただけ。
262 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:26:11 ]: せめて確率って書いて欲しいってことじゃね？
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:56:39 ]: >>254
言い換えると、
x+x+x+x+,,,,,,=1
の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、期待値は存在しない。
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 11:08:07 ]: x+x+x+x+,,,,,,=1の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、問題が成立しない
のほうがベターかな。
265 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 11:09:15 ]: 素朴な疑問。
サイコロの目を１万倍にする理由は何？
そのまんまでいいじゃんね？
もしくは＄にするとかさ。
266 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:11:18 ]: 私の４行目の主張は、もっとシンプルなものです。
「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」ということです。
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 11:16:30 ]: >>266
なるほどそうか。
268 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:17:40 ]: s5179さん

相手にだけ求めるのは変ですので、繰り返し部分が多いですが、もう一度私の論点以下に書きます。
・自然数全体で考える前に、2^n（n:自然数）の系列を考える
　2^nの系列で考える利点は、特異点が端点のみになること
　自然数全体で考えたい場合は、任意の奇数*2^nの系列の合成を考えることにより実現でき、結局は2^nの場合を考えれば十分
・封筒の作成方法
　0～N-1（N:任意の自然数）のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
　このnを使用し、（2^n、2^(n+1)）の数値が入った大きい封筒を作る
・小さい封筒をあける
　この封筒の数値を2^k（k:0~N）と表記する
　k=0のとき、交換すれば、必ず1→2になる
　k=Nのとき、交換すれば、必ず2^N→2^(N-1)になる
　これら、両端点以外の場合（k:1～N-1）
　交換後、1/2の確率で2^k→(2^k)/2となり、1/2の確率で2^k→(2^k)*2となる
　この場合、期待値は元の数値の1.25倍
・Nを十分に大きくすれば、「ほとんどすべての場合」両端点以外の場合になり、期待値は1.25倍となる
　→このNを無限に発散させると、「ほとんどすべて」が「必ず」に変わり、
　　交換後の期待値が1.25倍で固定されるというのがこの問題のパラドクス
・このパラドクスの原因は、「このNを無限に発散させることが実現不可能」からきている
269 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:20:51 ]: >>266

240さん
見えない相手に対して、あまりに雑に書きすぎだと思いますよ。
表現だけ見ると、「積分論が成り立たない！」になっちゃいますよ。
270 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:53:07 ]: 横からすまんが、ちょっと質問なんだけど
自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に
[nが偶数である確率]=1/2
[nを3で割ると１あまる確率]=1/3　とか
[n=1である確率]=0
[n=0.5である確率]=0
[nが自然数である確率]=1
[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に
[n<mとなる確率]=1/2
っていうのを認めない立場？

例えば
自然数n,mを選んだ時にn<mとなる確率p
は
{1,2,…,N}から任意にn,mを選んだ時にn,mとなる確率p_(N)=(N-1)/2N
だから、p=lim_(N→∞){p_(N)}=1/2となる
とするのは駄目？

もちろん、このことをもって
自然数全体に一様な確率分布が存在するとは言わないけど、厳密にはありえないからこそ
「どの自然数が選ばれるかは同様に確からしいとした時、選ばれた数が条件Aを満たす確率p」
というのは「{1,2,…,N}のどれが選ばれるかは同様に確からしいとし
選ばれた数が条件Aを満たす確率をp_(N)とした時にp=lim_(N→∞){p_(N)}なるp」
つまり「∀ε>0,∃N∈{自然数全体},∀M∈{自然数全体},
p_(M)=({1,…,M}の中で条件Aを満たす要素の数)/({1,…,M}の要素の数)
[M>N⇒|p-{p_(M)}|<ε]」
と私は解釈して(この解釈が妥当である保障はない)考えているのだけど
こんな解釈した問題には興味ない？矛盾はあると思う？
271 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:57:40 ]: あと、有界で期待値12500円の場合にもパラドクスが発生してると思うのなら
>>14の視点の混同が原因では？

確率の問題では期待値が高いことを得だとか有利だとか呼ぶこともあるけど
それは日常で使う得や有利という言葉の意味とは異なってるし
ゲームが全部終わった後での賞金(の合計)の大小についての"得"と
"他方の期待値は12500円だから換えた方が得"の"得"は
条件や意味が違うから別物であって、実際に交換して得しなくても矛盾はない。

未確認の金額の期待値と確認済みの金額の比を見て交換するかどうかを
判断する方法(個人の視点)と、２つ封筒の金額のうちの大きい方を最初に受け取った回数の期待値と
ゲームした回数の比＝(最初に受け取った金額が２つのうちの大きい方である確率)＝1/2
を見て交換するかどうかを判断する方法(場の視点)を混同すると矛盾してるように見える。
どちらの方法を選択する方が良いかを考えるには、ゲームのがどんな目的なのかとか
参加者がどんな行動をするのかが決まっていまいといけない。例えば>>7[2a]のような状況を
考えて、それと同時にA君の条件をC君に,B君をD君に対応させてC君とD君にもゲームして
もらうとする。A君がB君よりも多くの金額を得ようとするなら、交換はしてもしなくても有利にはならない。
A君がC君よりも多くの金額を得ようとするなら、A君は交換はするという戦略をとったほうがC君より有利。
と考えるのが個人的には自然だと思う。

別の例だと、公正なサイコロを１回か２回投げ、後に投げた方の目が
１～５ならその目の数が得点に、６の目がでたら得点として16点もらえる
というゲームがあったとする(２回投げるかは１回目が終わった後にプレイヤー自信が決められる)。
１回しか投げない時の得点の期待値は31/6で5より大きいけれど
だからといって、１回目に投げたサイコロの目が５の時に２回目を投げた方が良いかどうかは
この"良い"がどんな意味なのかとか、何を目的としたゲームなのかはっきりさせないと決められない。
272 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:08:56 ]: 「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
この問題から「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
という仮定を削除すれば、問題を満たす確率分布はいくらでも存在するよ。

「もし、確率分布を、、、と仮定（解釈）すると、、、」という話には、私は興味無い。
だってそれは別の問題じゃん。
273 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:48:51 ]: おｋ。
＞だってそれは別の問題じゃん

それを言われると>>1の上部は終了ですな。
(派生元でも既に指摘されてたことではあるけど)

>>1の類題・別の仮定を加えた別の問題を考えたいなら
>>1には明記されていないことをちゃんと明確しないと解けないよ
というのが私の主張、ということで。

ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。
274 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:51:56 ]: >>270

7さん
（私への質問かどうかわかりませんが）私の考えは、

・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない
・[nが偶数である確率]=1/2、[nを3で割ると１あまる確率]=1/3
　これらは、2つまたは3つの同値類に分類され、その同値類同士での確率として解釈しているのでOK
・[n=0.5である確率]=0、[nが自然数である確率]=1
これらは、選択するときの分布関係なしに0/全事象と全事象/全事象
・[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
　これは、1と2を等確率で引くという前提の繰り返し
・[n=1である確率]=0、[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
　これらはなんらかの分布を仮定しなければいけないため、ナーバスな問題（後半の表記は0:0）

・さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に[n<mとなる確率]=1/2
　引く前であれば、OK。下の証明もそれで同意できます。

ただし、（実現できない条件のもとで）「nを引いた後の条件付確率」は、
「nがどんな数値であろうとも、後に引くmのほうが大きくなる確率は限りなく1」
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 14:49:40 ]: >>274の
>・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない

理解できない人は、このあたりがネックになってるぽい。
言葉遊びだけじゃなくて、具体的にどうやれば実現できるか考えれば分かるよ。
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 14:53:06 ]: こういう俺は、コンピュータでシミュレーションが可能かどうかで考えるしか能がないけどね。
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 16:13:24 ]: >>275
例え可算であっても無限を扱う事象は実現できないだろ。
現実は有限だからな。
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 16:17:41 ]: ん？できないって言ってるんだけど？
279 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 16:41:23 ]: x+x+x+,,,=1
とは、
s_1=x
s_2=x+x
s_3=x+x+x
,,,
と定義し、n→∞としたとき、s_n→1であるということ。

こんな説明が必要な人には、「二つの封筒」問題を理解するのは無理だよ。

二つの封筒の場合には、R^2上の確率測度p(x,y)で、
サポートがy=2xとy=x/2に含まれるものを考える必要がある。
もし、「任意の0以上の実数cに対して一方の封筒の金額がc円のとき、
他方の金額が2cである確率とc/2である確率が等しい」と仮定すると
任意の0以上の実数cに対してp(c,2c)=p(c,c/2)およびp(2c,c)=p(c/2,c)が成立する。
しかし、これは全事象の確率が1であることと矛盾する。（←ここの証明が重要だが、
詳しく書くのは面倒だ。）
280 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 16:50:14 ]: 我ながら記号の使い方が不適切な部分があるな。
まぁ、確率論を理解している人なら適当に修正してくれるだろうし、
確率論を理解していない人はそもそも理解できないだろうから、まぁいいか。

あと、金額cのとりうる範囲は>0とすべきだった。c>=0とすると、
「どちらの封筒も0円である確率が1それ以外の確率は0」
ってのが解として存在してしまうから。
281 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 17:25:23 ]: >>279

封筒をｎ枚用意し一つの封筒には１、一つの封筒には２・・・、１つの封筒にはNとすべての封筒に数字を記入した紙を入れる。

（１を引く確率1/n）+（2を引く確率1/n)+・・・・・・・（Nを引く確率1/n）=１

これのnが∞のときに適用出来ないと解釈しました。
誤解であれば謝罪させて頂きます。

２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。

上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
これは重要な点だと思います。
解釈の統一を求めます。

私は問題ないと思います
入っている金額の比は１：２になっていますし
1方を先に選んで10000円になる可能性もあるからです。
282 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 18:26:25 ]: なんの期待値について話してるのか理解できてる？
選んだ封筒に対して常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布は存在しないよ
これは高校の知識で簡単に示せる

あと、「他方の封筒に変えた方が得する」事を言うためには、
選んだ封筒、他方の封筒それぞれについて金額×確率を定義域全体で積分して比べないといけないよ
そして、この値はどんな分布であれ互いに等しい。
これも簡単に示せる。
つまり封筒を変えても得もしないし損もしない

「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
と、思い込んでしまう事にパラドクスと言われる事の原因がある
283 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 18:40:39 ]: >>281
前半はOK
後半について、（といってもちょっと違う例だが）
例えば,
「一方の金額が1000円であったとき、もう一方が500円、2000円である確率がそれぞれ1/2である。
（ただし、他のある金額についてはこのように1/2にはならない。）」
この確率分布は実現可能だよ。
しかし
「一方の金額がc円であったとき、もう一方がc/2円、2c円である確率がそれぞれ1/2である。
という命題が「任意の」正の実数cに対して成立する。」
この確率分布は実現不可能。「任意の」というのが重要。
284 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 18:51:02 ]: 後半について
（＊）「(10000、20000)という確率が1で、それ以外の確率が0である確率分布。」
これは問題の命題を満たしている。
そしてこの場合は一方が10000円ならもちろん封筒を交換した方が得。
（確率分布が与えられれば、それにしたがって計算すれば、どちらが得かが分かる。）
285 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 19:11:35 ]: >>281

>上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
>この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
なると思います。
ただ、これで一体何が説明できるのでしょうか。

この問題でもめているのは（＝みなが興味あるのは）、一見できないはずのことに限りなく近いものを構成できることではないのでしょうか。

元の問題に近づけるために、1250*2^n(n:1からN)の系列を考えます。
このとき、両端(2500と2500*2^N)の2つを引かない限り、条件付確率により交換により1.25倍になります。
Nを必要なだけ大きくすることにより、限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
（N=2*10^10にすれば、99.99999999%の確率）

単に「構成できない」から意味が無い、というだけでないところがこのパラドクスの面白いところだと思います。
286 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 19:17:58 ]: >>279
こちらの意図が伝わらなかったようだが、お互いの前提のどこが
食い違っているのか確かめるために質問させてもらった。
＞こんな説明
というぐらいなら、中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
おそらく「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」というのは
￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
(Rは実数全体の集合,Nは自然数全体の集合とする)
を意味しているのだと思う。一方私は
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
を考えていた。どっちの式も真であるが、違いは歴然。
違うことを前提にしているのだから、食い違って当然だね
というだけのお話。

>>281
＞上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
私も問題ないと思うけど、どういう意図なのか
＞解釈の統一
とはどういうことなのか、いまひとつわからない。

>>282
確かに
＞「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
＞と、思い込んでしまう事
はよくある間違いのひとつではあるけど
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 19:29:27 ]: >>283
cは勝手に与えられるとするともう一方がc/2円、2c円のような試行を用意することはできる。
cの封筒2つを提示して相手に選ばせた後に（といっても相手はcしか選べないが）残りの封筒を
2ｃの封筒とc/2の封筒のどちらかとすり替えればいい。
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 19:36:41 ]: >>286
>「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
>という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。

考えることは自由だけど、その問題は構成できないことが上で散々言われてるわけだが。
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 19:59:12 ]: そういう確率空間が作れないんだよね
290 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 20:04:51 ]: >>288
違う違う。
構成できないのは
「最初にどんな封筒を選んだとしても常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布」
であって
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
となる問題なんてはいっぱいあるでしょ。
上の意味で構成できないと言うなら、区別が付くようにちゃんと書いてくれってことだよ。
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 20:24:03 ]: 1回だけ封筒選ぶ時は期待値は意味を成さないんだよな。
問題文でその辺ちゃんと書いておいた方が良いのかもしれないが。
292 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 20:29:35 ]: 期待値＝1.5x=(10000+x)/2=5000+.5x>10000->x>10000
293 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 21:00:36 ]: >>287
それは>>1の問題の仮定と矛盾している。
まったく別の問題を考えていることになるだろ。
294 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 21:22:46 ]: >>286
>一方私は
>∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
>を考えていた。
数学のどこかの分野では、こんな解釈をすることがあるのかい？
>￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
少なくとも解析ではこちらが常識だろ。
しかも文脈も考えればこれしか考えよう無い。
こんなしょうも無い考え違いをする人に、
>中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
とか、
>ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
>あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
>明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。
とか言われたくないなぁ、、、

ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
なぜなら、任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。
295 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 21:43:12 ]: >>294

「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。

と

ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。

は、上で否定したことを下で肯定しているように見えるのですが
どう理解すればよろしいか？
296 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 21:45:18 ]: >>285
気づいているとは思うが、
>限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
その代償として、2500*2^Nを引いた場合に交換すると大損をすることになる。
このように「ほぼ確率１で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスはいろいろある。
「ギャンブルで負けたら倍額かけ続ければ絶対得する必勝法」とか
「土地を買った額より高く売ればすべての人が儲かる（バブル）」とか

いづれにせよ、封筒一つの場合は大して目新しいアイデアは無いし、
議論するほどの問題じゃない。封筒を二つにしたことによって、
「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。
297 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 21:51:30 ]: >>295
任意の自然数mに対して、
1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する。

1/2+1/4+1/8+,,,=1
は知ってる？
298 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 22:20:10 ]: >>297

1/2+1/4+1/8+,,,=1
うい、知ってる。

1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する
なんで？発散するの？マジ？あれ？
x=1/mと定義すれば、mx=1とどこがちがうの？
わからんよ
299 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 22:28:44 ]: ＞無駄が多い
って比較しやすいようにわざとそう書いたから、もちろんこちらも承知しているよ。

>>1は賞金の確率分布が決まっていないから、期待値はわからない
という>>240の主張はこちらも同意してるし、>>240の３の意味では
￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
が正しいよ。

>>296に
＞「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
＞というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。
とあるけど、他の人もこのような考えが多数派みたいだね。だけど
私はそう思わなかった(今では少しはそう思うにはなったけど)から
240(や同じようなことを考えている人)とは違うことを考えているだけ。
でもそれは240(やその他の人)にとっては興味のない別の問題。それだけのことだよ。

>>295
ちゃんと理解したいなら論理の勉強をすることを勧める。
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの後ろに書いてあるから
xはmに依存して決めてよいので、x=1/mと定義できる。

∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの前に書いてあるので
xはmに依存してはいけないから、x=1/mと定義できない。
300 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 22:52:26 ]: >>299

解説有難う
半分ぐらい理解出来たかもしれません。

じゃあ同数の封筒を用意しようよ。でOK？
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 00:57:38 ]: 186氏の>>285にあるように、「交換により1.25倍（近く）」になる系で
パラドックスについて考えてみた。その結果分かったことは、

１回毎の期待値が1.25倍（近く）であっても、各回のベース金額が毎回違うので
期待値を平均したものには何の意味もないってこと。
上界（下界もだが）のイレギュラーが金額の期待値に大きく利いてくる。

まとめると、
倍率の期待値：交換により1.25倍（近く）になる。
金額の期待値：交換前と交換後は同じ。

結論：倍率の期待値って無意味？
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 01:00:46 ]: >>268
金額の定義域全体を　k*2^n　で表される集合の集合としてとらえ直すわけだな。
金額が１：２という条件からは、そのように扱うことが要請されるわけだから。
そこに納得がいくかどうかが一つの大きな壁

・封筒の作成方法
　0～N-1（N:任意の自然数）のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
　このnを使用し、（2^n、2^(n+1)）の数値が入った大きい封筒を作る
ここで少々ズレが生まれる

ｘとｙが一対一で対応しているｙ＝ｆ（ｘ）において
ｘとｙを同じ扱い方をしているという誤り
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 01:05:50 ]: >>301
無意味ではなく、ただ別ものなだけ。

太郎君の体重を知りたいときに
太郎君との体重の関連性が全くない次郎君の体重をはかるのは無意味だが
次郎君の体重を知りたいのならば次郎君の体重をはかることには意味がある

倍率の期待値が無意味なのではなく
倍率の期待値を使わない時に倍率の期待値に注目するのが無意味
304 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 05:45:32 ]: 可算無限集合の考えで大変大きな間違いしていました。

有限集合と混同して大きな封筒組の大きい側を引けないと考えていました。
「12500派の人って4/5∞の値の封筒引けないジャン」のような考えを持っていました。

期待値は1.25倍を受け入れさせて頂きます。

ご指摘、本当に有難うございました。
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 05:49:20 ]: 道具は使い方を知ってから使った方がいいよ
生兵法はケガの元で済めばいいが
迷惑の元にもなるから
306 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 05:55:57 ]: >>302

そのkは試行を繰り返す場合は初めの試行で決定される「未知数」でしょうか？
それとも試行の度、変る変数でしょうか？

変数でしたら変域を書き込んだ方がよいのでは？

そのあとで考えをお聞かせください
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 06:08:36 ]: 言葉遊び健在
308 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 06:16:40 ]: >>298
1/2+1/2+1/2+,,,は∞に発散
1/3+1/3+1/3+,,,は∞に発散
1/4+1/4+1/4+,,,は∞に発散
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+1/m+,,,は無限大に発散

1/2+1/2=1
1/3+1/3+1/3=1
1/4+1/4+1/4+1/4=1
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+,,,+1/m=m*1/m=1
(ただし、m個足した)
309 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 06:43:21 ]: >>308

240さん解説ありがとう、やっと理解できました。
310 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:00:48 ]: マルチンゲール法
zaq19.livedoor.biz/archives/50809952.html
サンクトペテルブルクのパラドックス
ja.wikipedia.org/wiki/サンクトペテルブルクのパラドックス
311 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:07:43 ]: 一つはちょっと怪しげなサイトですまないが、リンクしてみた。
（多くの人は知っていると思うが、）
この手のパラドックスを常識として知った上で、
二つの封筒を議論する方が良いと思うので。
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 07:11:10 ]: 自然数限定や上限を設定するのは
本来の問題とは別の問題にしてしまうことになると思うが
確かに実際に払えるかどうか、封筒に入るかどうか、どのくらい得と感じるかなどに
話題が向かってたこともあったから
脱線を防ぐためにも知っておくことは無駄ではない
313 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:53:30 ]: >>296にも書いたが、
「ほぼ確率１で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスは昔から知られていて、
この部分は「二つの封筒」特有の面白さでは無いということ。

いかなる確率分布に従って封筒にお金を入れたとしても、
初めに封筒を選んだとき、
その金額がもう一方の半分である確率は1/2。
よってもう一方の封筒の金額が２倍である確率も1/2。
しかし、上で述べたとおり、
「任意の金額c円に対し、
選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
という確率分布は存在しない。
これが、「二つの封筒」の問題特有の面白い部分だと思うのだが、、、
314 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:58:12 ]: ＜＜初めに封筒を引き導きだされた期待値に意味を持たせる＞＞

これを考えようとしたときに

「初めの封筒を引き、出た金額を支払い、他方の封筒を引く」

と言う実験をしてみようとしたところ。

すべての封筒組が等確率で引けるのであれば
10000円を先に引いた場合
「10000円を賭け1/2の確率で5000円に1/2の確率で20000円に」の賭けと同義で（1円除く）
これは「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと損得の意味では同義になる。

上は期待値が1.25倍
下は期待値が１倍

損得で同義の賭けではない？
どこかおかしいだろうか
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:04:59 ]: （1円除く）?
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:08:14 ]: >「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと
「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で15000円に」の賭けと
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:08:23 ]: >>314
＞どこかおかしいだろうか
積や比と、和や差との混同。

１と２は比が１：２です
双方に１ずつ足したら２と３です
あれ？比が１：２じゃなくなった
同じにならない？
どこかおかしいだろうか？
318 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:22:04 ]: うん、もう寝起きに書き込むことは止めとくよ。

まともに頭が機能していない事が良く分りました。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:26:11 ]: いや、単なる寝ぼけミスにとどまらず
本質をついてる間違いといえる
図らずもわかりやすいカリカチュアになってるおかげで
本質が見えやすくなってるな
320 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:27:33 ]: いや、損得の意味で

上も下も-5000円と＋10000円、確率1/2で合せてみました。

やはり低血圧なので朝の書き込みは信用ならない・・・
仕事に出ます・・・・
321 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:30:36 ]: >>319

さん、そうですよね、間違ってないですよね
遅刻する・・・
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:42:13 ]: >>320
支離滅裂だな

とりあえず改めて>>317参照すべし
損得は「差」、何倍というのは「比」

0円を賭けて1/2の確率で－5000円、1/2の確率で+10000円
期待値は+2500円　
さあこの場合はどうする？何倍？

損得で差を一定のままにするなら
必ず最初の金額+2500円になり
最初の金額次第で比は変わってしまうのは当然なのだが、
このような混同に無自覚な部分が多い
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 14:20:07 ]: >>313
そうそう

選んだ封筒が大きい方である確率は1/2だけど、

＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。

これはあくまで、金額に依存する確率

極端な例を挙げると
金額組が(100,200)だけの分布を考える
封筒を一つ選ぶ
この時選んだ封筒が大きい方である確率は1/2
中身を見ると、100円であった
この時選んだ封筒が大きい方である確率は0←これが「金額に依存する確率」
324 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 18:30:20 ]: >>322

＞0円を賭けて1/2の確率で－5000円、1/2の確率で+10000円
＞期待値は+2500円　
＞さあこの場合はどうする？何倍？

何倍でしょうね、分かりません。

【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
が分かれば結構です。

「期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？」

を「きちんと調べないと分かりません」と答える事が出来ます。

少なくとも私が感じていたパラドクスは、「初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので。
325 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/15(月) 22:35:56 ]: ぜんぜん前のレス読んでないけど，
開封する封筒をＡ，開封しないＢとして，
合計で　３ａ円　入っているとすれば　
Ａ，Ｂの期待値はともに　１．５ａ円　で
開封前なら　どっちを選んでも損得はないよ。
開封後は　期待値が　Ａ　10000円　Ｂ　12500円　で
Ｂ　を選んだほうがお得だよ。
条件付き確率って高校で勉強しただろ？
そんなことよりさー
ブラックジャックで効果的なカウティングの方法でも考えて教えてくれよ。
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 22:41:31 ]: >>325
>開封後は　期待値が　Ａ　10000円　Ｂ　12500円
これが任意の金額aについて成立するようなaの確率分布は存在しないんだ！

っていうのが最近のこのスレのトレンド
327 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 23:06:57 ]: 一般的な意味での損得は主観的なものであって数学的概念ではない。
ギャンブルや保険は基本的に期待値が「損する」ように設定されているのにもかかわらず、
多くの人がよろこんでそれをする。つまり、その人にとってはギャンブルをしたり保険に入ることが得だといえる。
ただし上記の「損する」とは、単に（掛け金と得られる金額の期待値の）差額が負であるという意味で使っている。
このように限定された意味（数学的に定義できる意味）でならば数学において用いても構わないが。
明らかに意味が分かる場合をのぞいて損得などという言葉を使うべきでない。

>10000円を上回っても損か得かは分からない
ここでの損得の意味は何？

>>1の問題における「得」という言葉は単に（期待値の）差が正という意味で使われている。
つまり、「期待値は12500円となり、もとの金額10000円より大きくなる。これは正しいか？」
という意味です。
そして、すでに何度も書かれていることですが、期待値は（一般には）12500円にはなりません。だから正しくない。

なんだかこのスレは「二つの封筒問題スレ」ではなく、確率や数学の初歩の初歩について議論するスレのような気がする。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 23:28:12 ]: >>324
損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？
329 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:01:26 ]: >>324

すみません、質問の意味がわかりません

パラドクスは
初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので

の文の後半が1.25倍なのは5000円が入っているか20000円が入っているか分らなかったからです。
質問に答える事が出来ましたでしょうか？

>>325

240先生、まだこんな事を言ってる子がいます。

引く子視点で見た場合、初めの封筒を引く前は期待値は全く不明です。
設問>>1だったら、期待値7500円or15000円なのか、引く子には全く分らないと思います。
325君は親視点と子視点を混同しています、注意して下さい！！
あと僕の理論を体育の時間に盗みました、返して下さい！！
330 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:25:23 ]: >>329はアンカーミスか？
【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これってどういう意味？
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ？
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 00:26:49 ]: >>329
ふざけるスレだと表明する気がないなら
いちいちふざけるな
332 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:58:26 ]: >>330
>>324　としたのはアンカーミスです。
>>328　でした、すみません

あと
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）

得＝期待値の金額が大きい

なので代入して

他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が期待値の金額が大きいに決まっているだろ

「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？

>>331
すみません内容は、ふざけていないつもりなのですが、表明しておきます

たまにふざけます、ご容赦下さい
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 01:03:09 ]: >>332
それで、損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？
334 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 01:08:53 ]: >>330

あれ>>314てやっぱり間違えてるね。

朝の書き込みは自粛します。
335 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 01:10:40 ]: >>333

もう寝ていい？
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 02:10:57 ]: 親視点とか子視点とか
なんて不自然な考え方

あるのは情報＝値＝引数
とその関数だけ。
コンパクトに考えよう。
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 02:43:29 ]: あえて不自然な砲で考え続けることを選んだ人用のスレです
338 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 03:02:56 ]: >>>336

了解

幾何＋濃度を使ってみると

必ず交換すると面積が14になる。
一方ずっと交換しないだと16

なので最大値が分からない場合は交換しない戦術が有効になる。
最大値が分かれば最大値の半分が分かり
最大値の半分までは必ず交換、最大値の半分を超えたら交換しない
これにより面積が18で最大になる

均一で等確率、正の実数集合の場合、もちろん有限

説明下手だけどアイデアはあるんだ、説明下手だけど・・・仮定も、答えも、計算も間違うけど・・・

必ず交換する戦術は
値が最大値の半分までのときは負けても小さく、勝つとでかい　なので幸せ
値が最大値の半分超のときは必ず負ける例えば４万が2万に8万が4万に、ここらへんは個人差があるのかな？
4万円を見たあと２万円だとつらいけど、人によっては8万の夢が見れて２万を得たんだから十分幸せ？

240さんへ、期待値が1.25倍の時は本当に1.25倍でした・・・
重ね重ねご指導ありがとうございました

>>333 さん　絶対に許さない！！睡眠時間返せ！！
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:05:18 ]: >>310 が貼られるや
そっち方面へもきっちり迷走しはじめたね。お見事。
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:15:02 ]: 問題の解を探している内に問題を忘れてしまった良い例ですね
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:21:48 ]: >>337
抽象が思考できんから
具体的な試行やその条件整備ばっかに時間をとられて
その過程でつけた余計な条件のせいで
間違った答えを生み続ける

そういう道を辿る人が何人もいるな
342 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 06:20:09 ]: >「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？
そうだよ。

で、三度目の質問だ。

【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これはどういう意味？ここでの損得の意味は？
343 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 06:43:52 ]: >説明下手だけどアイデアはあるんだ
ちょっと考えると、「こうしたら良いんじゃないか？」ってアイデアが
100くらいは思いつく。しかしそれらのほとんどが、すぐに無意味な考えであると分かる。
残ったいくつかについても、良く吟味してみたら、無意味であったり、間違っていたり、、、
本当に良いアイデアだと思えるものは100に一つも無い。
それすらも、他人に話してみたら、「それは既に知られている考えだよ」と言われる。
そういうものだ。

もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
344 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:12:38 ]: 「二つの封筒問題」はとても良く出来た面白い問題だ。
>>323の例のように、
中身を見た段階でそれ以前の確率と変わることは当たり前なことなのに、
「封筒問題」では、中身を見た後も1/2のままだと思わされてしまう。
「確率分布の情報が何もないから1/2だ」とか
「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
などの誤った考察に導かれてしまう。
これがこの問題作者の上手いところだ。

そこで私は、封筒の中身を見ないことに決める。
345 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:20:48 ]: 「中身を見なければ、」
他方の金額の方がが選んだ封筒より大きい確率は1/2だ。
つまり、他方の金額が選んだ封筒の金額の２倍である確率は1/2だ。
もちろん、他方の金額が選んだ封筒の金額の1/2である確率も1/2だ。
よって、「中身を見ないで」、選んだ封筒を変えれば期待値が1.25倍になる。

まぁ、ただのジョークだがね。
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 07:27:19 ]: 中身を見ることと、任意の正の実数をコールすることを等価に考えちゃうんだろうね。
347 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:36:20 ]: 正解が早すぎる、、、混乱された人の書き込みを期待していたのに、、、
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:50:15 ]: >>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで

＞なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
＞確立の全事象が起こる確率は1なので、
＞ x+x+x+x+,,,,,,=1
＞これはありえない。

このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの？
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:53:00 ]: >>336
親視点子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:55:10 ]: >>344
＞「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」

上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう？
351 名前：240 [2010/03/16(火) 21:49:23 ]: >>348
ja.wikipedia.org/wiki/連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。

>>350
上限が（たとえば）100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという（誤った）結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:11:05 ]: 学がない人（俺も）でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて　かつ　現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:19:19 ]: ＞逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。

＞現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。

学が無ければ学を身につければよい。
354 名前：352 mailto:sage [2010/03/16(火) 22:31:10 ]: 現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。

Ｑ１　無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？

→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。

有限集合で、上限の数字と下限の数字は１枚、以外の数字は２枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も（小さい字）で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。

Ｑ２　十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか？

→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。

Ｑ３　それでも1.25が正しい気がする。

→比の平均を考えていませんか？何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例：ある会社に事業部が２つあり、
Ａ事業部は前年比売上110％、Ｂ事業部は前年比売上105％だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。
355 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:30:16 ]: >>351
前半
そこは本質じゃないと思う

封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう

もうこの時点で
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。

なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は　(1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。

(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか？
選んだ封筒の期待値は　　「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの　」　。
同様に、他方の封筒の期待値は「　式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの　」。　この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの？って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。

もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4　と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。

>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ？
金額で積分しちゃえば親視点（？）になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。
356 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:43:22 ]: すまん
＞つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る（積分して均す）と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。

もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:48:07 ]: >>343
＞もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。

いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:50:24 ]: >>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:52:30 ]: >>358
俺のことか？
360 名前：352 mailto:sage [2010/03/17(水) 00:38:15 ]: このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。
361 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:09:16 ]: ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。

Nは２以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を２つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか？
交換してもしなくても同じか？
それ以外か？
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:15:04 ]: >>361
＞この時、A君は交換した方が良いか？
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:21:02 ]: >>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:24:46 ]: やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:25:28 ]: 期待値で計算するとね。
366 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:35:02 ]: >>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。

他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾（パラドックス）はなぜ起きるのか？という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。

さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。

この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも（違う計算ではあるが）同様に無意味なことだろ？多分ね。

いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:38:20 ]: あれ？　1.25倍になること自体が矛盾なのか？
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:54:26 ]: >>367
成立しない仮定は前提にできないよ。
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:56:56 ]: 難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「１万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値：12500　はなんかおかしいぞ？と思うのが正常な人間。
370 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:58:01 ]: >>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。
371 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:02:44 ]: >>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある
372 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:09:44 ]: >>362
＞「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。

交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う？
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:10:52 ]: >>370
そうか？中学生にも分かる説明を考えたんだが。
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:12:23 ]: >>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか？
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。
375 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:26:09 ]: >>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。

ところで、"さっき"ってどれのこと？
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:36:12 ]: 金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:57:47 ]: >>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。
378 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:07:15 ]: >>377
俺は>>366ではないんだが、>>355は間違ってる
封筒の期待値が発散している場合を考慮していないからだ

あらかじめ言っておくが、俺は
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
という主張自体は正しいと思っている
ただ、>>355では証明になっていないと言いたいだけだ
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:15:17 ]: >>363
要するに普通のサイコロふったら０の目が出たというような
ありえないことが起こったってことじゃないか？
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:16:20 ]: >>379
>>364
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:17:18 ]: いろんな人がいるけど
分かりやすいねえｗ
今度は積分で遊んでるｗ

生兵法は怪我の元
382 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:21:23 ]: >>381
御説ごもっともですね

茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:31:05 ]: そう言わずに真面目に説明するといい

アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ
384 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:36:02 ]: >>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:42:35 ]: そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ
386 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:44:16 ]: ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね

てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:52:22 ]: マジでないものにマジレスをつけるの？
>>367自身はまともかもしれんが
388 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:58:52 ]: こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 04:09:04 ]: >>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには

比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから
390 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:20:38 ]: >>342

サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。

昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件＜27、28も仕事受注＞で期待値が17になりました。
まあ、事後条件＜倒れる＞や＜4/1仕事受注＞でいくらでも変化するんですが

冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない（子が次をひくかどうか分からない）→期待値（語弊あり確定してるから）10000もしくは20000

こんな考え方もあり？

確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの？

話に参加したいよ・・・
391 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:33:10 ]: そうそう、昨日の幾何で解く！！

も条件付けを間違ってたね。
＜必ず交換する＞と＜必ず交換しない＞は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・
392 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:06:24 ]: >>370
待ってる。

>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック？
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの？
僕もルーレット買ってこなきゃでめ？統計取らずには説明できないの？
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。

ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。

そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。

それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ？
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい？
393 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:14:17 ]: >>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？

上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
394 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:22:53 ]: >>372

>>327にかいたとおりA君の性格による。
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:07:42 ]: >>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。

>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか？面白い問題ではあるけど。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:43:14 ]: この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。
397 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:38:52 ]: >全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
（なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、）

有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね？ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 10:47:39 ]: >>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。
399 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:51:21 ]: 上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。

私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの？
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの？それはおかしいんじゃない？
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。
400 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 11:12:04 ]: >>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。

しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。ＯＫ？

もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。

何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう？と迷うレベルの問題だよ。

通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。

それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな？
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:16:07 ]: 有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:23:00 ]: >>393
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:57:51 ]: >>351

>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか？
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:03:51 ]: >>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:35:41 ]: ＞Ｑ１　無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？

>>354のこれとかも連続一様分布を否定しているように見える
406 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 12:59:26 ]: >>393
>>402が指摘してくれたように、
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
＞どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ

＞もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
＞「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
＞て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
そんな事は無いよ
1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍（resp. 1.1倍）になるのだと言う事を忘れてはならない
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 13:41:24 ]: >>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。
408 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:42:56 ]: たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか？」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。

もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。

さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ（ただし問題の本質は同じ）として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。
409 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:49:43 ]: >1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ

最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの？
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍？
410 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 14:09:44 ]: あらためて>>367に対するレスをかくよ。

「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。

「金額に上限が無い」＋アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
＋アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]: あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]: >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。

「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」

と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]: コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに～」とか「適当に～」とか「気まぐれに～」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 15:38:22 ]: >>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。
415 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 15:42:13 ]: >>410
もちろん、
＞金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う

>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「＋アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている

だから、>>366で君が書いた
＞その答えとして、
＞ >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
＞ >もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
＞存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:04:14 ]: >>414
＞無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか？
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか？

・モデル化の定義は？
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は？
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか？
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:08:10 ]: >>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:09:54 ]: 一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:11:04 ]: >>417
えっ？だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ？
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。

一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:20:40 ]: コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:23:54 ]: >>420
証明できないんだね。

当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:27:45 ]: >>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:42:40 ]: ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 16:57:35 ]: >>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。
425 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 17:48:39 ]: >>415
もしかして、君は

>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。

と主張している？
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 19:58:41 ]: 10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び
427 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:29:50 ]: >>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの？

10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ？

私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」
428 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 21:53:07 ]: >>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は２倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が１倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。

あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の２倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
２倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345の
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。
429 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 22:35:05 ]: >>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの？
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:16:16 ]: 428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)

ここが恣意でおかしい。

でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない

自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア
431 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:19:15 ]: >>428
１倍→１倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。
432 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:34:14 ]: >>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う？

>>428で言いたいのは、>>427の
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対する答えが
＞「(*)という存在しない確率分布を仮定して
＞計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。

なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の２倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円
：
A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は２倍か約1.246倍になり
１倍よりも大きくなる。
＞じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値１倍以上。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
の答えとして
"存在しないから"は誤り。
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:36:55 ]: >>430
そこはおかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:40:18 ]: >>432
数学的に　なのに
装置の実在を問うのかｗ
435 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:49:21 ]: まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。

>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
436 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 23:58:15 ]: >>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の１か２か３か４か判断できない。特に３はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど～"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい？

>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"～の条件を満たす写像は存在するか？"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"０以上１未満の実数を等確率に１つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか？)

>>435
＞>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは？
誤りではないが
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。

また質問なんだけど
全ての実数から等確率に１つ選ぶということは数学的にしてもいい？
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 23:59:41 ]: >>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい？
そのことを説明できるかい？
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:11:15 ]: >>437
Ω＝[0,1), F＝{A⊂Ω｜Aはルベーグ可測}, P＝[ルベーグ測度] として、
確率変数X：(Ω,F,P) → R をX(ω)＝ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:12:45 ]: >>432
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。

なので期待値が2＾ｘ倍（xは初期値0でランダムウォーク）にはならない。
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:15:31 ]: >>438
もっと分かりやすく言ってくれますか？

無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます

に見えるんだけど。
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:23:09 ]: >>440
＞無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)＝ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。

で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)＝P(X∈A)＝P(A)＝(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 00:31:40 ]: >>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:09:04 ]: >>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 01:24:37 ]: >>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。
445 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:38:14 ]: >>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。
446 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 02:47:34 ]: >>436
それは不可能。
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 03:00:10 ]: >>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合

limｎ→∞　1/n　のイメージで
＞確率は0だよ。
の方が納得いきやすい
448 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 06:48:21 ]: ちょっと質問なんだけど

２つの封筒を（A、B）として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。

得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線

になるのは間違いないと思うんだけど。

質問、　aの変域を∞にすることは可能か不可能か

どうなんだろう？

このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや！！って星野仙一風に叫びたくなる・・・
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 06:57:21 ]: 「変域を∞」？

Ｘを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい

で、何か意味があるのか
450 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/18(木) 08:14:19 ]: 訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か？
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 19:53:39 ]: >>447
有理数でも同じ？

>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい？
452 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 21:52:36 ]: これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の０時と１時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。

時間は連続的に変化するよね？
ルート２分という時間も存在するよね？
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:12:43 ]: >>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどｗ
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。

＃どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。
454 名前：240 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:02:32 ]: 「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート２グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。

時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。
455 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:44:41 ]: >>427
返事が遅くなって申し訳ない

＞ 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
＞同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
＞金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
＞じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
＞何度も変えれば期待値はどんどん増える。
＞なぜこんなおかしなことになるのだ？
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない
456 名前：367 mailto:sage [2010/03/18(木) 23:49:54 ]: ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 23:51:45 ]: >>452
無理数にまで均等に対応させることはできる？

有理数の段階でそれぞれの確率→０は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:18:12 ]: 0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1＝0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。

無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb－aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。

0.1000…＝0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:49:08 ]: 0～1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/ｘ-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、ｘ=0以外の任意のxでの微分が0だが。
460 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:15:07 ]: >金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？

私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。

確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの？
（私は、確率論は専門で無いので、、、）

実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則（たとえば∞＋１＝∞）に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない（よってx+1=xはぜったに成立しないという）立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。
461 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:22:43 ]: >>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。
462 名前：367 mailto:sage [2010/03/19(金) 02:32:41 ]: >>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
＞期待値が有限の場合には、（上限があろうと無かろうと）起こらない現象だよね？
同意します

＞確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの？
＞たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね（ずいぶん迂遠な証明だけど）
463 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 03:09:46 ]: これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題（と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが）
の本質がどこにあるか？という点だと思う。

私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 05:08:14 ]: 交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い

取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を１におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい
465 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/19(金) 06:38:36 ]: そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか

例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散（5000と20000の間で）しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない

みたいな感じで、

あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
２封筒問題は解決したことになる（のだろうか？）

そろそろ終わりが見えてきた？
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません（だいたい理解できた）
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 06:48:37 ]: 勝利宣言ｗ
子供か

まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも２スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 07:32:12 ]: >>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。
468 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:46:05 ]: 今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい？
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。
469 名前：240 mailto:sage [2010/03/19(金) 07:50:19 ]: >>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 12:10:31 ]: 超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 20:05:00 ]: 常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか？
472 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/20(土) 09:09:31 ]: >>468

私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問１題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。

>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも　「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」　より答えに近づいていると思います。

2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。

240さんはずっと大学生もしくは院生（理学部数学科）と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 09:14:42 ]: ＞2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった
474 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 12:52:41 ]: >>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比（つまり∞÷∞）は不定。

無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:40:25 ]: >>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 13:43:49 ]: 1以外の値ということで。
477 名前：240 mailto:sage [2010/03/20(土) 14:17:36 ]: 期待値有限の確率分布ではありない。

問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 14:38:12 ]: >>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか

＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/20(土) 15:34:39 ]: 一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
480 名前：7 mailto:sage [2010/03/20(土) 20:35:41 ]: >>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が＋∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど？
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 00:25:17 ]: 具体的には?
482 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 01:33:14 ]: >>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を２つの封筒に入れる。
２つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
　>>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が＋∞に発散することが確認できる。

>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
１回しかゲームをしない時
・２つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える

・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える

と交換するかどうか判断する時に２つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"１回１回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:20:52 ]: >>482
前半
＞簡単な計算で
示してくれ。ｎを無限にしなくて発散するのかどうか

後半
＞個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
（本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている）と思うが
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:31:07 ]: 本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの？
期待値不定で決着ついてるじゃん。
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 02:34:01 ]: 有難がってはないわけだが。
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:32:17 ]: >>474
＞無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。

それのどのあたりがパラドックスなんですか？
なにか矛盾しているようには見えないんですが。
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 04:36:15 ]: 封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。

１）１円用意する。
２）コインを投げ、表が出たら用意した金額を封筒に入れ、終了。
３）用意する金額を２倍に増やして、手順２）にもどる。

封筒に入っている金額の期待値は？
488 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:14:34 ]: >>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。

>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で２倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと？
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。
489 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 09:38:08 ]: >>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの？」
って聞かれると思うんだけど。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:46:43 ]: 「分布不明のところで期待値に何の意味がある？」
と聞き返せばおｋ。
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 09:50:03 ]: >>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:04:05 ]: 分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値１円のと期待値１億円のどっちがいい？っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:23 ]: その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:11:39 ]: 知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか
495 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 10:14:51 ]: >>493
だから、２倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの？
って言われるとおもうが。
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:24:47 ]: >>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか？
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 10:28:39 ]: もし聞かれたら「このスレ嫁」だなｗ
498 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 11:16:40 ]: >>483
＞ｎを無限にしなくて発散する
ってどういうこと？ちょっと意味がわからない。

＞本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 13:56:17 ]: 引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ
500 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:44:49 ]: >>478で
＞ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの？
>>487を少しいじって
１)３円用意する。
２)コインを投げ、表が出たら用意した金額を金額比が1:2になるように２つ封筒に入れる。
　裏が出たら用意する金額を２倍に増やす。表がでるまで手順２)を繰り返す。
３)２つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる？

>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率＝(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
＝(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=１
となっている。

封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。
501 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 19:56:54 ]: しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね？
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 20:25:09 ]: >>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。
503 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:12:26 ]: うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。
504 名前：7 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:34:50 ]: >>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの？

>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ！」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ！」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。
505 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 21:57:02 ]: たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。

それと一つ疑問なのは、２つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか？
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/21(日) 22:09:02 ]: 分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。
507 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:21:19 ]: >それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ？

それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。
508 名前：240 mailto:sage [2010/03/21(日) 22:44:30 ]: それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。
509 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 01:44:36 ]: 読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの？」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 03:11:20 ]: この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの？
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 06:34:28 ]: >>500
式をかいてくれてありがとう

＞＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
＞この時点で破綻してるけど

の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった

それとも１+１＝３という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 08:35:58 ]: 封筒を開ける前の期待値が有限に収束しないケースについて、
その不可能性を定理化するとどういう表現になるんだろう？
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 09:57:29 ]: その不可能性を定理化ｗ
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:08:15 ]: [２つの値札]
買いたい商品の値段を聞いたら、店員がシールで数字を隠した値札を
２枚出して、こんなことを言いました。
「只今お得なキャンペーン中。この2枚の値札には、『定価』と『定価の半額』
　が書いてあります。一枚好きな方のシールをめくって下さい、そこに書かれた
　値段で購入頂けます。さらに二枚目をめくって頂いても構いませんが、
　その場合は二枚目に書かれた方を値段とさせて頂きます」

客が一枚めくると『一万円』と書いてありました。どうしても必要なものなので
五万円以上用意していた客、二枚目をめくろうかちょっと計算してみました。
「もう１枚には五千円か二万円の値段が書いてあって、その確率は五分五分。
　二万円でも私にとっては安いけれど……二枚目をめくった時の期待値は
　一万二千五百円か。だったら二枚目めくらずに今の一万円で買った方が
　得だな」

　↑↑　

この客の考え方は違ってるでしょうか？

お店としては二枚目をめくって欲しいか、欲しくないか、関係ないのか……
515 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:11:17 ]: >>511
いいと思うけど。多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
その部分に気づいてそこが偽だと指摘するのがパラドックスに対する答えになるんでしょ。

ただし>>474に偽の命題なんて書かれて無いけどね。
516 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 11:19:18 ]: >>514
>>243
たとえばその商品がこしひかり10ｋgなら二枚目をめくる。
それでもし二万円が出たら、そんなぼったくり店には二度といかない。
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 11:25:21 ]: >>514
両方めくって安いほうで交渉する。
518 名前：日向 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:03:57 ]: 自分なりの答えを出したんだが、
正しいか正しくないか、正しく無いならどこが間違っているか
指摘してくれ。

前のスレにレスしたから読み辛いがよろしく

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/l50

の６８２～６８４辺りだ。
519 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:32:27 ]: >>242
520 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 13:35:17 ]: >>505
>>1の後半に書いてある通り、類似の設定の問題も考えても良い場
であると思うけど、どんな設定を加えた問題が普通だと思うかとか
どこがパラドクスの原因だと思うかは人それぞれ。

>>507
＞通常この問題は(略)と続く。
そんな問題はあまり見ないし、少なくとも私にはそれが通常だとは思わない。
私は通常だとは思わないけど、240が考えたいと思ったのなら別の問題として
勝手に考えればいいんじゃない？私は私でさらに別の設定の問題を勝手に考えるだけだし。

>>511
>>515
＞私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
ここまでは問題ない(強いて言うなら"∞の期待値の確率分布"や"無限大の期待値"という
表現が気になるけど、私にはたぶん意味は通じてると思う)。
(Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しないことなんて例は無数にある。一般的な流儀かどうかは知らないけど
Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しない時は期待値E[X]は存在しない、と私は習った)

＞封筒には１億円入っていた。期待値∞なのにたった１億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
＞もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
この文に数学的な意味がない(unluckyの意味が不明なので真とも偽とも言えない)ことと
＞何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない（差が-∞）金額しか得られない。
で「どんな金額が入っていたとしてもunluckyだ」という(意味のない)文を結論として誘導してそうなとこ
が、>>474(や聖ペテルスブルグのパラドクス)のパラドクス(？)の正体だと私は思ったんだけど、>>511は違うの？
人によっては最初から不思議でもなんでもないモノとか、タネ明かしされ
解消されてしまったパラドクスとかをパラドクスと呼ぶかどうかは
知らないし、どっちでもいい。
521 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 14:54:45 ]: まず君がどんな設定を加えたか教えてくれ。

今ちょっと「二つの封筒」でgoogleってみた限りでは（数ページしか見てないが）、
続くのが通常みたいだぞ。
もちろん何を通常と感じるかは人それぞれだが。

それと、どこか気に食わない点があるように感じるのだが、
もしそうなら具体的にどのレスが気に食わなかったか教えてくれ。
場合によっては謝るから。
522 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:20:34 ]: >>520に付け足し
(離散型の)確率空間・確率分布の定義に
"期待値が存在しない(Σ_[i∈I]{a(i)*P(X=a(i))}が絶対収束しない)モノは確率分布
として考えてはいけない"というような条件はないはずだから
>>482のような確率分布はちゃんと認められているはず。>>482の確率分布を仮定したら
破綻する、ということはないよ。
聖ペテルスブルグのパラドクスも
[(k=0,1,2,…に対して)賞金が(2^k)円である確率を1/(2^k)とする]
という仮定は偽ではなくて、[じゃあ、期待値計算すると無限大だから
参加費がどんなに高くても参加した方が得で、参加するべき！？]という
部分が、誤った推論なだけ。
523 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 17:25:57 ]: >>521
別に謝る必要ないと思うが、ただ
>>1の問題は"期待値わからない"ということを認めていて
金額の確率分布が上限が存在する場合や一様じゃない場合など
"確率分布を～とする"という問題は別問題だと言っておきながら、
>>425の(*)の確率分布や>>505三行目の仮定に固執したり
ありえない設定を自然に受け入れさせることがこの問題の特有の面白い所・本質
であるという主張や考えは、私には受け入れられないだけ。
>>431の"おかしな前提"や>>313の"ほぼ確率１で得する代わりに非常に少ない確率で
大損するというタイプのパラドクス"というのが何を意味してるかも私には良くわからない。

存在しないモノを存在するとしてしまうという類のパラドクスは
封筒問題に限ったことではないと思うし
確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる(存在する)確率分布は(上限のあるもの・ないもの合わせて)たくさん
あるのに、(存在しないと思われる)上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは私は思わない。

個人的には>>479の
＞一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
や、"期待値１倍以上なら交換した方がよい？"というような錯覚が
封筒問題の面白い所であると思う(当然このこと自体は封筒問題に限ったことではない)が
どこを面白いと思うかは個人の主観であって、数学の問題じゃないから
その部分を言い争う気はない。私はこの錯覚を意識しやすいような問題を考えたい
だけ(例えば、組が{5000,10000}になる確率1/100,{10000,20000}になる確率99/100とする等)
で、この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
(むしろ、無限に関するパラドクスなど他の錯覚が起きないような問題を
考えようとしてるのだから、本来の問題とは違う問題を作ることが目標の１つと言える)
524 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:30:13 ]: まず、私が考えている「通常」の問題では、上限を設けた場合や、
「常に確率1/2」では無い場合を考えると、
問題の主旨に合わないということは同意してもらえたと思うが、OK？

次に、>>1の問題のみ考える。

封筒に入れられた金額の確率分布が分からないのに、
確率1/2として期待値を計算している点が間違いである。
これが一つの答えであることも同意してるはずだ。

しかしこれだけで話を終わらせずにもう少し>>1の問題の主旨に沿った仮定をおく。
(*)「10000円のときには確率が1/2である」これを正しいとする。
これは君も自然だと感じていると思う。実際君もそうしているし。

君はさらにこの他の金額についても何らかの（というか全ての金額の確率分布を）仮定して
考えようとしている。
ここまで同意だと思う。
525 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 18:37:05 ]: しかし、(*)を仮定した時点で>>1の問題に対する答えは期待値12500円。正しいよ。
となる。他の金額の確率分布なんてまったく関係ない。
それなのに君は他の金額の確率も仮定しようとしている。なぜだ？

他の金額の確率が必要となるのは、他の金額を引く場合も考えるからだろ？
そして、（これは>>1の問題に書いていないから意見が分かれるかもしれないが、）
他の金額の場合も確率1/2とするのがもっとも自然な仮定ではないか？
もしそれ以外の確率例えば1/3とかにするんなら、そもそも
なぜ>>1では10000円のとき1/2だと考えたのか？
もし理由があるならそれは他の金額でも同じではないか？
それともこれは1/3でも1/4でも何でも良い問題で、たまたま1/2と書いているだけなのか？

>この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
私は上記を理由に、この設定は>>1の問題の主旨とは違うと考える。
しかし、違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。

>上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは
私は、初めに封筒に入れられる金額の確率分布が一様分布だなどと仮定していない。
あくまでも仮定しているのは425の(*)だ。
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 19:03:20 ]: 12500は成立しないと言いつつ、12500に執着する。なぜだ？
527 名前：7 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:03:21 ]: ＞>>425の(*)の仮定
２つの封筒にあらかじめ金額を入れる場合を考えるなら
(つまり参加者が封筒を受け取った後に、もう一方の封筒を入れ替えたりしないなら)
そんな確率分布は存在しないんじゃなかったの？
存在するというなら具体例を。
それとも存在性を無視しても、それ以外には偽の命題や矛盾はないという話？
「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
と言ってるように見えるのだが、他の人は知らんが少なくとも私にはそれが普通だとは思わない。

＞違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
どうでもいいと思っているからこそ、>>520で勝手に考えればいいと言った。
(もし面白そうだと思ったら、その時は参加するかもしれない)
240は>>1の推論部分の[確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる]という主旨に沿った問題を考えたいようだが
その主旨に沿わなくたって、私が封筒問題の面白いと思う所(>>523の後半に書いたような所)
は残るのだから、私はそんな主旨に沿った問題を考えたいと思わない(そもそもそれが主旨だと思わない)
だけ。240が考えたければ、私のことなど気にせずに勝手に考えればいいんだが
「とにかくこの設定が封筒問題の主旨・本質で、それ以外は別問題です。」
と言われても、そこは同意できない。
528 名前：>>240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:07:59 ]: 12500に固執しているというより、1/2に固執している。
一般人だって、たまたま1/2なだけで1/3だったかもしれない、、、
なんて話を期待していないだろ。
529 名前：240 mailto:sage [2010/03/22(月) 20:52:02 ]: >>527
この質問にはぜひ答えてくれ。
>>1において文章中には明示されていないが、確率1/2として計算していることは明らかだと思う。
ところで、この数字の意味は何だ？何でも良いのか？
この問題は、他の金額を選んだら1/3とかなんだけど、10000円のときだけたまたま1/2だったという問題なのか？

君は、主旨なんてどうでも良いようだが、私は主旨にこだわっている。
「私は主旨に沿った考えをしているが、7氏は主旨に沿っていない考えをしている」
これに反論がないなら何も議論することは無い。
しかし、例えば>>504では、「別の問題になるんじゃないの？」などと聞かれるから、
説明している訳で。

それと、君の書き込みには誤解がある。だから説明している。
まったく誤解がないにもかかわらず、意見が合わないというなら説明する余地が無いけどね。
>>525の最後の部分とか理解してくれたの？

>「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
普通の人は(*)を満たす確率分布の不存在を知らない。
だから普通の人が分布の不存在を理由に>>425の(*)の仮定を躊躇するということは無い。
君は不存在を知っているから(*)を仮定することが普通じゃないと感じるだけなんでは？
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 22:31:57 ]: 金額が3倍と1/3なら1.25倍にすら成らないのだが。
その場合は同じルールのなのに、2倍と1/2の時とは確率分布とやらが変るのか？
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/22(月) 23:15:48 ]: >>530
＞変わるのか
「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」と言ってるだけだから
ｎが２のときに1.25になり、ｎが３のときに5/3になるというようにｎに依存して当然。

ただし、「１：ｎのときに（n^2+１）/2nを求めましょう」自体が根本的に間違いなんだけどね。
誤った土台から出発した理屈を追いかけてもあまり意味はない
532 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/22(月) 23:23:05 ]: なんか連勤で少しスレ見なかったら凄く荒れてるね・・・

私は前に期待値が発散すると書きましたが振動するの間違えでした
謹んで訂正致します。

あと、みんな華麗にスルーしていますが
７さんの>>500の問題って
一方の封筒を見た後の他方の封筒の期待値って１倍ですよね
引く前は引く前で期待値∞と期待値∞で悩んで
引いた後は期待値１倍で悩む問題？

また計算間違ったかな？
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 00:44:38 ]: 亀の歩みでも
蝸牛の歩みでも
正解に近付けばそれでいいのだｗ

しかし
あと500レス切ったけどこの調子で大丈夫だろうか
なかなか数学に着地できないね
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:38:01 ]: >>493
分布がわかっている人が計算し
分布は公表せずに期待値だけを公表すればよい。
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:46:10 ]: >>512
なにが不可能なんだって？
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:48:39 ]: >>515
＞多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。

どゆこと？そんなの見たことないけど。

パラドクスのようなものの大半は、一見パラドクスに思えるけど
じつは間違っている主張が多いという意味なの？
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 15:59:13 ]: >>530
＞その場合は同じルールのなのに

金額が違うのは、同じルールとは言わない。
538 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 16:30:38 ]: >>536
飛んでる矢は止まってる。アキレスは亀に追いつけない。
(矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば、どこかに誤りがあると思うが。
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:40:26 ]: >>538
＞ (矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば

おいおい、そここそがパラドクスなんだから、そこをのぞいてしまっちゃあ
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 16:50:12 ]: >>538
ゼノンもアキレスも論そのものには誤りはないだろ。
当時の公理系や数学の概念では扱えないことを論じているだけで。
それを論じたことそのものが誤りだとも言えなくはないが、それは偽の主張とは別のもの。
541 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 17:14:38 ]: >論そのものには誤りはないだろ
私は、そんな高級な話をしているのではなくて、
「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
文章中に正しくない主張がある。って言うレベルの話をしてるのだが。

>>539
とりあえずwikiでパラドックスを調べて見てくれ。図の右側の1,2,3とか。
もちろん言葉の使い方には色々な流儀があると思うけど。
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:17:45 ]: >>541
＞「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。

それは、現実と数学（物理）という公理の異なることを比較しているので、比較そのものが正しくない。

あの論の公理では、追いつけないのが正しい。（もちろん現実とは異なる公理）
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:25:55 ]: >>541
そのwikipediaでの図の（１）や（２）は、誤りが発見され解決してしまっているのだから
（少なくとも数学的には）パラドクスではなくなってしまっている。
でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。

もちろん数学以外の分野での意味的にラフにつかうパラドクスならこの限りでない。
（が、この板ではあまりふさわしくない使い方かと…）
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 17:30:48 ]: 声を出し数え上げを行うときに
「いち・にい・さん・しい・ごお・ろく・なな・しち・はち・きゅう・とお」
と数えると、案外気がつきにくいらしく
とお =１１個という現象がしばしば起こる。（実際にやってみるといい）

しかしこれをパラドクスとは言わないわな。
545 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 18:06:44 ]: >>543
数学でのパラドックスの意味は狭いとのこと理解した。
>>515はラフな気持ちで書いたのだが、
この板にはふさわしくないとのことも理解した。
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 18:47:26 ]: >>545
数学では、さらに狭義には、矛盾が起きない限りパラドクスとは言わない。

直感に反するだけのものは擬似パラドクスと言ったりする。
547 名前：240 mailto:sage [2010/03/23(火) 22:46:48 ]: >>1も数学的にはパラドックスと言わないわけですよね。
するとやはりこのスレではラフな意味で使いたい気もするが。
548 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/23(火) 23:27:10 ]: 封筒Aには０～無限大の金額のうちのどれかを入れた。どの金額が入っている確率も等しくなるようにセットした
封筒Bには１／２の確率で封筒Aの半分、１／２の確率で封筒Bの２倍の金額を入れた。

その後、封筒はシャッフルシャッフル

↓科学技術政策に関する意見を募集しているようです。

www.mext.go.jp/b_menu/houdou/22/03/1291303.htm

科学技術政策に関するご意見募集について

平成22年3月10日

社会・国民とともに推進する科学技術政策の実現に向けて、皆様からのご意見を募集します。本意見募集の結果は科学技術週間中の4月17日に
行われるシンポジウムにおいて活用させていただくとともに、その成果とあわせて、今後、文部科学省として、より良い科学技術政策を推進していくために参考とさせていただきたいと考えております。
科学技術の力による輝きのある日本の実現に向けて皆様のご意見をお寄せ下さい

日本が科学技術を推進することの意義や必要性とは何であるとお考えになりますか。
日本や世界は、地球温暖化、資源・食料・エネルギー問題、経済危機、医療・福祉問題など様々な問題に直面していますが、科学技術を活用してどのような問題を解決してほしいとお考えになりますか？
科学技術によって、生命や宇宙の理解などの知的探究、宇宙の開発・利用、海洋探査など、人類にとって新たな挑戦が可能になると考えられますが、
これからの未来に向けて、どのようなことに挑戦してほしいとお考えになりますか？
科学技術を推進していくうえでは、大学における基礎的な研究活動の充実、小・中学校における理数教育の充実、研究者や政策担当者と
社会との間の相互理解など、必要なことがらはたくさんありますが、特に重点を置いて取り組む必要があるものは何だとお考えになりますか？
科学技術に関する国の予算や投資のあり方、目標・計画の立て方や評価のあり方、各省庁間の連携のあり方など、科学技術政策の進め方について、
改善すべきと考えられる点はどのようなことだとお考えになりますか？
その他、科学技術・学術審議会基本計画特別委員会がとりまとめた提言(我が国の中長期を展望した科学技術の総合戦略に向けて－ポスト第3期科学技術基本計画における
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:38:45 ]: >>542
成程な
論理そのものの整合性や真偽と
それが現実や、現在扱っている問題と等価であるかどうかとは
分けて考えないといけないわけだな。

>>515も>>240の公理系（笑）の中では偽の命題はどこにもないのだろうな。
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/23(火) 23:43:10 ]: 無限とか、条件付き確率が直観的にわかりにくい場合に
モンティホールや聖ペテルスブルクはパラドックス呼ばわりされるわけで、
＞多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
条件文にあるかどうかは別として、数学的には正しくない直観を引き合いに出すところは
ある意味偽の主張のようなもんだから別に間違ってないと思う
551 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:17:33 ]: >>548

封筒Aに入ってる金額をaとする

1/2の確率で封筒Aを引く　
1/4の確率で封筒B　1/2a版を引く
1/4の確率で封筒B　2a版を引く

封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a

封筒Aをはじめに引いた時は他方の期待値1.25aで引いた方が得
封筒B　1/2a版を初めに引いた時は２倍になり得
封筒B　2a版を初めに引いた時は1/2倍になり損

初めに開けた封筒が10000円だったとき
これはaなのか1/2aなのか2aなのかは分からない

十分な回数この試行を行うとして、
他方を引かない戦略
必ず他方を引く戦略
どちらが多くの金額を獲得するかは分からない
552 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 08:46:33 ]: >>548
こちらの方が分かりやすいか？

1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の1/2aを引く（1/2a損）
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の2aを引く（a得）　
1/4の確率で初めに封筒B　1/2a版を引く、他方のaを引く（1/2a得）
1/4の確率で初めに封筒B　2a版を引く、他方のaを引く（a損）

損得はイーブンだと思う。

引くか、引かないかは好きにすれば良いと思うよ
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/24(水) 20:48:29 ]: >>549、550
ある仮定の元では正しい、しかし現実には起こりえないような論について
その仮定がまるで現実を表しているかのように扱うことこそが
「偽の主張」なのであると言えるかもしれない。
554 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/24(水) 22:30:50 ]: >>551の

>封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a

は計算ミスで誤り、正は1.125A

たびたびスマンです。
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/25(木) 00:09:25 ]: >>550
モンティーホールがパラドクスと言われてるのか？
556 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/26(金) 06:10:39 ]: >>555
wikiの④の項目の完全な理解がされるまではパラドクスがあるように思われていたのでは？

まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/26(金) 13:06:27 ]: 正しい知識を身につけて納得がいくまでは
当人にとってはパラドクスということだろ
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:14:48 ]: こういう立場てこと？

>>543 から
> でなければ誤りを含む回答全てが（それが指摘されるまで）パラドクスだということになってしまう。
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 07:37:59 ]: それらがパラドクスかどうかはさておき
不完全な記述のルールを直感で補わせたら
解釈が何通りも出てきてしまって
回答がひとつにまとまらないところはそっくりではある
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/27(土) 10:19:09 ]: >>556
パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
561 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/27(土) 20:22:27 ]: >>560
>>556どこをどう読めば
>パラドックス＝事後確率ではないわけだがｗ
と言う発言ができるのだろう？

だって「パラドクスがあるように思われていたのでは？」だぜ
落ち着けよ12500円派
562 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 08:08:10 ]: >>1の問題が有限で一様な確率分布だったらよかったのにね

そしたら初めに選択した封筒が最大値の半分以下だったら期待値12500円で問題なくて
『封筒の中身を見るまでもなく、交換する方が得をする』の考えも否定できるし
封筒の中身を見ずに交換しつづけると期待値が増え続けると言うことも否定できるのに
（初めに選択した封筒が最大値の半分以下である必要がある為）

まあ、取り得る値が自然数だったら奇数、実数だったら１/∞を先に引けないけど（この場合期待値２倍だよね）
1/∞なんて絶対に選択しないと言うのなら『一様な確率分布』を否定することになる
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 11:06:46 ]: >>561
＞まあ、２つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど

パラドクスの話だったところを
勝手に封筒問題だけに限定してしまうのはおかしいね
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/28(日) 13:38:01 ]: >>562
この調子では
まだまだ存在意義はありそうだな
この隔離スレ
565 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 19:30:05 ]: >>563
パラドクスの話がつづいていたので
それとなくスレの主題である２つの封筒問題に誘導したんだけど間違いだったかな？

>>556で低レベルな煽りを入れたのは認めるよ、すまなかった

でも２つの封筒問題にパラドクスは無いと思うし、事後確率の考え方も必要無いと思う
２つの封筒問題にパラドクスがあるように感じるのならば　『君は12500円派だ』
566 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/28(日) 21:21:14 ]: ごめん、このスレの>>7もパラドクスが無いと感じているんだった
で>>7は12500円派なので>>565の発言は誤りです。

たびたび間違った書き込みをしてすまない・・・
しばらくは自重させて頂きます
567 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 01:33:26 ]: トータルの期待値が1だとしても、
各々の期待値が1ではないということは許されるのか？
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/29(月) 06:54:42 ]: サイコロを２つ別々のつぼの中に投げ伏せる
一方を選んで見ると１であった
２つのサイコロの合計の期待値は４．５
これを複数回やればサイコロ２つの合計の期待値は７だけど
この場合は４．５で間違いではない
569 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/29(月) 07:23:19 ]: >>568
観測された値(実値)と期待値は足せるの？
そして、それを期待値と呼べるの？
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 00:12:02 ]: >>566
元々視野が狭い人なのは分かってる
自重する必要なし

>>569
独習が無理なら
中学の２～３年になれば扱い方を習うから
それまで待つといい
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 01:17:30 ]: >>569
期待値の定義は、（値×その値が得られる確率）の総和。
値が観測された（実値）場合にには、その値×１が期待値（他の可能性は０)。

現在の持ち点が３点の人が、さらに期待値１のゲームを２度した後の持ち点の期待値は
３＋１＋１＝５
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:00:31 ]: >>571
>>569が>>568を見て感じてる疑問は
そういうことじゃないと思うぞ

それに
＞２度した後の
こういう、期待値ではなく確定したような印象を与えかねない言い方も
>>569のような疑問を持っている相手に対しては不適切だと思う
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/30(火) 02:53:41 ]: >>569

２つのサイコロのうち、一方のサイコロが１と分かっている場合
２つのサイコロの目は
（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（１，６）の６通りがそれぞれ確率1/6となる
和は
２，３，４，５，６，７、の６通りがそれぞれ確率1/6となり、期待値は4.5となる。

｛（１+１）+（１+２）+（１+３）+（１+４）+（１+５）+（１+６）｝/６　＝4.5
変形すると
｛（１+１+１+１+１+１）+（１+２+３+４+５+６）｝/６
さらに
（１+１+１+１+１+１）/６　+　（１+２+３+４+５+６）/６
これは
（確定している１の目）　+　（確定していないサイコロの目の期待値）
と見ることができる

ちなみに
（確定している１の目）は
１の目の出る確率が１（＝100％）、ということで、期待値と見ることができる。
>>571で書いてある「その値×１が期待値」はこのこと、
574 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/31(水) 07:37:23 ]: なんかまた話が違う方向にずれてるから戻すけど

>>568
以降の議論の期待値4,5って十分な回数の試行をすると4.5に近づくじゃん
一方が１の条件付の２つのサイコロの期待値だから、７じゃないじゃん

567が言ってるのは
同じ試行条件において
『１回の試行の獲得金額期待値/初めに見た金額=1.25』・・・①
『十分な回数行った獲得金額合計/初めに見た金額合計=1』・・・②
①②が同時に成り立つかってことでしょ

本スレに書き込んだ人もそんなこと言ってたけど
普通は①か②どちらかが間違っている、
場合によっては①も②も間違っている。

２つの封筒問題においては①が間違っていると思うよ。
確率って単独試行では予想が外れたように見える場合が多いけど
十分な回数繰り返すと予想に近づくものじゃないの？
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/02(金) 02:46:50 ]: 自分以外の人の疑問点はズレですかｗ
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/04(日) 14:51:54 ]: スレを彩る錚々たる名物たちが
ぱったりといなくなったね
577 名前：s5179 [2010/04/06(火) 21:54:20 ]: >>576
>>1の問題
つまり一般的な２つの封筒問題は
数学の問題として解くには不完全な問題であると
共通の認識がこのスレでは形成された

思考実験の材料としての価値は残っていると思うので

２つの封筒の取り得る値の上限が無限で一様な確立分布で存在すると仮定して
一方を選んで見たとき、中に入っている金額を認識出来るのだろうか？

アキレスや亀とそれを見る人間達が１/∞の時間を認識出来ないように
我々は∞の封筒の中身を認識出来ないのではないだろうか？

封筒の中身が確認し易い連続量に見えるとして
先に見た封筒が他方の封筒の２倍であった
交換して見た封筒が初めの封筒の２倍であった
これしか確認できない場合
5000が10000になる場合と
10000が20000になる場合は等価であると考えられる

どんなもんだろ？つっこみ所が満載だからもう少しスレ伸びるかな？
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 13:29:18 ]: 解決済み問題に納得がいかない人間用スレだから
そこの住人に共通認識（笑）が芽生えて納得への一歩前進が図れたなら結構なことだ
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 17:41:50 ]: 統計学的に解決してるだけだろ
数学的には解決していない問題だ
数学は統計学の役に立つけど
統計学は数学の役に立たないんだよ

Aさんの５００円の封筒とBさんの１０００円の封筒を交換したとして
Aさんは２倍にBさんは1/2倍に、その効用は交換しない時の１．２５倍なんて反吐が出る
５００円得した人間と５００円損した人間がいるから損得は±0だろ

>>578は解決してると言うなら、その解を書き込んでみれば？
URLで示してくれてもいいよ
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:10:25 ]: ＞統計学的に解決してるだけだろ
ああ、実際に試行してみて、多数回試行してみて、という方に話がそれる人々の捉え方だな
この問題において数学と統計を対比させるところからして。
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:11:08 ]: 579にとっては
統計学的にどんな解決を見たんだろう？
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:28:12 ]: 240や367の様な賢者はもうこのスレには残っていない
残っているのは文盲ばかり
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 19:40:35 ]: 自分の水準以上のツッコミから逃げた新天地での
お山の大将的賢者ですね

その賢者が飽きればそりゃツッコミどころが消えて相手する者もここの存在意義もなくなるだろうな
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/07(水) 21:21:47 ]: 統計不能でも期待値は存在する、なんて頭でっかちの奴がまだいるのか。

[ 新着レスの取得/表示 (agate) ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef