- 177 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 21:09:14 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] = [γ, δ] とし、
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているとする。
α, β の γ, δ による変換行列を P = (p, q)/(r, s) とする。
即ち、
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
とする。
このとき P ∈ SL_2(Z) である。
証明
P ∈ GL_2(Z) であるから det(P) ＞ 0 を示せばよい。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = det(P)Δ(γ, δ) である。
よって
Δ(α, β)/√D = det(P)Δ(γ, δ)/√D である。
ここで D は R の判別式である。
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているから、
Δ(α, β)/√D ＞ 0
Δ(γ, δ)/√D ＞ 0
従って det(P) ＞ 0 である。
証明終
