不等式への招待　第７章

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不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
2 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:22:07.38 .net]: ・不等式の和書
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代
3 名前：科学社，1987年 http://amazon.jp/dp/4844372661 [4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001... [5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494 [6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812 [7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740 [8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～，安藤哲哉，数学書房，2012年 http://amazon.jp/dp/4903342700 ・不等式の項目を含む和書 [1]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年 http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988 [2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113... [3]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年 http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871 [4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180... [5]　最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年 http://amazon.jp/dp/4621062131 [6]　最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年 http://amazon.jp/dp/4320012445 []: [ここ壊れてます]
4 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:24:39.92 .net]: ・不等式の洋書
[1]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 amazon.jp/dp/3034600496
[3]　Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
　　 amazon.jp/gp/product/3642237916
[4]　Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
　　 www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5]　Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
　　 amazon.jp/dp/3540437983
[6]　Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
　　 amazon.jp/dp/0387948465

・不等式の記事
[1]　特集「現代の不等式」（数理科学 No.386），サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集「不等式の世界」（数学セミナー No.2-569），日本評論社，2009年2月号
　　 amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載「不等式の骨組み」（大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 www.tokyo-s.jp/index.shtml
5 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:26:43.52 .net]: ・不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/
[17]　すうじあむ suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/09(土) 22:35:09.24 .net]: 〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
　{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
　USAMO ?
7 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 [2013/03/10(日) 07:31:04.00 .net]: 円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/10(日) 23:03:05.50 .net]: 不等式大好きでつ！
9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/10(日) 23:11:29.38 .net]: >>2
追加でつ！

不等式への招待第６章
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/901

901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─

A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8　C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎訳

"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。

www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/

きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/11(月) 12:45:08.18 .net]: >>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。

問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。
11 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/12(火) 00:25:08.56 .net]: >>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました

>>2
・不等式の和書
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898

・不等式の項目を含む和書
[2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/

>>4
・不等式の埋蔵地
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
　　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/ (要自動登録)

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
12 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/12(火) 15:48:06.49 .net]: 最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした

ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/12(火) 17:12:10.60 .net]: >>11
あらゆる問題に触れる
14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/12(火) 19:19:54.75 .net]: 何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数Ⅲの教科書を取り寄せて勉強するべし
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/13(水) 00:24:33.98 .net]: >>9

原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
　A (1, 0)
　B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
　|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
　　　　= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
　AB = √(2-√2) > 0.765
　π > 4･AB > 3.06
16 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/13(水) 01:05:14.09 .net]: >>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。

当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。

一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。
17 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/13(水) 12:48:17.91 .net]: 今年の入試問題
nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/hokkaido/koki/sugaku/images/mon1_1.gif
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/13(水) 21:44:36.82 .net]: >>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
　|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
　　　　 = 2(1-cosθ),

(例)　θ=π/6 のとき
　　C((√3)/2, 1/2)

　|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
　π > 6|AC| > 3.10

　|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
　π > 12|BC| > 3.13
19 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/14(木) 00:28:02.56 .net]: >>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！

証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:34:32.89 .net]: １周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:38:11.02 .net]: 証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。
なんだが
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:44:08.22 .net]: >>20
円周率の定義を知らないのか？
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:45:34.17 .net]: >>21
教えて
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 01:20:56.01 .net]: >>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 02:14:13.46 .net]: >>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:WWW [2013/03/14(木) 02:26:39.53 .net]: >>16
(1) x=1 で最小
（２）　x＝y　で最小、
　　　　　　　　　最小値が　x＝y＝１　のとき　０になる
おしまい
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 00:26:03.20 .net]: >>16 (1)

t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
　{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 04:39:07.65 .net]: >>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
　(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 23:47:38.17 .net]: >>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。
30 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/16(土) 02:05:50.63 .net]: 今年の入試問題
kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/kb2-21p/5.gif
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/16(土) 16:33:04.08 .net]: x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/17(日) 00:30:31.82 .net]: >>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/25(月) 03:03:59.89 .net]: >>30
【審議凍結】
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　／|／／　　　　　　　　　　／　／／|
　／／|／　／　　　　　　　／／　／／　|
　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
　|／　|　　.∧,,∧. 　∧,,∧.／／／　│ 　 .|
　|　 ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧.　　.| 　　.|
　|　(´‐ω‐).∧∧) (∧∧　(‐ω‐｀)　.│///|
　|　｜　Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) とﾉ .／| . 　 |
　|　　ｕ-ｕ　（l 　　 ) ( 　　　ﾉ u-ｕ／ .|/// |
　|　　　　　 `ｕ.／ '／ｕ-u'　　　　　　 |　／
　|／／　　　　／／　　　　／／　　　 .|／
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:14:38.70 .net]: >>30

　y_0 = 1, 　
　y_k = Σ[q=k+1,n] x_q　
　y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
　(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 = Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 > Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
　　　　 = ∫[0,1] √(1-yy) dy　　　（半径1の四分円 >>31)
　　　　 = π/4.
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:28:41.47 .net]: >>29
どこの入試問題ですか？
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:40:00.39 .net]: 問題の表記や文字から神戸大
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/30(土) 21:23:53.23 .net]: 〔問題〕
　√(1+xx) － |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。

(1)　|xy|≦1/2　⇒　F(x) + F(y) ≧ 1,

(2)　|xyz| ≦ (4/3)^3　⇒　F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,

(3)　|xy| ≧ (3/4)^2　⇒　F(x) + F(y) ≦ 1,

　[元スレ.414, 459, 482]
　casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/30(土) 23:05:12.60 .net]: >>36

(1) 分子を有利化する。
　F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
　　= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
　　= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
　　≧ 0,　　　　(← |xy|≦1/2)

ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
　　　　D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,

(3) 上と同様に
　1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
　　=　1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
　　≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G)　(← AM≧GM)
　　=　(3-4G)(1+2G)^2
　　≦ 0,　　　　　　　　　(← G≧3/4)
39 名前：１３２人目の素数さん [2013/04/28(日) 07:48:43.97 .net]: 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/28(日) 10:08:16.03 .net]: x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/29(月) 19:19:55.62 .net]: >>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

コーシーにより
　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
　等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
　XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
　　　　　 ≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？

　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,

∴取り得る値の範囲は－1/√3 ～ 1/√3.
　　(x=y=z=±1/√3 のとき)
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 15:56:19.65 .net]: a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 21:32:41.45 .net]: >>41
その問題は [第５章.288] のように、
　p = a^2 -ca +bc,
　q = b^2 -ab +ca,
　r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。

　p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
　pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
　　= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
　　= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
　　≧ 0,

　[第５章.268-269, 284-290]
　[ｷｬｽﾌｨｰ不等式１-517, 563]
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 22:02:48.24 .net]: 〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},

(略解)
相加･相乗平均により
　(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
　循環的にたす。
45 名前：１３２人目の素数さん [2013/04/30(火) 22:33:15.02 .net]: 第５章とはどの書物のことでしょうか
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 23:03:40.70 .net]: スレタイをよく読め
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 23:09:46.08 .net]: ああああああそうか
すみません
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/26(日) 20:35:53.55 .net]: 〔問題〕
n∈N のとき、
　1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）

　casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/31(金) 23:01:32.22 .net]: >>47
　ｷｬｽﾌｨｰの解答....

(右)
　tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
　1+tt > 2t,　（← 相加・相乗平均）
　Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt)　dt
　　　 < ∫[0,1] t^(n-1) /2　dt
　　　 = [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
　　　 = 1/(2n),
(左)
　Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
　　　> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
　　　= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
　　　= 1/{2n + 4/(n+3)},
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/03(月) 22:28:46.67 .net]: >>48

　Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　 = ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
　　1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
　1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
　Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
　　　 = (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
　　　 = (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
　　　 = 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
　　　 = 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/03(月) 23:11:29.81 .net]: ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
　sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　（でえ）
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:07:37.09 .net]: ↑のハイパボリック版...

〔問題738〕
　sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　　(prime_132)

cos(√t)　(0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい....
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/09(日) 21:28:40.72 .net]: >>50 右
　g(t) = cos(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
　　　　　 > g(xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cos(x),
　
>51 右
　g(-t) = cosh(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
　　　　　 > g(-xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cosh(x),
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/09(日) 21:33:06.16 .net]: >>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/10(月) 20:40:07.13 .net]: >>53

θ ～ 4.493409457909
　　= (3/2)π - 0.21897952247563

√20 ～ 4.472135955
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/16(日) 00:09:30.45 .net]: 左側はマクローリン展開。

>>50 左
　sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
　　　 = 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
　　　 > 1 - xx/3! + (x^4)/216　　　(← xx<14)
　　　 > cos(x/√3),

>>51 左
　2k+1 ≦ 3^k,
　sinh(x)/x = ∑[k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
　　　　　　> ∑[k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
　　　　　　=　cosh(x/√3),
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/16(日) 00:18:37.18 .net]: 成程
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/18(火) 22:07:49.29 .net]: 〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/18(火) 22:12:24.34 .net]: >>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

　√(1+xx) - |x|
　　 =　1/{√(1+xx) + |x|}
　　 ≧ 1/(1+2|x|)
　　 =　X／{X + 2|x|^(1/3)}
　　 ≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)}　　　(x≦1/yz)
　　 ≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
　　 =　X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),
60 名前：１３２人目の素数さん [2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN .net]: a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/17(水) NY:AN:NY.AN .net]: >>59
例によって基本対称式を
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。題意より
　s = u,
　9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
　t ≧ 9,
したがって
　(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,

Schur不等式（n=-2）より
　0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
　　= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
　　= (t^3 -4stu +9uu)/uu
　　= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu)　(← s=u)
　　≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),

∴　[t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/18(木) NY:AN:NY.AN .net]: 昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。
63 名前：nobu mailto:jilpokj7yahoo.co.jp [2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN .net]: mixi招待してください
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN .net]: >>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
　0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
　　≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
　　= GGG +3GG -2
　　= (G+1)^3 -3(G+1)
　　= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴　G ≦ √3 -1,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）
65 名前：１３２人目の素数さん [2013/07/25(木) NY:AN:NY.AN .net]: log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: あんまし美しいと思えないなあその不等式
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/08/28(水) NY:AN:NY.AN .net]: 〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？

　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/09/28(土) 18:28:22.89 .net]: 自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)

ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/09/28(土) 22:13:24.35 .net]: >>69
それ数セミ10月号の問題じゃん
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:ssae [2013/10/04(金) 06:41:24.02 .net]: 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。
73 名前：狢 ◆yEy4lYsULH68 mailto:age [2013/10/04(金) 07:10:46.99 .net]: 狢

○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
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74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/04(金) 11:32:39.72 .net]: >>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた

　ﾉ　　　　　∧　　　　　／)　∧
　彡　　ノW　＼从／V　　W　＼　　　ミ
　 (　　ノ　　　　　　　 |　　　　　　ノ　＼)
　　∩V　　　　　、、　|　　　　　　 >V7
　（ｅLＬ／￣￣＼/　 L／￣￣＼┘/3）
　　(┗（　　　　　　)⌒（　　　　　　）┛/
　　　~|　＼＿＿／ |　　＼＿＿／　|~　　　　／￣￣￣￣￣￣
　　　爻　　　　　< |　　；　　　　　爻　　　＜続けたまえ
　　　　~爻　　　　＼_／　　＿,　爻~.　　　　＼＿＿＿＿＿＿
　　　　~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
　　　　　／　　　　ー￣￣＼_￣＼
　＿一‘　　　　　＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼　　　　　　　ー￣￣ヽ_ヽＪ　　￣＼_
　　＼　　　　　＿ニニニヽ　）　　　　　　 ~＼
　　　＼　　_／⌒|＼ヽ_~~ ~⌒＼_
　　＿＿／~　　　 V ＼_|　　　　　~＼＿
75 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 12:59:17.73 .net]: １．不等式　２１世紀の代数的不等式論　　安藤　哲哉　著　　数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。

これは大田図書館（大田区）でみつけた。
76 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 13:05:05.59 .net]: もう一冊は楽しめそう。

美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー

砂糖　淳郎　訳　　朝倉書店

残念ながらともに大田図書館所蔵です
77 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 13:07:23.30 .net]: 私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/04(金) 17:05:18.87 .net]: 安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな
79 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:30:44.11 .net]: >>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)
80 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:33:47.42 .net]: (直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．
81 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:44:43.57 .net]: すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/08(火) 18:28:27.55 .net]: 証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/13(日) 19:40:49.65 .net]: 〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:23:11.65 .net]: >>69-70
　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。

(1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n,

(2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:26:51.02 .net]: >>69-70

(3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2
86 名前： + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3 > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2 = 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)} = 2(n+1)/(nn-1) = 2/(n-1), []: [ここ壊れてます]
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 16:39:34.30 .net]: 　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79

[Corollary 2.6]
　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0"

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:27:41.96 .net]: >>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:30:44.20 .net]: >>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
90 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/19(土) 10:25:56.89 .net]: >> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/19(土) 18:40:21.91 .net]: >>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/20(日) 00:02:09.40 .net]: >>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)

〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/21(月) 23:40:17.56 .net]: 〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)
94 名前：ななし mailto:sage [2013/10/22(火) 00:26:11.28 .net]: >>91

(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
　= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
　≧ ⊿_1 - ⊿_2　　　(← x･y^(n-1) ≧1)
　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0)
ここに
　⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
　⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,

(2) nについての帰納法で。

和書[8] のような解析的な方法もあるが....
95 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/25(金) 13:26:38.30 .net]: 確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/25(金) 15:43:17.57 .net]: stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/30(水) 12:23:26.57 .net]: >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| >
98 名前：｜tanh(t)| (d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt), (d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2}, から |t|≦1 のとき arcsin(t) > sinh(t) > 0, が出る。 t > sin(sinh(t)) > 0, |t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。 sinh(t) = x とおくと arcsinh(x) > sin(x) > 0, []: [ここ壊れてます]
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/07(木) 11:41:28.21 .net]: ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112
100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/15(金) 01:38:28.47 .net]: 幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ
101 名前：ななし mailto:sage [2013/11/15(金) 15:47:56.27 .net]: ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２のじゅーさんへ。
　まづはWEBで....

「一般化固有値問題」（明治大）
www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html

「極値としての固有値」（東京大）
www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf

「§１固有値問題」（早稲田大）
www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf

「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf
102 名前：ななし mailto:sage [2013/11/21(木) 00:38:50.46 .net]: 同スレから....

(2) a,b,c >0 のとき
　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
　等号成立は a=b=c

(6) x,y,z >0 のとき
　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/21(木) 01:47:49.32 .net]: ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch でｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 14:28:07.16 .net]: >>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 20:20:27.12 .net]: >>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/26(火) 20:40:41.50 .net]: >>99 (6)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。

　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。

註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/19(木) 20:54:29.76 .net]: >>99

(1)　
a,b,cは相異なる正の実数とする。
　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。

(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/26(木) 01:23:03.85 .net]: |Aut(L/K)|≦[
109 名前：L:K] []: [ここ壊れてます]
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/02(木) 01:31:00.06 .net]: >>104 (1)

x>0 のとき
　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
　= t/sinh(t)
　≦ 1,
より
　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
111 名前：１３２人目の素数さん [2014/01/05(日) 07:45:41.88 .net]: ↓の不等式うまい方法あるかな？

a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）
112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/05(日) 11:44:03.96 .net]: 別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/18(土) 19:41:47.51 .net]: 〔問題158〕
　a,b,c >0,
　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 12:23:09.17 .net]: 〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 20:56:00.76 .net]: >>109
　
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
　ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。

>>110

　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/04(火) 00:05:10.49 .net]: x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？

普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)

きれいな解法求む。
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:27:47.56 .net]: >>112

　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,

　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,

　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき
　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:29:49.64 .net]: 入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170
119 名前：ななし mailto:sage [2014/02/05(水) 21:50:26.43 .net]: >>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)
120 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 20:38:22.91 .net]: >>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
121 名前： < √{1 -(z+z~) +zz~} = √{(1-z)(1-z~)} = |1-z|, [2]　(1)　x≦y≦z とする。 (x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2, 等号は y=(x+z)/2 のとき。 ∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2} ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2} =　2{1 - (3/4)(x+z)^2} ≦ 2, 等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2) (左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2, 下限も同様に [4]　軸を45ﾟ回す。 u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2, 与式は (uu+vv)^2 - 2uv = 0, ここで、du/dv=0, とおくと、 2v(uu+vv) -u = 0, u = 8v^3 = (√3)v, (u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8}) 2(uu+vv) = u/v = √3, []: [ここ壊れてます]
122 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 21:06:57.69 .net]: >>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....
123 名前：ななし mailto:sage [2014/02/09(日) 18:15:15.66 .net]: >>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...
124 名前：115 mailto:sage [2014/02/11(火) 22:14:41.65 .net]: >>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）
125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/11(火) 23:21:48.73 .net]: x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました
126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/12(水) 22:54:44.26 .net]: 過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964
127 名前：１３２人目の素数さん [2014/02/15(土) 12:56:22.22 .net]: 120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 15:57:03.91 .net]: >>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,

〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 16:05:17.43 .net]: >>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}
130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 18:51:56.53 .net]: >>112-113

　0 < k ≦ (√2 + 1),

　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
　下限は q → -∞ のとき
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 23:49:38.94 .net]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/20(木) 20:58:32.81 .net]: 〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179
133 名前：ななし mailto:sage [2014/02/20(木) 21:12:45.27 .net]: >>127

Easy の方は
　(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...
134 名前：ななし mailto:sage [2014/02/21(金) 19:15:17.77 .net]: >>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s
135 名前：-1) = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら） ここに F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur） []: [ここ壊れてます]
136 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:21:13.88 .net]: 今年の不等式関連の入試問題
nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/tohoku/zenki/sugaku_ri/images/mon6_1.gif
nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/images/mon2_1.gif
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/14/gi1-22p.pdf
137 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:28:30.65 .net]: 数オリ
www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 12:30:14.33 .net]: 　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 18:40:56.44 .net]: >>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/03(月) 02:35:18.55 .net]: >>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/05(水) 21:41:46.78 .net]: >>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)
142 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/09(日) 23:29:23.76 .net]: この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:21:57.02 .net]: 知らんがなｗ
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:30:38.44 .net]: 自己紹介乙！
145 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/10(月) 08:24:33.61 .net]: 阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな
146 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/11(火) 04:31:34.09 .net]: この人
https://twitter.com/yjjswm
147 名前：prime_132 mailto:sage [2014/03/15(土) 21:42:02.66 .net]: いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒だが何か？
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 22:14:50.71 .net]: >>136-141

uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ　ﾄﾞｿﾞｰ
149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/17(月) 23:38:33.45 .net]: a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 23:49:29.60 .net]: >>114 [3] の類題？

>>115
151 名前：ななし mailto:sage [2014/03/24(月) 20:20:36.02 .net]: >>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 01:38:18.83 .net]: >>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]
153 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/01(火) 22:21:02.29 .net]: 正数x,y,zが
154 名前：xyz = 1 のとき x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0 って成り立ちますか？ []: [ここ壊れてます]
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/02(水) 09:59:59.81 .net]: ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。
156 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/05(土) 21:17:36.82 .net]: 正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう
157 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:05:40.74 .net]: (a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ
158 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:26:10.23 .net]: 頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/07(月) 22:52:36.08 .net]: a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 01:07:10.40 .net]: 〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),

　//twitter.com/Inequalitybot/ [196]
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 11:15:48.14 .net]: sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:45:13.02 .net]: √2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:05:01.23 .net]: 　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:24:20.18 .net]: >>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均)
辺々引く。
　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ
165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 04:15:33.55 .net]: >>114-116

[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]

https://twitter.com/Inequalitybot/
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/07(水) 00:25:04.63 .net]: >>143-145

(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,

//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]
167 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:26:52.73 .net]: > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
168 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:27:39.56 .net]: > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
169 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/13(火) 05:50:13.76 .net]: ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。

定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2

ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (
170 名前：3項巡回和) U = abc []: [ここ壊れてます]
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/28(水) 03:56:36.47 .net]: B4638、B4640、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201405&t=mat&l=en

A616、B4626、B4628、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201404&t=mat&l=en

B4620、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201403&t=mat&l=en

A609、B4606、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201402&t=mat&l=en

A605、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en

B4585、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201312&t=mat&l=en

A593、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201309&t=mat&l=en

C1168、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201304&t=mat&l=en

＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　）（＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:34:45.87 ID:7o1BupPuA]: C.1168
　Prove that a√(1-bb) + b√(1-aa) ≦ 1,

(略解)
相乗-相加平均から
　a√(1-bb) ≦ {aa+(1-bb)}/2,
　b√(1-aa) ≦ {(1-aa)+bb)/2,
辺々たす。
あるいは
　(左辺)^2 + {ab - √[(1-aa)(1-bb)]}^2 = 1,
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:51:50.47 ID:7o1BupPuA]: C.1168

三角函数とかは、おくび（曖）にも出さないこと。
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 23:02:24.42 ID:7o1BupPuA]: [104]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, (a-b)(b-c)(c-a)=⊿ とおく。このとき
　(ss-2t)^2 - t^2 ≧（3√3 /2)|⊿|s
を示せ。　

　(CbM)改　☆9
　//twitter.com/Inequalitybot/ [104]
　//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 196～198
175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/23(月) 22:50:07.63 ID:AzExtY9jm]: B.4626
　Prove that (1+a)^4･(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2　for all a,b≧0.

(略証)
相加-相乗平均より
　(1+a)(1+b) = (1+ab) + (a+b)
　≧ 2√(ab) + (a+b)
　≧ 2(4ab)^(1/4)･√(a+b),
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/26(木) 06:32:02.80 ID:h4WLeUXAQ]: >>166
s≧0, t≧0 が抜けてました。
　(左辺) = (ss-t)(ss-3t)
　≧ {ss+(ss-3t)}/2・(ss-3t)　
　≧ s(ss-3t)^(3/2),
なので
　(ss-3t)^3 ≧ (27/4)⊿⊿
を示せばOK
177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 02:17:03.22 .net]: 不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 23:17:34.18 .net]: >>169
ジュンク堂にあったので買ってきた。

大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。

>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013
179 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/06(日) 07:21:38.15 .net]: > このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
の定理2.4.1c～命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。
180 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 02:05:03.70 .net]: 質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 02:27:21.66 .net]: d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 03:03:40.58 .net]: >>172
d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
183 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:04:17.35 .net]: すまん、読んでみたけど…
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 04:15:21.56 .net]: ガウスボンネの定理の言い換え。
185 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:21:50.42 .net]: リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age
186 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/07/17(木) 05:30:15.28 .net]: 狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 14:46:29.19 .net]: 分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 15:42:29.18 .net]: >>179
isolated fudgingならここの説明がわかりやすいかと
mathtrain.jp/fudging
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 16:09:13.94 .net]: >>180
おおー、ありがとうございます。
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 19:00:16.94 .net]: 同次と斉次の違い、使い分けとかあるんです蟹？
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/02(土) 11:05:59.45 .net]: 0<x<pi/4 で x+0.5x^3>tan(x) を言うにはどうすればいいでしょうか
192 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/10(日) 23:37:22.74 .net]: 関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:31:55.72 .net]: おもしろそう！
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:35:16.82 .net]: 悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 02:57:28.50 .net]: x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:46:52.02 .net]: >>187
x=z=1/yを満たすとき
f=x/{(1+2)(2+3)(3+1)}=x/60
x>0で動かすとf>0の任意の値をとる
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:53:02.88 .net]: >>187,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 18:33:21.25 .net]: (xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48
199 名前： []: [ここ壊れてます]
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 20:13:24.03 .net]: >>189
( ﾟ∀ﾟ) ｽﾐﾏｾﾝ、ご指摘の通り、分母の３つ目はyzじゃなくてzxですた。

>>190
正解です。エレガントなやり方ありましたか？
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 02:19:33.50 .net]: suugaku.jp/thumb/465/1258/2014_4.png
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 06:39:44.86 .net]: >>192
出典は？
203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 18:49:03.36 .net]: a1, a2, …, an > 0 のとき
　a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1 ≧ a1^2 + a2^2 + … + an^2
204 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 00:34:06.59 .net]: >>193
今年の滋賀医科大の入試問題らしい
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 01:36:17.24 .net]: >>194
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(a2^2 + … + an^2+a1^2)≧(a1a2+a2a3+…ana1)^2
より
(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
≧(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1a2+a2a3+…ana1)
≧(a1^2 + a2^2 + … + an^2)^2

(コーシー)
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 18:50:16.20 .net]: Maclaurin の不等式って何ザマスか？
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 20:43:09.24 .net]: >>192
f"≧0
(logf)"=(f'/f)'=(ff"-f'f')/ff≧0
(1/f)"=(-f'/ff)'=(2f'f'-ff")/fff≧0
より
(1)f(1/2)≦(1/2)(f(0)+f(1))
(2)logf(1/3)≦(2/3)logf(0)+(1/3)logf(1)
(3)4/f(4)≦3/f(0)+1/f(1)
(Jensen)
これらを整理する
(4)は凸性ゆえ
(左辺)≦(1/4)(f(0)+f(1/2))+(1/4)(f(1)+f(1/2))≦(右辺)
最後はJensenを用いた
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/20(水) 20:33:15.56 .net]: なんでニコニコ大百科にウィキペディアより詳細なシュールの不等式の記事があるんだよ
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 01:29:29.74 .net]: >>199
詳しく聞こうか？
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 08:32:23.12 .net]: >>200
dic.nicovideo.jp/a/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/21(木) 22:09:46.08 .net]: こんなんja.wikipediaに書いたら
wikipediaは数学書じゃないから証明の必要性が云々とか
独自研究ガーとかいう奴が出て来て全削除とかされかねないもんな
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 15:43:56.20 .net]: >>183
いま気づいたがこれは大数の学コンの問題の一部だな
このカス野郎が
そんなにまでして良い点とりたいか？
213 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/24(日) 22:30:33.72 .net]: この程度で苦労するなら良い点なんか取れないって
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 03:09:27.68 .net]: 不等式ヲタになればフィールズ賞取れるの？
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 04:12:22.46 .net]: 不等式がすべて。地位や名声など取るに足らないものになります。
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 05:39:36.69 .net]: nを定まった正の整数とし,1≦k≦nなる整数kのおのおのに,1≦r≦nなる整数rを対応させる関数r=f(k)があって
k[1]＜k[2]ならばつねにf(k[1])≦f(k[2])であるとする
このとき,f(m)=mとなる整数mが存在することを証明せよ
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/25(月) 13:47:47.28 .net]: 離散写像における不動点定理ですね

f(1)>1,f(n)<nの時のみ考えれば良い
f(i)>iなる最大のiをkとしてk<f(k)≦f(k+1)<k+1
これはkとk+1の間に整数があることになるため矛盾
218 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/26(火) 17:43:33.11 .net]: >>201
詳し過ぎて吹いたw
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/27(水) 11:11:38.72 .net]: >>201
>>201
詳し過ぎて、珈琲ふいたw
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 11:34:06.84 .net]: シューアの不等式の参考文献をキボンヌ！
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 20:59:27.06 .net]: 実数 a、b、c、d に対して、(a-c)^2 + (b-d)^2 と (ac+bd+1)^2 の大小は定まりますか？
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 21:33:34.29 .net]: >>212
b=dとして
c=1/aとしてa→∞とすると前者＞後者
c=2としてa→∞とすると前者＜後者

だから定まらなさそう
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/03(水) 21:52:25.87 .net]: ありがとうございます。
書き込んだ後、計算してみて、私も定まらないなと思いました。
何を考えていたかを説明すると…

(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(ac+bd+1)^2
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(a-c)^2 + (b-d)^2

を眺めていて、右辺に大小関係が定まらないかなぁと考えていたら、実際に計算してみると、

(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1) = (a-c)^2 + (b-d)^2 + (ad-bc)^2 + (ac+bd+1)^2 　← 『不等式ヲタの等式』と命名

なので、ダメじゃんってな感じです。
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 08:30:18.32 .net]: 有名な四平方の恒等式
225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 08:47:52.88 .net]: なんだ名前があったのか、（・ω・）ショボンヌ
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/04(木) 09:06:07.32 .net]: 自力で見つけたんだからスゴイんじゃね
ちな本来の四平方和の公式はもっと一般的な
227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 00:18:44.18 .net]: 実数 a、b、c、d、e、f が、次式をみたしている。
　　a-b > b-c > c-d >d-e > e-f > f-a
a、b、c、d、e、f のうち最大の実数はどれか？

きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 03:35:28.34 .net]: >>218
bが最大とすると 2b>a+c>2b より矛盾
同様にc,d,e,fは最大ではない
よってa
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 08:00:40.28 .net]: a、bは実定数とする。-1≦x≦1に対して、max|x^2 + ax + b|≧1/2 を示せ。
230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/05(金) 19:33:33.29 .net]: 月並みすぎ
231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/06(土) 06:50:08.00 .net]: 新参者の自分には新鮮だよ
232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 13:13:05.60 .net]: 今月の東進の問題
〆切は過ぎてる

ttp://www.toshin.com/concours/img/mondai_18.jpg

高校生用としてはかなり難しいのでは？
ここの住人なら瞬殺？
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 14:36:36.25 .net]: ワクワクして、ボッキしたよ
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:10:14.28 .net]: >>223
a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
f(x)=1/(1-cosx)は凸関数のため
log(左辺)=f(A)+f(B)+f(C)≧3f(π/3)=3log2 (Jensen)
両辺の真数をとる
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:12:11.71 .net]: (a+b)(√(cc+1)+c)=√((aa+1)(bb+1))+1-ab≧2 (コーシー)
巡回的にかける
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:20:07.19 .net]: (a+b)(√(cc+1)+c)=(a+b)/(√((c+a)(c+b))-c)≧(a+b)/((c+a+c+b)/2-c)=2 (AM-GM)
巡回的にかける
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 20:45:55.18 .net]: >>225
> a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす

この時点で、置いていかれています。
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 22:25:53.44 .net]: 凄すぎてよう分からんｗｗｗ
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/10(水) 23:46:07.52 .net]: >>225
A,B,Cは三角形の三角の間違いでした…
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:12:47.63 .net]: こんなの解ける東進生がどのくらい居るのか甚だ疑問
まあ高校生に、不等式は超絶テクニックの職人の世界だぜ、
と知らしめてやるような意味はあるが
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:35:51.28 .net]: 若いうちに洗脳して不等式ヲタを増やすことも、我々の大事な仕事なのです。

>>225
√(a^2+1) があるので、a = tanA とか置き換えたくなるけど、 cotAとは思いつかんなぁ

いろいろ�
242 名前：ﾈ不等式を収集し証明するのは、今後も続けるとして、 そろそろ、不等式証明の定番手法や考え方を語る時期では？ []: [ここ壊れてます]
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/11(木) 23:50:54.66 .net]: あ、でも値を評価するとはどういうことか、
ということを教えるのは数学的に本質的に大事だね

等式の世界と不等式の世界は全然違うからね
244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 00:15:14.25 .net]: その値を求めるのは大変だから、大体どのくらいかを評価することが必要になって…
そんな感じ？

不等式の美しさにばかり囚われていて、あまり考えたことなかったな。
245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 00:20:34.32 .net]: x、y、z >0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} の最大値を求めよ。

これだと、『x、y、z >0 のとき』がヒントになって、相加相乗平均でも使うんだろうなと思ったり。
確かに相加相乗平均で肩がつく（最大値は1/48）。

この手の分数の不等式は、分割して評価した不等式を辺々かけるとか、
斉次式なので、和一定とか積一定とかの条件をつけたりするテクもあったり。

不等式スレ１章～３章の頃に、その手のテクニックをtexでまとめていたんだけど、
パソコンが壊れたときに失われてしまったのは悲しい思い出… ('A`)
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 01:11:49.31 .net]: >>235
ごめん、斉次式じゃなかった
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 18:34:10.65 .net]: a、b、c、x、y、z ∈R が、
　(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1、 x^2+y^2+z^2=1
をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲

ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/12(金) 20:49:44.59 .net]: いきなりレベルが下がったな
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/15(月) 17:30:44.27 .net]: 【結構簡単だけど、受験生40名全員が解けなかったという曰く付きの某国立大学数学科の推薦入試問題】

実ｎ次元ベクトル X ＝ (x_1, x_2, ... , x_n) に対して
ｈ　を非負実数として
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2}　と定義する。
Y ＝ (y_1, y_2, ... , y_n)　とするとき、任意の実ｎ次元ベクトル　X、Y　に対して
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の h を求めよ。
ただし、X + Y＝ (x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n) とする。

注）　伝聞によるので文言は全く同じではないと思われます
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:25:23.04 .net]: 麻呂ちゃんを救う会
┏━━━━━━━━━━┓
┃　　　　　　　　　　　　　　 ┃　麻呂ちゃんは
┃...|;:;:_:;:__:;_:;_:;:l:;_;:_:_:;:_;:_:;|　┃　生まれつき不等式収集の病気にかかり
┃|＿＿＿＿_|_＿＿＿＿|...┃　一カ月以内に不等式が必要です。
┃|=| 　三ｼﾉ　ヾ三. ::::::.|=!　┃
┃|=|　（●）,　、（●）、::|=|　┃　しかし、それにはハァハァできる
┃ヾ|　　,,ノ(、_, )ヽ、,, 　ｼﾉ...┃　特殊な不等式が必要となります。
┃　|　　　,;‐＝‐ヽ　 .:::::|　...┃
┃　＼　　｀ニニ´　 .:::／ .....┃　麻呂ちゃんを救うために
┃　／｀ー‐--‐‐―´´＼.　...┃　どうか協力をよろしくお願いします。
┗━━━━━━━━━━┛
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:26:03.05 .net]: |　寝ていて
|　夜　目を醒ますと　　　　　　　＿＿＿＿
|　不等式がスレにない　　　　　　／;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:丶
|＿＿＿＿＿＿＿＿_/　　　　／:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　 |;:;:_:;:_:;:_:;:_;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_|
　　　　　　　　　　　　　　　　　 |＿＿＿＿|＿＿＿＿|
　　　　　　　　　　　　　　　／/ |彡　 ≡　　　 ≡　ミ|
　　　　　　　　　　　　　　（　 (　（6　 <○)　　 (○>　9)
　　　　　　　　　　　　　　ﾉヽ＼ |　　　　｡⌒｡　　　|　　　　　 �
252 名前：^／ イ　人＼＼　　 ┌-┐　　ﾉ　　　　　　／／ ／ λ　　ヽ　　｀、/)_￣＿_ノ￣`,　　／／ ζ　（　　　　　ヾ　＼￣￣￣￣￣Uι)／／ ￣-　／／ １～2歳の麻呂にとってそれはどんな恐怖と絶望 なのだろう … … 麻呂は暗闇の中で泣いても 無駄なのでただひたすらふるえていただけだった []: [ここ壊れてます]
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:26:30.63 .net]: 　　　　　　　　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
　　　　　　　　 |丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
　　　　　　　　ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
　　　　　　　　,';:｀`' ‐ｮ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 　　不等式を貼るだけなら三流
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;ﾐ　　｀ ` '' ｰ -‐ '"　　　 ,ﾘ;:;:;:l
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;:ゝ　　く三)　　　(三ｼ　　｀ヾ;:t、
　　　　　　　fﾐ{;:;:;:;:f'´　 , -－-_,, _,ｨ､_,,ｨ,.-－､　 };f }　　言われてから不等式を貼れて二流
　　　　　　　l ﾄl;:;:;:;:l　　､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ　{,'ィt或ｱﾁ　l:l,/
　　　　　　　ﾞi,tヾ:;:;:!　　｀ヽ二ノ　　　ﾄ ` ‐''"´　 l:l:f
　　　　　　　ヽ`ｰ};:l　　　　　　 ,r'､　ヽ　　　　ﾘ_）　　言われる前に自分から不等式を貼れてようやく一流じゃ
　　　　　　　　｀"^l:l　　　　　 ,/ﾞｰ､　 ,r'ヽ　　　　l
　　　　　　　　　　　ﾞi　　　　,ノ　　 `'"　丶.　　 ,'
　　　　　　　　　　ﾞl､　　 ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
　　　　　　　　　　　　',ヽ　　ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ'　//ヽ　　　　
　　　　　　　　　　　　 }　丶、　` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ　　　　・・・・そなたらは一体、いつになったら
　　　　　　　　　　　　/l　　丶、　　　　 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、　　　　　　　　
　　　　　　　　　 ,r'"^l　!　　　　` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ　 ,}、　　　　　　　一流になるのでおじゃるか？
　　　　　,. -ｧ＝く（:.:.:.l　 l　　　　　／/:.:.:.:.:.:., - '"　 ,／　ヽ、
　 , - '"´ ／　,／｀＞'t､_」＿＿_,ｨ'ﾞ,ィ,.: -‐ '"　,. -‐ '"　　　　＼
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:28:07.44 .net]: 　　　　　　　　　　　　 l三｀ｰ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
　　　　　　　　　　　　　 l三　 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣　　 ,三三三彡彡l_　　　この感じ・・・・
　　　　　　　　　　　　　　lﾐ′　￣　　　　ー-'"　　　 '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
　　　　　　　　　　　 l;l　 ,_-‐ 、　　　 __,,.. - ､　　　彡彡彳､.//　　不等式か・・・・
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥　`之ヽ､, i　l´ _,ｨ辷ｧ-､、　　　彡彡'r ノ/＿＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣　1 　　￣ﾌ/ｌ　l::. ヽこ~￣　　　　彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　ヽ　　　´　:l　.l:::.　　　　　　　　　彡ｨ-‐'′
　　　　　　　　　　　　　　　ゝ、　　/ :.　 :r-､　　　　　　　　彡′
　　　　　　　　　　　　　／ｨ:ﾍ　　｀ヽ:__,ｨ='´　　　　　　　　彡;ヽ､
　　　　　　　　　 _,,..-‐'7　/:::::::ヽ　　　_: :_　　　ヽ　　　　ｨ´.}::ヽヽ、
　　　　　　_,-‐'´　　　 {　ヽ:::::::::ﾍ｀'ｰ=＝=ｰ--　'　　　／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､
255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:32:24.97 .net]: 　　＼
:::::　　＼　　　　　　　　　　　　麻呂の両腕に冷たい鉄の輪がはめられた
＼:::::　　＼
　＼:::::　＿ヽ＿_ 　＿　　　　　外界との連絡を断ち切る契約の印だ。
　　ヽ／,　／＿ヽ/、　ヽ＿
　　 // ／<　＿＿） l -,|__) >　「刑事さん・・・、俺、どうして・・・
　　 || ｜ <　＿＿）_ゝJ_)＿>　　　　不等式なんて蒐集・・・しちゃったのかな？」
＼　||.｜　<　＿__）_(＿)_　>
　＼|
256 名前：　|　 <_＿__ノ_(＿)＿ )　　　とめどなく大粒の涙がこぼれ落ち ヾヽニニ/ー--'/　　　　　　　　震える彼の掌を濡らした。 |_|＿t＿|_♀__| ９　　∂　　　　　　　　「その答えを見つけるのは、お前自身だ。」 ６　　∂ (9_∂　　　　　　　　　　麻呂は声をあげて泣いた。 []: [ここ壊れてます]
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 00:44:36.72 .net]: 0<x<y<π/2の時
(tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
を示せ
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 14:03:46.19 .net]: 0 < x < y < π/2 において、f(x) = (tanx/x)^x - (sinx/x)^x が単調増加であることを示せばよい。
これは、y=sinx、y=tanxのグラフを描けば明らか。

でも計算で示そうとして挫折… ('A`)
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/18(木) 23:24:33.32 .net]: >>239
ｈ＝１
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/21(日) 03:12:14.29 .net]: 　　　　　　　　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
　　　　　　　　 |丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
　　　　　　　　ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
　　　　　　　　,';:｀`' ‐ｮ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 　　出された不等式を証明するだけなら三流
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;ﾐ　　｀ ` '' ｰ -‐ '"　　　 ,ﾘ;:;:;:l
　　　　　　　　l;:;:;:;:;:;:;:ゝ　　く三)　　　(三ｼ　　｀ヾ;:t、
　　　　　　　fﾐ{;:;:;:;:f'´　 , -－-_,, _,ｨ､_,,ｨ,.-－､　 };f }　　自分で不等式を作って証明して二流
　　　　　　　l ﾄl;:;:;:;:l　　､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ　{,'ィt或ｱﾁ　l:l,/
　　　　　　　ﾞi,tヾ:;:;:!　　｀ヽ二ノ　　　ﾄ ` ‐''"´　 l:l:f
　　　　　　　ヽ`ｰ};:l　　　　　　 ,r'､　ヽ　　　　ﾘ_）　　不等式を作る前に手の者に作らせて証明させてようやく一流じゃ
　　　　　　　　｀"^l:l　　　　　 ,/ﾞｰ､　 ,r'ヽ　　　　l
　　　　　　　　　　　ﾞi　　　　,ノ　　 `'"　丶.　　 ,'
　　　　　　　　　　ﾞl､　　 ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
　　　　　　　　　　　　',ヽ　　ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ'　//ヽ　　　　
　　　　　　　　　　　　 }　丶、　` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ　　　　・・・・そなたらは一体、いつになったら
　　　　　　　　　　　　/l　　丶、　　　　 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、　　　　　　　　
　　　　　　　　　 ,r'"^l　!　　　　` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ　 ,}、　　　　　　　一流になるのでおじゃるか？
　　　　　,. -ｧ＝く（:.:.:.l　 l　　　　　／/:.:.:.:.:.:., - '"　 ,／　ヽ、
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/21(日) 14:50:28.88 .net]: >>247
違うと思う
262 名前：１３２人目の素数さん [2014/09/28(日) 09:55:02.94 .net]: ガンマ関数の問題なんだが、

Γ(1/a)　<　π

aを求めよ。

aって求められないよね？
つか、問題が間違ってるよね？ね？
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/28(日) 14:23:20.23 .net]: aが実数または整数という条件は?
それでwikipediaのガンマ関数のグラフでも見たら。。。
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/28(日) 16:34:36.44 .net]: aを四元数にしてみよう
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/10/07(火) 04:40:12.83 .net]: nを自然数、xを正の実数とするとき、n(x-1) ≦ x^n-1 ≦ n(x-1)x^n ≦ n(x-1)x^n

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ
266 名前：１３２人目の素数さん [2014/10/10(金) 22:50:17.76 .net]: 死ねよ
267 名前：１３２人目の素数さん [2014/10/14(火) 21:10:08.93 .net]: 今日、不思議な定理を発見しました。
斉次巡回(or 対称)不等式に関するものですが、
代数多様体の商特異点の理論を経由して、
不等式のクラスがなす凸錐の構造定理を証明することによって、
古典的な方法で直接不等式の成立を示さなくても、抽象的議論だけで
間接的にいろいろな不等式の成立が証明できてしまう、という、
ちょっと気味の悪いものです。
個々の不等式を見るのではなく、ある条件を満たす不等式のクラスを、
まとめて面倒みてやるのがポイントです。
モジュライの理論でもそういう考え方が登場します。
多変数の代数不等式は、やっぱり代数幾何だったんですね。
普遍性がある議論なので、いろいろ応用が利きそうです。
そのうち、どこかで、きちんとお話します。
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/10/14(火) 21:22:04.40 .net]: 難しくてよう分からんが、楽しみにしている
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/10/15(水) 00:57:58.07 .net]: 面白そうだけど難しそう
まじめに代数幾何を勉強するかな
270 名前：１３２人目の素数さん [2014/10/23(木) 08:25:42.36 .net]: 予告編:
X を不等式 f(x_1,...,x_n)>=0 の変数が動く領域とし、
そこに有限群 G が推移的に作用していて、固定点は有限個であると仮定する。
D を G-不変な X 上の不等式全体がなす凸錐とする。
線形系 H^0(P^{n-1}, O(d))^G が定める有理写像 P^{n-1} -> P^N に
よる X の像を X_d とする。d がある程度大きいと、X_d = X/G となる。
X_d の生成する凸錐の相対凸錐が D である。
X_d の内部、境界、内部の各特異点、境界上の各特異点に対応して、
D の境界の成分が定まり、D はそれらで囲まれる。
代数的にD の境界の成分を求めると、不等式が自動的に得られる。
たぶん、学部4年程度の知識で理解できます。
271 名前：１３２人目の素数さん [2014/10/23(木) 14:20:03.00 .net]: 安藤氏がやっていることに含まれるのでは？
272 名前：１３２人目の素数さん [2014/11/26(水) 07:51:56.64 .net]: > 255
改訂版をUPしました
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
第2章が新しい部分です。
その別の応用は、また後日。
局所錐の理論も、もう少し進歩させられそうです。
273 名前：１３２人目の素数さん [2014/11/26(水) 11:06:50.29 .net]: >>255
難しいな。これって、結構多くの不等式が一発で証明できるということなの？
ちょっと降りてきてアマチュア向けに補足を所望。できれば少し例も。
忙しいかな？
274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/11/26(水) 11:28:25.14 .net]: グラフの不等式領域の塗り分けで裏技があったな
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/11/26(水) 14:06:16.63 .net]: 　　　　　　　　∧∧
　　　　　　ヽ(･ω･)/　　ｽﾞｺｰ
　　　　　＼(.＼ノ
　　　　､ﾊ,,､　￣
　　　　￣
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/11/27(木) 23:52:16.13 .net]: 数学板ID表示制導入の住民投票 [転載禁止](c)2ch.net
kanae.2ch.net/test/read.cgi/vote/1416925674/
277 名前：１３２人目の素数さん [2014/11/30(日) 21:19:05.89 .net]: > 257
代数曲面の場合でも、例えば、x^4+y^4=z^4 で定まる代数曲面を研究しようと思ったとき、
それを代数曲面の分類理論なして研究しても、あるところで行き詰まるが、
K3曲面という範疇の中で、どういう位置づけの曲面かを考えると、いろんなことが分かる。
同様に、1つの不等式を単体として証明するのとは別のアプローチとして、
不等式のある範疇の族を考え、その族の中での位置づけを考察すると新たな視点が開けるということ。
すると、個々の不等式の研究に増して、不等式の族の構造の研究も大切になってくる。
278 名前：１３２人目の素数さん [2014/12/01(月) 09:12:04.34 .net]: >>265
説明ありがとう。でも不等式好きのアマチュアとして知りたかったのは、
このスレにも出てくるいろんな具体的な不等式たちを証明することが、
あなたの研究によってどう変わるかということだった。
分類理論もK3曲面も知らんのだ。そんな奴は相手にしてないということ
なんだろうが。
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/12/01(月) 13:09:41.27 .net]: >>266
> 分類理論もK3曲面も知らんのだ。

おれも。
何から勉強し始めたらいい？
代数？
280 名前：１３２人目の素数さん [2014/12/22(月) 09:04:18.22 .net]: A+B+C=Πのとき、
6cosA+3cosB+2cosC≦7
を示せ
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/12/23(火) 18:40:00.89 .net]: もし高校+α程度の知識しかないなら数年かかるぜ？
282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/12/23(火) 18:58:55.97 .net]: 　　　　*　　　　　　*
　　＊　　　　　＋　　うそです
　　　 n ∧＿∧　n
　＋　(ﾖ（* ´∀｀）E)
　　　 Y 　　　 Y　　　　＊
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/12/23(火) 23:15:39.09 .net]: 不等式ヲタが一心不乱に不等式をいじっていたときに、ある貴婦人が訊ねた。
「そんな役にもたたないつまらないことをして何になるんですか？」
不等式ヲタはこう答えたという。
「生まれたばかりの赤ん坊が何の役にたつというのですか？」
284 名前：【豚】【504円】 mailto:sage [2015/01/01(木) 00:17:51.41 ID:819Tpouk.net]: 　
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ
285 名前：１３２人目の素数さん [2015/01/11(日) 11:56:09.01 ID:HYp86YiB.net]: 〆切
286 名前：過ぎたので投下 --------------------------------------------------- 【大数１月号宿題】 n は3以上の自然数 x1，x2，...，xn　は正の実数 S=x1+x2+...+xn T=x1^2+x2^2+...+xn^2 とするとき Σ[i=1,n]{xi/(S-xi)} ≦ Σ[i=1,n]{xi^2/(T-xi^2)} が成り立つことを示せ --------------------------------------------------- []: [ここ壊れてます]
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/01/11(日) 15:49:08.19 ID:6wGawbq2.net]: >>114
[2](2)
2x-y, 2y-z, 2z-xがそれぞれ正正正か正負負の時のみ考えれば良い
(i)全部正の時
a=2x-y,b=2y-z,c=2z-xは全て正
7=3(aa+bb+cc)+4(ab+bc+ca)≧21GG
より
abc=G^3≦1/3√3

(ii)負が2つの時
a=2x-y,b=z-2y,c=x-2zは全て正
105=15(3(aa+bb+cc)-4a(b+c)+4bc)
=(6a-5b-5c)^2+9a^2+10(2bb+bc+2cc)
≧3(75abc)^(2/3)
これを整理して
abc≦7√35/15
等号は(a,b,c)=√35(1/3,1/5,1/5)の時成立

1/3√3<7√35/15より与式の最大値は7√35/15

>>273
(右辺)-(左辺)
=Σ[i<j]x_i*x_j*(T+x_i*x_j+(x_i+x_j)(S-x_i-x_j))(x_i-x_j)^2/((S-x_i)(S-x_j)(T-x_i^2)(T-x_j^2))
≧0
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/01/11(日) 16:22:38.86 ID:NZHIAZ7Q.net]: 今年も不等式でﾊｧﾊｧする！
289 名前：学術デジタルアーカイヴ院教授至高の狐独文武学者　珈琲豆SHO-GUN [2015/01/12(月) 17:49:50.45 ID:Y1rwXzc/.net]: 現実以上。夢見饅。ツキ夜
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/06(金) 11:18:16.66 ID:JF/VVn+X.net]: n文字の基本対称式がすべて正なら、n文字は全て正は正しいなりか、キテレツ？
291 名前：１３２人目の素数さん [2015/02/06(金) 18:33:53.81 ID:D/pec2L1.net]: f(x)=(x+a_1)…(x+a_n)=ΣS_{n-i}(a_1,…,a_n)x^i
x≧0 について f(x)>0 だから零点 -a_1,…,-a_n は全て負
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/06(金) 19:01:03.54 ID:sHEXqVkI.net]: jbbs.shitaraba.net/sports/42269/
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/07(土) 09:34:44.79 ID:d09KlcvF.net]: >>278
ありがとうございます。こんなに簡単だったとは！
294 名前：葛厨 mailto:sage [2015/02/10(火) 00:20:36.14 ID:qNJQbzu4.net]: 632 ：マロン名無しさん：2015/02/09(月) 23:47:58.84 ID:???
『2≧1なら普通に2=1も兼ねるだろｗ』

656 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:03:50.71 ID:???
『2≧1は2=1も兼ねる』

667 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:12:27.22 ID:???
『＞と＝の両方兼ねないと使えないのが≧ですｗ』
295 名前：葛厨 mailto:sage [2015/02/10(火) 00:23:33.84 ID:qNJQbzu4.net]: 679 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:21:24.07 ID:???
『「一方だけが」じゃなくて「一方もしくは両方が」だな』
296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/10(火) 23:27:11.45 ID:cnsbm1p4.net]: 正の整数nに対して、その正の約数の相加平均をf(n)とするとき
　√n ≦ f(n) ≦ (n+1)/2
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/11(水) 01:32:06.02 ID:ufQLgWGB.net]: >>283
a_i*b_i=nなるa_i≦b_iの組に分けられる
この時相加相乗より
2√n≦a_i+b_i
全ての正の約数について足し合わせると左側が示される

また約数は全てn以下の為
σ(n)≦Σ[1,n]k=n(n+1)/2
両辺をnで割ると右側が示される
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/12(木) 12:13:13.75 ID:hap8HiPW.net]: ｎで割ったら駄目だろ。
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/12(木) 13:09:52.14 ID:TRnkFGmd.net]: ab=nなるa≦bに対して
2√n≦a+b=a+n/a≦n+1 (1≦a≦√n)
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/12(木) 13:14:32.81 ID:GctU8E8k.net]: 分かるように説明汁
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/13(金) 17:26:47.76 ID:Eko0RVTk.net]: 過去スレで、極限が相加平均や総乗平均になる式があったと思うけど何だっけ？
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/02/26(木) 01:15:12.23 ID:0ypGjSjE.net]: ３月から専ブラ使えなくなるんだっけ？移住先は？
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/15(日) 04:03:06.51 ID:JATPX9sE.net]: a、b、cを実定数、xを実数、f(x) = ax^2 + bx + c とする。
|x|≦1に対して、|f(x)|≦1 ならば |x^2・f(1/x)|≦2 を示せ。 ( ﾟ∀ﾟ)ﾊﾞｹﾗｯﾀ！
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/21(土) 15:11:19.16 ID:/GyhVn2u.net]: 実数x、yが|x|≦1、|y|≦1をみたすとき、

0 ≦ x^2 + y^2 - 2 x^2 y^2 + 2xy \sqrt{ (1-x^2)・(1-y^2) } ≦ 1

ﾊｱﾊｱできそうな解法ありますか？
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/21(土) 17:25:40.45 ID:nm1OvXnw.net]: >>291
x=sinα　y=sinβとおけば0≦{sin(α＋β)}^2≦1}
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/21(土) 21:59:51.63 ID:fODsSTst.net]: 同じようなことですが

x^2+y^2-2x^2 y^2+2xy√{(1-xx)(1-yy)}
={x√(1-yy)+y√(1-xx)}^2
=1-{xy-√((1-xx)(1-yy))}^2
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/21(土) 22:21:13.50 ID:/GyhVn2u.net]: >>293
くやしいな～、その変形は思いつかんな～。（悔しいのに嬉しいぞ！）
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/26(木) 12:00:18.74 ID:xrzRkczx.net]: p>q≧e に対して、log(log p) - log(log q) < (p-q)/e

式の形を見た瞬間にどうやって作ったかが分かってしまうので一捻りしたかったが、思いつかなかった。
誰か一捻りしてﾊｱﾊｱできそうな不等式を作ってくりりん。
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/30(月) 13:01:31.71 ID:jdCsFSZj.net]: 正の数 a、b、c の相加平均A、相乗平均G、調和平均Hに対して、次式を証明せよ。

　　　　(A^3)/(G^3) + (G^3)/(H^3) + 1 ≦ (3/4)・(1 + A/H)^2

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/03/31(火) 12:36:03.23 ID:lmwv+TH5.net]: power mean について、自分は今まで √{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均って言ってたんだけど、
wiki をみたら二乗平均平方根って書いてあるんよな。

手元にある本で調べてみたら、

[1] P.1 では『平均』としか書かれてないし、
[2] P.110 では『r次平均』と書かれているから、２次平均。
[5] P.47 では『t次の累乗平均』で定義されているから、２次の累乗平均。

ネットで適当に検索してみたら、√なしの (a^2 + b^2)/2 を２乗平均とよんでたり、
別のところでは √{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均とよんでたりするけど、

　　　√{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均と呼んじゃダメ？
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/01(水) 19:09:19.64 ID:IHlZ1ink.net]: wiki読んだけど、(算術幾何平均) × (幾何調和平均) ＝ (幾何平均)^2 になるのが理解できなかった。

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87#.E8.AA.BF.E5.92.8C.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.B9.B3.E5.9D.87
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/03(金) 00:47:00.64 ID:utncgUtV.net]: ∫[1/3、2/3] f(x) dx のとき、∫[0,1] {f’(x)}^2 dx ≧27 (∫[0,1] f(x) dx )^2
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/ ]: [ここ壊れてます]
314 名前：14(火) 08:21:42.52 ID:iZ1uB03M.net mailto: かしらかしら　ごぞんじかしらー？

　＼＿●　　　　∠_●＿
　　　／＼|　　　　　　＼し
　　 ▲　　　　　　　　　 ▼
　　 ||　　　　　　　　　　　|
＿＿|_|＿＿＿＿＿＿＿_|＿＿＿
　　　＼＼　　　　　　　　　＼
　　　　＼＼　　　　　　　　　＼ []: [ここ壊れてます]
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/27(月) 06:05:19.17 ID:GQAxhoT5.net]: a, b ∈R
a^4 + b^4 + 2 ≧ 4ab
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/27(月) 07:38:55.94 ID:GQAxhoT5.net]: a, b, cは三角形の3辺の長さ
a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < 12
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 10:47:26.69 ID:Byx6c+81.net]: (sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 11:15:01.53 ID:H6i5w/Zl.net]: >>303
グラフを描いたらたしかに
≦2となりますね。
グラフでは「示す」＝「証明」という条件に
当てはまらないのでしょうね。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 11:21:38.82 ID:Byx6c+81.net]: >>304
グラフでも示したことにはなるだろうけど、できれば計算でお願いします。
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 11:35:18.13 ID:Byx6c+81.net]: 少し改良して、-1 ≦ (sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 12:24:41.10 ID:Byx6c+81.net]: (1 + sin x)(1 + cos x) < 3 を示せ。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 12:59:13.92 ID:Byx6c+81.net]: 少し改良して、(1 + sin x)(1 + cos x) < 3/2 + √2
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 13:01:17.41 ID:Byx6c+81.net]: 訂正、(1 + sin x)(1 + cos x) ≦ 3/2 + √2
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 13:08:42.84 ID:qrisyNh6.net]: >>307-309
s+c=u，sc=v とおいて uv 平面で解釈する
大学入試用の演習問題にちょうどいい
325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/28(火) 13:27:51.32 ID:Byx6c+81.net]: a, b≧0 に対して、(1+a)^4・(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/04/29(水) 08:40:23.14 ID:KdQ2RsbE.net]: a, b, c >0, p=3/4 に対して、a^p + b^p + c^p > (a+b+c)^p
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/02(土) 10:51:02.41 ID:74Ymaoxd.net]: a, b∈R
a・√(1-b^2) + b・√(1-a^2) ≦1
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/03(日) 11:30:06.49 ID:0rB6CaEN.net]: π < √2 + √3 < 7π/6
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/08(金) 06:21:13.84 ID:UVsccB/V.net]: a, b, c, d, p, q >0 のとき、a^p・b^q + c^p・d^q ≦1

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/09(土) 05:36:13.58 ID:2Ji3jztR.net]: -1 < x, y, z < 1 に対して、1/{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)} + 1/{(1+x)^2・(1+y)^2・(1+z)^2} ≧ 2(1-x)(1-y)(1-z)
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/16(土) 09:24:02.99 ID:Vp+m9OwM.net]: 面白スレより
a>0、b>0、c>0、d>0、abcd=1のとき、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/4 を証明せよ
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/18(月) 19:48:30.97 ID:BC+ZL+kX.net]: 0≦x≦1 において f(x)≧0、f は連続
∫[0,1] {f(x)}^3 dx ≧ 4・(∫[0,1] x^2・f(x) dx)・(∫[0,1] x・{f(x)}^2 dx)
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/18(月) 19:51:18.42 ID:BC+ZL+kX.net]: x, y, z >0、x+y+z=3 のとき、(x^4+x^2+1)/(x^2+x+1) + (y^4+y^2+1)/(y^2+y+1) + (z^4+z^2+1)/(z^2+z+1) ≧ 3xyz
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/12(金) 00:35:57.46 ID:J8A12ugu.net]: For a, b, c > 0
(1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca) ≦ (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2) ≦ (1+a+b^2)(1+b+c^2)(1+c+a^2)
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/22(月) 23:35:51.20 ID:nOEejaqo.net]: a, b, c >0 かつ 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = 1 のとき、abc≧8 を示せ。
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/23(火) 23:00:44.46 ID:dLrMTxVf.net]: >>321
abc=t^3かつt<2 として
a=tx/y, b=ty/z, c=tz/y (x,y,z>0)とおける
この時

1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)
=y/(tx+y)+z/(ty+z)+x/(tz+x)
≧(x+y+z)^2/(xx+yy+zz+t(xy+yz+zx))
>(x+y+z)^2/(xx+yy+zz+2(xy+yz+zx)
=1
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/23(火) 23:04:09.75 ID:NnpRVlKy.net]: >>322
c=tz/x では？
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 22:35:11.49 ID:5fmvhM43.net]: 【面白スレ223より】
> 任意の2以上の整数nに対して,
> 不等式　tan(π/(2n))≦2/((n-1)*n^(1/(n-1)))
> が成り立つことを示せ.
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/0 ]: [ここ壊れてます]
340 名前：8/13(木) 02:24:14.32 ID:CvhHkOrq.net mailto: こういう不等式って何かの分野で役に立ってる？ []: [ここ壊れてます]
341 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/16(日) 19:42:02.94 ID:7Zcz05hp.net]: 大学入試問題なんだが
(1)
x[1]+x[2]=1のときx[1]^2+x[2]^2≧1/2を示せ
(2)
x[1]+x[2]+x[3]=1のときx[1]^2+x[2]^2+x[3]^2≧1/3を示せ
(3)
x[1]+x[2]+…+x[n]=1のときx[1]^2+x[2]^2+…+x[n]^2≧1/nを示せ

(3)はコーシーシュワルツで一発なんだが(1)(2)の誘導使って解く方法ないかな
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/16(日) 22:43:29.67 ID:+QPM3wJI.net]: x[1]+x[2]+…+x[k+1]=1 を x[1]/(1-x[k+1])+x[2]/(1-x[k+1])+…+x[k]/(1-x[k+1])=1 として帰納法、でいいんじゃないかな
誘導の意図が帰納法を使えということだとしてだけど
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/10/06(火) 22:51:04.00 ID:1JqVH06W.net]: 槇書店の不等式、復刊しないかな
344 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/06(金) 20:29:53.93 ID:OdHYjEZu.net]: 一応、真面目な代数的不等式論の話です。
Hilbertの第17問題を実閉体を使ってArtinが解決したとき、
Artinは実代数多様体への一般化を考えていた。
でも、実代数多様体はカテゴリー(圏)を形成しないので、うまくいかない。
しかし、半代数的集合を一般化した概念をうまく作ると、
それと正則写像によって圏が形成できて、
その上の線形系の中で代数的不等式錐を考えると、
スキーム論のような、綺麗な理論体系ができるみたい。
長年眠っていた順序体の理論も、実スペクトル(Spec_r)理論でよみがえる。
永田先生の可換体論の順序体(実閉体)の章も、久々に読み返してみたら、
いいことが書いてあった。
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/08(日) 23:15:14.46 ID:Ra6N4a1N.net]: a, b, p, q は実数とする
不等式∫[a→b] sin(x^2+px+q) dx ≦ 4
を示せ
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/18(水) 18:39:42.97 ID:Qfx2C9OA.net]: >>329
実閉体の話はTarskiあたりを参考に書いたのでしょうかねぇ。
教科書に出典が書いてなくて。
347 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 16:46:32.16 ID:C6eyGVmW.net]: > 327
そのうち、プレプリを書いて公開します。
一番参考になりそうな文献は
J. Bochnak, M.Coste, M-F.Roy, Real Algebraic Geometry
もちろん、そこには書いてないけど。
348 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 21:24:31.12 ID:Bfc3KxAd.net]: ちょっとわかりにくいことを書いたので、初心者向けに例題で説明します。
[例題] 6次斉次巡回多項式
f = (x^6+y^6+z^6) + a_1(x^5y + y^5z + z^5x) + ... + a_9 x^2y^2z^2
を考える。
任意の実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための必要十分条件を
a_1,...,a_9 の式で表せ。
[考え方]
Hilbertが証明したように、そういう f は多項式の2乗の和に表せるとは限らない。
SOS methodより、そういう f 全体のなす半代数的凸錐の実代数幾何的特徴を
攻めたほうが早い。
この場合、その凸錐のザリスキー閉包は既約な代数多様体になる。
ただし、4次の場合ですら複雑だったから、6次はもっと複雑だと予想できる。
そこで、まず、代数多様体としての特徴を考察してみましょう、
とかいうのが応用例。
349 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 23:58:39.71 ID:4H5ydjqy.net]: 自分のマイナンバー入りのTシャツを着るさゆふらっとまうんど（平塚正幸）
マイナンバー通知カード拒否が全国規模で
350 名前：起こっていますhttps://m.youtube.com/watch?v=f-zmXEqYyVA マイナンバー通知カードの受け取りを拒否しようhttps://www.youtube.com/watch?v=xSt6jiOKh_I []: [ここ壊れてます]
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/30(月) 01:52:51.35 ID:5m9vQyAq.net]: A ：算術平均
G ：幾何平均
H ：調和平均
(A/G)^3 + (G/H)^3 + 1 ≦ (3/4)*(1 + A/H)^2

(1) この不等式の証明はどうやるんでしょうか？
(2) この不等式には名前がついていますか？
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/02(水) 09:06:16.61 ID:eDabyYFA.net]: 重みつき相加平均・相乗平均の関係の積分形って、どっかに載ってないかな？
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/02(水) 10:00:00.89 ID:mecfteyP.net]: 凸不等式。
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/05(土) 05:13:34.17 ID:4MS3BH6S.net]: >>337
なるへそ。やっと理解できたぽよ。
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/05(土) 09:00:01.06 ID:0Ltl1TAM.net]: a^(1/3)b^(1/3)c^(1/3)
=exp((1/3)log(a)+(1/3)log(b)+(1/3)log(c)).

exp(∫log(f(x))dx/∫dx)≦∫f(x)dx/∫dx.
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2016/01/03(日) 14:14:05.00 ID:Fb5jbWyQ.net]: 不等式の難問
suseum.jp/gq/question/1596
suseum.jp/gq/question/2080
suseum.jp/gq/question/2353
357 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/05(火) 21:38:48.22 ID:eCguscT5.net]: 以下のWEBからCirtoajeの
Mathematical Inequalities Vol.1-5 (のfraft)
がdownloadできるので、興味のある人はどうぞ。
ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
ついでに、書きかけだけど、よかったらこっちも
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/articles.html の中の[10]
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/05(火) 22:19:00.23 ID:gtddv0gP.net]: >>341
いただきマンモス！
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/06(水) 00:44:30.20 ID:ZuQt8UeX.net]: つまんないことだけど、９行目に愛があふれていたり
360 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 19:26:23.02 ID:QUdG1pIk.net]: すみまんせん

　実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0　を示せ

というのはどうすればいいでしょうか。
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:32:00.51 ID:tLrcJQrP.net]: |x|≧1の時は、x^16≧|x|≧0　なので自明
|x|<1の時は、x^16+x+1≧x^16-|x|+1＞1-|x|≧0
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:54:45.38 ID:5Mf1q4fA.net]: 平方完成しまくれ
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:58:52.85 ID:5Mf1q4fA.net]: 任意の実数 x に対して、次式を示せ。
x^16 + x + 1 > 0
x^16 - x + 1 > 0

４平方和になるよな。
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:14:37.81 ID:s6WpAeq1.net]: >>347
x^16 ± x +1 = (x^8-1/2)^2 + (x^4 -1/2)^2 + (x^2-1/2)^2 + (x±1/2)^2 > 0
ということ？
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:35:01.65 ID:5Mf1q4fA.net]: うむ
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 23:01:27.79 ID:5Mf1q4fA.net]: 平方和で快便スッキリ。
367 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 23:30:11.43 ID:QUdG1pIk.net]: 平方和だなんて
なんでこんな変態的な解法がそんなに簡単に思い浮かぶのですかあ
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 01:03:11.57 ID:9Z0nBfTG.net]: なんか見たことのある問題と流れだと思ったら
> 高校数学の質問スレPART362
> uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1386957770/511-
だった
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 02:10:57.44 ID:Mkv80jBo.net]: >>351
そりゃ不等式ヲタはド変態（←褒め言葉）だからな。
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 12:04:31.42 ID:/ERKXySg.net]: マジレスすると、代数的不等式の常套手段だからとりあえず平方完成を試みただけだと思う
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:02:20.94 ID:Mkv80jBo.net]: >>354
きみは実に面白くない人だな。
普段から言わなくてもいい一言で場を凍りつかせていないか？
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:20:20.82 ID:/ERKXySg.net]: いや、ちょっと気持ち悪いノリが続いたからさ
単発で留めておけば気にならなかったのに
373 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/09(土) 14:21:37.85 ID:ytPTCyVz.net]: ここって昔からキモさ全開じゃん
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 15:15:42.49 ID:Mkv80jBo.net]: >>356
だからお前はダメなんだよ。
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 18:47:00.28 ID:A1LDyDSu.net]: 俺も>>348は変態的ではないと思うな。
>>348レベルで変態的と思うようでは、不等式ヲタとしては勉強不足だと折れは思うわ。
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 20:39:57.18 ID:WmgiiubX.net]: 得るもののない書き込みしかできない者は黙ってROMれ。
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 21:19:02.37 ID:XpQFwryn.net]: あ、気持ち悪いノリの人だ
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/21(木) 09:29:40.74 ID:7y0jK6dG.net]: 球面上の鋭角三角形ABCについて、
tanAtanBtanC>3√3
が成立することを示せ
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/02/18(木) 20:11:00.29 ID:1twGteVq.net]: a、b、c を正の実数とする。
a^3・b^6 + b^3・c^6 + c^3・a^6 + 3・a^3・b^3・c^3 ≧ abc・(a^3・b^3 + b^3・c^3 + c^3・a^3) + a^2・b^2・c^2・(a^3 + b^3 + c^3)
380 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/14(月) 20:18:24.48 ID:rpo94kst.net]: 大学への数学の3月号宿題ですがお知恵を貸して下さい
特に高校範囲の回答が未だ出てません
高校範囲外の回答も大歓迎です！

---------------------------------------------------------------------------------
（z1，z2，．．．，zn)∈C^n，
（z1，z2，．．．，zn)≠（0，0，．．．，0)，
F＝（|z1－z2|^2＋．．．＋|z(n-1)－zn|^2＋|zｎ－z1|^2）/（|z1|^2＋|z2|^2＋．．．＋|zn|＾2）

とする

(1) m＝1，．．．，n-1 の各場合のおいて

zk＝cos(2ｋmπ/n) ＋i sin(2ｋmπ/n) (1≦k≦n)

のとき F の値を求めよ

(2)さらに z1＋z2＋．．．＋zn＝0 をみたすとき F の最大値と最小値を求めよ
--------------------------------------------------------------------------------
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:22:55.03 ID:rpo94kst.net]: 参考スレッド

大学受験_ｓｃ
★【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題23
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:29:13.54 ID:rpo94kst.net]: 連投済みません
〆切は過ぎてます！
383 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/17(木) 12:40:29.21 ID:rjgplTGC.net]: >>344 実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0　を示せ

任意の実数xと任意の自然数nに対して、x^2n + x + 1 ＞ 0 　を示せ

ここまで一般化できるよね　それだけ
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/17(木) 14:45:14.27 ID:D3bv7jdQ.net]: x^2n + x^m + 1 ＞ 0 (0≦m≦2n)
385 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/21(月) 23:28:07.28 ID:1HYPEF6D.net]: a,b,c,d≧0
a≦1, a+b≦5, a+b+c≦14, a+b+c+d≦30
のとき
　sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)≦10
を示せ。
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 05:14:47.27 ID:cBAcmLOd.net]: a + 4*(b/4) + 9*(c/9) + 16*(d/16) ≦ 30 に、
f(x)=√xとして、凸不等式　(1/n)Σ[f(x_i)]　≦　f((Σx_i)/n)　を用いると
(1/30)*{√a + 4*√(b/4) + 9*√(c/9) + 16*√(d/16)} ≦ √[{a+4*(b/4)+9*(c/9)+16*(d/16)}/30]≦1
整理すると　
a + 2√b + 3√c + 4√d ≦ 30　　・・・(１)
を得る。同様に、
a + 2√b + 3√c ≦ 14　　・・・（２）
a + 2√b + ≦ 5　　・・・（３）
a ≦ 1　　・・・（４）
{(1)*3 + (2) + (3)*2 + (4)*6}/12　を計算すると目的の式を得る
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 09:18:52.47 ID:K+BJtY2J.net]: その閃き方を教えてほしい
388 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/23(水) 14:46:27.16 ID:pTWUy74g.net]: 狂気すら感じる思考回路だわｗ
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 01:36:53.07 ID:qfgEsb+P.net]: イェンセンの不等式
390 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 07:45:57.15 ID:rx ]: [ここ壊れてます]
391 名前：JME1YD.net mailto: x,y,a,bが非負のとき　sqrt((x+a)(y+b)) ≧ sqrt(xy) + sqrt(ab)

両辺を平方して同値変形してもすぐに示せるのですが
コーシーとかイエンセンとかでもっと華麗に示す方法はないでしょうか。 []: [ここ壊れてます]
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 11:43:02.90 ID:QnvnOXRV.net]: BF恒等式
(A^2+B^2)(X^2+Y^2)=(AX+BY)^2+(AY-BX)^2
BとXを入れ替えて
(A^2+X^2)(B^2+Y^2)=(AB+XY)^2+(AY-BX)^2
A^2→a　(a≧0)　等と置き換えると
(a+x)(b+y)=(√(ab)+√(xy))^2+(√(ay)-√(bx))^2
(a+x)(b+y)≧(√(ab)+√(xy))^2
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 16:18:34.64 ID:qfgEsb+P.net]: ベクトル (sqrt(x), sqrt(a)) と (sqrt(y), sqrt(b)) についてコーシーの不等式そのまんまやん
394 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 22:43:49.57 ID:rxJME1YD.net]: そういわれてみるとそうでした
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 15:03:27.51 ID:bQ4Xmm9E.net]: >>370 はすごいね。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 16:33:04.50 ID:TEEe/a1o.net]: >>370
なんだ、ただの神か
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/26(土) 14:57:09.19 ID:iiYdiq+K.net]: >>375
あえてBF恒等式と書くところに…、いやなんでもない
398 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/04(月) 17:33:43.64 ID:GEiBx8Vr.net]: x≧0において √(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4)
399 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/05(火) 23:04:02.63 ID:nBcOqMq6.net]: 正の数a,b,c及び0≦x≦y≦zが
　a≦x かつ a+b≦x+y かつ a+b+c≦x+y+z
を満たすとき
　√a +√b +√c ≦ √x +√y +√z
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 07:32:06.00 ID:TK/STlbk.net]: 検索しても２種類の数列の場合しか出てきませんが、並べ替え不等式は、一般化できますか？
401 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/06(水) 09:58:56.15 ID:y4gN4ddP.net]: >>383
izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 19:18:37.82 ID:TK/STlbk.net]: >>384
ありがとうございます。ですがサッパリです。
403 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/07(木) 11:57:36.82 ID:MmBSjqX/.net]: >>385
384ページに書いてあるでしょ
君の言うとおり２種類の数列以外の場合に一般化できるってこと
各数列を降順（昇順）ソートして対応する要素をかけて足した方が大きい（小さい）
＝の可能性もあるけど
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 06:40:00.72 ID:fwk06iXt.net]: >>381
√(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4) において x→12x^2と置き換えると
√(4+12x^2)+√(4+36x^2) ≧ √(1+12x^2) + √(9+36x^2) となる。この式を証明することにする。
なお、x=0の時成立するのは明白なので、以後、x>0とする。

O(0,0) , A(2,(2√3)x) , B(1,(2√3)x) , P(4,(6+2√3)x) とするとこの式は
OA + AP ≧ OB + BP　

三角形OAPの面積は、△OAP=(1/2)*|2*(6+2√3)-4*(2√3)|x=2√3(√3-1)x
三角形OBPの面積は、△OBP=(1/2)*|1*(6+2√3)-4*(2√3)|x=3(√3-1)x

OP=√(16+(48+24√3)x^2)　に注意して　|OA-AP|/OP　および　|OB-BP|/OP　を評価すると
0　≦|OA-AP|/OP <　2-√3　、2-√3　<　 |OB-BP|/OP　≦　1/2　

ところで、辺長が2a,2b,2cの三角形の面積をSとすると、S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)　なので
(a+b)^2 = c^2 +S^2*r/c^2 　,ただしr=1/(1-((a-b)/c)^2)　という関係がある。

三角形OAPにおいて、OA=a、AP=b、OP=c　として、上の関係式を使うと
(OA+AP)^2 = OP^2 + (△OAP/OP)^2 * r_a
r_a=1/(1-(|OA-AP|/OP)^2)　≧1　なので
(OA+AP)^2　≧　OP^2 + (2√3(√3-1)x)^2/OP^2 *1 = OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2

同様に三角形OBPにおいて、OB=a、BP=b、OP=c　とすると
(OB+BP)^2 = OP^2 + (△OBP/OP)^2 * r_b
r_b=1/(1-(|OB-BP|/OP)^2)　≦4
405 名前：/3　なので (∵ |OB-BP|/OP　≦　1/2) (OB+BP)^2　≦　OP^2 + (3(√3-1)x)^2/OP^2 * (4/3)= OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2 最右辺が一致しているので　(OA+AP)^2 ≧ OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2　≧(OB+BP)^2 　が示され、目的の式が得られる []: [ここ壊れてます]
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 19:14:29.46 ID:+SeuPjzS.net]: Logarithmic mean や Identric mean について詳しい本ないですか？
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/09(土) 17:50:00.74 ID:rCyPdl4U.net]: >>387
工夫はいいがさすがにこれはスマートじゃないでしょう
単に2乗して考える方が
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/10(日) 20:10:47.39 ID:h45MNnYS.net]: >>388
> Identric mean

対応する日本語あるのん？
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/15(金) 14:22:58.26 ID:NGXVqzKa.net]: 実数 a, b, c に対して、2(a^4 + b^4 + c^4) + (71+17√17)/2 ≧ 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2
410 名前：prime132 [2016/04/20(水) 21:59:27.66 ID:cUe+Ipvo.net]: >>271
ファラデー（電磁誘導の研究で）
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 10:17:03.84 ID:/+LZXjJ0.net]: >>271
貴婦人は不等式ヲタをしげしげと眺め
「あなた、生まれたばかりの赤ん坊の時代から随分年をとったけど
いまだに誰の役にもたってないじゃん」
といったので
「うっせーババア」
と言うしかなかったという。
412 名前：prime132 [2016/04/21(木) 16:26:16.73 ID:iheZo7AQ.net]: >>344 >>347
相加-相乗平均
x^16－16(a^15)x＋15(a^16)＝(x^8-a^8)^2＋2(a^8)(x^4-a^4)^2＋4(a^12)(xx-aa)^2＋8(a^14)(x-a)^2,
で、16(a^15)＝－１とおくと
a＝－0.8312379
x^16＋x＋1≧1＋(15/16)a＝0.220714
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 16:54:58.77 ID:QoWZFuzY.net]: >>393

　＿|＿　＼.　　　　　　｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿_＼＼
　　_|＿.　　　　　　　｀ヽ､｀　　ヽ､　　　　　　　　　　　　　　　　　　／
／　|　　ヽ　　　　　　　　｀ヽ､｀ヽ､ ∧∧　　　　　　　　　　　　　　（
＼ノ　　ノ　　　　　　　　　　　｀ヽ､ (　　). 　　　　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　｀ヽ､/ 三つ
　　　　　　　　　　　　　ﾊ,,ﾊ　／// ｀ヽ､
　　　　　　　　　　　　　(ﾟωﾟ)／｀ヽ､　　| |　←貴婦人
　　　　　　　　　　　,..‐''"ii　"　 ./　|　｀ヽ､｀ヽ｀ヽ､
　lヽ│/　／　　　　| ┝ ||-┨/　　|　｀ヽ､｀ヽ　　｀ヽ､
　!ｰ┼‐　|‐┬　　 / ∧ ||　　 |　　｀ヽ､∪ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､　　　　＿＿|＿
　|./│ヽ l　 |　　　ヽ,''i|口=彡'i　　 | ｜|｀ヽ､　　｀ヽ､｀ヽ､　　　　　＿|
.└── .ｌ　|　　　　ヽ' ||　　　'i　　｀ヽ､|｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､　　　　　　　（＿|
　　　　　　　　　　　　|ノ||　　　'i　　|｀ヽ､　　｀ヽ､　　　　　　　　　　　ノ
　　　　　　　　　　　　|　||　　｀ヽ｀ヽ|｀ヽ|｀ヽ､
　　　　　　　　　　　　'i　|| 　｀ヽ|,　∪∪
　　　　　　　　　　　　 'i￣|i｀`'''‐｀ヽ､
　l　　　|　　　　　　　'i　 | 'i｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､　　　　　　　 ┏┓┏┓
　レ　　|　　　　　　　|_._|　'i_ 'i_｀ヽ､｀ヽ､　　｀ヽ､｀ヽ､　　　　　┃┃┃┃
　　　 l 　　　　　　／__,.|　 |￣＼　｀ヽ､｀ヽ､｀.ヽ､　　　　　　　 ┗┛┗┛
　　　_ノ.　　　　　　　￣　　　￣￣　　　　　　　　　　　　　 ┏┓┏┓
414 名前：prime132 [2016/04/21(木) 18:26:19.65 ID:iheZo7AQ.net]: >>391
等号成立は
a=(3+√17)/2,
b=c=±√{(19+5√17)/2},
abc=(71+17√17)/2,
のとき。
415 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:05:20.42 ID:iheZo7AQ.net]: >>369
コーシーで
（√a＋√b＋√c＋√d)^2≦(1+2+3+4){a+(b/2)+(c/3)+(d/4)},
＝10･{(1-1/2)a＋(1/2-1/3)(a+b)＋(1/3-1/4)(a+b+c)＋(1/4)(a+b+c+d)}
≦100.
ぐらいしか思いつかぬ…
416 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:35:06.66 ID:iheZo7AQ.net]: >>367
相加-相乗平均
x^(2n)－2n･a^(2n-1)x＋(2n-1)a^(2n)＝{x^(2n-2)＋2a･x^(2n-3)＋…＋(2n-2)a^(2n-3)x＋(2n-1)a^(2n-2)}(x-a)^2,
で、2n･a^(2n-1)＝－１とおく。
a＝－(1/2n)^[1/(2n-1)],
x^(2n)＋x＋1≧1－{(2n-1)/2n}|a|.

だよね。ただそれだけ
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 22: ]: [ここ壊れてます]
418 名前：01:56.86 ID:QoWZFuzY.net mailto: >>396
どうやるのん？ []: [ここ壊れてます]
419 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 23:10:05.41 ID:iheZo7AQ.net]: >>381 >>389
では単に2乗して考える。
{(右辺)^2－(左辺)^2}/2＝√{(x+4)(3x+4)}－√{(x+1)(3x+9)}－１
＝(4x+7)／[√{(x+4)(3x+4)}＋√{(x+1)(3x+9)}]　－１
≧(4x+7)／[(2x+4)＋(2x+3)]　－１
＝0,
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 00:07:49.91 ID:qfYR5MNf.net]: >>397
ぐぬぬ…。なかなか思いつかんなあ。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 04:24:48.44 ID:in8T91Zq.net]: >>391
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= (a^2+2a-bc)^2 + 2(b^2-c^2)^2 - a^2(b-c)^2 + a^4 - 4a^3 - 4a^2
fはbとcの入れ替えに対し不変なので、b=c上で極値を持つ
従って、g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2　の最小値が、fの最小値になる
(最小値を取るときのaの値を用いて、b=c=±√(a^2+2a)の時)
g'(a) = 4a^3-12a^2-8a = 4a(a^2-3a-2) 等から、最小値を取るときのaは a=(3+√17)/2
g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 = （a^2-3a-2)(a^2-a-5) -17a-10
g((3+√17)/2) = -17 * (3+√17)/2 -10 = (-71-17√17)/2
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 10:07:06.42 ID:KRm4h22p.net]: 絶対値が1未満の任意の複素数α,β,γに対して、以下が成立するための正の実数λの最小値を求めよ。
・α+β+γ=0ならば、|αβ+βγ+γα|^2+|αβγ|^3<λが成立する
423 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/22(金) 18:28:52.31 ID:RdqVAiN1.net]: >>402

f＝g(a)＋{(aa+2a)－(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).

等号成立は b=c=±√(aa+2a) のとき。
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 00:58:07.85 ID:lKzrVXQh.net]: >>404
f_(b=1,c=0)= 2 a^4 -a^2 +2 = f_10(a) とすると、
f_10(-2)=2*16-4+2=30
g(-2)=16-4*(-8)-4*4=32
f≧g　が常に成り立つわけではない。
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:32:00.59 ID:iIo4nVsk.net]: rは実数、a>1、f(r) = [ (a^(r+1)-1) / { (r+1)(a-1) } ]^(1/r) が単調増加することを証明するにはどうすればいいですか？
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:46:12.96 ID:iIo4nVsk.net]: >>404
> f＝g(a)＋{(aa+2a)－(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).

a<0 のとき 2a(b-c)^2 < 0 だから、上の不等式は常には成り立たんよな。
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 09:21:29.81 ID:lKzrVXQh.net]: >>407
a<0の時、2a(b-c)^2 ≦0となるのは、一目瞭然。
しかし、他の項との兼ね合いで、全体で結果的には不等式が成立する　という可能性は残されていて、
それを否定するために、具体例を挙げた。
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 11:00:53.07 ID:iIo4nVsk.net]: >>408
なるほど。
429 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:09:51.16 ID:5r1UlAr6.net]: >>405 >>407-409

2|a|(bb+cc)－4abc＝(|a|+a)(b-c)^2＋(|a|-a)(b+c)^2≧0,

f＝g(|a|)＋{(aa+2|a|)－(bb+cc)/2}^2＋2|a|(bb+cc)－4abc＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(|a|)
430 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:20:18.97 ID:5r1UlAr6.net]: >>405 >>407-409

2|a|(bb+cc)－4abc≧4(|abc|-abc)≧0,

g(a)＋(71+17√17)/2＝{[a＋(-1+√17)/2]^2＋√17－1}{a－(3+√17)/2}^2≧0,

等号成立は a＝(3+√17)/2.
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 19:03:41.02 ID:lKzrVXQh.net]: なるほど、aの符号に注目するのなら、
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
≧ 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4|abc| + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= 2(|a|^4 + |b|^4 + |c|^4) - ( 4|a|*|b|*|c| + |a|^2*|b|^2 + |c|^2*|a|^2 + 3|b|^2*|c|^2 )
となるので、fの最小値を調べるときは、a,b,c　が非負の範囲だけを調べれば十分
として、>>404へ至るのもありですね
432 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 19:45:23.68 ID:5r1UlAr6.net]: >>363
abb=x、bcc=y、caa=zとおくと、
(左辺)－(右辺)＝(x^3+y^3+z^3)＋3xyz－(zxx+xyy+yzz)－(zzx+xxy+yyz)
＝x(x-y)(x-z)＋y(y-z)(y-x)＋z(z-x)(z-y)
＝F_1(x y z)
≧0.　　(Schur)
433 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 18:45:52.58 ID:qRA+Gwsm.net]: >>295
434 名前： f(x)＝log(x)/xはx>eで単調減少。 log(p)/p＜log(q)/q≦1/e, ∴log{log(p)}－log{log(q)}＜log(p)-log(q)＜(p-q)log(q)/q≦(p-q)/e. []: [ここ壊れてます]
435 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 19:50:25.33 ID:qRA+Gwsm.net]: >>301
　a^4＋b^4＋c^4＋d^4－4|abcd|＝{(aa-bb)^2＋(aa-cc)^2＋(aa-dd)^2＋(bb-cc)^2＋(bb-dd)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2＋2(|ac|-|bd|)^2＋2(|ad|-|bc|)^2}/3≧0,

>>303 >>306
　|sin(x)^5|≦sin(x)^4≦sin(x)^2、|cos(x)^5|≦cos(x)^2.

>>309
{1+sin(x)}{1+cos(x)}＝１＋{sin(x)+cos(x)}＋sin(x)cos(x)
＝１＋(√2)C＋(CC－1/2)
＝(C＋1/√2)^2,
ここに C＝cos(x-π/4).

>>311
　(1+a)(1+b)＝(1+ab)＋(a+b)
　{(1+a)(1+b)}^2≧4(1+ab)(a+b)
　{(1+a)(1+b)}^4≧16(4ab)(a+b)^2

>>312
(左辺)＝a/a^(1-p)＋b/b^(1-p)＋c/c^(1-p)
≧a/(a+b+c)^(1-p)＋b/(a+b+c)^(1-p)＋c/(a+b+c)^(1-p)
＝(a+b+c)/(a+b+c)^(1-p)
＝(右辺).
436 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 20:06:11.29 ID:qRA+Gwsm.net]: >>313
左辺を2乗して >>291-294 を参照.

>>316 改
1/{(1+xx)(1+yy)(1+zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧{(1-xx)(1-yy)(1-zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧2(1-x)(1-y)(1-z)　　　　(相加-相乗平均)

>>318
0≦{f(x)･y＋x･f(y)}{f(x)･y－x･f(y)}^2
＝f(x)^3･y^3－xf(x)^2･yyf(y)－xxf(x)･yf(y)^2＋x^3･f(y)^3,
これを 0<x<1、0<y<1 で積分する。

>>319
x+y+z＝sとして
左辺＝(xx-x+1)＋(yy-y+1)＋(zz-z+1)
＝{ss＋(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/3－s＋3
≧ss/3－s＋3
＝sss/9＋(1＋ss/9)(3-s)
≧sss/9
≧3xyz.

>>320
中辺－左辺＝(ss-3t)＋(aab+bbc+cca-3abc)＋(tt-3su)≧0
右辺－中辺＝(aaa+bbb+ccc-abb-bcc-caa)＋(aaab+bbbc+ccca-abcs)＋(aabbb+bbccc+ccaaa-abct)≧0

>>321
1/(a+1)=A、1/(b+1)=B、1/(c+1)=Cとおくと A+B+C=1,
abc＝(1-A)/A･(1-B)/B･(1-C)/C
＝(B+C)/A･(C+A)/B･(A+B)/C≧8
　佐藤(訳)、例1.7.1
437 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 21:16:30.41 ID:qRA+Gwsm.net]: >>301
a^4＋b^4＋c^4＋d^4－4|abcd|＝(aa-bb)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2≧0
で十分だ....
438 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 23:41:46.77 ID:qRA+Gwsm.net]: >>317
これはムズイが、未定乗数を使わないでやるなら、

√(ab)＝g≦c+d として{a,b,c,d}と{g,g,c,d}を比べる。
1/a＋1/b＋9/(a+b+c+d)－2/g－9/(2g+c+d)＝{1/ab－9/[(a+b+c+d)(2g+c+d)]}(√a－√b)^2≧{1/gg－9/(2g＋c+d)^2}(√a－√b)^2≧0。{←(2g+c+d)≧3g}
∴{g,g,c,d}の方が左辺は小さい。
∴左辺が最小のときは、小さい方の３つは等しいはず。
｛a、a、a、1/a^3｝のとき、
{左辺－25/4}a(3a^4＋1)＝3a^8－(75/4)a^5＋19a^4－(25/4)a＋3
＝g(a)(1-a)^2≧0,
ここに、g(a)＝3a^6＋6a^5＋9a^4－(27/4)a^3－(7/2)a^2－(1/4)a＋3,
極小値：g(0.567317)=1.88411147556
とでもするか、う～む。

[35] CGMO-2011 問4
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 00:02:11.91 ID:V9CJZU3J.net]: なんだ、不等式神が光臨してたのか
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 02:17:12.36 ID:1zw10KMQ.net]: >>317
1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d)
= 4*1/(4a) + 4*1/(4b) + 4*1/(4c) + 4*1/(4d) + 9*1/(a+b+c+d)
≧25*1/{{(4*4a+4*4b+4*4c+4*4d+9*(a+b+c+d)}/25}=25/(a+b+c+d)
≧25/(4*[4]√(abcd))=25/4
第一の不等式は、1/xの凸不等式、第二の不等式は相加相乗平均の関係
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 03:16:03.56 ID:1zw10KMQ.net]: >>420　不等号の向き、逆でした。間違いました。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/2 ]: [ここ壊れてます]
443 名前：5(月) 18:02:36.24 ID:V9CJZU3J.net mailto: 対数平均を一般化したものを２つ。
(1)　r(b^{r+1} - a^{r+1}) / {(r+1)(b^r - a^r)}、r≠0,-1 が単調増加することを示せ。
(2)　[(b^{r+1} - a^{r+1}) / {(r+1)(b-a)}]^{1/r}、r≠0,-1 が単調増加することを示せ。 []: [ここ壊れてます]
444 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:38:27.89 ID:9bCodAUH.net]: >>290
|f(0)|＝|c|≦1,

|f(-1)|＝|a-b+c|≦1より
　-1≦a-b+c≦1,
|f(1)|＝|a+b+c|≦1より
　-1≦a+b+c≦1

∴　|a+c|＋|b|≦1,

また、|a|≦|a+c|+|c|≦2,

|xxf(1/x)|＝|a+bx+cxx|＝…
445 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:45:19.89 ID:9bCodAUH.net]: 0<p≦x_i≦qとし、｛x_1、x_2、……、x_n｝の相加平均をA、調和平均をHとすると

　1≦A/H≦1＋(1/4pq)(q-p)^2,
446 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:55:19.98 ID:9bCodAUH.net]: 【Johnstonの不等式】
0<p≦x_i≦qとし、｛x_1、x_2、……、x_n｝の相加平均をA、相乗平均をGとすると

A≧G≧{p^(q-A)･q^(A-p)}^[1/(q-p)],

(略証)
y=log(x)は上に凸だから、
　log(x_i)≧{(q-x_i)log(p)＋(x_i-p)log(q)}/(q-p)
i=1～nでたしてnで割ると、
　log((1/n)Σx)≦(1/n)log(Πx)≧{(q-A)log(p)＋(A-p)log(q)}/(q-p),
447 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/26(火) 23:08:45.36 ID:XSjTtKsA.net]: >>418
g(a)＝3(x-0.567317455622392)^2･{(x+1.18748893643)^2＋2.74219081934}{(x+0.37982851920)^2＋0.134057954257}＋1.8841114755587
≧1.8841114755587
448 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/26(火) 23:53:39.43 ID:XSjTtKsA.net]: >>418
a≧0に限定すれば
g(a)＝3a^6＋6a^5＋(27/16)(3a^4－4a^3＋1)＋(63/16)(aa－1/2)^2＋(3/16)a^2＋(1/4)(a－1/2)^2＋17/64
＞17/64,
449 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/27(水) 22:15:30.43 ID:iO9YGMzp.net]: >>418
a～1/√3 の辺りに極小があるので…

g(a)＝3(a-1/√3)^2･{aa(a+1+1/√3)^2＋(2/3)(4+√3)(a－a1)^2＋c}＋[(7√3-11)/3]a＋11(1+√3)/18
≧3c(a-1/√3)^2＋[(7√3-11)/3]a＋11(1+√3)/18
＝3c(a－a2)^2＋d
≧d.
　
a1＝－(361√3-300)/624＝－0.521266573
a2＝(9883-4788√3)/(3108+731√3)＝0.363487378
c＝(3108+731√3)/4992＝0.8762277925
d＝(40898191√3－63973937)/3718422＝1.845892626
450 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/27(水) 23:35:27.38 ID:iO9YGMzp.net]: >>194
相加-相乗平均で(n-1)a^n＋b^n≧na^(n-1)･b,
∴(a^n)/b≧{n･a^(n-1)－b^(n-1)}/(n-1),

>>214-217
Lagrangeさんもびっくり！ですね。

>>283
dがnの約数ならn/dも約数で（d、n/d）のペアになっている。（√n以外は）
f(n)＝√n ぢゃね？

>>314
右側は >>155-156
451 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 17:41:13.28 ID:+XWwkT1H.net]: >>214
(ad-bc)^2＋(ac+bd)^2＝(aa+bb)(cc+dd),
もよく使うよ。

>>268
6cos(A)＋3cos(B)＋2cos(C)
＝4cos(A)＋cos(B)＋2{cos(A)+cos(B)+cos(C)}
＝4cos(A)＋cos(B)＋2＋8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)　(←補題)
≦4cos(A)＋cos(B)＋2＋8{sin(A/2)}^2＋2{sin(B/2)}^2
＝4cos(A)＋cos(B)＋2＋4{1－cos(A)}＋{1－cos(B)}
＝7.

>>283
間違いますた...

>>314
左側は >>155-156
452 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 17:52:13.57 ID:+XWwkT1H.net]: >>268
【補題】
A+B+C=πのとき、
cos(A)＋cos(B)＋cos(C)＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

(略証)
A/2=α、B/2=β、C/2=γとおくと、cos(α+β)－sinγ＝0,
(左辺)－(右辺)＝cos(2α)＋cos(2β)＋cos(2γ)－1－4sinα･sinβ･sinγ
＝2cos(α+β)cos(α-β)－2(sinγ)^2－4sinα･sinβ･sinγ
＝2{cos(α+β)－sinγ}{cos(α-β)＋sinγ}
＝0.
453 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 19:48:40.92 ID:+XWwkT1H.net]: >>324
n=2、3
454 名前：については等号成立。 y=tan(x)は下に凸だから、n≧4のとき tan(π/2n)≦(4/n)tan(π/8) ＝4(√2－1)/n ＜1.671811536/n ≦2/{(n-1)･n^[1/(n-1)]}, []: [ここ壊れてます]
455 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/29(金) 19:32:34.67 ID:aknhMslS.net]: 〔第17問題の多項式版〕
ｆは実係数、n変数、d次斉次の多項式（n≧2、d≧2）でかつ半正値とする。
ｆが次のいずれかである場合は、ｆは何個かの多項式の2乗の和として表わせる。(Hilbert)
・2変数
・2次式
・3変数かつ4次式
ここで半正値とは、
任意の実数x1,x2,……,xnに対して、ｆ(x1,x2,……,xn)≧0.

>>255-260
456 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/29(金) 19:44:38.17 ID:aknhMslS.net]: >>433
・2次式の場合は、線型代数学の教科書を参照。

//www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-%E4%BD%90%E6%AD%A6-%E4%B8%80%E9%83%8E/dp/4785313161
//www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1301-2.htm
457 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/30(土) 22:57:13.70 ID:F01tFwBb.net]: >>330
x+p/2＝X，a+p/2＝a'，b+p/2＝b'，q-pp/4＝q' とおくと、
∫[a～b] sin(xx+px+q)dx＝∫[a'～b'] sin(XX+q')dX
＝sin(q')∫[a'～b'] cos(XX)dX＋cos(q')∫[a'～b'] sin(XX)dX
＝sin(q'){C(b')－C(a')}＋cos(q'){S(b')－S(a')}.
ここに
C(x)＝∫[0～x] cos(tt)dt、S(x)＝∫[0～x] sin(tt)dt
（フレネル積分と云うらしい。）
ここで次を使う。
|sin(q')|≦1,
|cos(q')|≦1,
|C(x)|≦|C(√(π/2))|＝0.977451424291
|S(x)|≦|C(√π)|＝0.894831469484

ぬるぽ
458 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/01(日) 18:05:44.62 ID:6BDe1+0Z.net]: 続き
＝sin(q')･⊿C＋cos(q')･⊿S
＝sin(q'+α)√[|⊿C|^2＋|⊿S|^2}
≦√[|⊿C|^2＋|⊿S|^2]
≦2√[max{C(x)^2＋S(x)^2}]
＝2√[0.889016^2＋0.790241^2]
＝2.37893
(等号はa'=b'=1.51573)
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/02(月) 14:49:32.33 ID:GTe7iXRO.net]: x≧0、y≧0、x^2+y^2=1 のとき、xy/(x+y) ≦ 1/(2√2) をエレガントに証明できないかな？
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/02(月) 15:43:19.01 ID:1rRq/2Tf.net]: >>437
(xx+yy)(1/x+1/y)^2≧(1+1)^3
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/02(月) 16:32:27.74 ID:GTe7iXRO.net]: Cauchyの拡張ですか、すごいな！
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/02(月) 18:47:38.37 ID:GTe7iXRO.net]: では、x≧0、y≧0、x^2+y^2=1 のとき、3/32 ≦ x^{10} +(xy)^5 + y^{10} ≦1 もエレガントに証明できたりしますか？ﾜｸﾜｸ…
463 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/02(月) 23:23:04.09 ID:YMu89qmg.net]: >>440
左は
x^5＋y^5＝xx･x^3＋yy･y^3≦(xx+yy)･(xx+yy)^(3/2)＝(xx+yy)^(5/2),
x^10＋(xy)^5＋y^10≦(x^5＋y^5)^2≦(xx+yy)^5,
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 01:05:52.50 ID:uimsCZ8A.net]: >>440
f(p)=((x^p+y^p)/2)^(1/p) は単調増加
f(10)≧f(2), f(5)≧f(2)
より
x^10+(xy)^5+y^10=(x^10+y^10)/2+(x^5+y^5)^2/2≧1/32+1/16=3/32
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 01:11:15.50 ID:JxMIUNyU.net]: おまえら神かよ！
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 01:12:20.17 ID:JxMIUNyU.net]: Power mean まで出てきたか。
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 03:27 ]: [ここ壊れてます]
468 名前：:39.65 ID:JxMIUNyU.net mailto: 検索中に exponencial mean というものを見つけたけど、使い道とか、AM,GMとの大小比較とかできるのだろうか？ []: [ここ壊れてます]
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 15:48:32.19 ID:JxMIUNyU.net]: a、b、c >0 のとき、5/3 < (b+3a)/(a+3b) + (c+3b)/(b+3c) + (a+3c)/(c+3a) < 7 を証明せよ。

エレガントな方法ありますか？
対称式じゃなくて巡回式だから、a≦b≦c、a≦c≦b のときで、上限下限が変わるよね？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
470 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/03(火) 17:19:20.71 ID:+kp+oyUm.net]: >>442
【補題】
f(p)＝{(x^p+y^p)/2}^(1/p),
g(p)＝(1/2)(x^p+y^p)^(1/p),
とおくと
p＞q　⇒　f(p)＞f(q)＞…＞f(1)＝g(1)＞…＞g(q)＞g(p)＞…

(略証)
p/q＝rとおく。

f(p)＝{(x^p+y^p)/2}^(1/p)
＝{(X^r+Y^r)/2}^(1/p)　　(←x^q=X, y^q=Y)
＞{[(X+Y)/2]^r}^(1/p)　　(←r>1)
＝[(x^q+y^q)/2]^(1/q)
＝f(q),

2g(p)＝(x^p+y^p)^(1/p)
＝(X^r+Y^r)^(1/p)　　(←x^q=X, y^q=Y)
＝{X･X^(r-1)+Y･Y^(r-1)}^(1/p)
＜{(X+Y)(X+Y)^(r-1)}^(1/p)　　(←r>1)
＝{(X+Y)^r}^(1/p)
＝(x^q+y^q)^(1/q)
＝2g(q),

ぬるぽ
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/03(火) 19:41:13.45 ID:+kp+oyUm.net]: >>446

3≦(b+3a)/(a+3b)＋(c+3b)/(b+3c)＋(a+3c)/(c+3a)＜19/3,

上限は、a≪b≪cのとき11/3、a≪c≪bのとき19/3,
最小値は a=b=cのとき,
の希ガス
472 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/03(火) 20:59:30.42 ID:+kp+oyUm.net]: >>442
【系】
f(p)＝{(x^p+y^p)/2}^(1/p),
とおくと
p＞q　⇒　2^(1/q-1/p)･f(q)＞f(p)＞f(q).
473 名前：１３２人目の素数さん [2016/05/04(水) 01:43:02.13 ID:kV4N/z4c.net]: 意外と深い「平均」の世界
www.slideshare.net/yasuhideminoda/ss-61542316
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/04(水) 02:42:19.93 ID:AtoK4P1C.net]: >>450
月刊誌「大学への数学2014年1月号、東京出版」、P.P.56-59 「いろいろな平均とその不等式」、蓑田恭秀

その記事内で、L_pが単調増加することの証明がどうも理解できなかった。
最初のページに M_p(a,b) = {(a^p+b^p)/2}^(1/p) が単調増加であることを証明してるんだけど、それも？
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/04(水) 02:53:37.23 ID:AtoK4P1C.net]: その記事内の Power mean が単調増加することの証明は以下の通り。

　a、bは正の実数、pは実数で、f(p) = log{(a^p + b^p)/2} とおく。
　f''(p) = {a^p b^p (log b -log a)^2} / (a^p+b^p)^2 > 0 より、f(p)は下に凸。

ここまでは分かる。

　y=f(p)のグラフ上の２点(0,0)と(p,f(p))を結ぶ線分の傾き f(p)/p (= log M_p)は、
⇒　p<0とp>0で単調増加、
　したがってM_pも単調増加となる

⇒のところは明らかなのかな？
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/07(土) 17:48:47.52 ID:kYYUhR/a.net]: >>446
aab+bbc+cca=p, abb+bcc+caa=q, abc=u,
とおくと、
p-3u≧0, q-3u≧0,
与式＝３＋{10(p-3u)+6(q-3u)}/(3p+9q+28u)
　　＝19/3－(24q+141.333u)/(3p+9q+28u)
　　≦19/3,

a<b<cのときは
q-p＝(a-b)(b-c)(c-a)>0,
与式＝13/3－{6(q-p)+85.333u}/(3p+9q+28u)
　　≦13/3.
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/07(土) 20:39:45.07 ID:DYhIhXQ0.net]: >>453
その置き換えは、どこから出てきたのかな？
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/08(日) 06:55:17.90 ID:8Zqy3qsE.net]: wikiの仕事算の概要に、調和平均と等価と書かれているが、調和平均を使うと仕事算の正解の２倍の答えが得られる嘘。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B%E7%AE%97#.E6.A6.82.E8.A6.81
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/10(火) 2 ]: [ここ壊れてます]
480 名前：1:13:39.92 ID:7+TJpR/l.net mailto: 機中の経済学者に「テロ」容疑？＝「謎の暗号」は微分方程式－米
http://www.jiji.com/jc/article?k=2016050900019&g=int

　　＼
:::::　　＼　　　　　　　　　　　　不等式ヲタの両腕に冷たい鉄の輪がはめられた
＼:::::　　＼　　　　　　　　　　　　　
　＼:::::　＿ヽ＿_ 　＿　　　　　外界との連絡を断ち切る契約の印だ。
　　ヽ／,　／＿ヽ/､　ヽ＿　　
　　 // ／<　＿＿） l -,|__) >　「刑事さん・・・、俺、どうして・・・
　　 || ｜ <　＿＿）_ゝJ_)＿>　　　　機内で不等式にﾊｧﾊｧしちゃったのかな？」
＼　||.｜　<　＿__）_(＿)_　>
　＼|　|　 <_＿__ﾉ_(＿)＿ )　　　とめどなく大粒の涙がこぼれ落ち
　　　ヾヽニニ/ー--'/　　　　　　　　震える彼の掌を濡らした。
　　　 |_|＿t＿|_♀__|　　　　　　　　
　　　　　９　　∂　　　　　　　　「その答えを見つけるのは、お前自身だ。」
　　　　　６　　∂
　　　　　　(9_∂　　　　　　　　　　不等式ヲタは声をあげて泣いた。 []: [ここ壊れてます]
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/15(日) 23:39:00.95 ID:bcOloU+W.net]: -1 < x、y、z < 1 のとき、1/{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)} + 1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2 ≧ 2(1-x)(1-y)(1-z) を示せ。
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2016/05/16(月) 18:32:13.74 ID:/cRJoxc5.net]: >>457
相加-相乗平均で
(左辺)≧2{1/(1+xx)(1+x)}{1/(1+yy)(1+y)}{1/(1+zz)(1+z)}
＝2{(1-x)/(1-x^4)}{(1-y)/(1-y^4)}{(1-z)/(1-z^4)}
≧(右辺).
483 名前：prime132 mailto:age [2016/05/16(月) 19:16:07.91 ID:/cRJoxc5.net]: >>290
|xxf(1/x)｜＝|a+bx+cxx|≦|a+cxx|+|bx|≦max{|a+c|,|a|}＋|b|.

|f(0)|＝|c|≦1,

｜f(-1)｜＝|a-b+c|≦1より
　-1≦a-b+c≦1,
｜f(1)｜＝|a+b+c|≦1より
　-1≦a+b+c≦1
∴　|a+c|＋|b|≦1,

・|a+c|≧|a| のときは
｜xxf(1/x)｜≦|a+c|+|b|≦1,

・|a+c|≦|a|のときは
｜xxf(1/x)｜≦|a|+|b|≦|c|＋(|a+c|+|b|）≦1＋1,
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/17(火) 13:17:49.45 ID:veMWuJCB.net]: 【不等式を見かけたときの反応で分かる不等式オタク度チェック】

(発病初期)
うれしくなる、勃起する、キタ━┌(_Д_┌ )┐━！！ーと叫ぶ

(軽度だが治療不能)
収集せずにはいられない、メモやコピーを取り、出典を記録する

(全身に転移)
収集済のコレクションにないか確認する、検索して類題を探す

(末期症状)
証明せずにはいられない、緩い不等式は改良せずにはいられない
証明済でも別解を考える、不等式を貼って感染者を増やす
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/17(火) 13:25:17.40 ID:veMWuJCB.net]: a、b、c は正の実数で、a≠bc、b≠ca、c≠ab かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 をみたすとき、

　　　1/(a^2 - b^2 c^2) + 1/(b^2 - c^2 a^2) + 1/(c^2 - a^2 b^2) ≧ 27/2

たくさん集めても、証明する力が全く身につかないのは何故か (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/17(火) 13:56:49.12 ID:veMWuJCB.net]: >>458
AM-HMを使ってみたり、左辺の各項をGMと見て弄ると、改造できそうですね
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/18(水) 00:05:36.13 ID:Xe8Zc5En.net]: まとめページの『重み付き累乗平均に関するチェビシェフの不等式』の証明はどうやるんですか？
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/18(水) 17:20:50.14 ID:hzGdJF+x.net]: >>290 >>459

max{|a+b+c|, |a-b+c|}
= max{a+b+c, -a-b-c, a-b+c, -a+b-c}
=max{a+c, -(a+c)} + max{b, -b}
=|a+c| + |b|.
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/20(金) 16:55:46.38 ID:It1blegI.net]: ヘルダーの不等式に重みつきってあるのかな？
490 名前：１３２人目の素数さん [2016/05/20(金) 22:35:07.22 ID:pIbdaXLN.net]: >>465
測度が重みそのもの。
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/21(土) 19:22:06.59 ID:AUtpbrg4.net]: x、y≧0 に対して、2 √{(x+1)(y+1)} ≧ √(xy+2x+1) + √(xy+2y+1) ≧ √(xy) + √{(x+2)(y+2)}
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/22(日) 22:20:47.22 ID:+Q7R9DuS.net]: 今月号（2016.06）のエレガントに不等式の問題がある。一本道なので面白みはないがな。

「内接円（半径r）と外接円（半径R）をもつ四角形があって、R≧(√2)*r を示せ。」

締め切り前なので答えを書かないように。
493 名前：１３２人目の素数さん [2016/05/24(火) 23:13:06.44 ID:cY07kHAV.net]: Popoviciu

って何て発音するんですか
494 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:14:09.87 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
495 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:14:28.00 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
496 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:14:44.94 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
497 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:15:00.95 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
498 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:15:19.36 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
499 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:15:36.64 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
500 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:16:09.94 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
501 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:16:25.82 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
502 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:16:42.78 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
503 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/05/24(火) 23:16:59.52 ID:98ujCcPg.net]: ￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
504 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/26(木) 19:13:00.93 ID:FOvQsbPl.net]: >>467
左側は凸性から出る。
右側
x(y+2)+1=a、(x+2)y+1=b、xy=c、(x+2)(y+2)=d とおくと
a+b-c-d=-2,　　　…(*)
ab-cd=ab-(a-1)(b-1)=a+b-1,　　…(**)
∴(√a+√b+√c+√d)(√a+√b-√c-√d)
=(√a+√b)^2－(√c+√d)^2
=(a+b-c-d)＋2√ab－2√cd
=2√ab－2√cd－2　　　　←(*)
=2(ab-cd)/(√ab＋√cd)－2
=2(a+b-1)/{√ab＋√[(a-1)(b-1)]}－2　　←(**)
≧4(a+b-1)}/{(a+b)+(a-1)+(b-1)}－2
=0,

ぬるぽ
505 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/26(木) 19:49:26.86 ID:FOvQsbPl.net]: >>480
後半は
cd=(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1≦{√(ab)－1}^2,
∴√(ab)－√(cd)－1≧0　　(←ab≧1)
の方が早いな…
506 名前：prime132 mailto:sage [2016/05/26(木) 19:53:23.52 ID:FOvQsbPl.net]: >>469
ご参考
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14127716669
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/27(金) 11:41:31.00 ID:/KLM3aoL.net]: a、b、c、d、e、f、g ≧0 かつ a+b+c+d+e+f+g=1 のとき、
max{a+b+c、b+c+d、c+d+e、d+e+f、e+f+g} ≧？
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/27(金) 13:55:22.05 ID:Lks76rr8.net]: >>483
1/3

b=c=e=f=0 とすると
(与式) = max{a,d,g}≧1/3.
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/27(金) 14:01:05.69 ID:Lks76rr8.net]: >>481
〔補題〕
　a = a1 + a2 + … + an,　(aj≧0)
　b = b1 + b2 + … + bn,　(bk≧0)
のとき、コーシーにより
　√(a･b) ≧ √(a1･b1) + √(a2･b2) + …… + √(an･
510 名前：bn), []: [ここ壊れてます]
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/30(月) 19:19:54.08 ID:1GyiVnWU.net]: 〔加比の理〕
a1/b1 > c1/d1 >0,
a2/b2 > c2/d2 >0,
のとき次を示せ。
(a1+a2)/(b1+b2) > (c1+c2)/(d1+d2),
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/05/30(月) 19:32:26.46 ID:1GyiVnWU.net]: >>486
0 < |d| < |e| < A, B のとき
(A-d)/(A-e) > (A+e)/(A+d),
(B-d)/(B+e) > (B-e)/(B+d),
よって
(C-2d)/C > C/(C+2d)　???
(但し、C=A+B)

（シンプソンのパラドックス）
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/01(水) 16:57:27.46 ID:4y470XDY.net]: Anthony B. Atkinson:
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/01(水) 17:02:22.35 ID:4y470XDY.net]: Anthony B. Atkinson: "Inequality"

「21世紀の不平等　－　格差をあきらめない15の方法」
山形浩生／森本正史（訳）
東洋経済新報社
2015/12/11
464p.
3888円

「不平等研究の新しい基本書。日本の格差対策にも本書の15の提案は必読だ。」
－－－大竹文雄(大阪大学教授)
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/02(木) 18:50:39.95 ID:AK/4oT94.net]: >>489

今週の本棚
　大竹文雄：評

アンソニー B.アトキンソン「21世紀の不平等」

毎日新聞
mainichi.jp/articles/20151227/ddm/015/070/022000c
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/02(木) 21:43:19.02 ID:nY0di/bv.net]: >>2の[6] P.16 問1.3(b) について。
n≧2、0≦a_k<1 に対して、Π[k=1 to n] (1-a_k) > 1 - Σ[k=1 to n] a_k

これって、不等号は＞じゃなくて ≧ じゃないの？
等号成立条件は、n個のa_kのうちn-1個以上が0のときでok？
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/02(木) 21:43:59.51 ID:nY0di/bv.net]: >>491
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 amazon.jp/o/ASIN/4627075812
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/03(金) 16:41:43.28 ID:04m6218U.net]: 正の実数 x、r に対して、(1+x)^r ≦ e^(rx)
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/13(月) 00:57:49.88 ID:4lqZeqj9.net]: (1)
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
\sqrt{(a+1)/(a^2-a+1)} + \sqrt{(b+1)/(b^2-b+1)} + \sqrt{(c+1)/(c^2-c+1)} ≦ 3*\sqrt{2}

(2)
実関数 f は C^2[0,1] 級、f(1/2)=0 とする
∫[0,1] {f''(x)}^2 dx ≧ 320*(∫[0,1] f(x) dx)^2
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/16(木) 10:48:44.76 ID:bzeKqK4U.net]: z、wを複素数、cを正の実数とするとき、|z+w|^2 ≦ (1+c)*|z|^2 + (1+ 1/c)*|w|^2

　 ('A`) ,..;:～''"
　ﾉ( ﾍﾍ　,,.､;;:～'''
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/16(木) 12:14:43.26 ID:Qm4NHEs6.net]: >>495
右辺=|z|^2+|w|^2+(c|z|^2+|w|^2/c)
≧|z|^2+|w|^2 + 2|z||w| （相加相乗）
=(|z|+|w|)^2
≧|z+w|^2=左辺
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/16(木) 13:40:51.07 ID:bzeKqK4U.net]: >>496
神！ありがとう！
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/20(月) 18:29:42.26 ID:5rd60K6N.net]: >>468
締め切り後だからいいな。次の補題を使った例。

〔補題〕
△の2辺の長さをp,qとすると、（△の面積）≦pq/2.

∵pを底辺と見れば、高さはq以下
（△の面積) = (底辺)(高さ)/2≦pq/2.
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/20(月) 18:40:29.04 ID:5rd60K6N.net]: >>468
6月号の解答例

◇ABCD=Sとおく。

S=△ABC+△CDA≦(AB･BC+CD･DA)/2
525 名前：, S=△BCD+△DAB≦(BC･CD+DA･AB)/2, 平均すると S≦(AB+CD)(BC+DA)/4≦(L/4)^2　…　(1) ここに、周長L = (AB+CD)＋(BC+DA) とおいた。 また、対角線AC、BDの交点をXとすると、 S=△ABX+△BCX+△CDX+△DAX ≦(AX+XC)(BX+XD)/2 =AC･BD/2 ≦2RR　…　(2) ∵ AC≦2R、BD≦2R (1)×(2)より S≦L(R/√2)/2　…　(3) 一方、内接円の中心をIとすると、 S=△ABI+△BCI+△CDI+△DAI =(AB+BC+CD+DA)･r/2 =Lr/2　…　(4) これと(3)を比べる。 []: [ここ壊れてます]
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 06:40:01.55 ID:Q7b/QKg5.net]: 適当に検索して見かけた不等式で、スポポビッチみたいな名前のやつ何だっけ？
ふと思い出して検索したけど見つけられん…
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 06:43:16.84 ID:Q7b/QKg5.net]: >>468
私は、S、R、r をすべて4辺の長さ a、b、c、d で表して、相加平均・相乗平均の不等式を用いた。
528 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/21(火) 09:15:06.44 ID:ARKwvWwv.net]: popoviciu's inequality ではなくて？
529 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/21(火) 09:15:32.38 ID:ARKwvWwv.net]: wvWwv
530 名前：494-495 mailto:sage [2016/06/21(火) 18:02:39.51 ID:5XehvKc7.net]: >>501
成程。

面積Sはブラーマグプタの公式とか使うんでつか？
（或いはその一般化のブレートシュナイダーの公式）

外接円の半径Rはwikipediaの「外接円」にもあったけど…
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10119787540
（king_zipanguさん）
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 18:51:48.07 ID:Q7b/QKg5.net]: >>502
( ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！( ﾟ∀ﾟ) ｽﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ﾇﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ｳﾎﾎﾋﾞｯﾁ！

>>504
四角形をABCDとし、AB=a、BC=b、CD=d、DA=d、内接円の中心をOとおく。

(1) R、r を S で表す。面積公式と、正弦定理より、

S = △ABC + △ADC
　 = (1/2)*ab*sinC + (1/2)*cd*sin(π-B)
　 = AC(ab+cd)/4R

S = △OAB + △OBC + △OCD + △ODA
　 = r(a+b+c+d)/2

∴ R/r = (a+b+c+d)(ab+cd)AC/(8*S^2) 　……(a)

(2) 邪魔な AC、Sをそげぶ（ブチ殺す）。余弦定理を用いて、

△ABCに対して、AC^2 = a^2 +b^2 - 2ab*cosB
△ADCに対して、AC^2 = c^2 +d^2 + 2cd*cosB

∴ AC = √{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)} 　……(b)

一方、cosB = (a^2+b^2-c^2-d^2)/{2*(ab+cd)} より、
sinB = {√(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)(a+b+c-d)}/{2*(ab+cd)}

S = △ABC + △ADC
　= (1/2)*(ab+cd)*sinB
　= √(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)(a+b+c-d)

四角形ABCDが円に外接するので a+c = b+d をみたす。
これより b+c+d-a = 2c などを上式に代入する。

∴ S = √(abcd) 　……(c)

(3) 相加平均・相乗平均で息の根を止める。
(a)に(b)(c)を代入し、分子の四つの括弧にそれぞれAM-GM。

R/r = (a+b+c+d)*√{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)}/(8*abcd) ≧ √2　
532 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/21(火) 19:11:05.41 ID:olhvI6Km.net]: こういう文体で送っても真面目に採点してくれるの？
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 19:15:46.88 ID:Q7b/QKg5.net]: 証明の終わりに顔文字使ってる数学書もあるくらいだ。問題なかろう。
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 19:19:37.72 ID:Q7b/QKg5.net]: 検索すると出題者は数オリ出場者みたいだから、この手の問題が好きなんだろうなあ。

それより出題者は、エレガントな解答を用意してるんだろうか？
計算の羅列で解説を終わったら、オナラかましたくなるな。

( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ← 出題者
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/23(木) 21:40:17.78 ID:vDScqBMH.net]: 定理10の重みつきスポポビッチの証明が分かりません… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Cours/Inegalites/Inequalities.pdf
536 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 03:28:52.14 ID:W/Uj9dP4.net]: はい
www.dotup.org/uploda/www.dotup.org915431.pdf

わざわざ書いたけど，初等的な不等式I とほとんど同じ証明法なんだよな
しかもこっちだと重み付きの一般変数の場合もあるし
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 03:42:58.22 ID:JzDlPDy9.net]: >>510
おぉ！ありがとうございます！今から読んで理解します。
538 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 03:50:44.16 ID:W/Uj9dP4.net]: 人いたのか

>>511
a*はaの要素を大きい順に並べたベクトルね
539 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 04:07:55.28 ID:W/Uj9dP4.net]: これでかなりの数の初等不等式を証明できるよね
問題は使いこなせるかどうかだけど

【不等式類】
Bernoulli の不等式，Cauthy の不等式，Chebyshev の不等式，Holder の不等式，Jensen の不等
Karamata の不等式，Minkovski の不等式，Muirhead の不等式，Nesbitt の不等式，PowerMean 不等式
QM-AM-GM-HM 不等式，Radon の不等式（次数1），Rearrangement 不等式，Schur の不等式

【メソッド】
ABC，CD3，CDN，CRT，isolated fudging，normalization
Lagrange Multipliers，SD3，SMV，SOS，UMV，symmetric separation，uvw，置換
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 04:28:46.11 ID:JzDlPDy9.net]: >>513
Radon の不等式（次数1）は知らないです…。

ヌポポビッチを改造した。改造せずにはいられない！不等式ヲタ-ヌポポビッチの不等式と名づけよう！

凸関数 f に対して、
{ f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4 ≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2 ≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3

左側は Jensenの不等式 {f(a) + f(b) + f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3) を変形しただけ。
右側はヌッポビッチそのまま。
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 07:23:09.91 ID:JzDlPDy9.net]: もう少し改造。ぬるぽビッチの不等式と命名。

【ぬるぽビッチの不等式】

凸関数 f に対して、
{ f(a) + f(b) + f(c) - f((a+b+c)/3) }/2
≧ { f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4
≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2
≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3

　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
542 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 12:40:59.46 ID:W/Uj9dP4.net]: >>514
Radon の不等式って言ってるけど，Cauthy を変形したものだよ
証明も Cauthy で済ませてると思う
一次の場合は Bergstom's inequality とか，>>8 だと Engel 型の Cauthy の不等式って書いてある
543 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 13:04:01.41 ID:W/Uj9dP4.net]: もしかして徹夜でぬるぽビッチやってたのか

何か実例に当てはめられないかね
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 13:52:35.40 ID:JzDlPDy9.net]: >>516
なるほど、これですか。この形にする必要があるのかと小一時間…。

【Engel 型の Cauthy の不等式】

x、y、z > 0 のとき、a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z)
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 13:57:31.91 ID:JzDlPDy9.net]: 【ぬるぽビッチの不等式・改】

凸関数 f に対して、
{ f(a) + f(b) + f(c) - f((a+b+c)/3) }/2
≧ { f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4
≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2
≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3
≧ f((a+b+c)/3)

１番目と２番目の不等号は、Jensenの不等式 {f(a) + f(b) + f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3) を変形しただけ。
３番目がヌポポビッチ。
４番目の不等号は、Jensenの不等式のa、b、cに代入しただけ。
　　　　＿＿_
　　　／|_　　　|
　　　||. (ﾟ∀ﾟ )
546 名前： |　ぬるぽと聞いて・・・ ||oと.　Ｕ| ||　|（__）Ｊ| ||／彡￣ｶﾞﾁｬ []: [ここ壊れてます]
547 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:40:22.34 ID:W/Uj9dP4.net]: >>518
まあ見やすいしそのまま不等式に適用できるしいいじゃん
一般の Radon の不等式は Holder の不等式と同じだけど，たぶん別々に発見されたんだろうな
詳しくは知らないけど
548 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:41:35.44 ID:W/Uj9dP4.net]: >>494
(1)
a≧b≧c として一般性を失わない。
f(x) = \sqrt[(x+1)/(x^2-x+1) とおく。

・a ≦ 32.8295 のとき
g(x) = (-1/(2\sqrt[2]) * log[x] + \sqrt[2]) とおくと f(x) ≦ g(x) が成り立つ。よって
Σ[cyc] f(a) ≦Σ[cyc] g(a) = 3\sqrt[2]
となる。

・a ≧ 32.8295 のとき
a > 32.8295，0 < c < 1/\sqrt[32.8295] = 0.1745 である。よって
f(a) ≦ f(32.8295) = 0.1798
f(b) ≦ f(0.7320) = 1.4678
f(c) ≦ f(0.1745)= 1.1714
つまり
f(a) + f(b) + f(c) ≦ 0.1798 + 1.4678 + 1.1714 = 2.8190 ≦ 3\sqrt[2]
となる。

どや
549 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:50:54.05 ID:W/Uj9dP4.net]: 普通に g(x) = (-1/(2\sqrt[2])) * x + \sqrt[2] + 1/(2\sqrt[2]) で上から抑えればよかったな
550 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:54:33.54 ID:W/Uj9dP4.net]: ああ違うかなんでもない
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 19:14:35.39 ID:JzDlPDy9.net]: >>521
いつもながら流石ですな。

ラドンは検索しても殆ど出てこなくて挫けそうになった。
www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2008_1/a.10_GENERALIZATIONS_AND_REFINEMENTS_FOR_BERGSTROM_AND_RADONS_INEQUALITIES.pdf

P.P.1-2 Radon’s inequality
P. 3 for refinement of Radon’s inequality
P.P.3-4 refinement of Bergstr¨om’s inequality
P. 4 the generalization of Radon’s inequality
P. 5 the generalization of Radon’s inequality - a variant

また一つコレクションが増えたな。
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:03:05.61 ID:RC5mmS3F.net]: >>509-510
weighted Popoviciuの略証
(px+qy)/(p+q)=X,
(px+rz)/(p+r)=Y,
(qy+rz)/(q+r)=Z,
(px+qy+rz)/(p+q+r)=m とおく。

(i) x,y<m<z のとき
X<m<Y,Z
p･f(x) + q･f(y)≧(p+q)f(X),
r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z),
辺々たす。

(ii) x<m<y,z のとき
X,Y<m<Z
p･f(x) + (p+q+r)f(m)≧(p+q)f(X) + (p+r)f(Y),
q･f(y) + r･f(z)≧(q+r)f(Z),
辺々たす。

佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店、演習問題1.89
553 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:17.88 ID:W/Uj9dP4.net]: >>461
a≧b≧c として一般性を失わない。
斉次化して整理すれば不等式は
27Σa^4b^4(a^4+b^4) + 54Σa^6b^6 ≧ 46a^2b^2c^2Σa^6 + 30a^2b^2c^2Σa^2b^2(a^2+b^2) + 6a^4b^4c^4
と同値。b = a + p, c = a + q (p, q≧0) を代入すれば不等式は
(27*p^4*q^8+54*p^6*q^6+27*p^8*q^4)
+a*(108*p^3*q^8+216*p^4*q^7+324*p^5*q^6+324*p^6*q^5+216*p^7*q^4+108*p^8*q^3)
+a^2*(116*p^2*q^8+864*p^3*q^7+1536*p^4*q^6+1944*p^5*q^5+1536*p^6*q^4+864*p^7*q^3+116*p^8*q^2)
+a^3*(16*p*q^8+928*p^2*q^7+3984*p^3*q^6+6192*p^4*q^5+6192*p^5*q^4+3984*p^6*q^3+928*p^7*q^2+16*p^8*q)
+a^4*(8*q^8+128*p*q^7+3848*p^2*q^6+11808*p^3*q^5+15024*p^4*q^4+11808*p^5*q^3+3848*p^6*q^2+128*p^7*q+8*p^8)
+a^5*(64*q^7+592*p*q^6+10096*p^2*q^5+22848*p^3*q^4+22848*p^4*q^3+10096*p^5*q^2+592*p^6*q+64*p^7)
+a^6*(272*q^6+1760*p*q^5+17360*p^2*q^4+28800*p^3*q^3+17360*p^4*q^2+1760*p^5*q+272*p^6)
+a^7*(736*q^5+3232*p*q^4+19456*p^2*q^3+19456*p^3*q^2+3232*p^4*q+736*p^5)
+a^8*(1268*q^4+3584*p*q^3+11724*p^2*q^2+3584*p^3*q+1268*p^4)
+a^9*(1360*q^3+1560*p*q^2+1560*p^2*q+1360*p^3)
+a^10*(720*q^2-720*p*q+720*p^2)
≧0
となるが，これは明らかに成り立つ。
554 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:57.50 ID:W/Uj9dP4.net]: 明後日 TOEIC があるというのに何をやっとるんだ！
555 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:19:41.98 ID:W/Uj9dP4.net]: こんな解き方（？）じゃ証明力つかなくてもしょうがないな…
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:22:13.49 ID:JzDlPDy9.net]: ５月にTOEICを初めて受けた。
リスニングは全く聞き取れず、リーディングは１問だけ分かった。残りは適当に埋めた。
Lis130、Read170、合計300点。
４択をランダムに埋めても990÷4≒250なのに、300点。
１問しか分からないのに300点とは、いかに検定試験が当てにならないものかよく分かった。

>>525
( ﾟ∀ﾟ)ｷﾀｺﾚ
557 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:41:33.98 ID:W/Uj9dP4.net]: >>525
こういうスマートな解き方できるのはいいね
558 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 21:49:56.15 ID:W/Uj9dP4.net]: >>526
符号気にしないで分母払ったから間違えてるな
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 02:19:54.44 ID:KQNANX1m.net]: >>461
aa=bb→1/2, cc→0の時成り立たなさそう…

>>526はバンチングで良いかと
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 03:47:35.78 ID:bGJ+ot70.net]: >>525
> (i) x,y<m<z のとき
> X<m<Y,Z

> r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z),

ちょっと分からないので、教えてください。

疑問(1)
x、y<m<z のとき、X<mは分かるけど、m<Y、Zはどうやって示すのですか？

疑問(2)
r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z) はどこから？
561 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:34:40.62 ID:loQiTtfh.net]: >>532
それも面白みがないじゃん
562 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:41:14.30 ID:loQiTtfh.net]: [2]の数オリ本でも書いてあるけどバンチという言葉って使われてるの？
Schurheadの方が多い気がするけど…
563 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:12:23.22 ID:nJzcBttQ.net]: >>533

回答(1)
(pX+qX+rz)/(p+q+r) = m, より m-X ～ z-m,
(pY+qy+rY)/(p+q+r) = m, より Y-m ～ m-y,
(px+qZ+rZ)/(p+q+r) = m, より Z-m ～ m-x,
（～は同符号の意味）

回答(2)
{(Y-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Y)/(z-m)}f(m) ≧ f(Y),
{(Z-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Z)/(z-m)}f(m) ≧ f(Z),
(上式)･(p+r)＋(下式)･(q+r) から。
564 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:17:57.53 ID:nJzcBttQ.net]: >>533

回答(1)
{(p+q)X+rz}/{(p+q)+r} = m, より m-X ～ z-m,
{(p+r)Y+qy}/{(p+r)+q} = m, より Y-m ～ m-y,
{px+(q+r)Z}/{p+(q+r)} = m, より Z-m ～ m-x,
（～は同符号の意味）

変わり映えしない…
565 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 00:44:47.35 ID:HxtdGT1C.net]: 正の実数 a, b, c が a+b+c=3 を満たすとき，次の不等式を示せ。
(4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2

まったくもって綺麗じゃないけど
566 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:00:55.95 ID:HxtdGT1C.net]: ちなみに >>538 は a+b+c=3 じゃなく abc=1 でも成り立ちますね
567 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:30:42.22 ID:HxtdGT1C.net]: すいません正に限る必要なかったですね書き直します。

(1) 実数 a, b, c が a + b + c = 3 を満たすとき，次の不等式を示せ。
(4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2

(2) 正の実数 a, b, c が abc = 1 を満たすとき，上の不等式を示せ。
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 10:46:54.86 ID:l4WYJ2nA.net]: >>536-537
ありがとう！
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 11:01:58.80 ID:l4WYJ2nA.net]: 実数 a、b、x、y に対して、(a^2 + ab + b^2)(x^2 + xy + y^2) ≧ {ax + (ay+bx)/2 + by}^2
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 17:57:03.72 ID:HJ99ghG/.net]: >>542
(左辺)
= {3(a+b)^2 +(a-b)^2} {3(x+y)^2 +(x-y)^2}/16
≧{3|a+b||x+y| + |a-b||x-y|}^2 /16
≧{3(a+b)(x+y) + (a-b)(x-y)}^2 /16
=(右辺),

ﾊｧﾊｧ…
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 18:00:41.19 ID:HJ99ghG/.net]: ↑は�
572 名前：Rーシーでつ。 なお、(左辺)－(右辺) = (3/4)(ay-bx)^2 ≧0, []: [ここ壊れてます]
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 19:37:10.90 ID:l3OFoYpr.net]: 知らないうちに解かれてた
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 08:01:32.78 ID:WslfN4nO.net]: 正の数 a、b、c に対して、a^6 + b^6 + c^6 -2a^3*b^3 - 2b^3*c^3 - 2c^3*a^3 + 3a^2*b^2*c^2 ≧0
( ﾟ∀ﾟ) ﾇﾙﾎﾟ！
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 14:56:53.37 ID:WslfN4nO.net]: >>524
> www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2008_1/a.10_GENERALIZATIONS_AND_REFINEMENTS_FOR_BERGSTROM_AND_RADONS_INEQUALITIES.pdf

P.P.1-2 Radon’s inequality は pが自然数の場合を証明しているけど、pが正の実数の場合には成り立たないのかな？
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 15:06:39.21 ID:WslfN4nO.net]: ごめん、勘違いだった。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:17:35.34 ID:YK4TWhlE.net]: >>546
f(t)=exp(6t) は下に凸。
∴ぬるぽビッチにより
exp(6x)+exp(6y)+exp(6z)-2exp(3(x+y))-2exp(3(y+z))-2exp(3(z+x))+3exp(2(x+y+z))≧0,
exp(x)=a、exp(y)=b、exp(z)=cとおく。
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:56:07.79 ID:WslfN4nO.net]: >>549
ヌルポビッチから作ったのがバレバレでしたね。

>>524のP.2のRadonの不等式の証明で、
d_{n+1} - d_n の計算過程において、n=2のRadonの不等式を使っているけど、
自分の証明に自分を使ってるような…
579 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 21:36:37.50 ID:sKl6oXWf.net]: おい何でぬるぽビッチが定着してるんだ
580 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 23:39:17.06 ID:sKl6oXWf.net]: >>550
n=2 は別途証明してるからその部分はいいんじゃないの
参考文献 [6] を参照しろって書いてあるじゃん（元の論文は読んでないけど）
それより
n = 2, p = 3,
x = (1, 1, 2),
a = (2, 2, 4)
とすると
d[n + 1] - d[n] = -1/2 < 0
にならない？
581 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 00:38:13.33 ID:dgtzi8wj.net]: >>546
（左辺）=(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)(Σa^4 + abcΣa - Σab(a^2 + b^2)) ≧ 0 = （右辺）
後ろの不等式はシューアから

ぬるぽビッチの方が綺麗だね
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 01:27:33.35 ID:uqZezJ5q.net]: >>552
n = 2, p = 3、x = (1, 1, 2)、a = (2, 2, 4) とすると、
d[n + 1] - d[n]
　= (x_3)^4/(a_3)^3 + (x_1 + x_2 + x_3)^4/(a_1 + a_2 + a_3)^3 - (x_1 + x_2)^4/(a_1 + a_2)^3
　= 1/4 + 1/2 - 1/4
　= 1/2 > 0
大丈夫っぽい。

>>553
因数分解できるのか…。すげえな！
ぬるぽビッチって便利だな。
583 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 01:55:56.39 ID:dgtzi8wj.net]: >>554
勘違いしてた二乗じゃなく p + 1 乗だよな
何でこんなミスに気づかなかったんだ…
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 03:43:34.74 ID:uqZezJ5q.net]: Radon's inequality の n=2 の証明は、a_1の関数とみて、微分して片付けた。
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 14:29:45.73 ID:2q72uCyh.net]: d(n+1)-d(n)とか計算せずに普通にヘルダーで良いんじゃないのこれ
586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:13:26.71 ID:uqZezJ5q.net]: >>557
確かに、ヘルダーなら一発だった。
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:17:01.28 ID:uqZezJ5q.net]: >>524
４ページ目の定理８「ラドンの一般化」の等号成立条件は、
power meanを使っている時点で、a_1 = … = a_n が要るから、
a_1/b_1 = … = a_n/b_n じゃなくて、a_1 = … = a_n かつ b_1 = … = b_n じゃない？
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:19:23.83 ID:uqZezJ5q.net]: >>559
記号がおかしかったな。考えている途中で記号が置き換わってたわ。
x_1/a_1 = … = x_n/a_n じゃなくて、x_1 = … = x_n かつ a_1 = … = a_n じゃない？
589 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 21:22:29.12 ID:dgtzi8wj.net]: ヘルダーが出来るのは p が整数の場合だけでしょ
590 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 23:37:55.65 ID:dgtzi8wj.net]: そうだね等号成立は正しくは次のいずれかが成り立つ時だね
・q=1 かつ x[1]/a[1] = … = x[n]/a[n]
・x
591 名前：[1] = … = x[n] かつ a[1] = … = a[n] []: [ここ壊れてます]
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:12:05.86 ID:hgoh04AG.net]: >>561
Herderの不等式は1/p + 1/q = 1 をみたす実数 p,q>0 だから大丈夫。
ただし、以下のP.310の解２のやり方では、pが正整数の場合の証明にしかなってない。
izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:56:55.95 ID:hgoh04AG.net]: >>562
試しに x_1/a_1 = … = x_n/a_n = c とおいて、拡張Radonの不等式に代入したら、

(左辺) = c^{p+q} Σ(a_k)^q
(右辺) = (c^{p+q}/n^{q-1})*(Σa_k)^q

∴(左辺) - (右辺) = n*c^{p+q}*{(1/n)Σ(a_k)^q - ((1/n)Σa_k)^q}

となって、p乗平均と算術平均のp乗の差なので、これだけでは等号は成立しないよね。
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 07:09:02.99 ID:hgoh04AG.net]: >>564
訂正。
p乗平均のp乗と算術平均のp乗の差
595 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/29(水) 10:59:13.06 ID:SxjNJqQ2.net]: >>563
重みが実数ならいいんだよね
数列の個数が整数個か
何か頭ごちゃごちゃになってきた
596 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:05.11 ID:6nTpySyx.net]: ￥
597 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:23.12 ID:6nTpySyx.net]: ￥
598 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:40.87 ID:6nTpySyx.net]: ￥
599 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:58.18 ID:6nTpySyx.net]: ￥
600 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:17.19 ID:6nTpySyx.net]: ￥
601 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:36.87 ID:6nTpySyx.net]: ￥
602 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:55.81 ID:6nTpySyx.net]: ￥
603 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:14.89 ID:6nTpySyx.net]: ￥
604 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:36.14 ID:6nTpySyx.net]: ￥
605 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:56.98 ID:6nTpySyx.net]: ￥
606 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 12:17:26.52 ID:6nTpySyx.net]: ￥
607 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 13:44:11.30 ID:6nTpySyx.net]: ￥
608 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 15:17:37.30 ID:6nTpySyx.net]: ￥
609 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 16:27:38.03 ID:6nTpySyx.net]: ￥
610 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 17:46:52.72 ID:6nTpySyx.net]: ￥
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 18:17:05.21 ID:xnYT2GDL.net]: >>553
変数が実数の場合も成立ですね。

もっとも負になり得る項は
-2(xy)^3≧-2|xy|^3
だけなので、正の場合に成り立つことが（ぬるぽビッチ等で）分かれば
実数の場合も成り立ちまつが。
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 22:03:49.32 ID:xnYT2GDL.net]: [問題273]
△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、R≧2r を示せ。
（Beijing Math. Contest 2000)

science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/974
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:41:41.00 ID:ss2YGiKO.net]: >>583
なつかしい…。球角不等式でつね。
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:42:03.95 ID:ss2YGiKO.net]: >>584
訂正。球殻不等式でつね。
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 16:52:25.09 ID:sy+V6Hgj.net]: >>551

　(ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！　(ﾟ∀ﾟ) ｽﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ﾇﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ｳﾎﾎﾋﾞｯﾁ！

から派生したらしい…
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 18:20:26.57 ID:sy+V6Hgj.net]: >>505
◇ABCDの面積をSとする。

◇が外接円（半径R）をもつとき、
S = √{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)},
R^2 = (ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)/(4S)^2 = {uu + [(a+b+c+d)^2-4t]v}/(4S)^2,
ここに、t=ab+ac+ad+bc+bd+cd、u=abc+abd+acd+bcd、v=abcd.

◇が内接円（半径r）をもつとき、
a+c=b+d,
-a+b+c+d=2c, a-b+c+d=2d, a+b-c+d=2a, a+b+c-d=2b,
r = 2S/(a+b+c+d) = 2(√v)/(a+b+c+d),

ここで
G(a b c d) = {16abcd - (-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}/(a+b+c+d)
= (a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) + (c-a)(c-b)(c-d) + (d-a)(d-b)(d-c)
= (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
= (a+b+c+d)^3 -4(a+b+c+d)t +8u,
とおく。
内接円をもつとき G=0 ゆえ
R^2 = {uu + (G-8u)v/(a+b+c+d)}/{16v-(a+b+c+d)G},
= {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v),
よって
R^2 - 2r^2 = {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v) - 8v/(a+b+c+d)^2
= {u -16v/(a+b+c+d)}{u +8v/(a+b+c+d)}/(16v)
≧0,
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/02(土) 17:56:03.82 ID:N5gz9LFw.net]: 6√2･√(4 -√6 -√2)＜π＜2(√3 -1)(√3＋√2 -1),

　3.132628613　　　　　　　　　3.142349131

(略証)
左は >>17
右は >>156
618 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/02(土) 21:28:35.90 ID:vbadd4D+.net]: 随分汚い不等式だな
619 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:17:00.07 ID:LZWlka8j.net]: H(x, y) で x, y の調和平均を表す。
正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。
H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + b[n])
620 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:18:03.58 ID:LZWlka8j.net]: なんか途中で書き込みしてしまった…

H(x, y) で x, y の調和平均を表す。
正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。

H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + … + b[n])
621 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:29:42.54 ID:LZWlka8j.net]: 正の実数 a[1][1], … a[n][n] の対して次の不等式を示せ。
ΣH(a[1][i], …, a[n][i]) ≦ H(Σa[1][i], …, Σa[n][i])
622 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:40:46.84 ID:LZWlka8j.net]: 間違えた
こっちのほうがスッキリしてるね

ベクトル x に対して H(x) は各要素の調和平均を表すとする。
各要素が正である n 個の m 項ベクトル a[1], …, a[n] に対し，次の不等式を示せ。
　　H(a[1]) + … + H(a[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n])
623 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:06:47.24 ID:LZWlka8j.net]: 駄目だ興奮してまた間違えてる
まだ違ってたら察してくれ

n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。
　　H(a[1] + … + a[n]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m])

累乗平均や和ではなくまた別の平均に置き換えるとどうなるだろうか
624 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:41:26.49 ID:LZWlka8j.net]: はぁ…>>593が正しい…これ以降は察して…
625 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 03:51:06.05 ID:LZWlka8j.net]: スレ汚してしまって申し訳ない>>594がやはり正しい

次数 r の一般の累乗平均 M に対して
　　M(a[1] + … + a[n]) - (M(b[1]) + … + M(b[m]))
の符号はどうなるのだろうか
・r > 1のとき：負
・r = 1 のとき：0
・r < 1 のとき：正
な気がする
r = 1 は明らかで r = 0 はヘルダーになる

それとももう結果は知られてるのか
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/03(日) 22:56:42.54 ID:sQrzmkLN.net]: >>591

H(a,b) = 2ab/(a+b) = (a+b)/2 - |a-b|^2 /{2(a+b)},
なので、本題は
Σ[i=1,n] (a_i-b_i)^2 /(a_i+b_i) ≧ {Σ[j=1,n] (a_j-b_j)}^2 /{Σ[k=1,n] (a_k+b_k)},
に帰着するが、これはコーシーで簡単に出そう。
627 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 23:36:50.30 ID:LZWlka8j.net]: ちなみに
・n=2, m=2 ： Poland 1993
・n-2, m=3 ： KMO Weekend Program 2007
です
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 00:35:44.47 ID:nl9wXVG2.net]: >>596
n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。
　　H(b[1] + … + b[m]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m])
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 17:40:15.09 ID:10Q9AITI.net]: >>593
ａ[1]+ａ[2]+…+ａ[n]=ｓとおくと、
H(ｓ) - H(ａ[1]) - H(ａ[2]) - … - H(ａ[n])
= ……
= Σ[1≦i<j≦m] {H(s_i, s_j) - H(a[1]_i,a[1]_j) - … - H(a[n]_i,a[n]_j)}
= Σ[1≦i<j≦m] h(ｂ[i],ｂ[j]),

つまりm項ベクトルの場合も、実は2項ベクトルの調和平均差の総和に過ぎない。　←これ重要

h(ｘ,ｙ) = H(Σ[k=1,n] x_k, Σ[k=1,n] y_k) - H(x_1,y_1) - H(x_2,y_2) - …… - H(x_n,y_n)
≧0,　(>>597)
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:11:39.88 ID:10Q9AITI.net]: >>546 の類題
a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2 ≧0,

(因数分解できるらしい.)
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:18:40.30 ID:gsq/KsKg.net]: >>601
a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2
= (a^3 + b^3 + c^3 - abc)^2
≧0

ぬるぽビッチにどうやって当てはめるのだらうか？
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 22:04:41.76 ID:10Q9AITI.net]: >>602
無理ぽビッチみたい…

(p+1)(a^4+b^4+c^4) -p(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) +(pp-1){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} +p(2-p)abc(a+b+c)≧0,

A=aa+pbc, B=bb+pca, C=cc+pab とおくと？
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 23:34:28.58 ID:gsq/KsKg.net]: a_k、b_k ≧0、c_k >.0 のとき、Σ(a_k)(b_k)/(c_k) ≧ (Σa_k)(Σb_k)/(Σc_k)
634 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 00:32:20.90 ID:vlIg6IAS.net]: 累乗平均 M の次数を r とすると
・r>1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ≧
635 名前：M(a[1] + … + a[n]) ・r=1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ＝ M(a[1] + … + a[n]) ・r<1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ≦ M(a[1] + … + a[n]) どっかで見たことあると思ったらポリアの不等式の本に書いてありました []: [ここ壊れてます]
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 08:25:08.18 ID:kHdvVXoJ.net]: The Cauchy Reverse Technique
www.isinj.com/usamo/Secrets%20in%20Inequalities%20(volume%201)%20Pham%20Kim%20Hung.pdf

分かりやすく説明してケロ！
637 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 13:24:55.90 ID:vlIg6IAS.net]: >>606
mathtrain.jp/crt

分数和を下から抑えるときに使うテクニック
分母にAM≧GMを適用させると与不等式とは不等号が逆になるから，分子を無理やり分母で割ってあまりの部分の分数を符号を反転させる
638 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 13:35:43.21 ID:vlIg6IAS.net]: ・Romania 1997　xyz=1, x, y, z>0

(x^9+y^9)/(x^6+x^3y^3+y^6) + (y^9+z^9)/(y^6+y^3z^3+z^6) + (z^9+x^3)/(z^6+z^3x^3+x^6) ≧ 2

・Lithuania 1987　x, y, z>0

x^3/(x^2+xy+y^2) + y^3/(y^2+yz+z^2) + z^3/(z^2+zx+x^2) ≧ (x+y+z)/3
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 19:37:08.65 ID:zGQUvoYm.net]: >>608
・上
x^3 = X, y^3 = Y, z^3 = Z とおく。
(X^3 + Y^3)/(XX+XY+YY)
=(X+Y)(XX-XY+YY)/(XX+XY+YY)
=(X+Y){1 + 2(X-Y)^2/(XX+XY+YY)}/3
≧ (X+Y)/3,

・下
x^3/(xx+xy+yy)
= (2x-y)/3 + (x+y)(x-y)^2/{3(xx+xy+yy)}
≧ (2x-y)/3,
640 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 21:41:03.01 ID:vlIg6IAS.net]: CRTの話題が出てきたのでその練習問題として出したんだけど
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 22:42:14.15 ID:zGQUvoYm.net]: >>593
mについての帰納法で…

・m=2のとき
>>591 >>597

・m>2のとき
H(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1),a_m)
H0(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1))
ｓ＝ａ[1] + ａ[2] + …… + ａ[n],
とおく。
m-1について成立したとする。（帰納法の仮定）
H1 = Σ[k=1,n] H0(ａ[k]) ≦ H0(ｓ),

さて
H(ａ) = H(a_1,a_2,･･････,a_(m-1),a_m)
= H(H0(ａ),･･････,H0(ａ),a_m)
= m･a_m･H0(ａ)/{(m-1)a_m + H0(ａ)}
= {a_m + (m-1)H0(ａ)}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a_m - H0(ａ)}^2 /{(m-1)a_m + H0(ａ)},
なので、
Σ[k=1,n] H(ａ[k]) = {s_m+ (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a[k]_m - H0(ａ[k])}^2 /{(m-1)a[k]_m + H0(ａ[k])}
≦ {s_m + (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)(s_m - H1)^2 /{(m-1)s_m + H1}　(←コーシー)
= m･s_m･H1/{(m-1)s_m + H1}
≦ m･s_m･H0(ｓ)/{(m-1)s_m + H0(ｓ)}　　(← H1≦H0(ｓ))
= H(ｓ),

>>600 は違うっぽい…
642 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 22:51:44.60 ID:vlIg6IAS.net]: 何かみんな難しく考えてない？

>>593
n 以下で成り立つと仮定すると
H(a[1] + … + a[n] + a[n+1])
≧H(a[1] + … + a[n]) + H(a[n+1])
≧H(a[1]) + … + H(a[n]) + H(a[n+1])
643 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 23:02:59.95 ID:vlIg6IAS.net]: >>593 において，n=2 としたものが >>591
つまりベクトルの項数ではなく個数が 2 個
>>597 は n=2 で正しく証明してるから，帰納法を使うなら m ではなく n についてやらなきゃダメ
それが >>612
644 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/06(水) 08:33:21.29 ID:udLxg5Zs.net]: 夏休みの友
gathery.recruit-lifestyle.co.jp/article/1146775541637910801
645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/06(水) 20:08:21.77 ID:714K2b8V.net]: >>612
n=2 の場合を示せば十分だな。

やっぱり、mについての帰納法になるのかな。
H(ａ) + H(ｂ)
= H(H0(a),……,H0(a),a') + H(H0(b),……,H0(b),b')
= m･a'･H0(a)/[(m-1)a' + H0(a)] + m･b'･H0(ｂ)/[(m-1)b' + H0(ｂ)]
= m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]－{(m-1)/m}[a'･H0(b)－b'･H0(a)]^2 {H(a)/[a'･H0(a)]}{H(b)/[b'･H0(b)
646 名前：]}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)] ≦ m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)] ≦ m(a'+b')H0(a+b)/{(m-1)(a'+b')+H0(a+b)}　　{← H0(a)+H0(b)≦H0(a+b)} = H(H0(a+b),……,H0(a+b), a'+b') = H(ａ＋ｂ), >>613 は意味不明… []: [ここ壊れてます]
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 17:17:18.77 ID:qeaoYgad.net]: >>608 >>610
CRT（ブラウン管）を使うと、

(XX-XY+YY)/(XX+XY+YY)
= 1 - 2XY/(XX+XY+YY)
≧ 1 - 2XY/(3XY)
= 1/3,

x^3/(xx+xy+yy)
= x - xy(x+y)/(xx+xy+yy)
≧ x - xy(x+y)/(3xy)
= x - (x+y)/3
= (2x-y)/3,
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:33:58.42 ID:qeaoYgad.net]: >>601の類題
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2 ≧0,

(因数分解できるらしい.)
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:56:39.91 ID:PHUaneap.net]: >>617
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2
= (a^3 + b^3 + c^3 + abc)^2
≧0

ぬるぽビッチの性能とやらを見せてもらおうか？
650 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/07(木) 20:32:24.67 ID:o/iOEGvs.net]: Let a, b, c be three positive real numbers such that a+b+c=1.
Find max of k∈R satisfies (a+b)(b+c)(c+a)≧k√(abc).
651 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/08(金) 04:26:06.83 ID:uwPT+eQg.net]: >>147
左辺は (x, y, z) = (1, (√5-1)/2, (√5+1)/2) 及びこの巡回置換の時に最小値 11-5√5 = -0.18 を取ります
よって不等式は成り立ちません
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 18:04:18.17 ID:+GqLshVo.net]: >>619
let a+b+c=s, then
(a+b)(b+c)(c+a) ≧ (8/9)s(ab+bc+ca) ≧ (4s/3)^(3/2)･√(abc),

Left:
(a+b)(b+c)(c+a) - (8/9)s(ab+bc+ca)
= (1/9){(a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc}
= (1/18){a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2}
≧0

Right:
(ab+bc+ca)^2 - 3s(abc)
= (ab+bc+ca)^2 - 3(ab･bc + bc･ca + ca･ab)
= (1/2){aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2 + cc(a-b)^2}
≧0,

∴k=(4/3)^(3/2).
653 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/08(金) 21:28:17.08 ID:uwPT+eQg.net]: >>621
これはぬるぽビッチの性能を見せつけるための問題ですよ
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 22:01:39.85 ID:kth4OotZ.net]: よし、がんばってみるか
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 22:08:44.28 ID:uwPT+eQg.net]: 何を
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/09(土) 19:20:08.37 ID:UxNa1hu5.net]: >>619 >>622
Soko made iwaretan-ja shooganee na…

y=log(x) は上に凸

log(LHS)
= log(a+b) + log(b+c) + log(c+a)
= 3log(2) + log[(a+b)/2] + log[(b+c)/2] + log[(c+a)/2]
≧ 3log(2) + (3/2)log[(a+b+c)/3] + (1/2){log(a)+log(b)+log(c)}
= (3/2)log(4) + (3/2)log(1/3) + (1/2)log(abc)
= (3/2)log(4/3) + (1/2)log(abc)
= log(RHS),

∴k=(4/3)^(3/2).

equality: a=b=c=1/3
657 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote! mailto:sage [2016/07/10(日) 17:17:39.96 ID:VlwYS363.net]: >>620
ありがとう。

〔問題147'〕
正数x,y,z が xyz=1 を満たすとき、
(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) - 6(x/z + y/x + z/y) + (1+5√5) ≧0,
を示せ。
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/12(火) 20:37:55.08 ID:wu5v/x5V.net]: >>626

〔問題147"〕
正数X,Y,Z について次を示せ。
(X + Y + Z)(1/X + 1/Y + 1/Z - 6/G) + (-2+5√5) ≧0,
ここに、G=(XYZ)^(1/3).
659 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/13(水) 03:54:57.94 ID:16ioO3Ne.net]: 〔問題147'''〕
k を実数とする。正の数 x, y, z が xyz=1 を満たすとき
(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) + k(x/z + y/x + z/y)
の最小値を求めよ。

実際には最小値を与える x, y, z の条件を求めることになるけど…
k の値にもよるけどこの不等式自体あまり綺麗じゃないね
660 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/13(水) 03:56:24.51 ID:K/H8KF/H.net]: >>441
私は『父親から被害に遭った』ので、だから彼とは事情が違います。それ
にあんな偉い数学者と一緒にしないで下さいまし。彼は歴�
661 名前：jに残る偉大な 数学者であり、私みたいな小魚とは違うので。 彼みたいな有能な人でも「人間関係が邪魔になる」んだから、私みたいな 小魚はもっと大変ですわ。かなり有能でなければ、大学に勤務してたらば 『自分が擦り減るだけ』なので。かつて邪魔する芳雄を倒すだけでも大変 な苦労をしたので。 ￥ []: [ここ壊れてます]
662 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/13(水) 03:59:24.61 ID:K/H8KF/H.net]: 日本人の躾けは『大人の都合』、その目的は威厳に屈服させる為：
ある父親：クマが出没する山林に息子を放置、しかも嘘を吐いて保身。
別の父親：勉強の邪魔をして進路を妨害し、学歴を砕く。出世を強要。
ソレでも「親の行為は子供の為」という傲慢な常識を振り回す世間、しかも
「親を尊敬して大切に扱え」という無根拠な思想を押し付ける儒教文化。

お父さん、お母さんを大切にしましょう！！！ソレが世間体というモノ！

ケケケ￥

政治家も、お教授も、権力を振り回すのが大好きな低能人種：
ある男：ボクは都民の為に湯河原で休んでるんだ。知事が信じられんのかっ！
別の男：オレは哲也の為に指導してやってるんだ。父親が信じられんのかっ！
上から目線で強弁すれば、自分の言い分は何でも通る国があるらしい…

ああ、素晴らしき日本文化よ。キミ達も国会議員を見習い給え。何せ多数決で選
ばれた『皆の代表』なので。だからある男も別の男もエラいんだよォ～～～んw

コココ￥

終わり良ければ全てヨシ。途中経過はどうでもヨシ。
大学：学生の知能なんてどうでもヨシ。カネが儲かる教室を巧みに運営シロ。
狸研：研究の詳細なんてどうでもヨシ。世間が驚く大論文を外国に発表シロ。
芳雄：学問の中身なんてどうでもヨシ。安易に教授になれる分野を専攻シロ。

学問なんて所詮は出世の道具。周囲に秀才っぽく見せ掛けられたらソレでヨシ。
社会的に高い地位、そして豪華で贅沢な暮らし。世間が羨む大学教授のポスト。
ソレさえ手に入れば学問そのものなんて洋梨よォ～～～ん。

よよよ、よ～～～しお。そやしノ～ベル賞が欲しいよォ～～～んんんwww

シシシ￥
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/13(水) 19:29:58.45 ID:2uLWSWwd.net]: >>603
(左辺) = (AA+BB+CC) - (AB+BC+CA)
= {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2
≧0,
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/13(水) 19:34:08.54 ID:2uLWSWwd.net]: 〔問題〕
a^4 +b^4 +c^4 - p(aaab+bbbc+ccca) - p'(abbb+bccc+caaa) + {(pp+pp'+p'p')/3 -1}(aabb+bbcc+ccaa) + {p+p'-(pp+pp'+p'p')/3}abc(a+b+c)≧0,
を示せ。

x=aa+p'bc-cc-pbc, y=bb+p'ca-aa-pbc, z=cc+p'ab-bb-pca とおくと…

（参考）
安藤：「不等式」数学書房 (2012) p.59-61 §2.3.2 定理2.3.3(1)
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 00:45:31.55 ID:JfFkOvJ6.net]: 以前に見たような気がするけど、過去ログ調べても
666 名前：出てこなかった。 もっときつい評価（≦）を証明してくれような気がするんだけど、記憶が曖昧模糊ビッチ。 a, b, c >0のとき、5/3 < (3a+b)/(3b+a) + (3b+c)/(3c+b) + (3c+a)/(3a+c) < 7 []: [ここ壊れてます]
667 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 01:12:06.98 ID:EvL3WsYI.net]: >>446 じゃなくて？
668 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 01:16:04.23 ID:W/q5qfz4.net]: 日本人の躾けは『大人の都合』、その目的は威厳に屈服させる為：
ある父親：クマが出没する山林に息子を放置、しかも嘘を吐いて保身。
別の父親：勉強の邪魔をして進路を妨害し、学歴を砕く。出世を強要。
ソレでも「親の行為は子供の為」という傲慢な常識を振り回す世間、しかも
「親を尊敬して大切に扱え」という無根拠な思想を押し付ける儒教文化。

お父さん、お母さんを大切にしましょう！！！ソレが世間体というモノ！

ケケケ￥

政治家も、お教授も、権力を振り回すのが大好きな低能人種：
ある男：ボクは都民の為に湯河原で休んでるんだ。知事が信じられんのかっ！
別の男：オレは哲也の為に指導してやってるんだ。父親が信じられんのかっ！
上から目線で強弁すれば、自分の言い分は何でも通る国があるらしい…

ああ、素晴らしき日本文化よ。キミ達も国会議員を見習い給え。何せ多数決で選
ばれた『皆の代表』なので。だからある男も別の男もエラいんだよォ～～～んw

コココ￥

終わり良ければ全てヨシ。途中経過はどうでもヨシ。
大学：学生の知能なんてどうでもヨシ。カネが儲かる教室を巧みに運営シロ。
狸研：研究の詳細なんてどうでもヨシ。世間が驚く大論文を外国に発表シロ。
芳雄：学問の中身なんてどうでもヨシ。安易に教授になれる分野を専攻シロ。

学問なんて所詮は出世の道具。周囲に秀才っぽく見せ掛けられたらソレでヨシ。
社会的に高い地位、そして豪華で贅沢な暮らし。世間が羨む大学教授のポスト。
ソレさえ手に入れば学問そのものなんて洋梨よォ～～～ん。

よよよ、よ～～～しお。そやしノ～ベル賞が欲しいよォ～～～んんんwww

シシシ￥
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 03:07:24.07 ID:JfFkOvJ6.net]: >>634
( ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！

さんくす。
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 14:32:01.86 ID:JfFkOvJ6.net]: 実数x、yに対して、(x^2+12xy+9y^2)^2 ≧ 4y(2x+3y)^3

( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ
671 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 15:24:01.43 ID:EvL3WsYI.net]: >>637
例えば (x, y) = (1, 1) だと？
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 15:28:55.94 ID:JfFkOvJ6.net]: >>637
すまん、忘れてくれ…

　　　シュボッ
　　　　　　　.,　∧＿∧　
　　　　　　[]() （・ω・｀）　　　　　　ｌ二ヽ
　　　　　　□と　　　　）￣⊃　　　　　) )
　　　　　　⊂ （＿（＿つ　　￣⊃　　/￣￣￣ヽ
　　　　　　　⊂_　　　　　 .＿⊃　　　| （＼／） |
　　　　　　　　　⊂＿＿⊃.　　　　　 |　 >　< 　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | （／＼）. |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽ＿＿＿/
673 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 15:33:42.95 ID:W/q5qfz4.net]: ￥

>236 ：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 13:34:39.39 ID:zLVRVGit
> >>221　たんなる京大とプロ数学者じゃ全然話が違うだろ
> 同列に書くあたり、ほんと、どうしようもないクソ京大コンプだな、じじい
>
>250 名前：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 18:07:16.21 ID:/KsaK/zz
> >>221
> ＞解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>
>
> 本当のエリートは有象無象の言うことなど、ハナから眼中にない。
> アンタが有象無象の言うことが癇に障ってしかたがないのは、アンタ自身が
> （アンタがヘドがでるほど嫌悪する）有象無象の一人に過ぎない証拠。
>

>> 217 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/01(金) 11:07:44.51 ID:Hb6rl5wG
>> 解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
>> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
>> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
>> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>>
>> そもそも他人のプライバシーなんかに興味を持つんじゃねェんだよ。こう
>> いう匿名無責任糞板はケシカラン連中が跋扈してるやろ。そやし壊滅する
>> まで焼くさかいナ。エエな。馬鹿は馬鹿だけで閉じて遊べや。京大を話題
>> になんてスナ。焼き払ってやる。アホは絶対に許さんのでナ。糞野郎共め。
>>
>> ￥
>>
674 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 15:53:11.16 ID:EvL3WsYI.net]: a[1], …, a[n]; b[1], …, b[n] を正の実数とし，M[1], m[1] をそれぞれ a[1], …, a[n] の最大値，最小値，M[2], m[2] をそれぞれ b[1], …, b[n] の最大値，最小値とする。
　　(a[1]^2+…+a[n]^2)(b[1]^2+…+b[n]^2) / (a[1]b[1]+…+a[n]b[n])^2
の最大値および等号成立条件を求めよ。

【THE USER OLYMPIAD PROBLEM BOOK, problem 299, pp.70-71.】
675 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 16:13:56.03 ID:W/q5qfz4.net]: ￥

>236 ：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 13:34:39.39 ID:zLVRVGit
> >>221　たんなる京大とプロ数学者じゃ全然話が違うだろ
> 同列に書くあたり、ほんと、どうしようもないクソ京大コンプだな、じじい
>
>250 名前：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 18:07:16.21 ID:/KsaK/zz
> >>221
> ＞解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>
>
> 本当のエリートは有象無象の言うことなど、ハナから眼中にない。
> アンタが有象無象の言うことが癇に障ってしかたがないのは、アンタ自身が
> （アンタがヘドがでるほど嫌悪する）有象無象の一人に過ぎない証拠。
>

>> 217 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/01(金) 11:07:44.51 ID:Hb6rl5wG
>> 解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
>> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
>> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
>> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>>
>> そもそも他人のプライバシーなんかに興味を持つんじゃねェんだよ。こう
>> いう匿名無責任糞板はケシカラン連中が跋扈してるやろ。そやし壊滅する
>> まで焼くさかいナ。エエな。馬鹿は馬鹿だけで閉じて遊べや。京大を話題
>> になんてスナ。焼き払ってやる。アホは絶対に許さんのでナ。糞野郎共め。
>>
>> ￥
>>
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 14:41:59.04 ID:sSKBu+X8 ]: [ここ壊れてます]
677 名前：.net mailto: 今年のIMOは不等式の問題出なかったね []: [ここ壊れてます]
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 16:38:30.80 ID:402uibiN.net]: >>237
> a、b、c、x、y、z ∈R が、
> 　(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1
> 　 x^2+y^2+z^2=1
> をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲
>
> ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？

( ﾟ∀ﾟ) ﾜｸﾜｸﾜｸﾜｸ …
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 19:04:34.16 ID:qKj/pzjF.net]: >>644
OP=(a,b,c)　OX=(x,y,z)　とおくと OX=1 だから、
|ax+by+cz| = OP･OX |cosφ| ≦ OP,
P=(a,b,c) は中心 C=(1,2,3) 半径1の球面上の点だから、△不等式より
OP ≦ OC +1 = √14 +1,
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 20:27:28.25 ID:qKj/pzjF.net]: >>296 >>335

(A/G)^3 = {(a+b+c)/3}^3 /(abc) = s^3/(27u),
(G/H)^3 = abc{(1/a+1/b+1/c)/3}^3 = t^3/(27uu),
(A/H) = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)/9 = st/(9u),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.

∴ (右辺)－(左辺)
= (3/4)(1 + st/9u)^2 - s^3/(27u) - t^3/(27uu) -1
= {(9u+st)^2 -4s^3･u -4t^3}/(108uu) -1
= ⊿⊿/(108uu)
≧0,
ここに⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),　…差積
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/16(土) 21:55:48.73 ID:PABwwLAI.net]: >>235
aa=xy/2, bb=2yz/3, cc=3zx,
とか置くと、
x=2ca/(3b), y=3ab/c, z=bc/(2a), xyz=abc,
よって
(与式) = abc/{6(aa+1)(bb+1)(cc+1)},
(aa+1)-2a =(a-1)^2 ≧0.

>>632
(左辺) = (1/6){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧0,

>>641
ラグランジュさんの恒等式
（a[1]^2+…+a[n]^2）（b[1]^2+…+b[n]^2）-（a[1]b[1]+…+a[n]b[n])^2＝Σ[1≦i<j≦n]（a[i]b[j]-b[i]a[j])^2
が最大になるのは…
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/16(土) 23:37:56.62 ID:60UMVyJM.net]: >>637
> 、(x^2+12xy+9y^2)^2 ≧ 4y(2x+3y)^3

因数分解できるね ( ﾟ∀ﾟ)
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 21:09:20.11 ID:0qSKZ1Xz.net]: >>637
実数 x,y に対して (xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(2x+3y)(x+6y),

因数分解できまつ…
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 21:22:27.74 ID:0qSKZ1Xz.net]: >>637 >>648-649
ついでに…
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(2x+3y)(x+6y),
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(xx+9xy+9yy),
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 36xy(xx+3xy+9yy),
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 23:42:09.72 ID:0qSKZ1Xz.net]: >>628

(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) + k(x/z + y/x + z/y)
= {x^3 + 1/z^3 + (-k/3)^3 + kx/z}
+ {y^3 + 1/x^3 + (-k/3)^3 + ky/x}
+ {z^3 + 1/y^3 + (-k/3)^3 + kz/y}
+ kkk/9
= (x +1/z -k/3){ … } + (y +1/x -k/3){ … } + (z +1/y -k/3){ … } + kkk/9
≧ kkk/9,

綺麗でもねぇし、(k≠-3では）最小値も出ねぇし…
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/20(水) 21:56:45.67 ID:tgs7YrRF.net]: 〔演習問題1.96〕
x,y,zを非負実数とするとき、次を示せ。
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz ≧ ｋ|(x-y)(y-z)(z-x)|,

(a) k = 4
(b) k = √(9+6√3) = 4.403669475

ルーマニア 2007年(改)
佐藤（訳）§1.6 演習問題1.96
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/20(水) 22:37:49.58 ID:tgs7YrRF.net]: >>652
(左辺) = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx),

yはxとzの中間にあるとしてよい。
xx+yy+zz-xy-yz-zx = (x-y)^2 + |x-y||y-z| + (y-z)^2

(a)の方は
x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|, |y-z|}

(左辺) ≧ (|x-y|+|y-z|)^3 = |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
688 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 04:37:28.80 ID:pItodR5J.net]: >>652
(b)
LHS - RHS の最小値は (x, y, z) = (0, c*(3+sqrt(6(sqrt(3)-9)), c*(3-sqrt(6(sqrt(3)-9))) (c は任意の実数) およびこの任意の置換で起こるってとこだね
689 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 04:39:33.36 ID:pItodR5J.net]: >>652
(b) LHS- RHS の最小値は
　　(x, y, z) = (0, c*(3+sqrt(6sqrt(3)-9)), c*(3-sqrt(6sqrt(3)-9))) (c は任意の実数)
およびこの任意の置換で起こる
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 15:41:03.72 ID:pItodR5J.net]: >>655
c は実数ではなく任意の非負実数っていうのと，最小値は x = y = z でも起こることを付け足しておきます

【問題648'】
非負実数 x, y, z に対し，次の最小値を求めよ
　　(x^3+y^3+z^3-3xyz) - abs(x*(x-y)*(x-z))
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 15:57:20.47 ID:MLLBocxJ.net]: >>656
右辺のabsってのは、絶対値ですか？ Excelか何かで使う記号ですか？
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 16:10:58.48 ID:pItodR5J.net]: 解いてはないけどあってると思う

【問題648''】
非負実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ
　　・x^3+y^3+z^3+xyz ≧ 1/2 (x+y)(y+z)(z+x)
　　・x^3+y^3+z^3+1/4 (x+y)(y+z)(z+x) ≧ xyz
693 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 16:12:09.88 ID:pItodR5J.net]: >>657
絶対値です
texやmaximaなど，色々なところで使えます
694 名前：648-649 mailto:sage [2016/07/21(木) 16:49:03.75 ID:NpEdeMjc.net]: >>656
正解です!　
(x,y,z) = (0, C*(k+√3), C*(k-√3))　　C≧0
でもいい…

>>658
x^3 +y^3 +z^3 -(x+y)(y+z)(z+x) +5xyz = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F1(x,y,z) ≧0,
(Schur) と
(x+y)(y+z)(z+x) - 8xyz = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧0,
を使えば出そう…
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/23(土) 22:53:41.28 ID:vBFJLUiR.net]: もう変形問題は十分かな？

【問題648'''】
λを実数とする。任意の非負実数 x, y, z に対し次の不等式が成り立つ実定数 k が存在するような λ を求め，その時の k の最大値を求めよ。
　　x^3 +y^3 +z^3 +λxyz ≧ k|(x-y)(y-z)(z-x)|,
696 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/23(土) 23:35:47.80 ID:vBFJLUiR.net]: ところでみんなはどんな感じに不等式コレクションしてるの？
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 00:49:56.31 ID:KzbjbpQs.net]: とりあえずTeXで問題と証明をまとめて、不等式フォルダにブチ込む。
時間のあるときに覗いてﾊｧﾊｧしながら、適当に分類する。
昔は出典（入試問題なら出題年と大学名、webならURL）を記録していなかったことを後悔。
一度HDDが壊れて失われたことがあるので、今は殆ど残っていない。
最近は時間がないので、TeXでまとめずに、urlだけメモって終わり。
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 14:35:35.94 ID:fbilIAGJ.net]: >>663
そのフォルダ見たいぜ！

任意の実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ。
　　x^4 + y^4 + z^4 + 2xyz(x + y + z) ≧ x^3y + y^3z + z^3x
【VASILE CIRTOAJE】
699 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/07/24(日) 14:42:01.38 ID:ntolEbC+.net]: ￥
700 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:18.27 ID:ntolEbC+.net]: ￥
701 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:37.80 ID:ntolEbC+.net]: ￥
702 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:57.45 ID:ntolEbC+.net]: ￥
703 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:16.98 ID:ntolEbC+.net]: ￥
704 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:36.53 ID:ntolEbC+.net]: ￥
705 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:55.29 ID:ntolEbC+.net]: ￥
706 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:14.42 ID:ntolEbC+.net]: ￥
707 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:33.17 ID:ntolEbC+.net]: ￥
708 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:53.72 ID:ntolEbC+.net]: ￥
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 21:49:10.16 ID:vPY226Dk.net]: >>664

>>632 で p=1、p'=0 とすると、
X = xx-zz-pxy,
Y = yy-xx-pyz,
Z = zz-yy-pzx,
により
(左辺)－(右辺)＝{(X+Y)^2+(Y+Z)^2+(Z+X)^2}/2 ≧0,

等号成立は
(x,y,z) = (1, (0.8019377358), 1/(-2.2469796037))　とその rotation.
t^3 +2tt -t-1=0 の根。

【問題660'】
任意の実数x,y,zに対し
x^4 + y^4 + z^4 + (√3 -1)xyz(x+y+z) ≧ (√3)(x^3･y + y^3･z + z^3･x),
710 名前：は成り立つか？ []: [ここ壊れてます]
711 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:24:39.66 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
712 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:24:56.82 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
713 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:15.52 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
714 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:34.61 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
715 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:55.42 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
716 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:16.14 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
717 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:34.78 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
718 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:54.79 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
719 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:27:15.01 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
720 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:27:36.02 ID:kzohBiLJ.net]: ￥
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/25(月) 19:42:43.05 ID:DgzBjBOv.net]: >>632
(1/6)(p-p')^2･(ab+bc+ca)^2 ≧0 を足すと…

〔系〕
a^4 +b^4 +c^4 - p(aaab+bbbc+ccca) - p'(abbb+bccc+caaa) + {(pp+p'p')/2 -1}(aabb+bbcc+ccaa) + (p+p'-pp')abc(a+b+c)≧0,
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/25(月) 20:02:06.87 ID:DgzBjBOv.net]: >>632 >>686

x = aa-cc-pab+p'bc,
y = bb-aa-pbc+p'ca,
z = cc-bb-pca+p'ab,
とおくと、
(628の左辺) = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/6 ≧0,
(682の左辺) = (xx+yy+zz)/2 ≧0,
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/27(水) 22:29:50.52 ID:iPJXlDFo.net]: f(x) をｎ次多項式
M = max |f(x)| (1≦x≦1)
m = max |f’(x)| (1≦x≦1)
とおくとき、m’≦(n^2)・Ｍ
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/28(木) 04:53:00.74 ID:yd5KkHjM.net]: そういや昔、日本の高校教師がAM-GM inequalityの新証明を発見したよ（ドヤ顔）ってニュースがあって、
数セミにも記事が載ってたけど、どの辺が新証明なのか分からなかった。サルにも分かるように説明キボンヌ！
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/28(木) 05:08:15.85 ID:yd5KkHjM.net]: >>689
不等式への招待第５章

536 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/25(木) 16:54:26.26
そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
並べ替え不等式を使うのか…

541
その方法と全く同じ方法で、色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、数学セミナーに掲載されている。

数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について　仁平政一　52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。

545
記事名をキーワードにググってみたら、数研通信とかいうサイトにまるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)

数研通信　47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf

>545と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方がさらに年月が古く、2003年8月となっている。
>545のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に数セミが無いので、確認できない＾o＾)。

546
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…

547
ということは、並べ替え不等式を使う方法はずっと昔から知られていたと。

548
所謂, Rearrangememt Inequalityですな。

583
　x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
　x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
　x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。

584
つまり
726 名前：既出の証明でも専門誌に発表できるということですね 585 対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。 []: [ここ壊れてます]
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/29(金) 06:20:06.49 ID:qniiitz9.net]: 論文って、民間人が投稿できるの？数学者かつ、その雑誌の会員になってないとダメなんじゃないん？
しかも掲載してもらうのに金がかかるのでは？
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/30(土) 16:41:14.11 ID:Dzi09bPm.net]: >>686 に (1/2)(p-p')^2･(ab+bc+ca)^2 = (1/2)(x+y+z)^2 ≧0 を足すと…

〔系〕
a^4 +b^4 +c^4 -p(aaab+bbbc+ccca) -p'(abbb+bccc+caaa) +(pp-pp'+p'p'-1)(aabb+bbcc+ccaa) +(p+p'+pp-3pp'+p'p')abc(a+b+c)
= {(x+y)^2 +(y+z)^2 +(z+x)^2}/2
≧0,

p=1、p'=0 とおけば >>664

(略証)
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (x+y+z)^2,
3(x^2 + y^2 + z^2) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x+y+z)^2,
より
729 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 00:28:09.98 ID:qfoqfHkv.net]: 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。

￥

>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
>　　反論できないってことは読んでないんだなｗ
>　　なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
730 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:15:46.52 ID:qfoqfHkv.net]: 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。

￥

>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
>　　反論できないってことは読んでないんだなｗ
>　　なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
731 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:21:17.67 ID:qfoqfHkv.net]: 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。

￥

>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
>　　反論できないってことは読んでないんだなｗ
>　　なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
732 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:21:41.72 ID:qfoqfHkv.net]: 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。

￥

>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
>　　反論できないってことは読んでないんだなｗ
>　　なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/01(月) 18:18:26.53 ID:CDqeLcE8.net]: 任意の実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ。
　　(x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ 3(xxxy + yyyz + zzzx)
また，等号成立は（厳密に）いつか。
【VASILE CIRTOAJE】
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/01(月) 19:41:16.69 ID:1+D1r8o8.net]: 巡回式は難しい…
735 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/02(火) 11:58:10.59 ID:PwIO2J7h.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5392 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 11:53:29 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5393 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 11:58:25 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5394 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/31(日) 12:06:23 ID:???
> ￥
>
>5395 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 13:24:11 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5396 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/31(日) 17:23:53 ID:???
> ￥
>
>5397 ：kmath1107★ ：2016/08/01(月) 15:59:13 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5398 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/01(月) 16:06:01 ID:???
> ￥
>
736 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/02(火) 12:50:30.83 ID:PwIO2J7h.net]: 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。

￥

>335 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
>　　反論できないってことは読んでないんだなｗ
>　　なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/04(木) 14:16:14.46 ID:0OpmwG2h.net]: サノバビッチの不等式
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/05(金) 10:30:24.66 ID:paKrRuwY.net]: 欲しかったけど高すぎたわｗ

page12.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/p522823978
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/06(土) 09:35:04.11 ID:iu7LMiQH.net]: a、b、c > 0 のとき、
(a + bc/a)*(b + ca/b)*(c + ab/c) ≧ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc

　　　　 ///////
　　　　///////＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
　　　 /////// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣
　　　///////　　　　　＿＿＿　　　 (~)　ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
　　 ///////　　　　／　　≧　＼　　ﾉ,,
　　///////　　　　　|::::: (●　(● |　　　　
　 ///////　　　　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　　　日本の夏
　/////// 　　　　（つ　へへつ　　　　　不等式の夏
///////　　　//△ ヽλ　）　）　旦
//////　　l￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣l
/////　　　￣| .|￣￣￣￣￣￣￣| .|￣
////　　　　　^＾^　　　　　　　　　 ^＾^
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/06(土) 22:49:34.50 ID:S/4UAYpT.net]: xyz=1を満たす、x,y,zに対し、
s=(x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z),　t=(z,x,y,1/z,1/x,1/y)　を考え、|
741 名前：s|^2*|t|^2≧(s,t)^2　より (x/y)^2+(y/x)^2+(y/z)^2+(z/y)^2+(z/x)^2+(x/z)^2 ≧ x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 +z^2 + 1/z^2 が得られる。x^2=a/b,y^2=b/c,z^2=c/a　と置くと、 a^2/(bc) + bc/a^2 + b^2/(ca) + ca/b^2 + c^2/(ab) + ab/c^2 ≧ a/b + b/a + b/c + c/b + c/a + a/c (1+bc/a^2)(1+ca/b^2)(1+ab/c^2) - 2 ≧ (a^2+b^2)/(ab) + (b^2+c^2)/(bc) + (c^2+a^2)/(ca) = (a-b)^2/(ab) + (b-c)^2/(bc) + (c-a)^2/(ca) + 6 となり、以下、>>703の式が得られる。 []: [ここ壊れてます]
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/07(日) 15:53:44.74 ID:2i9EL15m.net]: >>703
σ＝a+b+c,
τ＝ab+bc+ca,
υ＝abc,
とおくと

(左辺)
＝(a＋bc/a)(b＋ca/b)(c＋ab/c)
＝(a^3+b^3+c^3)＋{(ab)^3＋(bc)^3＋(ca)^3}/(abc)＋2abc
＝σ^3＋τ^3/υ－6στ＋8υ,

(右辺)
＝3{a(b-c)^2＋b(c-a)^2＋c(a-b)^2}＋8abc
＝3(στ-9υ)＋8υ,

(左辺)－(右辺)＝(σ^3＋τ^3/υ＋27υ)－9στ
≧0,　　　　(←相加･相乗平均)

ぬるぽ
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/09(火) 13:17:59.74 ID:NFl45Mcl.net]: >>703を改良…

a,b,c,μ＞0 のとき、
(μa＋bc/a)(μb＋ca/b)(μc＋ab/c)－(μ+1)^3･abc ≧ Ｋ{a(b-c)^2＋b(c-a)^2＋c(a-b)^2},
が成立つような最大の正数Ｋは
Ｋ＝μ(μ＋√μ＋１),
等号成立は（1,1,1）または（1,1,√μ）の入替え。
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/09(火) 16:21:29.05 ID:00WyQw5W.net]: >>704-705
すんばらしい！私も自分で証明できれば楽しいんだけどね…

>>706
キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！

どうやって拡張するんだ？頭ン中どうなってるんだろ？
745 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/09(火) 21:59:41.16 ID:4cBgrI4L.net]: これって新手の荒らし？
746 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/09(火) 22:00:48.01 ID:I4hvVtKK.net]: ここではキモAAは定番
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/09(火) 22:22:02.37 ID:gJhTAdiM.net]: このスレの人口は3人くらいかな
半数近いレスが1人
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/09(火) 22:40:51.64 ID:m8ZrruxG.net]: てことは僕以外に二人くらいか…
749 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 00:18:02.71 ID:1YZWefPk.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5470 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/06(土) 17:43:47 ID:???
> ￥
>
>5471 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 06:25:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5472 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 08:32:51 ID:???
> ￥
>
>5473 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 17:43:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5474 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 17:54:48 ID:???
> ￥
>
>5475 ：名無しさん：2016/08/08(月) 04:30:59 ID:C9rjCaNs
> 人への念の盗み見による介入を阻むことができれば、多くの人に明るい未来が来る？
>
>5476 ：kmath1107★ ：2016/08/08(月) 10:05:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5515 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
750 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:19:27.42 ID:1YZWefPk.net]: ￥
751 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:19:47.39 ID:1YZWefPk.net]: ￥
752 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:20:07.13 ID:1YZWefPk.net]: ￥
753 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:20:28.57 ID:1YZWefPk.net]: ￥
754 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:20:48.08 ID:1YZWefPk.net]: ￥
755 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:21:07.57 ID:1YZWefPk.net]: ￥
756 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:21:30.42 ID:1YZWefPk.net]: ￥
757 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:21:46.74 ID:1YZWefPk.net]: ￥
758 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:22:04.70 ID:1YZWefPk.net]: ￥
759 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 01:22:22.73 ID:1YZWefPk.net]: ￥
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/10(水) 10:18:55.94 ID:yp2u7rSZ.net]: >>708
おっ新入りか。肩の力抜けよ。

>>709-710
何を今更…、暗黙の了解じゃあないか？
761 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/10(水) 13:05:01.06 ID:1YZWefPk.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5470 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/06(土) 17:43:47 ID:???
> ￥
>
>5471 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 06:25:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5472 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 08:32:51 ID:???
> ￥
>
>5473 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 17:43:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5474 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 17:54:48 ID:???
> ￥
>
>5475 ：名無しさん：2016/08/08(月) 04:30:59 ID:C9rjCaNs
> 人への念の盗み見による介入を阻むことができれば、多くの人に明るい未来が来る？
>
>5476 ：kmath1107★ ：2016/08/08(月) 10:05:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5515 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
762 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:22:45.97 ID:1YZWefPk.net]: ￥
763 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:23:07.46 ID:1YZWefPk.net]: ￥
764 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:23:26.49 ID:1YZWefPk.net]: ￥
765 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:23:46.46 ID:1YZWefPk.net]: ￥
766 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:24:05.79 ID:1YZWefPk.net]: ￥
767 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:24:25.36 ID:1YZWefPk.net]: ￥
768 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:24:41.66 ID:1YZWefPk.net]: ￥
769 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:25:03.87 ID:1YZWefPk.net]: ￥
770 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:25:21.13 ID:1YZWefPk.net]: ￥
771 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/10(水) 15:25:38.35 ID:1YZWefPk.net]: ￥
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/11(木) 00:42:30.15 ID:bzrEZBQ1.net]: 一人だけ明らかに浮いてるのがいるのはわかる
773 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/11(木) 05:37:39.75 ID:CYXX3tFD.net]: ￥
774 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/11(木) 10:46:58.07 ID:CYXX3tFD.net]: ￥
775 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/11(木) 12:37:02.80 ID:CYXX3tFD.net]: ￥
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/11(木) 16:57:08.62 ID:ejgalUa6.net]: >>705

(左辺)－(右辺)
＝（σ^3＋τ^3/υ＋27υ）－9στ
＝(1/a){(a-b)(a-c)}^2＋(1/b){(b-c)(b-a)}^2＋(1/c){(c-a)(c-b)}^2
≧0,
でもいい…
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/12(金) 02:31:38.66 ID:5Vlea0gQ.net]: アゲ
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/14(日) 00:00:02.03 ID:a7rRdCVL.net]: a, b > 0、r∈R のとき、
[ (a^r + b^r) / (a^{r-1} + b^{r-1} ) ]^r ≧ (a^r + b^r)/2
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/17(水) 05:53:18.97 ID:r0IaSjg0.net]: 複素数 a、b、c に対して、|sqrt(a^2 + b^2 + c^2)| ≦ max{ |a|+|b|、|b|+|c|、|c|+|a| } を示せ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /´`ｰ─:;:;:;:;:;:/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/｀ﾝｰ-､:;;:;:;::;:|　　　　ﾄ､　　　　　　,ｲ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　,ｲ/　　q　q`ヾh　　　　| LY´￣￣｀7/ !
　　　　　　　　　　　　　,jｲﾘ' rｪzjゞ _,,,,jｶ}　　　　| |　｀`ー‐'"´;　|　　麻呂のスタンド
　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾘ^jﾞ', 　"´V'''''~jﾐi!　　　　l |　　　　　 ', |　　　inequalityは
　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾄﾚ' ,'　　‐-､,, /ｿ'　　　　V　　　　　　 _} !　　　スデに不等式を
　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾﾄ､　　｀`　,ﾞ/　　　　　 {「::i!;ヽ　,ｨ;;i!:7 |　　　　証明している…
　　　　　　　　　　　　　　　　　/j　ヾ:;;;;;;:.:,ｲ´ 　　　　　l ゞ=''ﾞ;　;ゞ='',' |
　　　　　　　　　　　　　　　 , ｲ〈　　.:;;;;;:.:/　　　　　＿ _」 ',　　　　　,'　i!
　　　　　　　　　　　　　,イ　ヽｰ-─／´ﾄ､　　,r'´子タ　ﾄ､　‐=-　／:.!L,．-──- ､
　　　　　　　　　_,．-‐''´ ＼ヽｰ -- 、＿／　｀ヽ/｡｡｡　　_」;;:ヽ __,ィ　,r'´　 ,r''"´￣｀ﾌ＼
　　　　 ,r─''"´　　　　　　｀──∥∥─''´ゝﾉ　 ,rｭ_」7,ｲj!;:;:;:;:;::.:.:,ﾉ, イ7′　　, '´/7rｪヽ
　　　 / i;;;;;;;| 　　　　　　　　　　　　　　／￣,/q　/ﾊﾚ'ヾヾ＼;;:;:.:.:: .: . ./´ｰ＝=ｲ､,　弋夲/i
　　　 !　|;;;;;;|　　　　　　　　　　　　　/　　,イl　　 L_」l　ﾚ'´　　　　　_ノ二ﾆヽ　ヾヽ　　｀¨7
　　　 |　ﾞi;;;;;|　　　　　　　　　　　　　ﾊ__ノ^|」ｏ　ｏ oﾄ､/　　,．-‐'"´＼　　_」」＿」_」､　　/
　　　 ,〉､ﾞi;;;;､　　　　　　　　　　　ノ-､/, イ:;￣￣｀¨`Y;:,r'"´二ﾆヽ,．-‐''"´｀ヽ　　ヽi|　/
　　　,ﾊ　＼ﾄ;;､　　　　　　　　　　/ｰ-/　 /　.:.:　　　 _,ﾘ´　　￣｀＼＼　　　ヽ　＼　 ,j!,ｲ
　　 /　iヽ　　ﾊ　　　　　　　　;r'ｰ=,/　 /　　.:.:　 _／　　　　　　 /　ﾞi＼　　｀, 　 !／.:;:;!
780 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/17(水) 13:26:18.80 ID:oj9b67dk.net]: >>742
a^2 + b^2 + c^2 = r^2e^(iθ) とおくと
LHS = |rcosφ| ≦ r = sqrt(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) ≦ 2/3 (|a| + |b| + |c|) ≦ RHS

どや
781 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 13:59:42.68 ID:z7oUOJDv.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
>
>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析�
782 名前：､究所に居られた超一流の理論物理学者で > おられる中西先生にこんな質問をした事がある。 > > 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの > でしょうか？」 > > 中西先生：「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり > 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」 > > 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「は－そうなんですか－」 > > 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな > く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる > >5541 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:??? > いい加減、芳雄に謝罪しろ > []: [ここ壊れてます]
783 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:27:49.15 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
784 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:28:14.83 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
785 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:28:39.97 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
786 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:29:01.76 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
787 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:29:20.30 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
788 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:29:39.75 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
789 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:29:59.52 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
790 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:30:21.62 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
791 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:30:42.24 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
792 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 14:31:01.46 ID:z7oUOJDv.net]: ￥
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/17(水) 14:43:33.45 ID:oj9b67dk.net]: >>743
LHS = |rcosφ| ≦ r = sqrt(|a^2 + b^2 + c^2|) ≦ sqrt(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) ≦ 2/3 (|a| + |b| + |c|) ≦ RHS

か
794 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/17(水) 14:43:40.65 ID:87S21yCr.net]: 小沢の不等式はノーベル賞級
795 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 15:55:39.46 ID:z7oUOJDv.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
>
>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生：「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「は－そうなんですか－」
>
> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/17(水) 16:24:03.04 ID:oj9b67dk.net]: >>755
LHS = |re^(iφ)| = r = sqrt(|a^2 + b^2 + c^2|) ≦ sqrt(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) ≦ 2/3 (|a| + |b| + |c|) ≦ RHS

あとから細かな間違い見つかって嫌だわ

【質問】
m を正の整数とし，a[1], …, a[m] を区間 [1/2, 1] 上の数列，s[1], …, s[m] をその各次数に対する基本対称式とする。いま
　　f(x) := (x-a[1])…(x-a[m]) = x^m - s[1]x + s[2]x^2 -+ …
とし，条件
・m-1/2 ≦ s[1]
・s[m] = 1/2
・f(1/2) ≧(≦) 0
・min[x≧1] f'(x) ≧ 0
・max(min)[x≦1/2] f'(x) ≦(≧) 0
を定めます。≧(≦) は m が偶数なら≧，奇数なら≦を表します。max(min) も同様。
このとき，s[1], … s[m] ならびに a[1], … a[m] を決定することは可能ですか？
m が小さい場合はできたのですが…
797 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/17(水) 17:42:31.10 ID:z7oUOJDv.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
>
>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生：「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　：「は－そうなんですか－」
>
> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 04:46:49.13 ID:pVzqltIf.net]: >>742
|a|≧|b|≧|c|とすれば
｜aa+bb+cc｜^(1/2)≦|a|＋(√2－1)|b|＋(√3－√2)|c|,
だが
799 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/22(月) 09:25:35.49 ID:CXTBAMOO.net]: a≧b>0、nは自然数のとき、
(1/n)(a^n-b^n)≦(1/2)(a-b){a^(n-1)+b^(n-1)}
800 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 09:42:21.75 ID:q01q4Ck8.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5615
> うるさい
>
> >>5616
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5617 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権�
801 名前：ﾐには擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。 > ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。 > ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。 > ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。 > ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。 > ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。 > ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。 > ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。 > ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。 > > ￥ > []: [ここ壊れてます]
802 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:05:47.62 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
803 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:06:05.75 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
804 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:06:22.37 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
805 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:06:40.23 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
806 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:06:56.79 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
807 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:07:13.84 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
808 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:07:31.34 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
809 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:07:56.71 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
810 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:08:16.13 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
811 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 11:08:35.97 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 11:34:33.16 ID:ZJVUMCJi.net]: ageると荒らされるぞ。
このスレを見ている奴はageなくても見ているのだから、書き込みの度にageるなよ >>761
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 11:36:27.52 ID:Qopa6DmG.net]: >>761
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－Σ[k=0,n-1] {a^k･b^(n-1-k)＋a^(n-1-k)･b^k}
＝Σ[k=0,n-1] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
≧0,
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 11:47:45.37 ID:ZJVUMCJi.net]: 上がっているスレに対して、自動で荒らし書込をしているんだろうな。

>>708-709 がageた２時間後に 708-734 の荒らし
>>743 がageた後に 740-750 の荒らし
>>756 がageて荒らした後に 754、756 の荒らし
>>761 がageた後に 758-768 の荒らし

常連はageずに出題＆解答しているから、他の人もageぬようお願いします。
815 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/22(月) 12:45:59.46 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 12:51:21.49 ID:Qopa6DmG.net]: >>761
加法公式から
sinh(nt)/sinh(t)＝cosh((n-1)t)＋sinh((n-1)t)/tanh(t)
＝cosh((n-1)t){1＋tanh((n-1)t)/tanh(t)}
≦n･cosh((n-1)t),

ageさんは分かってないね。
817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 15:48:52.26 ID:Qopa6DmG.net]: >>774
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝Σ[k=1,n-2] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
＝(a-b)^2･Σ[k=1,n-2] k(n-1-k)･a^(k-1)･b^(n-2-k)
≧0,
818 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/22(月) 15:49:08.30 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
819 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 18:59:08.42 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
820 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 18:59:25.75 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
821 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 18:59:45.01 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
822 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:00:02.17 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
823 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:00:21.40 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
824 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:00:39.89 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
825 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:01:02.28 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
826 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:01:21.57 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
827 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/22(月) 19:01:42.38 ID:q01q4Ck8.net]: ￥
828 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/23(火) 01:11:00.02 ID:dXrvzIKU.net]: ￥
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 01:38:48.93 ID:MlD6b3PU.net]: >>774
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝Σ[k=1,n-2] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
＝(a-b)^2･Σ[k=1,n-2] k(n-1-k)･a^(k-1)･b^(n-2-k)
＝(a-b)^2･Ｃ[n,3]･δ,
とおくと
{(a+b)/2}^(n-3)≦δ≦{a^(n-2)－b^(n-2)}/{(n-2)(a-b)},

ageさんはだめだね。
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/25(木) 02:15:08.67 ID:gDSxL4jk.net]: [第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
（Inequalitybot[186]）☆9

[問題787]
a,b,c>0のとき、(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2≧24abc(aa+bb+cc)
（じゅー、Inequalitybot[196]）☆7
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 01:25:56.28 ID:8nXURLtK.net]: 正の数 x に対して、log(cosh x) > (x・tanh x)/2

　　　　　　　　　　　　ﾌｧｻｧ
　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　（　・∀・）　　　　　　）)
　　　　　　 /つ（￣｀ヽO_ノ⌒ヽ
　　　　　ノ　　）　　　　　　　　＼）)
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　　　　　　　　　　　　　　　　　もう寝まつ。
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　　　　　　(￣⊂人　//⌒　　ﾉ　　ヽ）
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832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/04(日) 02:05:19.01 ID:kABoMFjs.net]: >>792
x=0のとき等号成立。
(左辺－右辺）’＝(1/2)tanh(x)－x/{2cosh(x)^2}
＝(1/2)tanh(x){1－(2x)/sinh(2x)}
＞0,
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 01:30:20.77 ID:k5MxNxjW.net]: >>792
t=tanh(x) のべき級数に展開する。(McLaurin展開)

2*(左辺)＝2*log(cosh(x))
＝－log(1-tt)
＝t^2+(1/2)t^4+(1/3)t^6+(1/4)t^8+…,

2*(右辺)＝x*t
＝(t/2)log{(1+t)/(1-t)}
＝(t/2)log(1+t)－(t/2)log(1-t)
＝t^2＋(1/3)t^4＋(1/5)t^6＋(1/7)t^8＋…,
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 15:20:50.90 ID:HWkA5iDY.net]: >792
　x^(3/2)･√tanh(x)/2 ≧ log(cosh(x)) ≧ x･tanh(x)/2,
かな。
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 17:55:44.15 ID:HWkA5iDY.net]: >>792
　x･{x+tanh(x)}/4 ≧ log(cosh(x)) ≧ x･tanh(x)/2,
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 23:34:31.26 ID:HWkA5iDY.net]: >>796
t=tanh(x)とおくと、
(左辺－中辺)’＝{(3-tt)x+t}/4－t
＝(3/4){(1-tt/3)xーt}
≧0,

〔補題〕
x>0 のとき、x>t/(1-tt/3),
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 23:42:53.55 ID:HWkA5iDY.net]: >>797
〔補題〕
x>0 のとき、x＞t/(1-tt/3),

調和数列＞等比数列で、
x＝t＋(1/3)t^3＋(1/5)t^5＋(1/7)t^7＋…
＞t＋(1/3)t^3＋(1/9)t^5＋(1/27)t^7＋…
＝t/1-tt/3),

x＝(1/2)log{(1+t)/(1-t)}
＝∫[0～t] 1/(1-uu) du
＞∫[0～t] (1+uu/3)/(1-uu/3)^2 du
＝t/(1-tt/3),

∵相乗-相加平均で
(1-uu)(1+uu/3)＝(1-uu/3)^2－(2u/3)^2≦(1-uu/3)^2,
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/11(日) 02:04:22.52 ID:41nsXD0z.net]: 〔問題〕
任意の自然数ｎ、および任意の正の実数a_0,a_1,a_2,…,a_nに対して
　1/(a_0+a_1)＋1/(a_0+a_1+a_2)＋…＋1/(a_0+a_1+…+a_n)＜ｋ(1/a_0＋1/a_1＋1/a_2＋…＋1/a_n)
が成り立つような実定数ｋの最小値を求めよ。
（JMO-2016春合宿）
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/12(月) 05:18:02.26 ID:gqJaGjEC.net]: >>799
n=1でk=0.25
n=2でk=0.3009441
n=3でk=0.3190867
だから、もうﾁｮﾄ大きそう…
840 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/12(月) 12:52:02.08 ID:7LUxH/Az.net]: k ≦ π^2/6 - 1 ≒ 0.644934 しか分からん
まだ評価甘そう
841 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:06:12.78 ID:wdbNdCQa.net]: ￥

>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5714 ：名無しさん：2016/09/01(木) 22:40:59 ID:???
> >>5751
> 黙ってろカスが。お前こんなことずっと続けてて父親に申し訳ないと思わないのか。
>
>5718 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/09/02(金) 07:47:45 ID:???
> >>5754
> マジレスしておくが、芳雄にはきちんと罰だけは受けて貰う。あんな酷い事をし
> ておきながら、無傷であの世に逃亡というのは絶対に許されない。死ぬ前に充分
> な精神的苦痛をタップリと味わうべき。あの糞野郎だけは絶対に許されないので。
> 芳雄に対する怒りと憎しみは、馬鹿板に対する怒りとは比べ物にはならんわ。
>
> ￥
>
>5720 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/09/02(金) 08:54:09 ID:???
> >>5754
> 言って置くが、被害を受け始めた高校生の頃から私は芳雄を論理分析し、その欠
> 陥や弱点を精密に理解し、そしてその横暴
842 名前：極まりない無責任な態度に対抗しなが > ら狙い撃ちにして来た。私は芳雄のせいで甚大な被害を被ったのであり、それを > 「親が責任を取る」という様ないい加減な逃げ口上で逃亡し、無責任を通す卑怯 > な行為は到底許されない。なのでその報いだけでもきちんと受けさせてやるだけ。 > > 糞芳雄の野郎、このまま逃げ切りは許さない。自分から言い放った『親としての > 責任』というものが微塵でも残ってるのであれば、それ相当の行為が自らなされ > て当然というものだろう。手を切り落とすもよし、足を切り落とすもよし。或い > は自分で主張した釜ヶ崎に自分で行って、そして労務者にでも殴られて撲殺され > るのもいいだろう。 > > とにかく自分で言った事だけは、きちんと自分から実行するべき。知らぬ存ぜぬ > で、無責任な逃げ切りだけは許されない。ソレこそが芳雄が言う所の卑怯者だか >　　らだ。糞芳雄は恥を知るべき。今からでもいいから、尊厳の意味を理解するべき。 > >　　￥ > []: [ここ壊れてます]
843 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:21:36.11 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
844 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:22:40.51 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
845 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:22:59.55 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
846 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:23:16.70 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
847 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:23:34.01 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
848 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:23:51.35 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
849 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:24:08.63 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
850 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:24:25.58 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
851 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:25:33.90 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
852 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/09/12(月) 13:25:52.34 ID:wdbNdCQa.net]: ￥
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/15(木) 10:32:49.10 ID:glMCJfdL.net]: どうせ期限切れになるのを見越してるのかもしれないが、
債務者に無断で過払い金の返還請求してネコババする（弁）は辞めてもらいたいね。→
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/18(日) 10:38:59.46 ID:KcEt3KAv.net]: >>799
n=1 で k=0.25　　　　（a0=a1=1)
n=2 で k=0.3009441531（a0=a1=1　a2=2.4305）　　　a2=2(1+√7)/3
n=3 で k=0.3190867373（a0=a1=1　a2=2.1491　a3=5.3864)
n=4 で k=0.3266922362（a0=a1=1　a2=2.0639　a3=4.4987　a4=11.4234）
だから、もうﾁｮﾄ大きそう…
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/20(火) 15:01:00.56 ID:znrqlsji.net]: >>799
等比数列
a_0=a_1=1、a_k=r^(k-1) （公比r>1）
の場合を考える。

(右辺)＝ｋ{1+1+1/r+…+1/r^(n-1)}
＝ｋ{2r-1-(1/r)^(n-1)}/(r-1)
→ｋ(2r-1)/(r-1),　　(n→∞)
(左辺)はチト面倒だが…

r≒2の辺りでｋは最大になる。

r=2の場合はｋ→1/3　(n→∞）
856 名前：811 mailto:sage [2016/09/20(火) 15:33:02.10 ID:znrqlsji.net]: >>799
等比数列
a_0=a_1=1、a_j=r^(j-1) （公比r>1）
の場合を考える。

訂正ｽﾏｿ
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/20(火) 20:49:49.22 ID:YmQwqlus.net]: 参考文献に挙げられていた論文を国会図書館から取り寄せたら、ドイツ語でした… Σ(ﾟДﾟ )！
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/21(水) 10:10:08.47 ID:iZ3Xpz7k.net]: >>817
まづは無料のGoogleで探し倒そう。
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/03(月) 04:50:15.28 ID:hlTdGaar.net]: 正の実数 x、y、z が xyz=1 をみたすとき、
√{(x+1)/(x^2-x+1)} + √{(yx+1)/(y^2-y+1)} + √{(z+1)/(z^2-z+1)} ≦ 3√2

　"; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ　;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ　; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ　　　　　　　　/.　　　　　　　　　ヽ
　;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ　　　　　l　　　　　　　　　　　l
　" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　　　　 /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ　;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ　" ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ　; ; ヾ ;ゞ; 　　　　　　　＼　　　　　　　／
　ゞヾ　; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :
860 名前：)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/　　　　　　　　`　　　　　　`　　　　　　　　` 　ー ─ '　` ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;` " ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/　ヾゞ　　　　　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　　`　` `　　　　　 ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| `　　　　`　　　　　　　　　`　　　　　`　　　　　　`　`　　　` ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :|　　＿＿＿　　秋の夜長に不等式　　　　`　　　　　　　　`　　　　　　　　`, `　　　　|iiiiiii;;;;;;((,,,)::.:|／　　≧　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヾ从//" `　　　|iiiiiiii;;ii;;;;;;~~~:|:::: (●　(●|　　　　　　　　　　　`　　ﾞ　　`　　　　ヾ'./" ,　　　　　　 |iiiiii;iii;;;;i;;:: :: ::|ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　　　　　　　　　○ 　　 .||.　　　　　　　, `　　　|iii;;iiiii;::;:;;;;::: :::| (　つ且 ~　　　　　 ` 　　　　　　　　○○　　 |　| ,　,　.,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝつつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（　）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, []: [ここ壊れてます]
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/08(土) 16:41:27.99 ID:VzLBekw5.net]: >>819

凸性より
(左辺)≦(√3)√{(x+1)/(xx-x+1)＋(y+1)/(yy-y+1)＋(z+1)/(zz-z+1)},
ゆえ、
　(x+1)/(x^2-x+1)＋(y+1)/(y^2-y+1)＋(z+1)/(z^2-z+1)≦6,　　…(*)
を示そう。

(i) x,y,z≦2 のとき
　(a+1)/(aa-a+1)＝(3-a)－(2-a)(1-a)^2/(aa-aa+1)≦3-a,
　(*)≦9-(x+y+z)≦6,

(ii) x≧2 のとき
　(x+1)/(xx-x+1)＝1－x(x-2)/(xx-x+1)≦1,
　(b+1)/(bb-b+1)＝M{1－(b+1-√3)^2/(bb-b+1)}≦M,
　ここで M＝1＋(2/√3)＝2.1547
　(*)≦1+M+M＝3＋(4/√3)＝5.3094＜6,
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/09(日) 15:18:04.31 ID:Dmd9ztww.net]: >>820
凸関数じゃないんだけど

>>819
f(x) = (x+1)/sqrt(x^3+1) とおく。x ≧ y ≧ z と仮定してよい

・x ≦ 32.82951185 のとき
f(x) ≦ -log(x)/2sqrt(2) + sqrt(2) からこれを巡回的に足して主張を得る

・x ≧ 32.82951185 のとき
z ≦ 1/sqrt(32....) = 0.174529 である。よって
　f(x) ≦ f(32...) ≦ 0.179843
　f(y) ≦ f(0.73...) ≦ 1.46788
　f(z) ≦ f(0.17...) ≦ 1.17142
となる。したがって
　LHS ≦ 0.179843 + 1.46788 + 1.17142 ≦ RHS
が得られる

3f(x) ≦ 4.40366..., RHS = 4.24264 だから値域を少し厳密に評価するだけで解ける
863 名前：816 mailto:sage [2016/10/10(月) 04:11:35.08 ID:noR8aJyR.net]: >>821
凸性と言ったのは
　√a + √b + √c ≦ √(1+1+1)･√{a+b+c},
という意味です。

コーシーを持ち出すまでもないと思ったので…
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/10(月) 05:41:25.02 ID:noR8aJyR.net]: >>819 を改造してみる…

実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≧3 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,

実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≦3/2 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/14(金) 16:19:00.33 ID:s2NnBcrE.net]: 正の実数 a, b, c に対して次の不等式を示せ
　Σ[cyc] (a+2c)/(a+2b) ≧ sqrt((5(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)) + 4)
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/10/15(土) 04:34:28.61 ID:htY30JEj.net]: >>824
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc, ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) とおくと、
(左辺) = 2s{1/(a+2b)＋1/(b+2c)＋1/(c+2a)}－3 = 2s{(2ss+3t)/(3st-⊿)}－3,
(右辺) = √(5ss/t－6),
さて、どうする？
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/08(火) 04:15:31.61 ID:LIWaiFBV.net]: 〔相加-相乗平均〕

(a_1)^n＋(a_2)^n＋……＋(a_n)^n－ n･a_1･a_2……a_n
＝Σ[i<j] (a_i-a_j)^2 Ｐ_(i,j)

Ｐ_(i,j)＝{1/(n-1)}Σ[k=0,n-2] {ai^
868 名前：(k+1)－aj^(k+1)}/(ai-aj)･Ｑ_(n-2-k)(i,j) Ｑ_L(i,j)は、aiとajを除く(n-2)文字によるL次の基本対称式を、その項数Ｃ[n-2,L]で割ったもの。 Ｑ_0＝1, (注） {ai^(k+1)－aj^(k+1)}／(ai－aj)＝(ai)^k＋(ai)^(k-1)･aj＋……＋ai･(aj)^(k-1)＋(aj)^k, なので、正係数の多項式である。 「フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式」と云うらしい。 []: [ここ壊れてます]
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/16(水) 12:48:24.75 ID:sZgcCO+R5]: 任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
　　　|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/16(水) 13:25:30.54 ID:f4/M3jIZ.net]: 任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
　　　|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 09:39:23.50 ID:KCIuqlXC.net]: >>828
x,y,zを一斉に増すと、右辺は増加、左辺は不変。

∴{x,y,z}＝{x,1,0} としてもよい。

(3k)^4＋3(3k)^2－(3/16)＝0,

k＝(-1+√3)/{12^(3/4)}＝0.1135416731
872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 09:47:19.41 ID:KCIuqlXC.net]: >>829
訂正
(3k)^4＋(3/2)(3k)^2－(3/16)＝0,
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 15:08:48.32 ID:n5BWZq4/.net]: >>829-830
正解です
y=1, z=0 としていいことに気づけるかどうか
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 15:54:15.99 ID:n5BWZq4/.net]: (1) a+b+c=3 をみたす任意の正の数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数は？
　　(a-b)(b-c)(c-a) ≦ 4/√(27abc)

(2) a+b+c=1 をみたす正の数に対して次の最大値は？
　　(abc)^(1/3)(a-b)(b-c)(c-a)

両方共ﾜｶﾗﾝ
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/11/23(水) 22:45:45.11 ID:n5BWZq4/.net]: >>832
間違えた(1)は不等式を示せだ
876 名前：１３２人目の素数さん [2016/12/01(木) 01:08:06.58 ID:laYsAhNA.net]: hlawka って何て読むんだすか？　らうか？
何人？
877 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:19:17.96 ID:IC32DEwi.net]: ￥
878 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:19:52.46 ID:IC32DEwi.net]: ￥
879 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:20:14.27 ID:IC32DEwi.net]: ￥
880 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:20:37.54 ID:IC32DEwi.net]: ￥
881 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:21:01.59 ID:IC32DEwi.net]: ￥
882 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:21:22.42 ID:IC32DEwi.net]: ￥
883 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:21:43.66 ID:IC32DEwi.net]: ￥
884 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:22:03.50 ID:IC32DEwi.net]: ￥
885 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:22:25.63 ID:IC32DEwi.net]: ￥
886 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/01(木) 01:22:49.84 ID:IC32DEwi.net]: ￥
887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 08:07:58.05 ID:7xVhMtBb.net]: >>832 (1)

題意より
　a+b+c = 3,
また、等号成立条件より
　ab+bc+ca = 2,
　abc = 2/9,
が出るので、（a,b,c）は
　t^3 -3t^2 +2t -2/9 = 0,
の3実根。
すなわち
a = 1 + (2/√3)cos(θ/6) = 2.096648361
b = 1 + (2/√3)cos(θ/6 - 2π/3) = 0.764760120
c = 1 + (2/√3)cos(θ/6 + 2π/3) = 0.138591519
θ = arccos(-1/3) = 109ﾟ 28' 16.4”（四面体角）
888 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:28:29.02 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
889 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:28:46.67 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
890 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:03.07 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
891 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:20.37 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
892 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:39.10 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
893 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:29:55.82 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
894 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:12.86 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:16.30 ID:7xVhMtBb.net]: >>845
ちなみに、四面体角の半分
　θ/2 = 54ﾟ 44' 08.2"
をマジック角というらしい...
896 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 08:30:31.32 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
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906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/02(金) 09:19:29.71 ID:SUPq4p5E.net]: いい勉強になった ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
907 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/02(金) 09:29:05.58 ID:tzJnOZXz.net]: ￥
908 名前：１３２人目の素数さん [2016/12/03(土) 01:04:48.92 ID:JV/Azs1X.net]: 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=3 をみたすとき，a+b+c-abc の最大値は？
909 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:07:58.16 ID:gn3EMfBZ.net]: ￥

>前科持ち変質者と絶対出会える掲示板 [無断転載禁止]
>
>1 �
910 名前：ｼ前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV > 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板 > >11 名前：１３２人目の素数さん：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h > 変質者前科持ち＝増田哲也 > >12 名前：１３２人目の素数さん：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8 > わざわざ言わんでもええ > >13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x > 絶対に… > > ケケケ￥ > >14 名前：１３２人目の素数さん：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h > 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る > []: [ここ壊れてます]
911 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:37.91 ID:gn3EMfBZ.net]: ￥
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919 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:15:57.72 ID:gn3EMfBZ.net]: ￥
920 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:16:21.60 ID:gn3EMfBZ.net]: ￥
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 03:23:03.70 ID:igohLjS8.net]: >>866

a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338
c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572
のとき
a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c)
= 2a + ((√13 -1)/6)(-c)
= 2.552675308961574826258
かな。
922 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:07.90 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
923 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:28.08 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
924 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:45.30 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
925 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:02.34 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
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927 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:37.19 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
928 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:54.16 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
929 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:11.85 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
930 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:29.88 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
931 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:47.84 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
932 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:21:59.35 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
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934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 07:47:28.84 ID:igohLjS8.net]: >>866
ついでに…
a=b=c=1 で 2（鞍点？）
a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大)
a=b=0, c=√3 で √3（極小？)
935 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:08.84 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
936 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:28.71 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
937 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:47.04 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
938 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:05.08 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
939 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:25.54 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
940 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:42.99 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
941 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:01.86 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
942 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:22.01 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
943 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:41.03 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
944 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:57:01.30 ID:l4ny/Yu3.net]: ￥
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 11:42:11.58 ID:9Kv+bmZv.net]: xi > 0,
A(n) = (x1+x2+...+xn)/n,　　　相加平均
G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n),　　相乗平均
H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn),　　調和平均
とおく。

[1]　略

[2]
A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2),　m=1.0

[3]
A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3),　m=0.90096030150908885
　
(1,1,x3)　x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根

[4]
A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4),　m=0.7761577683742073233
　
(1,1,1,x4)　x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根

が成り立つか？
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 14:03:12.44 ID:SKxowvFC.net]: >>902
成り立ちます
五変数以上になると厳密な評価は難しそう
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:21:43.32 ID:SKxowvFC.net]: >>902
(3)
A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3]
ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 0.39625)

(4)
A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4]
ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911)
948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:22:42.49 ID:SKxowvFC.net]: (4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:42:04.76 ID:SKxowvFC.net]: また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:41:34.31 ID:SKxowvFC.net]: >>902
[4]
p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解
q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解
等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき

等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:43:41.41 ID:SKxowvFC.net]: (p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 06:14:40.46 ID:61lM6Ipy.net]: >>903-908
thx.

>>902
x_3 = t^3 とおくと、
　4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0,
　t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259
　ただし　θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 07:59:56.74 ID:61lM6Ipy.net]: >>903
n-5 は

[5]
A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5),　m=0.676175

（1,1,1,1,r^5)　r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。

と予想するが...
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:17:37.77 ID:sgxdKdhy.net]: >>910
成り立つよ
一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:40:57.61 ID:sgxdKdhy.net]: 最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/11(日) 09:01:03.18 ID:688mVHLv.net]: >>911 のとき
ｘ = {1,1,････,t^n}

A(n) = [t^n + (n-1)] / n,
G(n) = t,
H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1]

A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t),
G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t),
(A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m,

ここで
f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1),
g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1,

(A-G)/(G-H) が極小のとき、

[(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0,
[(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0,
ここで
f(t)g(t) = Σ[k=0～n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2),
f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0～n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3),
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/19(月) 03:17:02.97 ID:4qCEI1DC.net]: >>902 >>910

Sierpinskiの不等式
　A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n
を使えば
　A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n),
　m ≧ 1/(n-1),
は簡単に出ます。

しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない…
というワケで加減で比べてみました。
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 06:49:30.48 ID:9UZFmJjk.net]: >>914
〔Sierpinskiの不等式〕

A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1,

(略証)
nについての帰納法で。
n=2のとき、等号成立。
x_{n+1} = x,
A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho,
A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H,
と略記する。
A = (n･Ao + x)/(n+1)
G^(n+1) = x･Go^n,
1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1),

(A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n
= {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x)
≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x)
= (Ao + nx)/(Ho + nx)
≧ 1,　　　(← Ao≧Ho)
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 14:43:09.84 ID:9UZFmJjk.net]: 〔問題〕
A, B が実対称行列のとき、次を示せ。
　tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
　
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。

数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978)　No.96
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 15:20:00.53 ID:N1oFke4u.net]: >>902 >>910 >>914

n >>1 のとき、
　m ～ {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1),
　A(n) ～ (n-1)/n,
　G(n) ～ 1/(1+m),
らしい。
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 22:29:02.46 ID:N1oFke4u.net]: >>914
〔Jacobsthalの不等式〕

　(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go),

(略証)
（左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)}
　≧(n･Ao +x) - (n･Go +x)
　= n(Ao - Go)
　=（右辺）,
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 03:08:58.00 ID:HgkzhkFu.net]: >>918
(n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo,

∴　(n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go),

同様にして
　A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n,

∴　(A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n,
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 05:29:38.31 ID:HgkzhkFu.net]: >>917

nが10～1000 の辺りでは

m ～ {1.1287*log(n) + 1.2272}/(n-1),

1/H ～ 1.153*log(n),

1/x ～ 1.153n*log(n) - (n-1),

A(n) = (n-1+x)/n,

らしい。
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/04(水) 00:41:34.36 ID:F1JEFz8G.net]: 〔問題567〕
a,b,cを和が３となる正の実数とする。このとき次を示せ。
　√{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2,

高校数学の質問スレPart397(c)
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456656899/567
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/08(日) 06:07:07.63 ID:rl9rb1ia.net]: >>921 (注意)

1/(aa+3) + 1/(bb+3) + 1/(cc+3) ≦ 3/4,
は成り立ちません。

a = b = 0.29712745268　　　　　(*)
c = 2.40574509464
のとき、
0.761405273304

(*)　2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根
(1/6){7 + (36√58 -251)^(1/3) - (36√58 +251)^(1/3)},
966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/10(火) 04:33:57.70 ID:FU/1ZKud.net]: >>921 (注意)

(2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) ≦ 3/2,
も成り立ちません。

a = 0.818145
b = 0.823310
c = 1.358545
のとき
1.500059562452
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/11(水) 12:38:59.99 ID:o5/kKbcv.net]: 〔問題〕
a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。

[2]　a + √(ab) ≦ ｛(1+√2)/2}(a+b),

[3]　a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c),
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 09:21:49.92 ID:OCuLi6LZ.net]: a,b,c,dを正の実数とするとき、

[4]　a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),

K(4) = 1.4208443854096138127
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 11:12:31.15 ID:OCuLi6LZ.net]: >>924-925

〔Carlemanの不等式〕（有限版）

相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。
そこで正の係数 c_1～c_n を掛けて

K(n)･(a1+a2+････+an) － {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)}

= Σ[L=2～n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)},

とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L),

a_L の係数を比べて
1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L,
　　　　　 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1),
辺々引いて
1/(L･dL) = K/c_L － K/c_(L+1),
∴　1/c_(L+1) = 1/c_L － 1/(K･L･d_L),
により c_Lが定まる。
c_1 = 2 とおくと、
c_2 = 2K/(K-1),
c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)},
････
また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/16(月) 05:37:39.15 ID:+viXJ8tP.net]: カレーパンマンの不等式キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/17(火) 10:39:38.76 ID:Qggnth+1.net]: 〔Stirlingの公式〕
正の整数ｎについて
log(n!) ＞ (n+1/2)log(n)－ｎ＋0.8918
を示せ。
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/21(土) 18:59:32.43 ID:HdECjTmQ.net]: 1/2 ≦x≦1、0<a≦y≦2a のとき、x/y + y/x -xy のとりうる値の範
973 名前：囲を求めよ。 []: [ここ壊れてます]
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 07:55:35.43 ID:j1H92TDS.net]: >>929

・0＜a≦1/(2√5）のとき［3a＋1/(4a)，1/a］
　　最小：(x，y)＝(1/2，2a)
　　最大：(x，y)＝(1，a)

・1/(2√5)≦a≦1/(2√2）のとき［2√{1-(2a)^2}，1/a］
　　最小：(x，y)＝(2a/√{1-(2a)^2}，2a)
　　最大：(x，y)＝(1，a)

・1/(2√2)≦a≦1/2 のとき［1/(2a)，1/a］
　　最小：(x，y)＝(1，2a)
　　最大：(x，y)＝(1，a)

・1/2≦a のとき［1/(2a)，3a＋1/(4a)］
　　最小：(x，y)＝(1，2a)
　　最大：(x，y)＝(1/2，2a)
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/26(木) 19:21:52.26 ID:wshNWY83.net]: >>930
エレガントな解き方あるのん？
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/11(土) 13:08:49.63 ID:cVU0SCtk.net]: 不等式の問題をハッケソ！
www.toshin.com/concours/
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 01:57:11.20 ID:U44OFY/t.net]: 単位円（原点Oを中心とする半径1の円）の周上に2点 A,B がある。
∠AOB = ω の二等分線を OM とすると
∠AOM = ∠MOB = ω/2,
また、OMと反対の方向に点Cをとる。
∠OCA = θ，OC=k とおくと、
tanθ = sin(ω/2)／{k＋cos(ω/2)},
とくに k=2 のとき
tanθ = sin(ω/2)／{2＋cos(ω/2)｝< ω/6，（仁平氏による）

数セミ '17年3月号 p.44 NOTE
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 02:35:05.63 ID:U44OFY/t.net]: >>933

〔補題〕
0<t<π のとき
　sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t,
　｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson)

(略証)
左側は明らか。
右側はｔで微分して
3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2
=１－3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2
< 1,

不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。

なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens)
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/18(土) 13:35:55.24 ID:8Xd9SMLI.net]: a,b,c≧0の時
a(a-b)(a-2b)+b(b-c)(b-2c)+c(c-a)(c-2a)≧0
を示せ
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/22(水) 16:20:23.47 ID:zQPH35Dc.net]: >>935

a,b≧c≧0 としてもよい。

(左辺) = (a-c)(a-2b+c)^2 + b(a-b)^2 + c(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,

対称式ぢゃないからﾁｮﾄ面倒...
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 18:46:56.98 ID:6Ynn6p4F.net]: a、b、c ∈[0,1] のとき、{ab(1-c)}^(1/p) + {bc(1-a)}^(1/p) + {ca(1-b)}^(1/p) ≦ 1
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 23:13:36.91 ID:DmeGzA4L.net]: >>934　〔応用問題〕

１周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、

(1）　r < 1 < R,

(2）　3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3,

を示せ。
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/27(月) 17:58:31.54 ID:tcvWjEXJ.net]: >>937

p≦3/2 のとき
{ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3)
≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3　　（←相乗･相加平均）
=｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3
≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3,
巡回的にたす。

p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立
反例　(a,b,c）=（2/3,2/3,2/3）
984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/01(水) 18:16:01.30 ID:7mo/d06r.net]: >>937
元ネタ（Terence Tao）
https://terrytao.wordpress.com/2017/02/05/a-bound-on-partitioning-clusters/
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/03(金) 07:01:45.16 ID:Fl6w77Qk.net]: △ABCについて次を示せ。
(tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2)
+(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2)
+(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2)
≧2+2^(-1/2)
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/04(土) 16:24:50.85 ID:HY67hoMk.net]: >>938
(1)
辺の長さ　2π/n,
r = π/{n･tan(π/n)} < 1,
R = π/{n･sin(π/n)} > 1,
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/05(日) 22:51:16.40 ID:rca0XhBC.net]: 〔問題2714〕

a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。

(a^p +p)(b^q +q)(c^r +r)
　≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc)
　≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)
　≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c)
　≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)}
　≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)}
　≧ ･････
　≧ 27,
を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作）

suseum.jp/gq/question/2714
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 00:01:03.85 ID:hSPnYqZt.net]: 正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。

n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 07:51:24.09 ID:hSPnYqZt.net]: The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1.

The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2.

Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k.
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/09(木) 09:14:49.54 ID:3QaTlDUD.net]: -が?に文字化けしているな

Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k.
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/10(金) 00:46:09.66 ID:VVolMD9v.net]: >>944
n=1 のとき M_1 = 1,
n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938
　2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0,
　t = (1+√7)/3 = 1.215250437

>>945 上
題意より xy ≧ 0,
(x-y)y ≧ 0,
xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1,
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 03:43:57.83 ID:S/5xVczT.net]: >>944

M_n は既知とし、
a_{n+1} = x,
a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S,
とおく。

a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x,

(左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x),
f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx
　= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS}　　{coshθ=1+n/(3M_n) とおいた}
　= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ),
左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき
S - x = S{1 - e^(-θ)},
f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ)
　= M_(n+1)/(n+1),
ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n),
これにより M_{n+1} が定まる。

M = lim[n→∞] M_n = 4/9.
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 10:10:59.71 ID:S/5xVczT.net]: >>944（補足）

e^(-θ) ≒ 1/(2coshθ) = 1/{2(n/3M_n + 1) = (3/2)M_n/(n+3M_n) を使って

f(S･e^(-θ)) / S^3 = (1/3)e^(-θ){2+e^(-θ)} ≒ M_n{n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2

∴ M_{n+1} - M_n = M_n*(n+1){n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 - M_n = M_n*{1-(9/4)M_n}/n + O(1/nn),

1/n の係数が0に収束しないと M_n が発散してしまうから、
M = lim[n→∞] M_n = 4/9,
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/13(月) 20:43:05.22 ID:UB++6Hh4.net]: >>945　下
k=1,2,…,n-1 とする。
　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) および Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
のn項について、相加-調和平均（コーシー）すると、
　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
　≧ nn／{Σ[i-j=k] (x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] {2π - (x_i-x_j)}}
　=（nn/2π)(1/k),
k=1,2,…,n-1 でたす。
等号成立は x_i - x_j = (2π/n)(i-j）のとき。
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/15(水) 22:14:08.94 ID:Oh51 ]: [ここ壊れてます]
996 名前：f5Dy.net mailto: >>945 下（続き）

･･･さらに、0<x<2π で f(x)が下に凸のとき

Σ[1≦j<i≦n] {f(x_i-x_j) + f(2π-x_i+x_j)} ≧ n Σ[k=1,n-1] f(2kπ/n),

f(x)が上に凸のときは、不等号が逆向き。 []: [ここ壊れてます]
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/16(木) 18:00:56.77 ID:/k5pY9BZ.net]: >>945 中

0 < a_k < 1 より
　(左辺) > a_1 + a_2 + … + a_n,
　1 = √a_1 + √a_2 + … + √a_n > a_1 + a_2 + … + a_n,
辺々掛ける。
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/19(日) 15:18:46.64 ID:guCpjB2q.net]: >>942

R_n = ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx → 1　（n→∞)

(R_n)^2 - (r_n)^2 = (π/n)^2 → 0　（n→∞）
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/20(月) 18:16:48.99 ID:ZS4SrzTA.net]: For n≧2, let a_1, …, a_n be posithive real numbers. Prove
　{ Π[i=1 to n] (1+a_i) }^{n-1} ≧ { Π[1≦i<j≦n] [1 + (a_i・a_j)/(a_i + a_j)] }^2
1000 名前：１３２人目の素数さん [2017/03/20(月) 22:19:37.49 ID:yRo4d+xZ.net]: >>954
a,b>0のとき, a>ab/(a+b)だから
(1+a)(1+b)>(1+ab/(a+b))^2
これを使って終わり.

>>941も等号が成立しない気がする.
1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/21(火) 06:34:34.56 ID:lHafklKO.net]: >>954
a,b>0のとき、√ab ≧ ２ab/(a+b) だから
(1+a)(1+b) ≧ (1+√ab)^2≧ {1+２ab/(a+b)}^2
これを使って終わり.
等号成立は a_i = 一定のとき。
1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/23(木) 23:56:17.13 ID:foDcA2jG.net]: >>953
1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1)
0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x)
より、
1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1,
0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1),
1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/24(金) 17:34:59.61 ID:/hdr0DUv.net]: >>953 (続き)
辺々たすと
n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1),

一方、 >>942 より
1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3),
1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/29(水) 06:28:52.30 ID:qmY7hsva.net]: Prove that the inequality
　　　1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2)
holds for all pairs (x,y) of positive real numbers.
1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/04(火) 08:50:30.08 ID:h0o7Rnkh.net]: >>959
f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。
x=y のときは凸性から、
f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0,
となる。
f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば...
1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:05:18.35 ID:kkWXQg4L.net]: (1)
Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r.
Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6.

(2)
Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with
　　　∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1.
Prove that
　　　∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2.

(3)
Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x).

(4)
Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx.

(5)
Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy.

(6)
Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2.

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:06:02.65 ID:kkWXQg4L.net]: (1) anc → and
1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 22:09:51.74 ID:kkWXQg4L.net]: (7)
Find the greatest real number M such that the inequality
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca)
holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4.

(8)
Find the greatest real number M such that
(x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y)
for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0.

(9)
Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that
sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3}

(10)
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1,
the following inequality holds:
1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c).

(11)
Find the greatest real number T satisfying
(x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T
for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1.

(12)
Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds:
(a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/01(月) 11:53:32.30 ID:8wByLQwx.net]: (e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
1010 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:09:03.66 ID:Gg+cOD9T.net]: >>964
(左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺)
1011 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:04.11 ID:Gg+cOD9T.net]: >>963
(10)反例 a=b=c=1
1012 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:58.65 ID:Gg+cOD9T.net]: 萎える
1013 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:57:56.04 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1014 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:19.10 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1015 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:42.05 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1016 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:07.75 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1017 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:32.20 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1018 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:56.65 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1019 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:21.27 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1020 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:42.72 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1021 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:06.04 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1022 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:27.26 ID:OR+quqWp.net]: ￥
1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/17(水) 17:57:55.19 ID:+8Z09fzP.net]: もげる
1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/20(土) 00:42:07.99 ID:VJhJZ8Xf.net]: Bihari?LaSalle inequality
1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 18:52:40.27 ID:3dLjunNb.net]: >>961 (1)　コーシーで
　(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3,
　aa+bb+cc ≧ 36rr　を示す。

>>961 (4)　　 (π-2)/2,

>>964
　1/π + 1/π + 1/e ≧ 1,
相加-相乗　または凸性から
　e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3),
1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 19:06:10.51 ID:3dLjunNb.net]: ついでに
π + π + e ＞ 9,
(π +e+e) π ＜ 27,
ππe ＜ 27,
1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:28:29.36 ID:JurbFnaF.net]: >>961 (1)　コーシーで
　(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6,
一方、
　a = r {cot(B/2) + cot(C/2)},
　b = r {cot(C/2) + cot(A/2)},
　c = r {cot(A/2) + cot(B/2)},
∴　a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r
1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:52:20.52 ID:JurbFnaF.net]: >>963 (7)
(a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc
= s(ss-2t) - Mst + 12u
= F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u　(← Schur)
≧0,
∴　M=2
1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/16(金) 12:24:58.16 ID:LCy4Y8vy.net]: >>961 (1)　>>982
(a+b+c)/2 = s とおく。
相乗-相加平均で
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,

r = ⊿/s
= √{(s-a)(s-b)(s-c)/s}　　(Heron)
≦ s/(3√3)
= (a+b+c)/(6√3),
1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/17(土) 20:27:24.45 ID:bhb/G+K8.net]: 問題と一緒に出典も書いてほしい
1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 03:45:08.00 ID:95rGKKjv.net]: Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。
mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 16:20:22.03 ID:tfNCpQJl.net]: >>986

【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8,
　(初代スレ.668)

　g(x) = log{sin(x)/x},
　g '(x) = cot(x) - 1/x
1033 名前：, g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0, ゆえ、g(x) は上に凸。 【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8, (初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587) []: [ここ壊れてます]
1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 17:14:01.37 ID:95rGKKjv.net]: >>987
ありがたき幸せにござる。
1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:32:52.83 ID:P0aRc9y/.net]: 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:51:31.25 ID:4kCqmLoG.net]: >>989
大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ）
1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:56:35.78 ID:P0aRc9y/.net]: >>990
それは最小値のみ。改造済み。
1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:57:54.04 ID:P0aRc9y/.net]: >>989
ちなみに出典は、「平成24年第1回東大入試プレ(文科)」らしい。
1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 03:23:02.02 ID:P0aRc9y/.net]: ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。

改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。
1040 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 04:52:54.50 ID:P0aRc9y/.net]: >>993
(a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？
1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 12:58:33.41 ID:vMBsUZ6Z.net]: >>993
　対数とってチェビシェフ

>>994
さだまさし

(a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき
b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc),
1042 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 00:52:20.05 ID:u2QpKHjV.net]: >>995
さんくす。さだまさしか…。
1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:17:12.91 ID:u2QpKHjV.net]: （不等式への招待第５章 698、708より）
> a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
>
> (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
>
> 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
>
> (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
> 　b+c≦1, …, …
> 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
> 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
> 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式)
> x=1/a とおいて
> 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
> 　循環的にたす。
>
> (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
> 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。
> 　a+b, a+c ≦ b+c = M,
> 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
> 　　　≧ b^M + c^M
> 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸)
> 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *)
> 　　　= 1,
>
> *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
> ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。
> ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1)
>
> 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713

等号成立条件が分かりませんぬ。
1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:19:48.15 ID:u2QpKHjV.net]: >>961-962
出典をきちんと記録してなかった。
www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml などから適当に拾ってきたなり。
1045 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 02:29:19.46 ID:dLSgUfzK.net]: そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？
1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:25:27.08 ID:pKHgR4Is.net]: 去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう
1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:35:04.48 ID:dLSgUfzK.net]: >>1000
さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。
1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 17:20:11.69 ID:dLSgUfzK.net]: a,b,c を正の定数、
x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、
min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。
（出典不明）
1049 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:13:09.35 ID:vrMzbwMW.net]: >>1002
x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。
X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。
(aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1,
∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc),
1050 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:23:02.89 ID:vrMzbwMW.net]: >>989-992
（-1000/√3, 1000/√3）に一票
1051 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:24:06.95 ID:xsefyNln.net]: 不等式への招待第８章
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
1052 名前：1001 [Over 1000 Thread.net]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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