- 174 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 12:46:13 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする(>>167)。
Δ(α, β) = αβ' - α'β と書いた(>>155)。
Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)d(R) である。
証明
R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。
I ⊂ Q(√m) だから
α = pμ + qν
β = rμ + sν
と書ける。ここで p, q, r, s は有理数である。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = (ps - qr)Δ(μ, ν)
>>173 より N(I) = |ps - qr| である。
よって
Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)Δ(μ, ν)^2 である。
一方、>>153 より Δ(μ, ν)^2 = d(R) である。
証明終
