- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ]
- Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。
前スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
- 152 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/21(土) 11:47:49 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
(αβ' - α'β)^2 は有理整数 ＞ 0 であり、基底 α, β の
取り方によらない。
証明
I = [γ, δ] を I の別の基底による表示とする。
[α, β] の [γ, δ] による変換行列を P とすれば
>>151 と同様にして
αβ' - α'β = (ps - qr)(γδ' - γ'δ)
両辺を２乗して
(αβ' - α'β)^2 = (ps - qr)^2 (γδ' - γ'δ)^2
det(P) = ±1 だから
(αβ' - α'β)^2 = (γδ' - γ'δ)^2
証明終
- 153 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/21(土) 11:54:18 ]
- 定義
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
d(I) = (αβ' - α'β)^2 と書き、これを I の判別式という。
>>152 より、これは基底 α, β の取り方によらない。
d(I) を d(α, β) とも書く。
容易にわかるように d(R) は R の判別式に一致する。
さらに d(1, ω) は２次体 Q(√m) の判別式である。
- 154 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/21(土) 11:59:03 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
d(I) = (N(I)^2)d(R)である。
証明
定義(>>152) と >>150, >>151 より明らかである。
- 155 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/21(土) 12:05:04 ]
- 定義
α, β を２次体 Q(√m) の元とする。
Δ(α, β) = αβ' - α'β と書く。
- 156 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/21(土) 12:19:47 ]
- 補題
α, β, γ を２次体 Q(√m) の元とする。
Δ(γα, γβ) = N(γ)Δ(α, β) である。
証明
Δ(γα, γβ) = γαγ'β' - γ'α'γβ = γγ'(αβ' - α'β) = N(γ)Δ(α, β)
証明終
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:10:00 ]
- 12
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:11:00 ]
- 11
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:12:00 ]
- 10
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:13:00 ]
- 9
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:14:00 ]
- 8
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 04:15:00 ]
- 7
- 163 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 13:48:32 ]
- 訂正
>>152
>(αβ' - α'β)^2 は有理整数 ＞ 0 であり、基底 α, β の
>取り方によらない。
(αβ' - α'β)^2 は基底 α, β の取り方によらない。
- 164 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 16:08:13 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
γ ≠ 0を２次体 Q(√m) の元とする。
N(γI) = |N(γ)|N(I) である。
証明
>>154 より
d(γI) = (N(γI)^2)d(R)
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
γI = [γα, γβ] である。
>>156 より
d(γI) = (N(γ)^2)d(I)
>>154 より
(N(γ)^2)d(I) = (N(γ)^2)(N(I)^2)d(R)
従って、
(N(γI)^2)d(R) = (N(γ)^2)(N(I)^2)d(R)
d(R) ≠ 0 であるから
N(γI)^2 = (N(γ)^2)(N(I)^2)
よって
N(γI) = |N(γ)|N(I)
証明終
- 165 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 16:16:24 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0, J ≠ 0 を R のイデアルとする。
α ≠ 0, β ≠ 0 を２次体 Q(√m) の元とする。
(1/α)I = (1/β)J なら
N(I)/|N(α)| = N(J)/|N(β)| である。
証明
(1/α)I = (1/β)J だから βI = αJ
>>164 より N(β)N(I) = |N(α)|N(J)
よって
N(I)/|N(α)| = N(J)/|N(β)| である。
証明終
- 166 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 16:20:31 ]
- 定義
I を R の分数イデアルとする(>>148)。
定義より、I = (1/α)J と書ける。
ここで J は R のイデアルで α ≠ 0 は R の元である。
I のノルム N(I) を N(I) = N(J)/|N(α)| で定義する。
>>165 よりこれは J と α の取り方によらない。
- 167 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 20:48:52 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I は基底をもつ、即ち I = [θ_1, θ_2] と表示される。
ここで θ_1, θ_2 は Q(√m) の非零元である。
証明
I = (1/γ)J と書ける。
ここで J ≠ 0 は R のイデアルで γ ≠ 0 は R の元である。
J = [α, β] を J のある基底による表示とする。
I = [α/γ, β/γ] である。
証明終
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 20:49:50 ]
- ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 20:59:16 ]
- 民主党は“全て中国の言う通り”がモットー。
公明党は創価学会とともに日本を朝鮮のものにしようとしてる。
創価学会は日本の大手メディアを間接支配していて、 社民党は朝鮮総連とともに拉致の存在を否定し、被害者の活動を妨害した。
共産党は北朝鮮に関して社民党と同じ。それに加えて反自衛隊・反米である。
朝鮮総連と民潭は日本を解体して朝鮮にしようと参政権を狙っているし、
統一教会は売国政党の社民党を支援している。
☆朝日新聞などは中国と朝鮮の代弁者、つまり日本最大手の売国新聞だし、
日教組は基本理念のレベルから反資本主義・反体制であり、残る自民党にも中国の顔色ばかり窺っている者が潜んでいるのである。
今後は『人権擁護法案』成立を契機に公明党は民主党に鞍替えして連立し、 実質外国人与党が誕生して第二期工作の完結となるのが彼らの筋書きである。 （今、実際にそのように動きつつある）
そうすればあっという間に外国人参政権を成立させて日本の国政は全て
朝鮮人が牛耳り、朝鮮に歯向かう日本人の政治介入する隙間を残さない
新たな制度が完成することだろう。
そしてこれらの売国組織に必ず関与し、彼らの侵略行為の結果において
最も利益を享受する立場にあるのが『在日朝鮮人』である。
hisazin-up.dyndns.org/up/src/14540.wmv 在日特権の真相にせまる21.68MiB
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 21:01:39 ]
- 啓蒙の実践
☆虚構世界 円の紋章
www.google.com/search?q=%22%E8%99%9A%E6%A7%8B%E4%B8%96%E7%95%8C+%E5%86%86%E3%81%AE%E7%B4%8B%E7%AB%A0%22&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:en-US&ie=utf8&oe=utf8
■超越論と非超越論
www.google.com/search?hl=ja&rls=com.microsoft%3Aen-US&q=%22%E8%B6%85%E8%B6%8A%E8%AB%96%E3%81%A8%E9%9D%9E%E8%B6%85%E8%B6%8A%E8%AB%96%22&lr=
■オタク概念の整備
www.google.com/search?hl=ja&rls=com.microsoft%3Aen-US&q=%22%E3%82%AA%E3%82%BF%E3%82%AF%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%AE%E6%95%B4%E5%82%99%22&lr=
■淫乱肉便器と淫乱肉便器候補
www.google.com/search?q=%22%E6%B7%AB%E4%B9%B1%E8%82%89%E4%BE%BF%E5%99%A8%E3%81%A8%E6%B7%AB%E4%B9%B1%E8%82%89%E4%BE%BF%E5%99%A8%E5%80%99%E8%A3%9C%22&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:en-US&ie=utf8&oe=utf8
●実姉
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●淫乱肉便器の紹介
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■持続可能な淫乱投票システム
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- 171 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 21:24:20 ]
- >>164 を以下のように訂正する。
補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
γ ≠ 0 を R の元とする。
このとき
N(γI) = |N(γ)|N(I) である。
証明
>>154 より
d(γI) = (N(γI)^2)d(R)
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
γI = [γα, γβ] である。
>>156 より
d(γI) = (N(γ)^2)d(I)
>>154 より
(N(γ)^2)d(I) = (N(γ)^2)(N(I)^2)d(R)
従って、
(N(γI)^2)d(R) = (N(γ)^2)(N(I)^2)d(R)
d(R) ≠ 0 であるから
N(γI)^2 = (N(γ)^2)(N(I)^2)
よって
N(γI) = |N(γ)|N(I)
証明終
- 172 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 21:36:15 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
γ ≠ 0 を２次体 Q(√m) の元とする。
このとき
N(γI) = |N(γ)|N(I) である。
証明
γ = α/β と書ける。ここで α, β は R の元である。
γI = (α/β)I = (1/β)αI
αI ⊂ R であるから >>166 より
N(γI) = N(αI)/|N(β)|
>>171 より
N(γI) = |N(α)|N(I)/|N(β)| = |N(γ)|N(I)
証明終
- 173 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/22(日) 22:00:37 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [θ, τ] を I のある基底による表示とする(>>167)。
R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。
I ⊂ Q(√m) だから
θ = pμ + qν
τ = rμ + sν
と書ける。ここで p, q, r, s は有理数である。
このとき N(I) = |ps - qr| である。
証明
R の元 γ ≠ 0 があり、γI ⊂ R となる。
r = N(γ) = γγ' とおけば、rI ⊂ R となる。
rI = [α, β] とする。
α = aμ + bν
β = cμ + dν
と書ける。ここで a, b, c, d は有理整数である。
I = [α/r, β/r] である。
α/r = (a/r)μ + (b/r)ν
β/r = (c/r)μ + (d/r)ν
I = [θ, τ] でもあるから
|(a/r)(d/r) - (b/r)(c/r)| = |ps - qr|
よって |ad - bc|/r^2 = |ps - qr|
一方、>>150 より
N(rI) = |ad - bc|
>>172 より N(rI) = |N(r)|N(I) = (r^2)N(I)
よって N(I) = |ad - bc|/r^2
よって N(I) = |ps - qr| である。
証明終
- 174 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 12:46:13 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする(>>167)。
Δ(α, β) = αβ' - α'β と書いた(>>155)。
Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)d(R) である。
証明
R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。
I ⊂ Q(√m) だから
α = pμ + qν
β = rμ + sν
と書ける。ここで p, q, r, s は有理数である。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = (ps - qr)Δ(μ, ν)
>>173 より N(I) = |ps - qr| である。
よって
Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)Δ(μ, ν)^2 である。
一方、>>153 より Δ(μ, ν)^2 = d(R) である。
証明終
- 175 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 12:52:29 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする(>>167)。
d(I) = Δ(α, β)^2 と書き、これを I の判別式という。
>>174 より、d(I) = (N(I)^2)d(R) だからこれは基底 α, β の
取り方によらない。
d(I) は０でない有理数である。
- 176 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 20:52:43 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
>>174 より Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)D である。
ここで D は R の判別式である。
従って、(Δ(α, β)/√D)^2 = N(I)^2 である。
よって Δ(α, β)/√D は０でない実数である。
ここで √D = (√|D|)i とする(過去レス４の273参照)。
Δ(α, β)/√D ＞ 0 のとき、基底 α, β は正に向き付けられている
という。
Δ(α, β)/√D ＜ 0 のとき、基底 α, β は負に向き付けられている
という。
Δ(-α, β) = -αβ' + α'β = -Δ(α, β) だから
Δ(-α, β)/√D = -Δ(α, β)/√D
よって基底 α, β が正に向き付けられているとき
基底 -α, β は負に向き付けられている。
- 177 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/23(月) 21:09:14 ]
- 命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] = [γ, δ] とし、
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているとする。
α, β の γ, δ による変換行列を P = (p, q)/(r, s) とする。
即ち、
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
とする。
このとき P ∈ SL_2(Z) である。
証明
P ∈ GL_2(Z) であるから det(P) ＞ 0 を示せばよい。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = det(P)Δ(γ, δ) である。
よって
Δ(α, β)/√D = det(P)Δ(γ, δ)/√D である。
ここで D は R の判別式である。
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているから、
Δ(α, β)/√D ＞ 0
Δ(γ, δ)/√D ＞ 0
従って det(P) ＞ 0 である。
証明終
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:10:00 ]
- 15
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:11:00 ]
- 14
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:12:00 ]
- 13
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:13:00 ]
- 12
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:14:00 ]
- 11
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/24(火) 04:15:00 ]
- 10
- 184 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/25(水) 20:15:48 ]
- D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
過去スレ４の586より D はある２次体 Q(√m) の整環 R の
判別式である。
判別式 D の２次形式の集合を F(D) と書く。
２次形式 ax^2 + bxy + cy^2 を (a, b, c) と略記した
(過去スレ４の328)。
σ = (p, q)/(r, s) を SL_2(Z) の元とする。
(a, b, c) ∈ F(D) のとき (a, b, c) に σ = (p, q)/(r, s) を
作用させると、 過去スレ４の401より
(a, b, c)σ = (k, l, m)
ここで
k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2
過去スレ４の281より (k, l, m) の判別式は D である。
よって過去スレ４の403より F(D) は右 SL_2(Z)-集合となる。
- 185 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 08:32:40 ]
- SL_2(Z) の元 (1, 1)/(0, 1) を S と書いた(過去スレ４の237)。
任意の n ∈ Z に対して S^n = (1, n)/(0, 1) である。
よって過去スレ４の401より (a, b, c) ∈ F(D) のとき
(a, b, c)S^n = (a, 2an + b, an^2 + bn + c)
である。
過去スレ４の587より I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。
(k, l, m) ∈ F(D) があり、[a, (-b + √D)/2] = [k, (-l + √D)/2]
とする。
I ∩ Z = aZ = kZ だから a = ±k である。
簡単のために a = k と仮定する。
(-b + √D)/2 = na + t(-l + √D)/2 となる n, t ∈ Z がある。
よって
t = 1
-b = 2na - l
よって
l = b + 2an
D = l^2 - 4km = b^2 - 4ac だから
(b + 2an)^2 - 4am = b^2 - 4ac
よって
4am = (b + 2an)^2 - b^2 + 4ac = 4abn + 4a^2n^2 + 4ac
m = bn + an^2 + c
以上から (k, l, m) = (a, 2an + b, an^2 + bn + c) である。
即ち (a, b, c)S^n = (k, l, m) である。
- 186 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 08:36:29 ]
- 逆に (a, b, c)S^n = (k, l, m) なら
k = a
l = 2an + b
だから
[k, (-l + √D)/2] = [a, -an + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2] である。
- 187 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 09:03:27 ]
- SL_2(Z) を Γ と書き、S で生成される Γ の部分群を Γ_∞ と書く。
即ち Γ_∞ = {S^n = (1, n)/(0, 1), n ∈ Z} である。
Γ は C ∪ {∞} に一次分数変換として作用する
(過去スレ４の196)。ここで、C は複素数体である。
このとき、Γ_∞ は Γ の ∞ における安定化部分群
(過去スレ４の392)である。
Γ_∞ は F(D) に右から作用する。
F(D) の Γ_∞ の作用による商集合を F(D)/Γ_∞ と書いた
(過去スレ４の390)。
R の分数イデアル全体を id(R) と書こう。
(a, b, c) ∈ F(D) に R のイデアル [a, (-b + √D)/2] を対応させる
ことにより F(D) から id(R) への写像が得られる。
この写像を φ_FI と書こう。F は form、I は ideal の頭文字である。
>>186 より φ_FI は F(D)/Γ_∞ から id(R) への写像を引き起こす。
- 188 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:35:47 ]
- >>176 を以下のように訂正する。
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
>>174 より Δ(α, β)^2 = (N(I)^2)D である。
ここで D は R の判別式である。
従って、(Δ(α, β)/√D)^2 = N(I)^2 である。
よって Δ(α, β)/√D は０でない実数である。
ここで √D = (√|D|)i とする(過去レス４の273参照)。
Δ(-α, β)/√D ＞ 0 のとき、基底 α, β は正に向き付けられている
という。
Δ(-α, β)/√D ＜ 0 のとき、基底 α, β は負に向き付けられている
という。
Δ(-α, β) = -αβ' + α'β = -Δ(α, β) だから
Δ(-α, β)/√D = -Δ(α, β)/√D
よって基底 α, β が正に向き付けられているとき
基底 -α, β は負に向き付けられている。
- 189 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:38:51 ]
- >>177 を以下のように訂正する。
命題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
I = [α, β] = [γ, δ] とし、
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているとする。
α, β の γ, δ による変換行列を P = (p, q)/(r, s) とする。
即ち、
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
とする。
このとき P ∈ SL_2(Z) である。
証明
P ∈ GL_2(Z) であるから det(P) ＞ 0 を示せばよい。
>>151 と同様にして
Δ(α, β) = det(P)Δ(γ, δ) である。
よって
Δ(α, β)/√D = det(P)Δ(γ, δ)/√D である。
ここで D は R の判別式である。
α, β と γ, δ は共に正に向き付けられているから、
Δ(α, β)/√D ＜ 0
Δ(γ, δ)/√D ＜ 0
従って det(P) ＞ 0 である。
証明終
- 190 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 10:58:09 ]
- (a, b, c) ∈ F(D) のとき I = [a, (-b + √D)/2] の
基底 a, (-b + √D)/2 の向き(>>188)を調べる。
Δ(-a, (-b + √D)/2) = a((-b + √D)/2 - (-b - √D)/2)
= a√D
従って a ＞ 0 のとき a, (-b + √D)/2 は正の向き、
a ＜ 0 のとき a, (-b + √D)/2 は負の向きである。
まず a ＞ 0 の場合を考える。
α = a
β = (-b + √D)/2 とおき、
f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
過去スレ４の392より、
k = (αα')/N(I)
l = -(αβ' + βα')/N(I)
m = (ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
今の場合、N(I) = a だから
k = a
l = b
m = c
である。
即ち N(xα - yβ)/N(I) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
- 191 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 11:39:35 ]
- 今度は a ＜ 0 の場合を考える。
I = [a, (-b + √D)/2] = [-a, (-b + √D)/2] であり、
Δ(a, (-b + √D)/2)) = -a√D だから
-a, (-b + √D)/2 は正の向きである。
α = -a
β = (-b + √D)/2 とおき、
f(x, y) = N(xα + yβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
過去スレ４の584より、
k = (αα')/N(I)
l = (αβ' + βα')/N(I)
m = (ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
今の場合、N(I) = -a だから
k = -a
l = -b
m = -c
である。
即ち N(xα + yβ)/N(I) = -ax^2 - bxy - cy^2 である。
- 192 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:24:17 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I と J を R の
分数イデアルとする。
J ⊂ I なら N(J)/N(I) は有理整数である。
証明
I = [α, β]
J = [δ, γ]
とする。
J ⊂ I だから
δ = pα + qβ
γ = rα + sβ
と書ける。
ここで p, q, r, s は有理整数である。
>>151 と同様にして
Δ(δ, γ) = (ps - qr)Δ(α, β)
だから >>175 より
d(J) = (ps - qr)^2 d(I)
>>174 より
d(I) = (N(I)^2)d(R)
だから
d(J) = (ps - qr)^2(N(I)^2)d(R)
d(J) = (N(J)^2)d(R)
だから
(ps - qr)^2(N(I)^2)d(R) = (N(J)^2)d(R)
よって
N(I)|ps - qr| = N(J)
証明終
- 193 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:33:43 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
γ ≠ 0 を２次体 Q(√m) の元とする。
N(γR) = |N(γ)| である。
証明
>>172 において I = R とすればよい。
- 194 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:36:11 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I と J を R の
分数イデアルとする。
γ ∈ I なら N(γ)/N(I) は有理整数である。
証明
>>192 と >>193 より明らかである。
- 195 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:37:18 ]
- >>194 を以下のように訂正する。
補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、I を R の
分数イデアルとする。
γ ∈ I なら N(γ)/N(I) は有理整数である。
証明
>>192 と >>193 より明らかである。
- 196 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 12:59:00 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I を R の分数イデアルとする。
α, β ∈ I なら (αβ' + βα')/N(I) は有理整数である。
証明
N(α + β) = (α + β)(α' + β')
= αα' + (αβ' + βα') + ββ'
よって
(αβ' + βα')/N(I) = N(α + β)/N(I) - αα'/N(I) - ββ'/N(I)
>>195 よりこの右辺は有理整数である。
証明終
- 197 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 13:23:43 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I = [α, β] を R の分数イデアルとする。
α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
s = ±1 として f(x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおく。
x と y は有理整数である。
>>195 より f(x, y) は有理整数である。
f(x, y) は α, β, s に依存するから f(α, β, s; x, y) とも書く。
N(xα - syβ) = (xα - syβ)(xα' - syβ')
= (αα')x^2 - s(αβ' + βα')xy + (ββ')y^2
a = s(αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = s(ββ')/N(I)
とおけば、f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
>>195 と >>196 より a, b, c は有理整数である。
よって f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。
r ≠ 0 を有理数とする。
rI = [rα, rβ] であり、
Δ(rα, rβ) = (r^2)Δ(α, β) だから rα, rβ の向きも正である。
f(rα, rβ, s; x, y) = sN(xrα - syrβ)/N(rI)
= sN(r)N(xα - syβ)/|N(r)|N(I)
= s(r^2)N(xα - syβ)/(r^2)N(I)
= f(α, β, s; x, y)
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/28(土) 13:36:31 ]
- がんがれ、くまごろん
- 199 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 14:21:58 ]
- >>197 の続き。
n を有理整数とする。
I = [α, β] = [α, β + nα] である。
Δ(α, β + nα) = α(β' + nα') - α'(β + nα)
= Δ(α, β)
従って、α, β + nα も正の向きである。
f(α, β + nα, s; x, y) = kx^2 + lxy + m^2 を計算しよう。
a = s(αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = s(ββ')/N(I)
だから
k = s(αα')/N(I) = a
l = -(α(β + nα)' + (β + nα)α')/N(I)
= b - 2na/s
m = s(β + nα)(β' + nα')/N(I)
= s(ββ' + n(βα' + αβ') + n^2αα')/N(I)
= c - snb + an^2
即ち
f(α, β + nα, s; x, y) = (a, b - 2na/s, an^2 - sbn + c)
- 200 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 14:24:18 ]
- >>185 より
s = 1 のとき
f(α, β + nα, s; x, y) = f(α, β, s; x, y)S^(-n)
s = -1 のとき
f(α, β + nα, s; x, y) = f(α, β, s; x, y)S^n
- 201 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 15:36:32 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I を R の分数イデアルとする。
分数イデアルの定義(>>148)より、
γI ⊂ R となる R の元 γ ≠ 0 がある。
γ' ∈ R だから
γ'γI ⊂ γ'R ⊂R
r = γγ' とおけば、r は有理整数で rI ⊂ R である。
rI は R のイデアルだから過去レス４の427より
rI = [a, b + cfω] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 で a と b は c で割れる。
I = [a/r, (b + cfω)/r] である。
Δ(a, b + cfω) = a(b + cfω') - a(b + cfω) = acf(ω' - ω)
= -ac√D
ac ＞ 0 だから a, b + cfω の向きは正である。
Δ(a/r, (b + cfω)/r) = (1/r^2)Δ(a, b + cfω) だから
a/r, b + cfω/r の向きも正である。
即ち、
α = a/r
β = (b + cfω)/r とおけば
I = [α, β] で α, β の向きは正である。
- 202 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 16:13:16 ]
- >>197 の補足。
(αβ' + βα')^2 - 4αα'ββ' = (αβ' - βα')^2
だから f(x, y) の判別式は (αβ' - βα')^2/N(I)^2 である。
>>174 よりこれは R の判別式に等しい(過去スレ４の584も参照)。
- 203 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 16:34:46 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の分数イデアル全体を id(R) と書いた(>>187)。
I を R の分数イデアルとし、r ≠ 0 を有理数とすると、
rI は R の分数イデアルである。
従って id(R) は Q^* の元の作用により (Q^*)-集合(>>388)となる。
ここで Q は有理数体であり、Q^* はその乗法群である。
id(R)/(Q^*) × {±1} から F(D)/Γ_∞ への写像 φ_IF を以下のように
定義する。ここで {±1} は 有理整数環 Z の単元群 Z^* である。
id(R)/(Q^*) の任意の類 {I} をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
s = ±1 のとき f(x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおく。
>>197 より f(x, y) は有理整数係数の２次形式と見なせる。
>>202 より f(x, y) の判別式は D である。
f(x, y) の属す F(D)/Γ_∞ の類 {f(x, y)} は id(R)/(Q^*) の類 {I}
のみで決まり、I および α, β のとり方によらないことを示そう。
- 204 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 18:21:51 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] で α ∈ Z なら β = s ± fω と書ける。
ここで s ∈ Z である。
証明
I = [a, b + fω] を I の標準基底(過去スレ４の430)とする。
N(I) = a である。
I ∩ Z = αZ = aZ だから α = ±a である。
β = s + tfω とする。
N(I) = |αt| = a|t| である。
従って |t| = 1 である。
証明終
- 205 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 18:28:19 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] = [α, γ] で α ∈ Z なら
β - γ ∈ αZ である。
証明
>>204 より β - γ ∈ I ∩ Z = αZ である。
証明終
- 206 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/28(土) 19:03:39 ]
- >>205 を以下のように訂正する。
補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし
I をその原始イデアル(過去スレ４の430)とする。
I = [α, β] = [α, γ] で α ∈ Z かつ
α, β と α, γ の向きはともに正とする。
このとき
β - γ ∈ αZ である。
証明
>>204 より β = s ± fω と書ける。
β = s + fω のとき
Δ(α, β) = -α√D
β = s - fω のとき
Δ(α, β) = α√D
同様に
γ = t ± fω と書ける。
γ = t + fω のとき
Δ(α, γ) = -α√D
γ = t - fω のとき
Δ(α, γ) = α√D
α, β と α, γ の向きはともに正だから
β = s + fω のとき γ = t + fω であり、
β = s - fω のとき γ = t - fω である。
よって β - γ ∈ I ∩ Z = αZ である。
証明終
- 207 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 01:50:43 ]
- >>203 の続き。
id(R)/(Q^*) の任意の類 {I} をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
>>201 より rI ⊂ R となる有理整数 r ≠ 0 がある。
rI はある有理整数と原始イデアルの積となるから、
結局、 qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
qI = [qα, qβ] であるが、>>197 より
f(α, β, s; x, y) = f(qα, qβ, s; x, y)
従って、I は原始イデアルと仮定してよい。
I = [γ, δ] で γ は有理整数で γ, δ の向きは正とする。
α = ±γ である。
α = -γ なら I = [-γ, -δ] で -γ, -δ の向きは正であるから
α = γ と仮定してよい。
このとき >>206 より β - δ ∈ αZ である。
>>200 より
f(α, β, s; x, y) と f(γ, δ, s; x, y) は F(D)/Γ_∞ の同じ類
に属す。
これで >>203 の最後の主張は証明された。
- 208 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 02:22:14 ]
- >>187 で (a, b, c) ∈ F(D) に R のイデアル [a, (-b + √D)/2] を
対応させる F(D) から id(R) への写像を φ_FI と書いたが、
(a, b, c) ∈ F(D) に ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) を対応させる
F(D) から id(R) × {±} への写像を φ_FI と書くことに訂正する。
ここで sign(a) は a の符号を表す。
即ち a ＞ 0 のとき sign(a) = 1, a ＜ 0 のとき sign(a) = -1 である。
>>187 より φ_FI は F(D)/Γ_∞ から id(R) × {±} への写像を
引き起こす。
従って F(D)/Γ_∞ から (id(R)/Q^*) × {±} への写像を引き起こす。
この写像を記号の濫用だが同じ φ_FI で表す。
他方、>>203 と >>207 より
id(R)/(Q^*) × {±1} から F(D)/Γ_∞ への写像 φ_IF が定義された。
φ_FI と φ_IF は互いに逆写像であることをこれから示す。
- 209 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 04:43:31 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の任意のイデアル I ≠ 0 は
I = [a, b + c(D + √D)/2] と一意に書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 で a と b は c で割れる。
証明
θ = (D + √D)/2 とおく。
過去スレ４の585より R = [1, θ] だから
I = [a, b + cθ], a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a, c ＞ 0 と一意に書ける
ことは過去スレ４の14の証明と同様である。
θ + θ' = D
θθ' = (D^2 - D)/4 より
θ は X^2 - DX + (D^2 - D)/4 の根である。
従って θ^2 = Dθ - (D^2 - D)/4
aθ ∈ I だから a は c で割れる。
(b + cθ)θ = bθ + cθ^2 = (b + cD)θ - c(D^2 - D)/4 ∈ I
D ≡ 0, 1 (mod 4) だから
D^2 ≡ 0, 1 (mod 4)
よって D^2 ≡ D (mod 4)
よって c(D^2 - D)/4 ∈ Z である。
よって b + cD ≡ 0 (mod c) となる。
よって b ≡ 0 (mod c) となる。
証明終
- 210 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 04:45:50 ]
- 補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の原始イデアル I は
I = [a, b + (D + √D)/2] と一意に書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
証明
>>209 より明らかである。
- 211 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:08:37 ]
- >>208 の続き。
>>190 と >>191 より
(φ_IF)(φ_FI) = 1 である。
I を R = [1, ω] の原始イデアルとする。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
θ = (D + √D)/2 とおく。
α = a
β = b + θ
とおいて
>>197 の f(α, β, s; x, y) を計算する。
N(I) = a だから
s(αα')/N(I) = sa
-(αβ' + βα')/N(I) = -(β + β') = -(2b + D)
従って >>197 より f(α, β, s; x, y) = (sa, -(2b + D), *) である。
ここで * はある有理整数だがその正確な値はここでは必要ない。
この２次形式の φ_FI による像は
([sa, b + (D + √D)/2], s) = (I, s) である。
これは (φ_FI)(φ_IF) = 1 を意味する。
以上から φ_FI と φ_IF は互いに逆写像である。
- 212 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:18:05 ]
- >>211 より F(D)/Γ_∞ と (id(R)/Q^*) × {±1} は集合として同型
である。
この事実を述べた文献は非常に少ないと思う。
- 213 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 05:21:02 ]
- >>208
{±} と書いたのは {±1} の間違いである。
- 214 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:11:15 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) }
とおく。
Qd は quadratic numbers の略である。
Qd の元 θ と有理整数 n に対して θ + n も Qd の元である。
従って Qd には有理整数環の加法群 Z が作用する。
Qd/Z をその商集合とする。
写像 φ_IQ : id(R)/(Q^*) → Qd/Z を以下のように定義する。
id(R)/(Q^*) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の分数イデアル
である。
>>201 より I の基底 α, β で α は有理数で α, β の向きは正と
なるものがある。
β/α ∈ Qd である。
φ_IQ({ I }) = {β/α} とおく。
これが I の取りかたおよび 基底 α, β の取り方によらないことを
以下に示す。
- 215 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:24:32 ]
- >>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
qI = [qα, qβ] であるが >>197 より qα, qβ の向きも正である。
qβ/qα = β/α であるから I は原始イデアルと仮定してよい。
I = [γ, δ] で γ は有理整数で γ, δ の向きは正とする。
α = ±γ である。
α = -γ なら I = [-γ, -δ] で -γ, -δ の向きは正であるから
α = γ と仮定してよい。
このとき >>206 より β - δ ∈ αZ である。
よって δ/γ = (β + nα)/α = β/α + n となる n ∈ Z がある。
よって φ_IQ({ I }) は I およびその基底 α, β の取り方によらない。
- 216 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 12:47:22 ]
- 今度は、写像 φ_QI : Qd/Z → id(R)/(Q^*) を以下のように定義する。
θ = (-b + √D)/2a が Qd の元のとき、過去スレ４の587より
I = [a, (-b + √D)/2] は R のイデアルである。
φ_QI({θ}} = { I } と定義する。
まず θ = (-b + √D)/2a = (-l + √D)/2k とする。
ここで
a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a)
k ＞ 0, D ≡ l^2 (mod 4k)
である。
k(-b + √D) = a(-l + √D)
よって
a = k
b = l
従って I = [a, (-b + √D)/2] は θ ∈ Qd により一意に決まる。
n ∈ Z のとき θ + n = (-b + √D)/2a + n = (-b + 2an + √D)/2a
これに対応するイデアルは
[a, (-b + 2an + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2 + an]
= [a, (-b + √D)/2]
従って I は {θ} のみで決まる。
以上から写像 φ_QI : Qd/Z → id(R)/(Q^*) は矛盾なく定義された。
- 217 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 13:05:05 ]
- >>214 で定義した φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z と
>>216 で定義した φ_QI : Qd/Z → id(R)/Q^* が互いに逆写像で
あることは簡単にわかるが一応証明する。
I を R の原始イデアルとする。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
この基底 a, b + (D + √D)/2 の向きは正である。
φ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a }
φ_QI({ (2b + D + √D)/2a }) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって (φ_QI)(φ_IQ) = 1 である。
今度は θ = (-b + √D)/2a が Qd の元とする。
φ_QI({θ}) = { [a, (-b + √D)/2] }
φ_IQ({ [a, (-b + √D)/2] }) = { (-b + √D)/2a }
よって (φ_IQ)(φ_QI) = 1 である。
以上で φ_IQ と φ_QI は互いに逆写像であることがわかった。
従って、id(R)/Q^* と Qd/Z は集合として同型である。
- 218 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 13:59:35 ]
- >>211 より
φ_FI : F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IF : id(R)/Q^* × {±1} → F(D)/Γ_∞
は集合としての同型(即ち全単射)である。
>>211 より
φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z
と
φ_QI : Qd/Z → id(R)/Q^*
は集合としての同型である。
φ_FI: F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IQ × 1 : id(R)/Q^* × {±1} → Qd/Z × {±1}
を合成して
同型 φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Qd/Z × {±1}
が得られる。
即ち
(a, b, c) ∈ F(D) のとき
(a, b, c) → ([a, (-b + √D)/2], sign(a))
→ ((-b + √D)/2|a|, sign(a))
と対応させる。
つまり
φ_FQ({ (a, b, c) }) = ({ (-b + √D)/2|a| }, sign(a))
- 219 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/29(日) 14:09:02 ]
- φ_FQ の逆写像 φ_QF : Qd/Z × {±1} → F(D)/Γ_∞ は
φ_QI × 1 : Qd/Z × {±1} → id(R)/Q^* × {±1}
と
φ_IF : id(R)/Q^* × {±1} → F(D)/Γ_∞
の合成である。
即ち
(-b + √D)/2a ∈ Qd のとき
((-b + √D)/2a, s) → ([a, (-b + √D)/2], s)
→ f(a, (-b + √D)/2, s: x, y)
と対応させる。
つまり
φ_QF({ (-b + √D)/2a }, s) = { f(a, (-b + √D)/2, s: x, y) }
- 220 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:04:31 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の原始的(過去スレ４の279)な２次形式の集合を
F_0(D) と書く。
即ち F_0(D) = {(a, b, c) ; D = b^2 - 4ac, gcd(a, b, c) = 1}
過去スレ４の282 より Γ = SL_2(Z) は F_0(D) に右から作用する。
従って商集合 F_0(D)/Γ と F_0(D)/Γ_∞ が得られる。
R の可逆分数イデアル全体を I(R) と書いた(過去スレ２の521)。
I が R の可逆分数イデアルで r ≠ 0 を有理数とすると
rI も可逆分数イデアルである。
従って、id(R)/Q^* と同様に I(R)/Q^* が得られる。
過去スレ４の592より判別式 D の２次形式 (a, b, c) が原始的で
あるためには R のイデアル [a, (-b + √D)/2] が可逆である
ことが必要十分である。
従って同型
φ_FI: F(D)/Γ_∞ → id(R)/Q^* × {±1}
は同型
F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
を引き起こす。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_FI で表す。
- 221 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:22:08 ]
- 定義
有理整数係数の原始的な２次多項式 ax^2 + bx + c, a ≠ 0
の根を原始的な２次無理数という。
ここで ax^2 + bx + c が原始的とは gcd(a, b, c) = 1 を意味する。
- 222 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:34:14 ]
- >>221 を以下のように訂正する。
定義
ax^2 + bx + c を有理整数係数の原始的な２次多項式とし、
その判別式を D とする。
この多項式の根を判別式 D の原始的な２次無理数という。
ここで ax^2 + bx + c が原始的とは gcd(a, b, c) = 1 を意味する。
- 223 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 09:58:10 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおいた(>>214)。
Qd の元で原始的(>>221)なもの全体を Qd_0 と書く。
即ち
Qd_0 = { (-b + √D)/2a ∈ Qd ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
>>218 より
φ_FQ({ (a, b, c) }) = ({ (-b + √D)/2|a| }, sign(a))
により同型
φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Qd/Z × {±1} が得られる。
この同型は同型
F_0(D)/Γ_∞ → Qd_0/Z × {±1} を引き起こす。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_FQ で表す。
- 224 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:03:26 ]
- >>220, >>223から
同型
φ_IQ : id(R)/Q^* → Qd/Z
は同型
I(R)/Q^* → Qd_0/Z を引き起こすことが分かる。
この同型を(記法の濫用で)同じ φ_IQ で表す。
- 225 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:27:18 ]
- 定義
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
R の Picard 群 Pic(R) = I(R)/P(R) (過去スレ４の473) を Cl(D)
と書く。
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 10:28:34 ]
- 226とは何か．ここでは"226"に五つの意味を与えよう．
226は自然数である．"226"の一つ目の意味だ．
自然数からいくつでも次の自然数を作ることができる．数学では自然数全体の集合は存在するという前提がある．
自然数の空間には加法を入れることができる．乗法も入れられるが，ここでは関係ない．自然数の加法があると，加法の逆演算を考えたくなる．それを減法と呼ぶが，減法のできない自然数の組が存在する．
そこで，自然数の組を利用して整数の空間を作る．整数の組ならどのようなものでも減法ができる．整数の空間に全ての自然数を埋め込むことができる．整数の226もできる．"226"の二つ目の意味だ．
ところで，整数の空間では加法減法乗法は自由にできるが，乗法の逆演算である除法はできないことがあるから，除法もできる空間を考えよう．
整数の空間は乗法について交換法則が成り立ち，しかも0でない整数m,nの積mnは0でないという性質があるから，整数空間の構造を部分的に含み，しかも0で割る以外の加減乗除が自由に出来，二整数の除法だけで作った空間が一意に存在する．
そのような空間の要素を有理数と呼ぶ．有理数の226もできる．"226"の三つ目の意味だ．
有理数の空間の基本列として，1,3/2,7/5,17/12,41/29,…のようなものがあるが，これは有理数の極限を持たない．
そこで，有理数の基本列の極限を全て入れた空間を考える．その空間の要素を実数という．実数空間には有理数空間を埋め込むことができ，実数の226もできる．"226"の四つ目の意味だ．
実数係数整式では，例えばx^2+1にはxにどのような実数を代入しても0にならない．つまり，実数の範囲で解けない代数方程式があるのだ．
そこで，i^2+1=0を満たすiを加えてさらに加減乗除ができるよう拡張した空間を考える．その空間の元を複素数という．ちなみに複素数係数の代数方程式は1次以上なら必ず複素数の範囲で解が存在する．
複素数空間に実数空間を埋め込むことができ，複素数の226もできる．"226"の五つ目の意味だ．
- 227 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 10:32:36 ]
- 定義
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Q(√m) は実２次体だから D ＞ 0 である。
P+(R) = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) ＞ 0 } とおく。
I(R)/P+(R) を Cl+(D) と書き、R の狭義のイデアル類群と呼ぶ。
- 228 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:05:17 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
I = [α, β] を R の分数イデアルとし、
α, β の向き(>>188)は正とする。
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
これは >>197 の f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) で
s = 1 の場合である。
>>197 と >>202 より f(α, β; x, y) は判別式 D の２次形式である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
同様に
k = (γγ')/N(I)
l = -(γδ' + δγ')/N(I)
m = (δδ')/N(I)
とおけば、f(γ, δ; x, y) = kx^2 + lxy + my^2 である。
- 229 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 13:08:49 ]
- talk:>>226 数学基礎論的整数論。
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 13:17:12 ]
- >>226
226に226個の意味を与えてみよ
- 231 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:17:22 ]
- αα' = (pγ + qδ)(pγ' + qδ')
= γγ'p^2 + (γδ' + δγ')pq + δδ'q^2
αβ' + βα'
= (pγ + qδ)(rγ' + sδ') + (rγ + sδ)(pγ' + qδ')
= γγ' pr + γδ'ps + δγ'qr + δδ'qs
+ γγ' rp + γδ' rq + δγ'sp + δδ'qs
= 2γγ' pr + (γδ'+ δγ')(sp + qr) + 2γγ' qs
ββ' = (rγ + sδ)(rγ' + sδ')
= γγ'r^2 + (γδ' + δγ')rs + δδ's^2
従って
a = kp^2 - lpq + mq^2
b = 2kpr - l(sp + qr) + 2mqs
c = kr^2 - lrs + ms^2
従って >>184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で
(k, l, m)σ = (a, b ,c)
- 232 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 13:30:57 ]
- >>231 を以下のように訂正する。
αα' = (pγ + qδ)(pγ' + qδ')
= γγ'p^2 + (γδ' + δγ')pq + δδ'q^2
αβ' + βα'
= (pγ + qδ)(rγ' + sδ') + (rγ + sδ)(pγ' + qδ')
= γγ' pr + γδ'ps + δγ'qr + δδ'qs
+ γγ' rp + γδ' rq + δγ'sp + δδ'qs
= 2γγ' pr + (γδ'+ δγ')(sp + qr) + 2γγ' qs
ββ' = (rγ + sδ)(rγ' + sδ')
= γγ'r^2 + (γδ' + δγ')rs + δδ's^2
従って
a = kp^2 - lpq + mq^2
b = -2kpr + l(sp + qr) - 2mqs
c = kr^2 - lrs + ms^2
従って >>184 より σ = (-p, r)/(q, -s) おくと σ ∈ SL_2(Z) で
(k, l, m)σ = (a, b ,c)
- 233 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:06:35 ]
- 定義
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の正定値(過去スレ４の293)原始２次形式の集合を
(F_0)+(D) と書く。
これは過去スレ４の405と異なることに注意しておく。
- 234 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:13:02 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
判別式 D の２次形式の集合を F(D) と書いた(>>184)。
I = [α, β] を R の分数イデアルとし、
α, β の向き(>>188)は正とする。
>>228, >>232 より f(α, β; x, y) が属す F(D)/Γ の類は α, β の
取り方によらない。
>>220 より I が可逆分数イデアルのときは f(α, β; x, y) は
原始的である。
D ＜ 0 のときは (αα')/N(I) ＞ 0 だから f(α, β; x, y) は
正定値である。
- 235 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/30(月) 14:21:39 ]
- δ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。
δI = [δα, δβ] も R の可逆分数イデアルである。
f(δα, δβ; x, y) = N(xδα - yδβ)/N(δI)
= (N(δ)/|N(δ)|)f(α, β; x, y)
従って、N(δ) ＞ 0 なら f(δα, δβ; x, y) = f(α, β; x, y)
である。
Q(√m) が虚２次体のときは常に N(δ) ＞ 0 である。
よって、I に f(α, β; x, y) が属す (F_0)+(D)/Γ の類を対応させる
ことにより
写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ
が得られる。
Q(√m) が実２次体のときは N(δ) ＞ 0 なる δ で生成される
単項イデアル δR 全体のなす群 P+(R) で I(R) を類別した
狭義のイデアル類群 Cl+(D) を考える(>>227)。
このとき、I に f(α, β; x, y) が属す F_0(D)/Γ の類を対応させる
ことにより
写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ
が得られる。
- 236 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 15:23:18 ]
- talk:>>230 私がやってみよう。1次元〜226次元線形空間の226倍写像。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 17:44:47 ]
- それよりkingとくんまーの白熱した議論が見たい
- 238 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 18:06:42 ]
- talk:>>237 だが、何の議論をすればいいのだ？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 18:54:16 ]
- >>238
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰す必要性について
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 01:53:40 ]
- >>238
ゴミは消えろ
- 241 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/02(水) 20:32:42 ]
- 再び >>232(即ち >>228の続き)を以下のように訂正する。
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I)
に
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
を代入すると
f(α, β; x, y) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I)
= ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I)
= f(γ, δ; xp - yr, -xq + ys)
従って (a, b, c) = (k, l, m)σ
ここで σ = (p, -r)/(-q, s) ∈ SL_2(Z)
- 242 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:07:24 ]
- >>235 の続き。
D ＜ 0 のとき
ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ
D ＞ 0 のとき
ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ
が定義された。
それぞれの逆写像 ψ_FI を定義しよう。
D ＜ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0+(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } と定義する。
D ＞ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]α } と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
例えば
a ＞ 0 のときは α = 1
a ＜ 0 のときは α = √m とすればよい。
以上の定義が２次形式類の代表 (a, b, c) の取り方によらないことを
証明しよう。
- 243 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:32:01 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されている。
D ＞ 0 の場合を考える。
f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ(f) = { [a, (-b + √D)/2]α } ∈ Cl+(D) と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0(D) の取り方によらないことを証明するには、
任意の σ ∈ SL_2(Z) に対して
Ψ(fσ) = Ψ(fσ) を証明すればよい。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。
- 244 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:51:16 ]
- >>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
よって
Ψ(fS) = { [a, -a + (-b + √D)/2]α }
= { [a, (-b + √D)/2]α }
= Ψ(f)
>>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
Ψ(fT) = { [c, (b + √D)/2]β }
ここで sign(N(β)) = sign(c)
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I = (a/θ')J
Iα = (a/θ')Jα = (aα/θ'β)Jβ
N(θ') = ac だから
N(aα/θ'β) = (a^2)N(α)/acN(β) = aN(α)/cN(β) ＞ 0
よって
Ψ(fT) = { Jβ } = { Iα } = Ψ(f)
証明終
- 245 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:03:49 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されているが、
>>244 と同様にも証明される。
つまり、>>244 の I = (a/θ')J は D ＜ 0 の場合もそのまま成り立つ。
- 246 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:10:38 ]
- >>243 の証明の基本アイデアつまり、
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される
事実を利用する方法は Buell の Binary quadratic forms から借りた。
このアイデアを知るまでは証明がどうしてもうまくいかなかった。
- 247 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 17:55:36 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 248 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:02:25 ]
- >>247 を以下のように訂正する。
命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 249 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:16:34 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 250 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:21:25 ]
- >>248 と >>249 より D ＜ 0 のとき
(F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
このことは過去スレ601と602でも証明されている。
- 251 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:40:54 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]δ } である。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
I = [a, (-b + √D)/2]δ
α = aδ
β = (-b + √D)δ/2 とおく。
-Δ(α, β) = aδ'(-b + √D)δ/2 - aδ(-b - √D)δ'/2
= N(δ)a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = N(δ)a^2/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = N(δ)(ab)/|N(δ)||a|
= sign(N(δ))sign(a)b = b
(ββ')/N(I) = N(δ)ac/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)c = c
よって
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 252 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:47:26 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2]δ }
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
a ＞ 0 だから δ = 1 とできる。
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
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