ガロア生誕200周年記念スレ part 6

1 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/23(木) 09:04:21.71 ] 2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日 Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を 語るスレです。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。 なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては 原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。 335 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 20:58:53.42 ] 定義 G を群とする。 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における G-対象（過去スレpart5の75）全体 Func(G, Set)（代数的整数論017の372）は 自然変換を射とすることにより圏となる（代数的整数論017の372）。 Set における G-対象とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。 よって、Func(G, Set) は G-集合と G-写像（>>301）からなる圏に他ならない。 この圏を Set^G と書く。 336 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 22:04:07.57 ] 命題 G を群とする。 Set^G（>>335）は終対象（代数的整数論017の288）をもつ。 証明 X = {x} を１個の元 x からなる Set の対象とする。 Sym(X)（>>6）は単位群である。 よって、準同型 f：G → Sym(X) が一意に定まる。 f により X は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 明らかに X は Set^G の終対象である。 証明終 337 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 22:14:25.72 ] 命題 G を群とする。 X と Y を Set^G（>>335）の対象とする。 σ ∈ G、(x, y) ∈ X×Y のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより X×Y は G-集合となる。 このとき X×Y は Set^G における X と Y の積である。 証明 ほとんど自明である。 338 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 23:24:39.70 ] 命題 G を群とする。 X と Y を Set^G（>>335）の対象とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 f が集合間の写像として全射なら f は Set^G における強全射（>>312）である。 証明 P = {(x, y) ∈ X×X；f(x) = f(y)} とおく。 σ ∈ G、(x, y) ∈ P のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより P は G-集合となる。 写像 p_1：P → X を p(x, y) = x により定義する。 写像 p_2：P → X を p(x, y) = y により定義する。 p_1 と p_2 は G-写像である。 このとき、明らかに (P, p_1, p_2) はファイバー積（代数的整数論017の800）である。 P　→　X ↓　　↓ X　→　Y g：X → Z を f-余等化射（>>308）とする。 >>330より g(p_1) = g(p_2) である。 よって、(x, y) ∈ X×X、f(x) = f(y) のとき g(x) = g(y) である。 f は全射であるから写像 h：Y → Z で g = hf となるものが一意に存在する。 σ ∈ G、x ∈ X のとき h(σf(x)) = h(f(σx)) = g(σx) = σg(x) = σh(f(x)) f は全射であるから h は G-写像である。 よって、f は強全射である。 証明終 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 23:25:30.57 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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　、、、、、、〒100-0004　東京都千代田区大手町1-7-2 産経新聞東京本社　 〒100-8077　東京都千代田区大手町1-7-2 (ｻﾝｹｲｽﾎﾟｰﾂ、夕刊ﾌｼﾞ、日本工業新聞社) 朝鮮日報　 　、、、 　〒100-0003　東京都千代田区一ツ橋1-1 4F 毎日新聞東京本社　〒100-8051　東京都千代田区一ツ橋1-1-1 韓国日報　 、、、、　 〒100-0004　東京都千代田区大手町1-7-1 8F 読売新聞東京本社　〒100-8055　東京都千代田区大手町1-7-1 東亜日報 　　、、、 　〒104-0045　東京都中央区築地5-3-2 朝日新聞東京本社　〒104-8011　東京都中央区築地5-3-2(AFP、NYT) 日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1 韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C 341 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 01:30:04.49 ] 定義 X を集合とする。 〜 を X 上の同値関係とする。 R = {(x, y) ∈ X×X； x 〜 y} を同値関係 〜 のグラフという。 342 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 01:36:19.33 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 Δ = {(x, x) ∈ X×X； x ∈ X} とおく。 Δ と X×X をそれぞれグラフ（>>341）にもつ X 上の同値関係は G-不変（>>297）である。 これ等を自明な G-不変な同値関係という。 343 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 01:43:47.97 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 |X| ≧ 2 であり X 上の G-不変な同値関係で自明（>>342）でないものは存在しないとき X を原始的（primitive）な G-集合という。 344 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 01:56:29.44 ] 命題 G を群とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 X における関係 〜 を x 〜 y ⇔ f(x) = f(y) で定義する。 >>304より関係 〜 は G-不変（>>297）な同値関係である。 よって、>>302より X/〜 は G-集合である。 p：X → X/〜 を標準写像とする。 f(X) は Y の G-部分集合（過去スレpart5の94）である。 h：f(X) → Y を包含写像とする。 このとき G-同型 g：X/〜 → f(X) が一意に存在して f = hgp となる。 証明 ほとんど自明である。 345 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 01:59:28.68 ] 注意 >>344は群論や環論における準同型定理の類似である。 346 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 02:06:33.73 ] 命題 G を群とする。 X を原始的（>>343）な G-集合とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 このとき f は単射または |f(X)| = 1 である。 f が全射で |Y| ≧ 2 なら f は同型である。 証明 >>344より明らかである。 347 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 02:11:04.10 ] 注意 >>346より、原始的な G-集合は群論における単純群の類似であることがわかる。 348 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 02:19:15.62 ] 原始的（>>343）な G-集合は群の置換表現における最も重要な概念の一つである。 この概念を考えたのはGaloisが最初である。 因みに正規部分群の概念も彼が最初である。 349 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 02:50:55.76 ] >>348 >この概念を考えたのはGaloisが最初である。 Ruffini(1799)が最初らしい。 350 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 02:55:19.88 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 H を G の正規部分群とする。 X は H-集合と見なされる。 x、y ∈ X に対して y = ηx となる η ∈ H があるとき x 〜 y と書く。 このとき 〜 は X 上の G-不変（>>297）な同値関係である。 証明 x 〜 y とする。 y = ηx となる η ∈ H がある。 任意の σ ∈ G に対して σy = σηx = (σησ^(-1))σx H は G の正規部分群であるから σησ^(-1) ∈ H である。 よって、σx 〜 σy 証明終 351 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 03:06:49.77 ] 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 Ker(f) = G のとき f を自明な置換表現という。 352 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 03:16:39.52 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>271）とする。 f が自明（>>351）なとき X は自明な G-集合という。 また、G は X に自明に作用するという。 353 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 03:25:44.60 ] 命題 G を群とする。 X を原始的（>>343）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 H を G の正規部分群とする。 このとき H は X に自明（>>352）に作用するかまたは推移的（>>281）に作用する。 証明 >>350より各 H-軌道（>>295）は 1 点からなるか X 全体と一致する。 各 H-軌道が 1 点であれば H は X に自明に作用する。 そうでなけれ H は X に推移的に作用する。 証明終 354 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 04:02:22.51 ] 命題 G を群とする。 X を原始的（>>343）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が推移的でなければ |X| = 2 であり G は X に自明（>>352）に作用する。 証明 >>353より G は X に自明に作用するかまたは推移的に作用する。 X に自明に作用するなら X 上の任意の同値関係は G-不変（>>297）である。 |X| ≧ 3 なら自明（>>342）でない同値関係があるから |X| = 2 である。 証明終 355 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 04:07:25.77 ] >>354に鑑みて>>343を以下のように修正する。 定義 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 |X| ≧ 2 であり X 上の G-不変な同値関係で自明（>>342）でないものは存在しないとき X を原始的（primitive）な G-集合という。 356 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 05:05:17.09 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 P(X) を X の冪集合とする。 Q を P(X) の部分集合とする。 X 上の G-不変（>>297）な同値関係 〜 があり Q がその同値類全体と一致するとき Q を G-集合 X のブロック系（block system）という。 Q の各要素をそのブロックという。 357 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 06:23:54.15 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の部分集合とする。 G-集合 X のあるブロック系（>>356）Q があり B ∈ Q となるとき B を X のブロックという。 358 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 06:32:53.14 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 Q を X のブロック系（>>356）とする。 任意の B ∈ Q と任意の σ ∈ G に対して σB = {σx； x ∈ B} は Q のブロック（>>356）である。 証明 X 上の G-不変な同値関係 〜 があり Q はその同値類全体と一致する。 x ∈ B を固定する。 σx を含むブロックを C とする。 y ∈ B に対して x 〜 y だから σx 〜 σy となる。 よって、σy ∈ C よって、σB ⊂ C 逆の包含関係を示せば良い。 z を C の任意の元とする。 σx 〜 z である。 よって、x 〜 σ^(-1)z よって、σ^(-1)z ∈ B よって、z = σσ^(-1)z ∈ σB よって、C ⊂ σB 証明終 359 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 06:52:16.56 ] 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 Y を G-集合とし、f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 このとき f が全射であれば Y は推移的である。 証明 s と t を Y の任意の元とする。 f は全射だから s = f(x)、t = f(y) となる x、y ∈ X がある。 X は推移的だから y = σx となる σ ∈ G がある。 t = f(y) = f(σx) = σf(x) = σs よって、Y は推移的である。 証明終 360 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 06:56:00.71 ] 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 〜 を X における G-不変（>>297）な同値関係とする。 >>302より X/〜 は G-集合である。 このとき G は X/〜 に推移的（>>281）に作用する。 証明 π：X → X/〜 を標準写像とする。 π は G-写像（>>301）であり全射である。 よって、>>359より X/〜 は推移的である。 証明終 361 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/26(月) 06:59:12.10 ] >>Kummer 挨拶しろ。 362 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 07:06:43.23 ] 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 〜 を X における G-不変（>>297）な同値関係とする。 B をその同値類の一つとする。 このとき |X| = |X/〜||B| である。 証明 >>359より X/〜 は推移的である。 よって、>>358より関係 〜 による各同値類は σB、σ ∈ G の形である。 |B| = |σB| であるから |X| = |X/〜||B| である。 証明終 363 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 07:11:24.85 ] 命題 G を群とする。 X を素数次数（>>275）の推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき X は原始的（>>355）である。 証明 >>362より明らかである。 364 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/26(月) 08:25:08.88 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 365 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 09:10:43.74 ] 補題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の空でない部分集合とする。 任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ とする。 Y = ∪{σB； σ ∈ G} とおく。 このとき以下が成り立つ。 （1）Y は X の G-部分集合（過去スレpart5の94）である。 （2）Y は σB、σ ∈ G の形の部分集合により直和分割される。 （3）x、y ∈ σB となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書けば 〜 は Y 上の G-不変（>>297）な同値関係である。 証明 （1）は自明である。 （2） σ、τ ∈ G、σB ∩ τB ≠ φ とする。 τ^(-1)σB ∩ B ≠ φ だから τ^(-1)σB = B である。 よって、σB = τB である。 よって、Y は σB、σ ∈ G の形の集合に直和分割される。 （3） 上記より 〜 は Y 上の同値関係である。 x 〜 y のとき x、y ∈ σB となる σ ∈ G がある。 任意の τ ∈ G に対して τx、τy ∈ τσB であるから τx 〜 τy である。 証明終 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 09:22:15.22 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 367 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 09:29:17.17 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の空でない部分集合とする。 B がブロック（>>357）であるためには 任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ となることが必要十分である。 証明 必要性： >>358より明らかである。 十分性： P = {σB； σ ∈ G} とおく。 Y = ∪{σB； σ ∈ G} とおく。 X = Y なら>>365より P は X のブロック系（>>356）である。 よって、B はブロックである。 X ≠ Y なら C = X - Y とおくと任意の σ ∈ G に対して σC ⊂ C となる。 よって、x、y ∈ C のとき任意の σ ∈ G に対して σx、σy ∈ C となる。 よって、Q = {C} ∪ P はブロック系である。 よって、B はブロックである。 証明終 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 09:30:13.81 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 369 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 09:41:32.13 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 このとき H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。 証明 σ を G_x の任意の元とする。 σx = x ∈ B であるから x ∈ σB ∩ B よって、>>365より B = σB よって、σ ∈ H である。 証明終 370 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 09:59:28.82 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき Hx は X のブロック（>>357）である。 証明 x ∈ Hx だから Hx は空でない。 σ ∈ G に対して σHx ∩ Hx ≠ φ とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H よって、σHx = Hx よって、>>367より Hx は X のブロックである。 証明終 371 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 10:07:20.84 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき H = {σ ∈ G； σHx = Hx } である。 証明 σ ∈ H のとき σHx = Hx である。 逆に σ ∈ G、σHx = Hx とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H 以上から H = {σ ∈ G； σHx = Hx } 証明終 372 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/26(月) 11:02:55.43 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 11:14:50.55 ] 保守 374 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/26(月) 12:29:33.05 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 375 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 12:55:04.50 ] 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 >>369より H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。 このとき B = Hx である。 証明 Hx ⊂ B であるから逆の包含関係を示せばよい。 y ∈ B を任意の元とする。 G は X に推移的に作用するから y = σx となる σ ∈ G がある。 y ∈ σB ∩ B だから σB = B である。 よって、σ ∈ H である。 よって、y = σx ∈ Hx である。 証明終 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 13:04:00.82 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 377 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 13:05:26.03 ] 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を含むブロック（>>357）全体の集合を Λ(x) とする。 G_x を含む G の部分群全体の集合を Γ(x) とする。 >>369より B ∈ Λ(x) に対して H = {σ ∈ G；σB = B} は Γ(x) に属す。 このとき B に H を対応させる写像 ψ：Λ(x) → Γ(x) は全単射である。 証明 >>370より H ∈ Γ(x) のとき Hx ∈ Λ(x) である。 H ∈ Γ(x) に Hx ∈ Λ(x) を対応させる写像を φ：Γ(x) → Λ(x) とする。 >>371と>>375より ψ と φ は互いに逆写像である。 証明終 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 13:08:08.82 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 379 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 13:28:18.42 ] 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）で |X| ≧ 2 とする。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X が原始的（>>355）な G-集合であるためには G_x が G の極大部分群であることが必要十分である。 証明 >>377より明らかである。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/26(月) 13:57:50.50 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 381 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 20:24:17.25 ] 記法 X を集合とする。 m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。 X^m を X の m 重の直積集合とする。 X^m の元 (x_1、．．．、x_m) で i ≠ j （1 ≦ i、j ≦ m）なら x_i ≠ x_j となるもの全体からなる X^m の部分集合を X^[m] と書く。 382 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 20:30:54.70 ] 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。 σ ∈ G、x = (x_1、．．．、x_m) ∈ X^[m]（>>381）のとき σx = (σx_1、．．．、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。 X^[m] が 推移的（過去スレpart5の107）な G-集合のとき X を m 重推移的な G-集合という。 383 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 20:36:40.01 ] 命題 G を群とする。 X を m 重推移的（>>382）な G-集合とする。 k を 1 ≦ k ≦ m となる整数とする。 このとき X は k 重推移的な G-集合である。 証明 k ＜ m と仮定してよい。 x = (x_1、．．．、x_k) と y = (y_1、．．．、y_k) を X^[k]（>>381）の任意の元とする。 x’= (x_1、．．．、x_k、x_(k+1)、．．．、x_m) ∈ X^[m] となる x_(k+1)、．．．、x_m ∈ X がある。 同様に y’= (y_1、．．．、y_k、y_(k+1)、．．．、y_m) ∈ X^[m] となる y_(k+1)、．．．、y_m ∈ X がある。 X は m 重推移的であるから σx’= y’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = y である。 よって、X^[k] は推移的な G-集合である。 証明終 384 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 20:42:27.84 ] 命題 X を n 個の元からなる有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 このとき X は G-集合として n 重推移的（>>382）である。 証明 x = (x_1、．．．、x_n) を X^[n]（>>381）の任意の元とする。 任意の y = (y_1、．．．、y_n) ∈ X^[n] に対して σx = y となる σ ∈ G がある。 よって、X^[n] は推移的な G-集合である。 証明終 385 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 20:59:33.59 ] 補題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。 m ≧ 2 を整数とする。 x と y を X の元とする。 G_x と G_y をそれぞれ x と y の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的（>>382）なら G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。 証明 G は X 上推移的だから σx = y となる σ ∈ G がある。 z = (z_1、．．．、z_(m-1)) と w = (w_1、．．．、w_(m-1)) を (X - {y})^[m-1] の元とする。 z’= σ^(-1)z w’= σ^(-1)w とする。 z’、w’∈ (X - {x})^[m-1] だから τz’= w’となる τ ∈ G_x がある。 τσ^(-1)z = σ^(-1)w よって、στσ^(-1)z = w στσ^(-1) ∈ σG_xσ^(-1) = G_y よって、G_y は (X - {y})^[m-1] 上推移的である。 証明終 386 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 21:16:18.15 ] 命題 G を群とする。 X を G-集合とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 m ≧ 2 を整数とする。 X が m 重推移的（>>382）であるためには G が X 上推移的で G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的であることが 必要十分である。 証明 必要性： >>383より G は X 上推移的である。 Y = X - {x} とおく。 a = (a_1、．．．、a_(m-1)) と b = (b_1、．．．、b_(m-1)) を Y^[m-1]（>>381）の任意の元とする。 a’= (a_1、．．．、a_(m-1)、x) b’= (b_1、．．．、b_(m-1)、x) とおく。 a’、b’∈ X^[m] である。 X は m 重推移的であるから σa’= b’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = x であるから σ ∈ G_x である。 σa = b であるから G_x は Y 上 m - 1 重推移的である。 十分性： >>385より X の任意の元 y に対して G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。 a = (a_1、．．．、a_m) と b = (b_1、．．．、b_m) を X^[m] の任意の元とする。 σ(a_1、．．．、a_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) となる σ ∈ G_(a_m) がある。 τ(b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、b_m) となる τ ∈ G_(b_1) がある。 よって、τσa = b よって、G は X 上 m 重推移的である。 証明終 387 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:15:35.40 ] 定義（>>210の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を X の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり X - J の各元 x に対して σ(x) = x となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 388 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:33:22.87 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 Z を有理整数環とする。 {-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 このとき準同型 ε：G → {-1、1} で G の任意の互換（>>240）σ に対して ε(σ) = -1 となるものが一意に存在する。 証明 |X| = n とする。 I = {1、．．．、n} とする。 f：X → I を任意の全単射とする。 σ ∈ G に fσf^(-1) ∈ Sym(I) を対応させることにより 同型 ψ：G → Sym(I) が得られる。 σ ∈ Sym(I) に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像を sgn：Sym(I) → {-1、1} とする。 ε = sgnψ とおく。 G の任意の互換 σ に対して ψ(σ) は Sym(I) の互換だから>>232より ε(σ) = sgn ψ(σ) = -1 である。 >>222と同様に G の任意の元は互換の積として表されるからこのような ε は一意に決まる。 証明終 389 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:39:07.13 ] 定義 X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 >>388より準同型 ε：G → {-1、1} で G の任意の互換（>>240）τ に対して ε(τ) = -1 となるものが一意に存在する。 σ ∈ G のとき ε(σ) を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。 390 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:42:04.89 ] 定義（>>233の拡張） X を空でない有限集合とする。 σ を Sym(X)（>>6）の元とする。 sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。 sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。 391 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:47:15.85 ] 定義（>>235の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>6）を対応させる写像を sgn：G → {-1、1} とする。 sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を X 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>390）からなる。 392 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 22:49:33.90 ] 記法 X を空でない有限集合とする。 X 上の交代群（>>391）を Alt(X) と書く。 393 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 23:13:20.75 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 |X| = n とする。 n ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は X 上推移的（過去スレpart5の107）である。 証明 a と b を X の元とし a ≠ b とする。 n ≧ 3 だから c ∈ X - {a, b} がある。 σ = (a, b, c) を X 上の巡回置換（>>238）とする。 σ = (a, c)(a, b) ∈ Alt(X) である。 b = σa だから Alt(X) は X 上推移的である。 証明終 394 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 23:33:40.49 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 Y を X の空でない部分集合とする。 任意の τ ∈ Sym(Y)（>>6）に対して τ’∈ Sym(X) を次のように定義する。 x ∈ Y のとき τ’x = τx x ∈ X - Y のとき τ’x = x τ ∈ Sym(Y) に τ’∈ Sym(Y) を対応させる写像を f：Sym(Y) → Sym(X) とする。 このとき f は単射準同型であり、 f(Sym(Y)) = {σ ∈ Sym(X)；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。 証明 自明である。 395 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 00:09:15.80 ] >>391の修正 定義（>>235の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>389）を対応させる写像を sgn：G → {-1、1} とする。 sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を X 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>390）からなる。 396 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 00:17:28.43 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 Y を X の空でない部分集合とする。 f：Sym(Y) → Sym(X) を>>394で定義した準同型とする。 σ ∈ Sym(X) に sgn(σ)（>>389）を対応させる写像を sgn_X：Sym(X) → {-1、1} とする。 σ ∈ Sym(Y) に sgn(σ) を対応させる写像を sgn_Y：Sym(Y) → {-1、1} とする。 このとき sgn_Y = (sgn_X)f である。 証明 τ ∈ Sym(Y) を任意の互換（>>240）とする。 f(τ) は Sym(X) の互換であるから (sgn_X)f(τ) = -1 である。 よって、sgn_Y の一意性（>>389）より sgn_Y = (sgn_X)f である。 証明終 397 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 00:32:57.63 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 Y を X の空でない部分集合とする。 f：Sym(Y) → Sym(X) を>>394で定義した準同型とする。 このとき f(Alt(Y)) = {σ ∈ Alt(X)（>>392）；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。 証明 H = {σ ∈ Alt(X)（>>392）；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} とおく。 >>394より H = Alt(X) ∩ f(Sym(Y)) である。 よって、H = {σ ∈ f(Sym(Y))；sgn(σ) = 1} である。 τ ∈ Alt(Y) なら>>396より sgn(f(τ)) = sgn(τ) = 1 よって、f(τ) ∈ H よって、f(Alt(Y)) ⊂ H σ ∈ H なら σ = f(τ) となる τ ∈ Sym(Y) がある。 >>396より 1 = sgn(f(τ)) = sgn(τ) よって、τ ∈ Alt(Y) よって、H ⊂ f(Alt(Y)) 以上から f(Alt(Y)) = H 証明終 398 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 00:41:14.31 ] 命題 X を空でない有限集合とする。 |X| ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は n - 2 重推移的（>>382）である。 証明 G = Alt(X) とする。 |X| = n とする。 n に関する帰納法を使う。 n = 3 のとき>>393より G は X 上推移的である。 n ≧ 4 とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>397より G_x は Alt(X - {x}) と同一視される。 よって、帰納法の仮定より G_x は n - 3 重推移的である。 >>393より G は X 上推移的である。 よって、>>386より G は n - 2 重推移的である。 証明終 399 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 01:03:51.62 ] 命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。 証明 >>393より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終 400 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 01:17:43.69 ] >>399の修正 命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。 証明 >>383より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終 401 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 01:19:20.30 ] 命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 このとき X は原始的（>>355）な G-集合である。 証明 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X は 2 重推移的だから |X| ≧ 2 である。 >>383より G は X 上推移的である。 よって、>>379より H が G の極大部分群であることを証明すればよい。 K を H を含む G の部分群で H ≠ K とする。 σ ∈ K - H とする。 >>400より G = H ∪ HσH と直和分割される。 K は H と HσH を含むから G = H である。 よって、H は G の極大部分群である。 証明終 402 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 02:35:25.41 ] G を群とする。 H を G の正規部分群とする。 Aut(H) を H の自己同型群とする。 G の各元 σ に対して φ(σ) ∈ Aut(H) を φ(σ)(x) = σxσ^(-1) により定義する。 φ：G → Aut(H) は準同型である。 よって、H は G-集合（過去スレpart5の77）と見なされる。 403 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 02:39:35.78 ] 補題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G の正規部分群とする。 H は X 上正則（>>280）であるとする。 >>402より H は (G_x)-集合と見なされる。 このとき H と X は (G_x)-集合として同型である。 証明 写像 f：H → X を f(η) = ηx により定義する。 H は X に正則に作用するから f は全単射である。 よって、f が (G_x)-射であることを示せばよい。 σ ∈ G_x、η ∈ H のとき f(σησ^(-1)) = σησ^(-1)x = σηx = σf(η) よって、f は (G_x)-射である。 証明終 404 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 02:50:38.40 ] 定義 G を群とする。 Aut(G) を G の自己同型群とする。 H を G の部分群とする。 任意の λ ∈ Aut(G) に対して λ(H) ⊂ H となるとき H を G の特性部分群（characteristic subgroup）という。 405 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 02:59:28.41 ] 命題 G を群とする。 H を G の正規部分群とする。 K を H の特性部分群（>>404）とする。 このとき K は G の正規部分群である。 証明 σ ∈ G のとき τ(σ) を G の内部自己同型（過去スレpart5の749）とする。 H は G の正規部分群であるから τ(σ) は H の自己同型 φ(σ) を引き起こす。 φ(σ)(K) ⊂ K であるから τ(σ)(K) ⊂ K である。 よって、K は G の正規部分群である。 証明終 406 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 03:05:28.66 ] 定義 p を素数とする。 位数 p の巡回群の有限個の直積 G を基本アーベル群という。 p を G の指数という。 407 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 03:20:27.02 ] 命題 G を群とする。 Z(G) を G の中心（過去スレpart5の751）とする。 Z(G) は G の特性部分群（>>404）である。 証明 任意の λ ∈ Aut(G) と任意の x、y ∈ Z(G) に対して λ(x)λ(y) = λ(xy) = λ(yx) = λ(y)λ(x) よって、λ(x) ∈ Z(G) よって、λ(Z(G)) ⊂ Z(G) 証明終 408 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 08:43:58.21 ] >>407の修正 命題 G を群とする。 Z(G) を G の中心（過去スレpart5の751）とする。 Z(G) は G の特性部分群（>>404）である。 証明 任意の λ ∈ Aut(G)、z ∈ Z(G)、σ ∈ G に対して σ = λ(x) となる x ∈ G がある。 λ(z)σ = λ(z)λ(x) = λ(zx) = λ(xz) = λ(x)λ(z) = σλ(z) よって、λ(z) ∈ Z(G) よって、λ(Z(G)) ⊂ Z(G) 証明終 409 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:14:53.10 ] G を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 Z を有理整数環とする。 π：Z → Z/pZ を標準写像とする。 x ∈ G を任意の元とする。 px = 0 であるから n、m ∈ Z、n ≡ m (mod p) のとき nx = mx である。 よって、n ∈ Z のとき π(n)x = nx と定義することにより G は Z/pZ 上の線型空間となる。 410 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:20:20.35 ] 命題 G を有限アーベル群とする。 p を素数とする。 G - {0} の各元の位数は p であるとする。 このとき G は基本アーベル群（>>406）である。 証明 アーベル群の基本定理から明らかだが以下のように証明することも出来る。 >>409と同様に G は Z/pZ 上の有限次元の線型空間である。 G の Z/pZ 上の次元を n とすれば G は巡回群 Z/pZ の n 個の直積に同型となる。 証明終 411 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:30:18.27 ] 命題 G を有限群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 H を G の正規部分群で X に正則（>>280）に作用するとする。 このとき H は基本アーベル群（>>406）である。 よって、|X| = |H| は素数冪である。 証明 |H| = |X| であり |X| ≧ 2 であるから |H| ≠ 1 である。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>386より X - {x} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、>>403より H - {1} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、H - {1} の元は全て同じ位数 m である。 p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。 よって、H - {1} の各元の位数は p である。 よって、Cauchyの定理（過去スレpart5の775）より H の位数は p の冪である。 Z(H) を H の中心（過去スレpart5の751）とすると過去スレpart5の781より Z(H) ≠ 1 である。 >>408より Z(H) は H の特性部分群（>>404）であるから>>405より G の正規部分である。 H は X に正則に作用するから Z(H) の X への作用は自明（>>352）ではない。 >>401より G は X に原始的（>>355）に作用する。 よって、>>353より Z(H) は X に推移的に作用する。 Z(H) ⊂ H であるから Z(H) における x の安定化部分群は 1 である。 よって、>>284より Z(H) は X に正則に作用する。 よって、|X| = |Z(H)| = |H| である。 よって、Z(H) = H である。 よって、H はアーベル群である。 よって、>>410より H は基本アーベル群である。 証明終 412 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:47:23.62 ] 定義 G を群とする。 H ≠ 1 を G の正規部分群とする。 H に含まれる G の正規部分群は H と単位群だけであるとき H を G の極小正規部分群という。 413 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:49:22.49 ] 命題 G ≠ 1 を有限群とする。 G は極小正規部分群（>>412）を持つ。 証明 自明である。 414 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 09:55:46.01 ] 定義 G を群とする。 x、y ∈ G のとき xyx^(-1)y^(-1) を [x, y] と書き x と y の交換子（commutator）という。 415 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 10:02:07.08 ] 定義 G を群とする。 {[x, y]；x、y ∈ G} で生成される G の部分群を G の交換子部分群と呼び [G, G] と書く。 416 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 10:05:20.83 ] 命題 G を群とする。 x、y ∈ G のとき [x, y]^(-1) = [y, x] である。 証明 自明である。 417 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 10:07:52.42 ] 命題 G を群とする。 [G, G] （>>415）の各元は [x, y] （>>414）の形の元の有限個の積である。 証明 >>416より明らかである。 418 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 10:11:18.34 ] 命題 G と H を群とする。 f：G → H を準同型とする。 x、y ∈ G のとき f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。 証明 自明である。 419 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 11:00:47.42 ] 命題 G と H を群とする。 f：G → H を準同型とする。 x、y ∈ G のとき f([G, G]) = [f(G), f(G)] である。 証明 >>417と>>418より明らかである。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/27(火) 11:49:10.18 ] これ何やってるの？ 421 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/27(火) 12:48:43.50 ] >>420 前にも同じ質問があったが見て分からない？ 群の置換表現論 これがGalois理論と何の関係があるか？ おいおいｗ 関係大有りだよ わからなかったらwikipediaでも見てくれ 422 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/27(火) 13:02:27.73 ] Galoisの基本的な考えは方程式のGalois群をその方程式の根の置換群と見なすこと。 この考えは現代のGalois理論の教科書であまり強調されてないから>>420のような質問が出るんだろう。 しかしGrothendieckによるGalois理論の拡張にはこの考えが再び表に出てくる。 423 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 13:42:09.09 ] 定義 G を群とする。 H と K を G の部分群とする。 {[x, y]；x ∈ H、y ∈ K} で生成される G の部分群を [H, K] と書く。 424 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 13:44:41.18 ] 命題 G を群とする。 H と K を G の部分群とする。 [H, K] （>>423）の各元は [h, k] または [k, h]、h ∈ H、k ∈ K の形の元の有限個の積である。 証明 >>416より明らかである。 425 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 13:52:39.04 ] 命題 G を群とする。 H と K を G の部分群とする。 このとき [H, K] = [K, H] である。 証明 >>424より明らかである。 426 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 13:58:43.75 ] >>419の修正 命題 G と H を群とする。 f：G → H を準同型とする。 このとき f([G, G]) = [f(G), f(G)] である。 証明 >>417と>>418より明らかである。 427 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:06:28.29 ] 命題 G を群とする。 [G, G] （>>415）は G の特性部分群（>>404）である。 証明 >>426より明らかである。 428 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:14:19.84 ] 命題 G を群とする。 [G, G] （>>415）は G の正規部分群である。 証明 >>427より [G, G] は G の特性部分群である。 よって、>>405より [G, G] は G の正規部分群である。 証明終 429 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:19:37.76 ] 命題 G を群とする。 N を G の正規部分群とする。 このとき [N, N] （>>415）は G の正規部分群である。 証明 >>427より [N, N] は N の特性部分群（>>404）である。 よって、>>405より [N, N] は G の正規部分群である。 証明終 430 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:33:03.91 ] 命題 G を群とする。 x、y ∈ G のとき [x, y] = 1 であるためには xy = yx が必要十分である。 証明 自明である。 431 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:48:06.11 ] 命題 G を群とする。 >>428より [G, G] は G の正規部分群である。 このとき G/[G, G] はアーベル群である。 証明 π：G → G/[G, G] を標準準同型とする。 >>418より x、y ∈ G のとき π([x, y]) = [π(x), π(y)] である。 π([x, y]) = 1 であるから [π(x), π(y)] = 1 である。 よって、>>430より π(x)π(y) = π(y)π(x) である。 よって、G/[G, G] はアーベル群である。 証明終 432 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 14:56:59.10 ] 命題 G を群とする。 H をアーベル群とする。 f：G → H を準同型とする。 このとき f([G, G]) = 1 である。 証明 >>418より x、y ∈ G のとき f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。 H はアーベル群であるから>>430より [f(x), f(y)] = 1 である。 よって、f([x, y]) = 1 である。 よって、>>417より f([G, G]) = 1 である。 証明終 433 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 15:10:32.99 ] 命題 G を群とする。 N を G の正規部分群とする。 G/N はアーベル群であるとする。 このとき [G, G] ⊂ N である。 証明 π：G → G/N を標準準同型とする。 >>432より π([G, G]) = 1 である。 よって、[G, G] ⊂ N である。 証明終 434 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 15:15:17.78 ] 命題 G を群とする。 >>428より [G, G] は G の正規部分群である。 π：G → G/[G, G] を標準準同型とする。 H をアーベル群とする。 f：G → H を準同型とする。 このとき準同型 g：G/[G, G] → H で f = gπ となるものが一意に存在する。 証明 >>432より f([G, G]) = 1 である。 よって、g：G/[G, G] → H で f = gπ となるものが存在する。 π：G → G/[G, G] は全射だからこのような g は一意に決まる。 証明終 435 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 15:26:31.30 ] 命題 G ≠ 1 を可解群（過去スレpart1の550）とする。 このとき G ≠ [G、G] である。 証明 G の正規部分群 N、G ≠ N で G/N がアーベル群となるものがある。 >>433より [G, G] ⊂ N である。 よって、G ≠ [G、G] である。 証明終

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