不等式への招待　第７章

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不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
2 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:22:07.38 .net]: ・不等式の和書
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代
3 名前：科学社，1987年 http://amazon.jp/dp/4844372661 [4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001... [5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494 [6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812 [7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740 [8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～，安藤哲哉，数学書房，2012年 http://amazon.jp/dp/4903342700 ・不等式の項目を含む和書 [1]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年 http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988 [2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113... [3]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年 http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871 [4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180... [5]　最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年 http://amazon.jp/dp/4621062131 [6]　最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年 http://amazon.jp/dp/4320012445 []: [ここ壊れてます]
4 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:24:39.92 .net]: ・不等式の洋書
[1]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 amazon.jp/dp/3034600496
[3]　Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
　　 amazon.jp/gp/product/3642237916
[4]　Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
　　 www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5]　Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
　　 amazon.jp/dp/3540437983
[6]　Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
　　 amazon.jp/dp/0387948465

・不等式の記事
[1]　特集「現代の不等式」（数理科学 No.386），サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集「不等式の世界」（数学セミナー No.2-569），日本評論社，2009年2月号
　　 amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載「不等式の骨組み」（大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 www.tokyo-s.jp/index.shtml
5 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:26:43.52 .net]: ・不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/
[17]　すうじあむ suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/09(土) 22:35:09.24 .net]: 〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
　{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
　USAMO ?
7 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 [2013/03/10(日) 07:31:04.00 .net]: 円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.
8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/10(日) 23:03:05.50 .net]: 不等式大好きでつ！
9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/10(日) 23:11:29.38 .net]: >>2
追加でつ！

不等式への招待第６章
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/901

901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─

A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8　C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎訳

"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。

www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/

きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/11(月) 12:45:08.18 .net]: >>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。

問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。
11 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/12(火) 00:25:08.56 .net]: >>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました

>>2
・不等式の和書
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898

・不等式の項目を含む和書
[2]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[4]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/

>>4
・不等式の埋蔵地
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
　　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/ (要自動登録)

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
12 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/12(火) 15:48:06.49 .net]: 最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした

ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/12(火) 17:12:10.60 .net]: >>11
あらゆる問題に触れる
14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/12(火) 19:19:54.75 .net]: 何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数Ⅲの教科書を取り寄せて勉強するべし
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/13(水) 00:24:33.98 .net]: >>9

原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
　A (1, 0)
　B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
　|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
　　　　= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
　AB = √(2-√2) > 0.765
　π > 4･AB > 3.06
16 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/13(水) 01:05:14.09 .net]: >>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。

当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。

一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。
17 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/13(水) 12:48:17.91 .net]: 今年の入試問題
nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/hokkaido/koki/sugaku/images/mon1_1.gif
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/13(水) 21:44:36.82 .net]: >>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
　|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
　　　　 = 2(1-cosθ),

(例)　θ=π/6 のとき
　　C((√3)/2, 1/2)

　|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
　π > 6|AC| > 3.10

　|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
　π > 12|BC| > 3.13
19 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/14(木) 00:28:02.56 .net]: >>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！

証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:34:32.89 .net]: １周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:38:11.02 .net]: 証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５より大きいことを証明せよ。
なんだが
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:44:08.22 .net]: >>20
円周率の定義を知らないのか？
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 00:45:34.17 .net]: >>21
教えて
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 01:20:56.01 .net]: >>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/14(木) 02:14:13.46 .net]: >>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:WWW [2013/03/14(木) 02:26:39.53 .net]: >>16
(1) x=1 で最小
（２）　x＝y　で最小、
　　　　　　　　　最小値が　x＝y＝１　のとき　０になる
おしまい
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 00:26:03.20 .net]: >>16 (1)

t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
　{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 04:39:07.65 .net]: >>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
　(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/15(金) 23:47:38.17 .net]: >>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。
30 名前：１３２人目の素数さん [2013/03/16(土) 02:05:50.63 .net]: 今年の入試問題
kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/kb2-21p/5.gif
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/16(土) 16:33:04.08 .net]: x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/17(日) 00:30:31.82 .net]: >>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/25(月) 03:03:59.89 .net]: >>30
【審議凍結】
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　／|／／　　　　　　　　　　／　／／|
　／／|／　／　　　　　　　／／　／／　|
　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
　|／　|　　.∧,,∧. 　∧,,∧.／／／　│ 　 .|
　|　 ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧.　　.| 　　.|
　|　(´‐ω‐).∧∧) (∧∧　(‐ω‐｀)　.│///|
　|　｜　Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) とﾉ .／| . 　 |
　|　　ｕ-ｕ　（l 　　 ) ( 　　　ﾉ u-ｕ／ .|/// |
　|　　　　　 `ｕ.／ '／ｕ-u'　　　　　　 |　／
　|／／　　　　／／　　　　／／　　　 .|／
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:14:38.70 .net]: >>30

　y_0 = 1, 　
　y_k = Σ[q=k+1,n] x_q　
　y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
　(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 = Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
　　　　 > Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
　　　　 = ∫[0,1] √(1-yy) dy　　　（半径1の四分円 >>31)
　　　　 = π/4.
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:28:41.47 .net]: >>29
どこの入試問題ですか？
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/26(火) 00:40:00.39 .net]: 問題の表記や文字から神戸大
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/30(土) 21:23:53.23 .net]: 〔問題〕
　√(1+xx) － |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。

(1)　|xy|≦1/2　⇒　F(x) + F(y) ≧ 1,

(2)　|xyz| ≦ (4/3)^3　⇒　F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,

(3)　|xy| ≧ (3/4)^2　⇒　F(x) + F(y) ≦ 1,

　[元スレ.414, 459, 482]
　casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/30(土) 23:05:12.60 .net]: >>36

(1) 分子を有利化する。
　F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
　　= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
　　= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
　　≧ 0,　　　　(← |xy|≦1/2)

ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
　　　　D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,

(3) 上と同様に
　1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
　　=　1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
　　≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G)　(← AM≧GM)
　　=　(3-4G)(1+2G)^2
　　≦ 0,　　　　　　　　　(← G≧3/4)
39 名前：１３２人目の素数さん [2013/04/28(日) 07:48:43.97 .net]: 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/28(日) 10:08:16.03 .net]: x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/29(月) 19:19:55.62 .net]: >>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

コーシーにより
　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
　等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
　XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
　　　　　 ≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？

　(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,

∴取り得る値の範囲は－1/√3 ～ 1/√3.
　　(x=y=z=±1/√3 のとき)
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 15:56:19.65 .net]: a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 21:32:41.45 .net]: >>41
その問題は [第５章.288] のように、
　p = a^2 -ca +bc,
　q = b^2 -ab +ca,
　r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。

　p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
　pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
　　= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
　　= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
　　≧ 0,

　[第５章.268-269, 284-290]
　[ｷｬｽﾌｨｰ不等式１-517, 563]
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 22:02:48.24 .net]: 〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},

(略解)
相加･相乗平均により
　(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
　循環的にたす。
45 名前：１３２人目の素数さん [2013/04/30(火) 22:33:15.02 .net]: 第５章とはどの書物のことでしょうか
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 23:03:40.70 .net]: スレタイをよく読め
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/04/30(火) 23:09:46.08 .net]: ああああああそうか
すみません
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/26(日) 20:35:53.55 .net]: 〔問題〕
n∈N のとき、
　1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）

　casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/05/31(金) 23:01:32.22 .net]: >>47
　ｷｬｽﾌｨｰの解答....

(右)
　tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
　1+tt > 2t,　（← 相加・相乗平均）
　Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt)　dt
　　　 < ∫[0,1] t^(n-1) /2　dt
　　　 = [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
　　　 = 1/(2n),
(左)
　Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
　　　> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
　　　= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
　　　= 1/{2n + 4/(n+3)},
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/03(月) 22:28:46.67 .net]: >>48

　Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
　　　 = ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
　　1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
　1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
　Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
　　　 = (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
　　　 = (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
　　　 = 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
　　　 = 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/03(月) 23:11:29.81 .net]: ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
　sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　（でえ）
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/05(水) 23:07:37.09 .net]: ↑のハイパボリック版...

〔問題738〕
　sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
　　　　　　　　　　　　　　　(prime_132)

cos(√t)　(0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい....
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/09(日) 21:28:40.72 .net]: >>50 右
　g(t) = cos(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
　　　　　 > g(xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cos(x),
　
>51 右
　g(-t) = cosh(√t)　は下に凸。3倍角公式から、
　cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
　　　　　 = {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
　　　　　 > g(-xx)　　　(← Jensen)
　　　　　 = cosh(x),
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/09(日) 21:33:06.16 .net]: >>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/10(月) 20:40:07.13 .net]: >>53

θ ～ 4.493409457909
　　= (3/2)π - 0.21897952247563

√20 ～ 4.472135955
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/16(日) 00:09:30.45 .net]: 左側はマクローリン展開。

>>50 左
　sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
　　　 = 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
　　　 > 1 - xx/3! + (x^4)/216　　　(← xx<14)
　　　 > cos(x/√3),

>>51 左
　2k+1 ≦ 3^k,
　sinh(x)/x = ∑[k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
　　　　　　> ∑[k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
　　　　　　=　cosh(x/√3),
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/16(日) 00:18:37.18 .net]: 成程
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/18(火) 22:07:49.29 .net]: 〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/06/18(火) 22:12:24.34 .net]: >>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....

　√(1+xx) - |x|
　　 =　1/{√(1+xx) + |x|}
　　 ≧ 1/(1+2|x|)
　　 =　X／{X + 2|x|^(1/3)}
　　 ≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)}　　　(x≦1/yz)
　　 ≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
　　 =　X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),
60 名前：１３２人目の素数さん [2013/07/12(金) NY:AN:NY.AN .net]: a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/17(水) NY:AN:NY.AN .net]: >>59
例によって基本対称式を
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。題意より
　s = u,
　9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
　t ≧ 9,
したがって
　(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,

Schur不等式（n=-2）より
　0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
　　= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
　　= (t^3 -4stu +9uu)/uu
　　= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu)　(← s=u)
　　≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),

∴　[t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/18(木) NY:AN:NY.AN .net]: 昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。
63 名前：nobu mailto:jilpokj7yahoo.co.jp [2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN .net]: mixi招待してください
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN .net]: >>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
　0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
　　≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
　　= GGG +3GG -2
　　= (G+1)^3 -3(G+1)
　　= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴　G ≦ √3 -1,
∴　(a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）
65 名前：１３２人目の素数さん [2013/07/25(木) NY:AN:NY.AN .net]: log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: あんまし美しいと思えないなあその不等式
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/07/26(金) NY:AN:NY.AN .net]: >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/08/28(水) NY:AN:NY.AN .net]: 〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？

　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/09/28(土) 18:28:22.89 .net]: 自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)

ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/09/28(土) 22:13:24.35 .net]: >>69
それ数セミ10月号の問題じゃん
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:ssae [2013/10/04(金) 06:41:24.02 .net]: 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。
73 名前：狢 ◆yEy4lYsULH68 mailto:age [2013/10/04(金) 07:10:46.99 .net]: 狢

○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
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74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/04(金) 11:32:39.72 .net]: >>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた

　ﾉ　　　　　∧　　　　　／)　∧
　彡　　ノW　＼从／V　　W　＼　　　ミ
　 (　　ノ　　　　　　　 |　　　　　　ノ　＼)
　　∩V　　　　　、、　|　　　　　　 >V7
　（ｅLＬ／￣￣＼/　 L／￣￣＼┘/3）
　　(┗（　　　　　　)⌒（　　　　　　）┛/
　　　~|　＼＿＿／ |　　＼＿＿／　|~　　　　／￣￣￣￣￣￣
　　　爻　　　　　< |　　；　　　　　爻　　　＜続けたまえ
　　　　~爻　　　　＼_／　　＿,　爻~.　　　　＼＿＿＿＿＿＿
　　　　~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
　　　　　／　　　　ー￣￣＼_￣＼
　＿一‘　　　　　＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼　　　　　　　ー￣￣ヽ_ヽＪ　　￣＼_
　　＼　　　　　＿ニニニヽ　）　　　　　　 ~＼
　　　＼　　_／⌒|＼ヽ_~~ ~⌒＼_
　　＿＿／~　　　 V ＼_|　　　　　~＼＿
75 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 12:59:17.73 .net]: １．不等式　２１世紀の代数的不等式論　　安藤　哲哉　著　　数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。

これは大田図書館（大田区）でみつけた。
76 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 13:05:05.59 .net]: もう一冊は楽しめそう。

美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー

砂糖　淳郎　訳　　朝倉書店

残念ながらともに大田図書館所蔵です
77 名前：福地　裕 [2013/10/04(金) 13:07:23.30 .net]: 私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/04(金) 17:05:18.87 .net]: 安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな
79 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:30:44.11 .net]: >>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)
80 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:33:47.42 .net]: (直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．
81 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:44:43.57 .net]: すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/08(火) 18:28:27.55 .net]: 証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/13(日) 19:40:49.65 .net]: 〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:23:11.65 .net]: >>69-70
　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。

(1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n,

(2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:26:51.02 .net]: >>69-70

(3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2
86 名前： + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3 > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2 = 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)} = 2(n+1)/(nn-1) = 2/(n-1), []: [ここ壊れてます]
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 16:39:34.30 .net]: 　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79

[Corollary 2.6]
　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0"

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:27:41.96 .net]: >>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:30:44.20 .net]: >>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
90 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/19(土) 10:25:56.89 .net]: >> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/19(土) 18:40:21.91 .net]: >>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/20(日) 00:02:09.40 .net]: >>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)

〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/21(月) 23:40:17.56 .net]: 〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)
94 名前：ななし mailto:sage [2013/10/22(火) 00:26:11.28 .net]: >>91

(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
　= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
　≧ ⊿_1 - ⊿_2　　　(← x･y^(n-1) ≧1)
　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0)
ここに
　⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
　⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,

(2) nについての帰納法で。

和書[8] のような解析的な方法もあるが....
95 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/25(金) 13:26:38.30 .net]: 確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/25(金) 15:43:17.57 .net]: stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/30(水) 12:23:26.57 .net]: >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| >
98 名前：｜tanh(t)| (d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt), (d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2}, から |t|≦1 のとき arcsin(t) > sinh(t) > 0, が出る。 t > sin(sinh(t)) > 0, |t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。 sinh(t) = x とおくと arcsinh(x) > sin(x) > 0, []: [ここ壊れてます]
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/07(木) 11:41:28.21 .net]: ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112
100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/15(金) 01:38:28.47 .net]: 幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ

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