- 267 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:49:01 ]
- CL(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル
である。
I = [α, β] で α, β の向きは正とする。
このような基底 α, β が存在することは >>201 からわかる。
>>228 と同様に
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
h(x) = ax^2 + bx + c とおく。
N(I)αh(β/α) = α'β^2 - αββ' - α'β^2 + αββ' = 0
よって h(β/α) = 0 である。
よって β/α は D に属す２次無理数である。
Im(β/α) = (β/α - β'/α')/2 = (βα' - αβ')/2αα'
= (βα' - αβ')/2N(α)
α, β の向きは正だから
(βα' - αβ')/√D ＞ 0
α は虚２次体 Q(√m) の元だから αα' = N(α) ＞ 0 である。
よって
Im(β/α)/√D = (βα' - αβ')/2N(α)√D ＞ 0
よって β/α は複素上半平面にある。
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