- 261 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 17:49:14 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>258 で 写像 ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。
(ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明
θ = (-b + √D)/2a ∈ Q_0(D) とする。
I = [a, (-b + √D)/2]δ とおく。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_QI({ θ }) = { I } である。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
I = [δα, δβ] である。
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
= -N(δ)a√D ＜ 0
よって δα, δβ の向きは正である。
δβ/δα = β/α である。
従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。
よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明終
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