- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ]
- Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。
前スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
- 185 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 08:32:40 ]
- SL_2(Z) の元 (1, 1)/(0, 1) を S と書いた(過去スレ４の237)。
任意の n ∈ Z に対して S^n = (1, n)/(0, 1) である。
よって過去スレ４の401より (a, b, c) ∈ F(D) のとき
(a, b, c)S^n = (a, 2an + b, an^2 + bn + c)
である。
過去スレ４の587より I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。
(k, l, m) ∈ F(D) があり、[a, (-b + √D)/2] = [k, (-l + √D)/2]
とする。
I ∩ Z = aZ = kZ だから a = ±k である。
簡単のために a = k と仮定する。
(-b + √D)/2 = na + t(-l + √D)/2 となる n, t ∈ Z がある。
よって
t = 1
-b = 2na - l
よって
l = b + 2an
D = l^2 - 4km = b^2 - 4ac だから
(b + 2an)^2 - 4am = b^2 - 4ac
よって
4am = (b + 2an)^2 - b^2 + 4ac = 4abn + 4a^2n^2 + 4ac
m = bn + an^2 + c
以上から (k, l, m) = (a, 2an + b, an^2 + bn + c) である。
即ち (a, b, c)S^n = (k, l, m) である。
- 186 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 08:36:29 ]
- 逆に (a, b, c)S^n = (k, l, m) なら
k = a
l = 2an + b
だから
[k, (-l + √D)/2] = [a, -an + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2] である。
- 187 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 09:03:27 ]
- SL_2(Z) を Γ と書き、S で生成される Γ の部分群を Γ_∞ と書く。
即ち Γ_∞ = {S^n = (1, n)/(0, 1), n ∈ Z} である。
Γ は C ∪ {∞} に一次分数変換として作用する
(過去スレ４の196)。ここで、C は複素数体である。
このとき、Γ_∞ は Γ の ∞ における安定化部分群
(過去スレ４の392)である。
Γ_∞ は F(D) に右から作用する。
F(D) の Γ_∞ の作用による商集合を F(D)/Γ_∞ と書いた
(過去スレ４の390)。
R の分数イデアル全体を id(R) と書こう。
(a, b, c) ∈ F(D) に R のイデアル [a, (-b + √D)/2] を対応させる
ことにより F(D) から id(R) への写像が得られる。
この写像を φ_FI と書こう。F は form、I は ideal の頭文字である。
>>186 より φ_FI は F(D)/Γ_∞ から id(R) への写像を引き起こす。
- 188 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:35:47 ]
- >>176 を以下のように訂正する。
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
>>174 より Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)D である。
ここで D は R の判別式である。
従って、(Δ(α, β)/√D)^2 = N(I)^2 である。
よって Δ(α, β)/√D は０でない実数である。
ここで √D = (√|D|)i とする(過去レス４の273参照)。
Δ(-α, β)/√D ＞ 0 のとき、基底 α, β は正に向き付けられている
という。
Δ(-α, β)/√D ＜ 0 のとき、基底 α, β は負に向き付けられている
という。
Δ(-α, β) = -αβ' + α'β = -Δ(α, β) だから
Δ(-α, β)/√D = -Δ(α, β)/√D
よって基底 α, β が正に向き付けられているとき
基底 -α, β は負に向き付けられている。
- 189 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:38:51 ]
- >>177 を以下のように訂正する。
命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] = [γ, δ] とし、
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているとする。
α, β の γ, δ による変換行列を P = (p, q)/(r, s) とする。
即ち、
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
とする。
このとき P ∈ SL_2(Z) である。
証明
P ∈ GL_2(Z) であるから det(P) ＞ 0 を示せばよい。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = det(P)Δ(γ, δ) である。
よって
Δ(α, β)/√D = det(P)Δ(γ, δ)/√D である。
ここで D は R の判別式である。
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているから、
Δ(α, β)/√D ＜ 0
Δ(γ, δ)/√D ＜ 0
従って det(P) ＞ 0 である。
証明終
- 190 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:58:09 ]
- (a, b, c) ∈ F(D) のとき I = [a, (-b + √D)/2] の
基底 a, (-b + √D)/2 の向き(>>188)を調べる。
Δ(-a, (-b + √D)/2) = a((-b + √D)/2 - (-b - √D)/2)
= a√D
従って a ＞ 0 のとき a, (-b + √D)/2 は正の向き、
a ＜ 0 のとき a, (-b + √D)/2 は負の向きである。
まず a ＞ 0 の場合を考える。
α = a
β = (-b + √D)/2 とおき、
f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
過去スレ４の392より、
k = (αα')/N(I)
l = -(αβ' + βα')/N(I)
m = (ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
今の場合、N(I) = a だから
k = a
l = b
m = c
である。
即ち N(xα - yβ)/N(I) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
- 191 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 11:39:35 ]
- 今度は a ＜ 0 の場合を考える。
I = [a, (-b + √D)/2] = [-a, (-b + √D)/2] であり、
Δ(a, (-b + √D)/2)) = -a√D だから
-a, (-b + √D)/2 は正の向きである。
α = -a
β = (-b + √D)/2 とおき、
f(x, y) = N(xα + yβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
過去スレ４の584より、
k = (αα')/N(I)
l = (αβ' + βα')/N(I)
m = (ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
今の場合、N(I) = -a だから
k = -a
l = -b
m = -c
である。
即ち N(xα + yβ)/N(I) = -ax^2 - bxy - cy^2 である。
- 192 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:24:17 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I と J を R の
分数イデアルとする。
J ⊂ I なら N(J)/N(I) は有理整数である。
証明
I = [α, β]
J = [δ, γ]
とする。
J ⊂ I だから
δ = pα + qβ
γ = rα + sβ
と書ける。
ここで p, q, r, s は有理整数である。
>>151 と同様にして
Δ(δ, γ) = (ps - qr)Δ(α, β)
だから >>175 より
d(J) = (ps - qr)^2 d(I)
>>174 より
d(I) = (N(I)^2)d(R)
だから
d(J) = (ps - qr)^2(N(I)^2)d(R)
d(J) = (N(J)^2)d(R)
だから
(ps - qr)^2(N(I)^2)d(R) = (N(J)^2)d(R)
よって
N(I)|ps - qr| = N(J)
証明終
- 193 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:33:43 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
γ ≠ 0 を２次体 Q(√m) の元とする。
N(γR) = |N(γ)| である。
証明
>>172 において I = R とすればよい。
- 194 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:36:11 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I と J を R の
分数イデアルとする。
γ ∈ I なら N(γ)/N(I) は有理整数である。
証明
>>192 と >>193 より明らかである。
- 195 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:37:18 ]
- >>194 を以下のように訂正する。
補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I を R の
分数イデアルとする。
γ ∈ I なら N(γ)/N(I) は有理整数である。
証明
>>192 と >>193 より明らかである。
- 196 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:59:00 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I を R の分数イデアルとする。
α, β ∈ I なら (αβ' + βα')/N(I) は有理整数である。
証明
N(α + β) = (α + β)(α' + β')
= αα' + (αβ' + βα') + ββ'
よって
(αβ' + βα')/N(I) = N(α + β)/N(I) - αα'/N(I) - ββ'/N(I)
>>195 よりこの右辺は有理整数である。
証明終
- 197 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 13:23:43 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I = [α, β] を R の分数イデアルとする。
α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
s = ±1 として f(x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
>>195 より f(x, y) は有理整数である。
f(x, y) は α, β, s に依存するから f(α, β, s; x, y) とも書く。
N(xα - syβ) = (xα - syβ)(xα' - syβ')
= (αα')x^2 - s(αβ' + βα')xy + (ββ')y^2
a = s(αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = s(ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
>>195 と >>196 より a, b, c は有理整数である。
よって f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。
r ≠ 0 を有理数とする。
rI = [rα, rβ] であり、
Δ(rα, rβ) = (r^2)Δ(α, β) だから rα, rβ の向きも正である。
f(rα, rβ, s; x, y) = sN(xrα - syrβ)/N(rI)
= sN(r)N(xα - syβ)/|N(r)|N(I)
= s(r^2)N(xα - syβ)/(r^2)N(I)
= f(α, β, s; x, y)
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/28(土) 13:36:31 ]
- がんがれ、くまごろん
- 199 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 14:21:58 ]
- >>197 の続き。
n を有理整数とする。
I = [α, β] = [α, β + nα] である。
Δ(α, β + nα) = α(β' + nα') - α'(β + nα)
= Δ(α, β)
従って、α, β + nα も正の向きである。
f(α, β + nα, s; x, y) = kx^2 + lxy + m^2 を計算しよう。
a = s(αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = s(ββ')/N(I)
だから
k = s(αα')/N(I) = a
l = -(α(β + nα)' + (β + nα)α')/N(I)
= b - 2na/s
m = s(β + nα)(β' + nα')/N(I)
= s(ββ' + n(βα' + αβ') + n^2αα')/N(I)
= c - snb + an^2
即ち
f(α, β + nα, s; x, y) = (a, b - 2na/s, an^2 - sbn + c)
- 200 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 14:24:18 ]
- >>185 より
s = 1 のとき
f(α, β + nα, s; x, y) = f(α, β, s; x, y)S^(-n)
s = -1 のとき
f(α, β + nα, s; x, y) = f(α, β, s; x, y)S^n
- 201 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 15:36:32 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I を R の分数イデアルとする。
分数イデアルの定義(>>148)より、
γI ⊂ R となる R の元 γ ≠ 0 がある。
γ' ∈ R だから
γ'γI ⊂ γ'R ⊂R
r = γγ' とおけば、r は有理整数で rI ⊂ R である。
rI は R のイデアルだから過去レス４の427より
rI = [a, b + cfω] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 で a と b は c で割れる。
I = [a/r, (b + cfω)/r] である。
Δ(a, b + cfω) = a(b + cfω') - a(b + cfω) = acf(ω' - ω)
= -ac√D
ac ＞ 0 だから a, b + cfω の向きは正である。
Δ(a/r, (b + cfω)/r) = (1/r^2)Δ(a, b + cfω) だから
a/r, b + cfω/r の向きも正である。
即ち、
α = a/r
β = (b + cfω)/r とおけば
I = [α, β] で α, β の向きは正である。
- 202 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 16:13:16 ]
- >>197 の補足。
(αβ' + βα')^2 - 4αα'ββ' = (αβ' - βα')^2
だから f(x, y) の判別式は (αβ' - βα')^2/N(I)^2 である。
>>174 よりこれは R の判別式に等しい(過去スレ４の584も参照)。
- 203 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 16:34:46 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の分数イデアル全体を id(R) と書いた(>>187)。
I を R の分数イデアルとし、r ≠ 0 を有理数とすると、
rI は R の分数イデアルである。
従って id(R) は Q^* の元の作用により (Q^*)-集合(>>388)となる。
ここで Q は有理数体であり、Q^* はその乗法群である。
id(R)/(Q^*) × {±1} から F(D)/Γ_∞ への写像 φ_IF を以下のように
定義する。ここで {±1} は 有理整数環 Z の単元群 Z^* である。
id(R)/(Q^*) の任意の類 {I} をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
s = ±1 のとき f(x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおく。
>>197 より f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。
>>202 より f(x, y) の判別式は D である。
f(x, y) の属す F(D)/Γ_∞ の類 {f(x, y)} は id(R)/(Q^*) の類 {I}
のみで決まり、I および α, β のとり方によらないことを示そう。
- 204 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 18:21:51 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] で α ∈ Z なら β = s ± fω と書ける。
ここで s ∈ Z である。
証明
I = [a, b + fω] を I の標準基底(過去スレ４の430)とする。
N(I) = a である。
I ∩ Z = αZ = aZ だから α = ±a である。
β = s + tfω とする。
N(I) = |αt| = a|t| である。
従って |t| = 1 である。
証明終
- 205 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 18:28:19 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] = [α, γ] で α ∈ Z なら
β - γ ∈ αZ である。
証明
>>204 より β - γ ∈ I ∩ Z = αZ である。
証明終
- 206 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 19:03:39 ]
- >>205 を以下のように訂正する。
補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] = [α, γ] で α ∈ Z かつ
α, β と α, γ の向きはともに正とする。
このとき
β - γ ∈ αZ である。
証明
>>204 より β = s ± fω と書ける。
β = s + fω のとき
Δ(α, β) = -α√D
β = s - fω のとき
Δ(α, β) = α√D
同様に
γ = t ± fω と書ける。
γ = t + fω のとき
Δ(α, γ) = -α√D
γ = t - fω のとき
Δ(α, γ) = α√D
α, β と α, γ の向きはともに正だから
β = s + fω のとき γ = t + fω であり、
β = s - fω のとき γ = t - fω である。
よって β - γ ∈ I ∩ Z = αZ である。
証明終
- 207 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 01:50:43 ]
- >>203 の続き。
id(R)/(Q^*) の任意の類 {I} をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
>>201 より rI ⊂ R となる有理整数 r ≠ 0 がある。
rI はある有理整数と原始イデアルの積となるから、
結局、 qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
qI = [qα, qβ] であるが、>>197 より
f(α, β, s; x, y) = f(qα, qβ, s; x, y)
従って、I は原始イデアルと仮定してよい。
I = [γ, δ] で γ は有理整数で γ, δ の向きは正とする。
α = ±γ である。
α = -γ なら I = [-γ, -δ] で -γ, -δ の向きは正であるから
α = γ と仮定してよい。
このとき >>206 より β - δ ∈ αZ である。
>>200 より
f(α, β, s; x, y) と f(γ, δ, s; x, y) は F(D)/Γ_∞ の同じ類
に属す。
これで >>203 の最後の主張は証明された。
- 208 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 02:22:14 ]
- >>187 で (a, b, c) ∈ F(D) に R のイデアル [a, (-b + √D)/2] を
対応させる F(D) から id(R) への写像を φ_FI と書いたが、
(a, b, c) ∈ F(D) に ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) を対応させる
F(D) から id(R) × {±} への写像を φ_FI と書くことに訂正する。
ここで sign(a) は a の符号を表す。
即ち a ＞ 0 のとき sign(a) = 1, a ＜ 0 のとき sign(a) = -1 である。
>>187 より φ_FI は F(D)/Γ_∞ から id(R) × {±} への写像を
引き起こす。
従って F(D)/Γ_∞ から (id(R)/Q^*) × {±} への写像を引き起こす。
この写像を記号の濫用だが同じ φ_FI で表す。
他方、>>203 と >>207 より
id(R)/(Q^*) × {±1} から F(D)/Γ_∞ への写像 φ_IF が定義された。
φ_FI と φ_IF は互いに逆写像であることをこれから示す。
- 209 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 04:43:31 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の任意のイデアル I ≠ 0 は
I = [a, b + c(D + √D)/2] と一意に書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 で a と b は c で割れる。
証明
θ = (D + √D)/2 とおく。
過去スレ４の585より R = [1, θ] だから
I = [a, b + cθ], a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 と一意に書ける
ことは過去スレ４の14の証明と同様である。
θ + θ' = D
θθ' = (D^2 - D)/4 より
θ は X^2 - DX + (D^2 - D)/4 の根である。
従って θ^2 = Dθ - (D^2 - D)/4
aθ ∈ I だから a は c で割れる。
(b + cθ)θ = bθ + cθ^2 = (b + cD)θ - c(D^2 - D)/4 ∈ I
D ≡ 0, 1 (mod 4) だから
D^2 ≡ 0, 1 (mod 4)
よって D^2 ≡ D (mod 4)
よって c(D^2 - D)/4 ∈ Z である。
よって b + cD ≡ 0 (mod c) となる。
よって b ≡ 0 (mod c) となる。
証明終
- 210 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 04:45:50 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の原始イデアル I は
I = [a, b + (D + √D)/2] と一意に書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
証明
>>209 より明らかである。
- 211 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:08:37 ]
- >>208 の続き。
>>190 と >>191 より
(φ_IF)(φ_FI) = 1 である。
I を R = [1, ω] の原始イデアルとする。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
θ = (D + √D)/2 とおく。
α = a
β = b + θ
とおいて
>>197 の f(α, β, s; x, y) を計算する。
N(I) = a だから
s(αα')/N(I) = sa
-(αβ' + βα')/N(I) = -(β + β') = -(2b + D)
従って >>197 より f(α, β, s; x, y) = (sa, -(2b + D), *) である。
ここで * はある有理整数だがその正確な値はここでは必要ない。
この２次形式の φ_FI による像は
([sa, b + (D + √D)/2], s) = (I, s) である。
これは (φ_FI)(φ_IF) = 1 を意味する。
以上から φ_FI と φ_IF は互いに逆写像である。
- 212 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:18:05 ]
- >>211 より F(D)/Γ_∞ と (id(R)/Q^*) × {±1} は集合として同型
である。
この事実を述べた文献は非常に少ないと思う。
- 213 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:21:02 ]
- >>208
{±} と書いたのは {±1} の間違いである。
- 214 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:11:15 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) }
とおく。
Qd は quadratic numbers の略である。
Qd の元 θ と有理整数 n に対して θ + n も Qd の元である。
従って Qd には有理整数環の加法群 Z が作用する。
Qd/Z をその商集合とする。
写像 φ_IQ : id(R)/(Q^*) → Qd/Z を以下のように定義する。
id(R)/(Q^*) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
β/α ∈ Qd である。
φ_IQ({ I }) = {β/α} とおく。
これが I の取りかたおよび 基底 α, β の取り方によらないことを
以下に示す。
- 215 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:24:32 ]
- >>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
qI = [qα, qβ] であるが >>197 より qα, qβ の向きも正である。
qβ/qα = β/α であるから I は原始イデアルと仮定してよい。
I = [γ, δ] で γ は有理整数で γ, δ の向きは正とする。
α = ±γ である。
α = -γ なら I = [-γ, -δ] で -γ, -δ の向きは正であるから
α = γ と仮定してよい。
このとき >>206 より β - δ ∈ αZ である。
よって δ/γ = (β + nα)/α = β/α + n となる n ∈ Z がある。
よって φ_IQ({ I }) は I およびその基底 α, β の取り方によらない。
- 216 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:47:22 ]
- 今度は、写像 φ_QI : Qd/Z → id(R)/(Q^*) を以下のように定義する。
θ = (-b + √D)/2a が Qd の元のとき、過去スレ４の587より
I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。
φ_QI({θ}} = { I } と定義する。
まず θ = (-b + √D)/2a = (-l + √D)/2k とする。
ここで
a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a)
k ＞ 0, D ≡ l^2 (mod 4k)
である。
k(-b + √D) = a(-l + √D)
よって
a = k
b = l
従って I = [a, (-b + √D)/2] は θ ∈ Qd により一意に決まる。
n ∈ Z のとき θ + n = (-b + √D)/2a + n = (-b + 2an + √D)/2a
これに対応するイデアルは
[a, (-b + 2an + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2 + an]
= [a, (-b + √D)/2]
従って I は {θ} のみで決まる。
以上から写像 φ_QI : Qd/Z → id(R)/(Q^*) は矛盾なく定義された。
- 217 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 13:05:05 ]
- >>214 で定義した φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z と
>>216 で定義した φ_QI : Qd/Z → id(R)/Q^* が互いに逆写像で
あることは簡単にわかるが一応証明する。
I を R の原始イデアルとする。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
この基底 a, b + (D + √D)/2 の向きは正である。
φ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a }
φ_QI({ (2b + D + √D)/2a }) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって (φ_QI)(φ_IQ) = 1 である。
今度は θ = (-b + √D)/2a が Qd の元とする。
φ_QI({θ}) = { [a, (-b + √D)/2] }
φ_IQ({ [a, (-b + √D)/2] }) = { (-b + √D)/2a }
よって (φ_IQ)(φ_QI) = 1 である。
以上で φ_IQ と φ_QI は互いに逆写像であることがわかった。
従って、id(R)/Q^* と Qd/Z は集合として同型である。
- 218 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 13:59:35 ]
- >>211 より
φ_FI : F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IF : id(R)/Q^* × {±1} → F(D)/Γ_∞
は集合としての同型(即ち全単射)である。
>>211 より
φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z
と
φ_QI : Qd/Z → id(R)/Q^*
は集合としての同型である。
φ_FI: F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IQ × 1 : id(R)/Q^* × {±1} → Qd/Z × {±1}
を合成して
同型 φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Qd/Z × {±1}
が得られる。
即ち
(a, b, c) ∈ F(D) のとき
(a, b, c) → ([a, (-b + √D)/2], sign(a))
→ ((-b + √D)/2|a|, sign(a))
と対応させる。
つまり
φ_FQ({ (a, b, c) }) = ({ (-b + √D)/2|a| }, sign(a))
- 219 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 14:09:02 ]
- φ_FQ の逆写像 φ_QF : Qd/Z × {±1} → F(D)/Γ_∞ は
φ_QI × 1 : Qd/Z × {±1} → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IF : id(R)/Q^* × {±1} → F(D)/Γ_∞
の合成である。
即ち
(-b + √D)/2a ∈ Qd のとき
((-b + √D)/2a, s) → ([a, (-b + √D)/2], s)
→ f(a, (-b + √D)/2, s: x, y)
と対応させる。
つまり
φ_QF({ (-b + √D)/2a }, s) = { f(a, (-b + √D)/2, s: x, y) }
- 220 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:04:31 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の原始的(過去スレ４の279)な２次形式の集合を
F_0(D) と書く。
即ち F_0(D) = {(a, b, c) ; D = b^2 - 4ac, gcd(a, b, c) = 1}
過去スレ４の282 より Γ = SL_2(Z) は F_0(D) に右から作用する。
従って商集合 F_0(D)/Γ と F_0(D)/Γ_∞ が得られる。
R の可逆分数イデアル全体を I(R) と書いた(過去スレ２の521)。
I が R の可逆分数イデアルで r ≠ 0 を有理数とすると
rI も可逆分数イデアルである。
従って、id(R)/Q^* と同様に I(R)/Q^* が得られる。
過去スレ４の592より判別式 D の２次形式 (a, b, c) が原始的で
あるためには R のイデアル [a, (-b + √D)/2] が可逆である
ことが必要十分である。
従って同型
φ_FI: F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
は同型
F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
を引き起こす。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_FI で表す。
- 221 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:22:08 ]
- 定義
有理整数係数の原始的な２次多項式 ax^2 + bx + c, a ≠ 0
の根を原始的な２次無理数という。
ここで ax^2 + bx + c が原始的とは gcd(a, b, c) = 1 を意味する。
- 222 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:34:14 ]
- >>221 を以下のように訂正する。
定義
ax^2 + bx + c を有理整数係数の原始的な２次多項式とし、
その判別式を D とする。
この多項式の根を判別式 D の原始的な２次無理数という。
ここで ax^2 + bx + c が原始的とは gcd(a, b, c) = 1 を意味する。
- 223 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:58:10 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおいた(>>214)。
Qd の元で原始的(>>221)なもの全体を Qd_0 と書く。
即ち
Qd_0 = { (-b + √D)/2a ∈ Qd ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
>>218 より
φ_FQ({ (a, b, c) }) = ({ (-b + √D)/2|a| }, sign(a))
により同型
φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Qd/Z × {±1} が得られる。
この同型は同型
F_0(D)/Γ_∞ → Qd_0/Z × {±1} を引き起こす。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_FQ で表す。
- 224 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:03:26 ]
- >>220, >>223から
同型
φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z
は同型
I(R)/Q^* → Qd_0/Z を引き起こすことが分かる。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_IQ で表す。
- 225 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:27:18 ]
- 定義
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) (過去スレ４の473) を Cl(D)
と書く。
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 10:28:34 ]
- 226とは何か．ここでは"226"に五つの意味を与えよう．
226は自然数である．"226"の一つ目の意味だ．
自然数からいくつでも次の自然数を作ることができる．数学では自然数全体の集合は存在するという前提がある．
自然数の空間には加法を入れることができる．乗法も入れられるが，ここでは関係ない．自然数の加法があると，加法の逆演算を考えたくなる．それを減法と呼ぶが，減法のできない自然数の組が存在する．
そこで，自然数の組を利用して整数の空間を作る．整数の組ならどのようなものでも減法ができる．整数の空間に全ての自然数を埋め込むことができる．整数の226もできる．"226"の二つ目の意味だ．
ところで，整数の空間では加法減法乗法は自由にできるが，乗法の逆演算である除法はできないことがあるから，除法もできる空間を考えよう．
整数の空間は乗法について交換法則が成り立ち，しかも0でない整数m,nの積mnは0でないという性質があるから，整数空間の構造を部分的に含み，しかも0で割る以外の加減乗除が自由に出来，二整数の除法だけで作った空間が一意に存在する．
そのような空間の要素を有理数と呼ぶ．有理数の226もできる．"226"の三つ目の意味だ．
有理数の空間の基本列として，1,3/2,7/5,17/12,41/29,…のようなものがあるが，これは有理数の極限を持たない．
そこで，有理数の基本列の極限を全て入れた空間を考える．その空間の要素を実数という．実数空間には有理数空間を埋め込むことができ，実数の226もできる．"226"の四つ目の意味だ．
実数係数整式では，例えばx^2+1にはxにどのような実数を代入しても0にならない．つまり，実数の範囲で解けない代数方程式があるのだ．
そこで，i^2+1=0を満たすiを加えてさらに加減乗除ができるよう拡張した空間を考える．その空間の元を複素数という．ちなみに複素数係数の代数方程式は1次以上なら必ず複素数の範囲で解が存在する．
複素数空間に実数空間を埋め込むことができ，複素数の226もできる．"226"の五つ目の意味だ．
- 227 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:32:36 ]
- 定義
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Q(√m) は実２次体だから D ＞ 0 である。
P+(R) = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) ＞ 0 } とおく。
I(R)/P+(R) を Cl+(D) と書き、R の狭義のイデアル類群と呼ぶ。
- 228 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:05:17 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
I = [α, β] を R の分数イデアルとし、
α, β の向き(>>188)は正とする。
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
これは >>197 の f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) で
s = 1 の場合である。
>>197 と >>202 より f(α, β; x, y) は判別式 D の２次形式である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
同様に
k = (γγ')/N(I)
l = -(γδ' + δγ')/N(I)
m = (δδ')/N(I)
とおけば、f(γ, δ; x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
- 229 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 13:08:49 ]
- talk:>>226 数学基礎論的整数論。
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 13:17:12 ]
- >>226
226に226個の意味を与えてみよ
- 231 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:17:22 ]
- αα' = (pγ + qδ)(pγ' + qδ')
= γγ'p^2 + (γδ' + δγ')pq + δδ'q^2
αβ' + βα'
= (pγ + qδ)(rγ' + sδ') + (rγ + sδ)(pγ' + qδ')
= γγ' pr + γδ'ps + δγ'qr + δδ'qs
+ γγ' rp + γδ' rq + δγ'sp + δδ'qs
= 2γγ' pr + (γδ'+ δγ')(sp + qr) + 2γγ' qs
ββ' = (rγ + sδ)(rγ' + sδ')
= γγ'r^2 + (γδ' + δγ')rs + δδ's^2
従って
a = kp^2 - lpq + mq^2
b = 2kpr - l(sp + qr) + 2mqs
c = kr^2 - lrs + ms^2
従って >>184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で
(k, l, m)σ = (a, b ,c)
- 232 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:30:57 ]
- >>231 を以下のように訂正する。
αα' = (pγ + qδ)(pγ' + qδ')
= γγ'p^2 + (γδ' + δγ')pq + δδ'q^2
αβ' + βα'
= (pγ + qδ)(rγ' + sδ') + (rγ + sδ)(pγ' + qδ')
= γγ' pr + γδ'ps + δγ'qr + δδ'qs
+ γγ' rp + γδ' rq + δγ'sp + δδ'qs
= 2γγ' pr + (γδ'+ δγ')(sp + qr) + 2γγ' qs
ββ' = (rγ + sδ)(rγ' + sδ')
= γγ'r^2 + (γδ' + δγ')rs + δδ's^2
従って
a = kp^2 - lpq + mq^2
b = -2kpr + l(sp + qr) - 2mqs
c = kr^2 - lrs + ms^2
従って >>184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で
(k, l, m)σ = (a, b ,c)
- 233 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:06:35 ]
- 定義
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の正定値(過去スレ４の293)原始２次形式の集合を
(F_0)+(D) と書く。
これは過去スレ４の405と異なることに注意しておく。
- 234 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:13:02 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の２次形式の集合を F(D) と書いた(>>184)。
I = [α, β] を R の分数イデアルとし、
α, β の向き(>>188)は正とする。
>>228, >>232 より f(α, β; x, y) が属す F(D)/Γ の類は α, β の
取り方によらない。
>>220 より I が可逆分数イデアルのときは f(α, β; x, y) は
原始的である。
D ＜ 0 のときは (αα')/N(I) ＞ 0 だから f(α, β; x, y) は
正定値である。
- 235 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:21:39 ]
- δ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。
δI = [δα, δβ] も R の可逆分数イデアルである。
f(δα, δβ; x, y) = N(xδα - yδβ)/N(δI)
= (N(δ)/|N(δ)|)f(α, β; x, y)
従って、N(δ) ＞ 0 なら f(δα, δβ; x, y) = f(α, β; x, y)
である。
Q(√m) が虚２次体のときは常に N(δ) ＞ 0 である。
よって、I に f(α, β; x, y) が属す (F_0)+(D)/Γ の類を対応させる
ことにより
写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ
が得られる。
Q(√m) が実２次体のときは N(δ) ＞ 0 なる δ で生成される
単項イデアル δR 全体のなす群 P+(R) で I(R) を類別した
狭義のイデアル類群 Cl+(D) を考える(>>227)。
このとき、I に f(α, β; x, y) が属す F_0(D)/Γ の類を対応させる
ことにより
写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ
が得られる。
- 236 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 15:23:18 ]
- talk:>>230 私がやってみよう。1次元〜226次元線形空間の226倍写像。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 17:44:47 ]
- それよりkingとくんまーの白熱した議論が見たい
- 238 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 18:06:42 ]
- talk:>>237 だが、何の議論をすればいいのだ？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 18:54:16 ]
- >>238
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰す必要性について
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 01:53:40 ]
- >>238
ゴミは消えろ
- 241 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/02(水) 20:32:42 ]
- 再び >>232(即ち >>228の続き)を以下のように訂正する。
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I)
に
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
を代入すると
f(α, β; x, y) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I)
= ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I)
= f(γ, δ; xp - yr, -xq + ys)
従って (a, b, c) = (k, l, m)σ
ここで σ = (p, -r)/(-q, s) ∈ SL_2(Z)
- 242 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:07:24 ]
- >>235 の続き。
D ＜ 0 のとき
ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ
D ＞ 0 のとき
ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ
が定義された。
それぞれの逆写像 ψ_FI を定義しよう。
D ＜ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0+(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } と定義する。
D ＞ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]α } と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
例えば
a ＞ 0 のときは α = 1
a ＜ 0 のときは α = √m とすればよい。
以上の定義が２次形式類の代表 (a, b, c) の取り方によらないことを
証明しよう。
- 243 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:32:01 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されている。
D ＞ 0 の場合を考える。
f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ(f) = { [a, (-b + √D)/2]α } ∈ Cl+(D) と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0(D) の取り方によらないことを証明するには、
任意の σ ∈ SL_2(Z) に対して
Ψ(fσ) = Ψ(fσ) を証明すればよい。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。
- 244 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:51:16 ]
- >>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
よって
Ψ(fS) = { [a, -a + (-b + √D)/2]α }
= { [a, (-b + √D)/2]α }
= Ψ(f)
>>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
Ψ(fT) = { [c, (b + √D)/2]β }
ここで sign(N(β)) = sign(c)
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I = (a/θ')J
Iα = (a/θ')Jα = (aα/θ'β)Jβ
N(θ') = ac だから
N(aα/θ'β) = (a^2)N(α)/acN(β) = aN(α)/cN(β) ＞ 0
よって
Ψ(fT) = { Jβ } = { Iα } = Ψ(f)
証明終
- 245 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:03:49 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されているが、
>>244 と同様にも証明される。
つまり、>>244 の I = (a/θ')J は D ＜ 0 の場合もそのまま成り立つ。
- 246 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:10:38 ]
- >>243 の証明の基本アイデアつまり、
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される
事実を利用する方法は Buell の Binary quadratic forms から借りた。
このアイデアを知るまでは証明がどうしてもうまくいかなかった。
- 247 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 17:55:36 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 248 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:02:25 ]
- >>247 を以下のように訂正する。
命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 249 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:16:34 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 250 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:21:25 ]
- >>248 と >>249 より D ＜ 0 のとき
(F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
このことは過去スレ601と602でも証明されている。
- 251 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:40:54 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]δ } である。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
I = [a, (-b + √D)/2]δ
α = aδ
β = (-b + √D)δ/2 とおく。
-Δ(α, β) = aδ'(-b + √D)δ/2 - aδ(-b - √D)δ'/2
= N(δ)a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = N(δ)a^2/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = N(δ)(ab)/|N(δ)||a|
= sign(N(δ))sign(a)b = b
(ββ')/N(I) = N(δ)ac/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)c = c
よって
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 252 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:47:26 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2]δ }
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
a ＞ 0 だから δ = 1 とできる。
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 253 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:49:23 ]
- >>251 と >>252 より D ＞ 0 のとき
F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
- 254 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 23:15:20 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおいた(>>214)。
Qd の元で原始的(>>221)なもの全体を Qd_0 と書いた(>>223)。
即ち
Qd_0 = { (-b + √D)/2a ∈ Qd ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
θ = (-b + √D)/2a ∈ Qd_0 のとき
過去スレ４の592より [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。
g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl+(D) (>>227) の類とする。
ただし、D ＜ 0 のときは Cl+(D) は Cl(D) を意味するとする。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 255 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 13:36:04 ]
- >>254 は没とする。
理由は Qd は SL_2(Z) の作用で閉じていないため。
- 256 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 15:54:10 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 を
その判別式とする。
Q(D) = { (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
即ち Q(D) は判別式 D に属す２次無理数(過去スレ596) の集合である。
Q_0(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
とおく。
即ち Q_0(D) は判別式 D に属す原始的な２次無理数(過去スレ596) の
集合である。
Q_0(D) は左 SL_2(Z)-集合である。
g(θ) を [a, (-b + √D)/2]δ の属す Cl+(D) (>>227) の類とする。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 257 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:08:05 ]
- Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a
[a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2]
よって g(Sθ) = g(θ) である。
Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c
よって
g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2]γ } である。
ここで γ は sign(N(γ)) = sign(c) となる Q(√m) の任意の
元である。
((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(b + √D)/2, c]
よって
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
とおくと
θ' I = aJ
I = (a/θ')J
Iδ = (a/θ')Jδ = (aδ/θ'γ)Jγ
N(θ') = ac だから
N(aδ/θ'γ) = a^2N(δ)/acN(γ) = aN(δ)/cN(γ) ＞ 0
よって I と J は Cl+(D) の同じ類に属す。
即ち
g(Tθ) = g(θ) である。
よって >>256 の最後の主張が証明された。
- 258 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:14:59 ]
- >>256 より g(θ) は θ の属す Q_0(D)/Γ の類できまり、
その代表元 θ の取り方によらない。
よって写像
ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義される。
- 259 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:37:16 ]
- CL+(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル
である。
I = [α, β] で α, β の向きは正とする。
このような基底 α, β が存在することは >>201 からわかる。
>>228 と同様に
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
h(x) = ax^2 + bx + c とおく。
N(I)αh(β/α) = α'β^2 - αββ' - α'β^2 + αββ' = 0
よって h(β/α) = 0 である。
よって β/α は D に属す２次無理数である。
- 260 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 17:21:36 ]
- I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
θ = β/α
μ = δ/δ
とおく。
θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ)
よって
μ = (pθ - r)/(-qθ + s)
よって μ と θ は Q_0(D)/Γ の同じ類に属す。
τ ∈ Q(√m) で N(τ) ＞ 0 とする。
τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で
Δ(τα, τβ) = τατ'β' - τβτ'α' = N(τ)Δ(α, β)
だから τα, τβ の向きは正である。
さらに τβ/τα = β/α である。
以上から写像
ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が
ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。
- 261 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 17:49:14 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>258 で 写像 ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。
(ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明
θ = (-b + √D)/2a ∈ Q_0(D) とする。
I = [a, (-b + √D)/2]δ とおく。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_QI({ θ }) = { I } である。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
I = [δα, δβ] である。
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
= -N(δ)a√D ＜ 0
よって δα, δβ の向きは正である。
δβ/δα = β/α である。
従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。
よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明終
- 262 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:07:36 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>258 で 写像 ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明
>>207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
β/α = (2b + D + √D)/2a
よって
ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a })
a ＞ 0 だから
ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明終
- 263 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:09:30 ]
- >>261 と >>262 より D ＞ 0 のとき
Q_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
- 264 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:25:21 ]
- R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 を
その判別式とする。
Q+(D) = { a ＞ 0, (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
これは >>214 の Qd と同じものである。
即ち Q+(D) は判別式 D に属す２次無理数(過去スレ596) で
複素上半平面にあるものの集合である。
(Q_0)+(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q+(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
とおく。
即ち (Q_0)+(D) は Q+(D) に属す原始的な２次無理数(過去スレ596) の
集合である。
これは >>223 の Qd_0 と同じものである。
(Q_0)+(D) は左 SL_2(Z)-集合である。
θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) のとき
g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl(D) の類とする。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 265 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:26:44 ]
- Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a
[a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2]
よって g(Sθ) = g(θ) である。
Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c
b^2 - 4ac ＜ 0
b^2 ＜ 4ac
a ＞ 0
だから
c ＞ 0 である。
よって
g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2] }
((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(b + √D)/2, c]
よって
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
とおくと
θ' I = aJ
I = (a/θ')J
よって I と J は Cl(D) の同じ類に属す。
- 266 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:29:09 ]
- >>265 より g(θ) は θ の属す (Q_0)+(D)/Γ の類できまり、
その代表元 θ の取り方によらない。
よって写像
ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義される。
- 267 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:49:01 ]
- CL(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル
である。
I = [α, β] で α, β の向きは正とする。
このような基底 α, β が存在することは >>201 からわかる。
>>228 と同様に
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
h(x) = ax^2 + bx + c とおく。
N(I)αh(β/α) = α'β^2 - αββ' - α'β^2 + αββ' = 0
よって h(β/α) = 0 である。
よって β/α は D に属す２次無理数である。
Im(β/α) = (β/α - β'/α')/2 = (βα' - αβ')/2αα'
= (βα' - αβ')/2N(α)
α, β の向きは正だから
(βα' - αβ')/√D ＞ 0
α は虚２次体 Q(√m) の元だから αα' = N(α) ＞ 0 である。
よって
Im(β/α)/√D = (βα' - αβ')/2N(α)√D ＞ 0
よって β/α は複素上半平面にある。
- 268 名前：クマーさんを応援する人 [2007/05/04(金) 20:56:58 ]
- こんにちは。
- 269 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 00:54:53 ]
- >>267 の続き。
>>250 より
(F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
この同型で { (a, b, c) } は { I } と対応するから
(a, b, c) は原始的である。
>>267 より β/α は ax^2 + bx + c の根だから β/α は
原始的である。
よって β/α は (Q_0)+(D) の元である。
- 270 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 00:55:57 ]
- I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
θ = β/α
μ = δ/δ
とおく。
θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ)
よって
μ = (pθ - r)/(-qθ + s)
よって μ と θ は (Q_0)+(D) の同じ類に属す。
τ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。
τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で
Δ(τα, τβ) = τατ'β' - τβτ'α' = N(τ)Δ(α, β)
N(τ) ＞ 0 だから τα, τβ の向きは正である。
さらに τβ/τα = β/α である。
以上から写像
ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が
ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。
- 271 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:04:00 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
(ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明
θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) とする。
I = [a, (-b + √D)/2] とおく。
ψ_QI({ θ }) = { I } である。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = αβ' - βα' = -a√D ＜ 0
よって α, β の向きは正である。
β/α = (-b + √D)/2a = θ
従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。
よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明終
- 272 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:06:55 ]
- >>271
>>260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
>>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
- 273 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:10:04 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。
>>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明
>>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
β/α = (2b + D + √D)/2a
よって
ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a })
a ＞ 0 だから
ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明終
- 274 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:12:24 ]
- >>271 と >>273 より D ＜ 0 のとき
(Q_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
- 275 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:01:18 ]
- D ＜ 0 のとき >>248 と >>249 より
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) は同型である。
>>271 と >>273 より
ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ は同型である。
よって
ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
このとき
(a, b, c) ∈ (F_0)+(D) の類には (-b + √D)/2a の類が
対応する。
- 276 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:07:44 ]
- >>275
>よって
>ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
- 277 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:08:27 ]
- >>275
>よって
>ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
>同型である。
よって
ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
- 278 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:10:42 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
D ＞ 0 のとき >>251 と >>252 より
ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。
>>261 と >>262 より
ψ_IQ : CL+(D) → Q_0(D)/Γ は同型である。
よって
ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : F_0(D)/Γ → Q_0(D)/Γ は
同型である。
このとき
(a, b, c) ∈ F_0(D) の類には (-b + √D)/2a の類が
対応する。
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/05(土) 13:30:17 ]
- 挨拶にシカトするなんて糞
はじめから見てるが、この書き込んでるやつ馬鹿もいいところだろ。
うんこ以下
- 280 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 19:50:46 ]
- R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>220 より同型
φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
が存在する。
φ_FI は >>243 の同型 ψ_FI を引き起こす。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
- 281 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:07:26 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
P+ = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) ＞ 0 } とおく。
完全列
1 → P+ → K^*/(R^*)+ → {±1} → 1
が存在する。
ここで K = Q(√m) であり、
(R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である。
K^*/(R^*)+ → {±1} は α ∈ K^* に sign(N(α)) を対応させる
ことにより引き起こされる。
P~ = K^*/(R^*)+ とおく。
(I, s) ∈ I(R) × {±1} と、[β] ∈ P~ に対して
[β](I, s) = (βI, s(sign(N(β)))) と定義する。
ε ∈ (R^*)+ のとき (εI, s(sign(N(ε)))) = (I, s) だから
[β](I, s) は [β] ∈ P~ のみで決まる。
よって商集合 (I(R) × {±1})/P~ が定義される。
>>220 の同型
φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
は同型
F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ を引き起こすことを示そう。
- 282 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:22:44 ]
- [ (a, b, c) ] ∈ F_0(D)/Γ のとき
[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~
が代表 (a, b, c) の取り方によらないことを示す。
ここで、[ (a, b, c) ] は (a, b, c) が属す F_0(D)/Γ の類を表す。
同様に、[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] は (I(R) × {±1})/P~ の
類を表す。
f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ(f) = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~
とおく。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って、いつものように
Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。
>>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
よって
Ψ(fS) = [([a, -a + (-b + √D)/2], sign(a))]
= Ψ(f)
- 283 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:29:31 ]
- >>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
Ψ(fT) = [([c, (b + √D)/2], sign(c))]
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I = (a/θ')J
N(θ') = ac だから
N(a/θ') = a/c
Ψ(fT) = [((a/θ')[c, (b + √D)/2], sign(c)sign(N(a/θ')))]
= [([a, (-b + √D)/2], sign(c)sign(a/c))]
= [([a, (-b + √D)/2], sign(a))]
= Ψ(f)
- 284 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:16:12 ]
- (I, s) ∈ I(R) × {±1} とする。
即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。
I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
>>197 で f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおいた。
f(α, β, s; x, y) ∈ F_0(D) である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + tδ
となる有理整数 p, q, r, t で pt - qr = 1 となるものがある。
f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I)
に
α = pγ + qδ
β = rγ + tδ
を代入すると
f(α, β, s; x, y) = sN(x(pγ + qδ) - sy(rγ + tδ))/N(I)
= s((xp - ysr)γ - s(-xsq + yt)δ)/N(I)
= f(γ, δ; xp - ysr, -xq + yst)
従って (a, b, c) = (k, l, m)σ
ここで σ = (p, -sr)/(-sq, t) ∈ SL_2(Z)
- 285 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:43:24 ]
- δ ∈ K^* として
[δ](I, s) = (δI, s(sign(N(δ))) を考える(>>281)。
δI = [δα, δβ] であり、
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
まず N(δ) ＞ 0 の場合を考える。
Δ(δα, δβ) = Δ(α, β)
だから δα, δβ の向きは正である。
f(δα, δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = sN(xδα - syδβ)/N(δI)
= (N(δ)/N(δ))sN(xα - syβ)/N(I)
= sN(xα - syβ)/N(I)
= f(α, β, s; x, y)
N(δ) ＜ 0 とする。
Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β)
だから δα, -δβ の向きは正である。
f(δα, -δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = -sN(xδα - syδβ)/N(δI)
= -(N(δ)/|N(δ)|)sN(xα - syβ)/N(I)
= sN(xα - syβ)/N(I)
= f(α, β, s; x, y)
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