代数的整数論 005

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。 前スレ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ 335 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:42:22 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 このとき ac ＜ 0 である。 即ち a と c は符号が反対である。 つまり sign(c) = -sign(a) 証明 >>333 より 0 ＜ b ＜ √D よって b^2 ＜ D D - b^2 = -4ac だから 0 ＜ -4ac よって ac ＜ 0 証明終 336 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:43:42 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 このとき |a| + |c| ＜ √D である。 証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b 両辺を２乗して (√D - 2|a|)^2 ＜ b^2 よって (√D - 2|a|)^2 - b^2 = D - 4|a|√D + 4a^2 - b^2 = -4ac - 4|a|√D + 4a^2 ＜ 0 よって ((√D - 2|a|)^2 - b^2)/4|a| = -ac/|a| - √D + |a| = -sign(a)c - √D + |a| = sign(c)c - √D + |a| = |c| - √D + |a| ＜ 0 証明終 337 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:44:42 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約２次形式(>>330)であるためには |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D が必要十分である。 証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b よって -b ＜ √D - 2|a| ＜ b 即ち 0 ＜ √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b √D - b ＜ 2|a| の両辺に √D + b を掛けて -4ac ＜ 2|a|(√D + b) -2sign(a)c ＜ √D + b 2sign(c)c ＜ √D + b よって 2|c| - √D ＜ b 他方 2|a| ＜ √D + b の両辺に √D - b を掛けて 2|a|(√D - b) ＜ -4ac √D - b ＜ -2sign(a)c = 2sign(c)c = 2|c| √D - b ＜ 2|c| よって -b ＜ 2|c| - √D 以上から |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D 同様にして、この式から逆に |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D がでる。 証明終 338 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:50:01 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 >>333 より 0 ＜ b ＜ √D >>336 より |a| + |c| ＜ √D 従って、判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 (a, b, c) の個数は 有限である。 339 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 15:15:39 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。 α = 1/θ - [1/θ] とおくと 1/θ = [1/θ] + 1/(1/α) である。 >>41 の連分数の記号で書くと 1/θ = [[1/θ], 1/α] α = 1/θ - [1/θ] を計算しよう。 >>335 より sign(a) = -sign(c) であることに注意する。 1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = sign(a)(-b - √D)/2c = -sign(c)(-b - √D)/2c = (b + √D)/2|c| よって 1/θ - [1/θ] = (b + √D)/2|c| - [(b + √D)/2|c|] = (b - 2|c|[(b + √D)/2|c|] + √D])/2|c| ∈ Q+(D) よって >>326 より φ_FQ( (c, r, (r^2 - D)/4c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a)) である。 ここで r = -b + 2|c|[(b + √D)/2|c|] 340 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 15:36:10 ] >>339 の続き。 n = [(b + √D)/2|c|] とおく。 即ち n ＜ (b + √D)/2|c| ＜ n + 1 よって 2|c|n ＜ b + √D ＜ 2|c|n + 2|c| r = -b + 2|c|n だから √D - 2|c| ＜ r ＜ √D 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:10:00 ] 40 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:11:00 ] 39 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:12:00 ] 38 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:13:00 ] 37 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:14:00 ] 36 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:15:00 ] 35 347 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 13:05:45 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 D = b^2 - 4ac は平方数でないと仮定しているから c ≠ 0 である。 >>340 と同様に n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。 >>340 と同様に √D - 2|c| ＜ r ＜ √D である。 >>339 を参考にして２次形式 (c, r, (r^2 - D)/4c) を考える。 r^2 - D = (-b + 2|c|n)^2 - D = b^2 - 4b|c|n + 4c^2 n^2 - b^2 + 4ac = - 4b|c|n + 4c^2 n^2 + 4ac よって (r^2 - D)/4c = a - sign(c)bn + cn^2 よって (c, r, (r^2 - D)/4c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおく。 det(σ) = 1 だから σ ∈ SL_2(Z) である。 過去スレ４の280より (a, b, c)σ = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) である。 348 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 15:39:41 ] ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) とおく。 即ち ρ(a, b, c) = (a, b, c)σ である。 ρ(a, b, c) = (a_1, b_1, c_1) とおく。 |c_1| ＜ |a_1| なら、即ち |a - sign(c)bn + cn^2| ＜ |c| なら ρ(a_1, b_1, c_1) = (a_2, b_2, c_2) とおく。 以下同様にして |c_(n-1)| ＜ |a_(n-1)| なら ρ(a_(n-1), b_(n-1), c_(n-1)) = (a_n, b_n, c_n) とおく。 |c| = |a_1| ＞ |c_1| = |a_2| ＞ . . . ＞ |c_(n-1)| = |a_n| |c| は有限だからこの過程は有限回で終わる。 よって |a_n| ≦ |c_n| となる n がある。 このとき (ρ^n)(a, b, c) = (a_n, b_n, c_n) は簡約された２次形式 であることを証明しよう。 349 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 16:29:19 ] 記号を簡単にするため (a_n, b_n, c_n) = (A, B, C) とおく。 |A| ≦ |C| である。 >>347 より √D - 2|A| ＜ B ＜ √D よって 0 ＜ √D - B ＜ 2|A| よって 1/|√D - B| ＞ 1/(2|A|) 一方、 |√D - B||√D + B| = |D - B^2| = 4|A||C| よって |√D + B| = 4|A||C|/|√D - B| ＞ 2|C| よって |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0 B ＜ 0 とすると √D + B = √D - |B| √D - B = √D + |B| よって |√D - |B|| ＞ √D + |B| となって矛盾。 従って、B ≧ 0 である。 B = 0 なら |√D + B| ＞ √D - B より √D ＞ √D となって矛盾。 よって B ＞ 0 である。 よって 0 ＜ B ＜ √D である。 上の |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0 より √D - B ＜ 2|A| ＜ √D + B 即ち |√D - 2|A|| ＜ B ＜ √D である。 よって (A, B, C) は簡約されている。 350 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 18:17:50 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約されていれば >>348 で定義した ρ(a, b, c) も 簡約されている。 証明 n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。 ρ(a, b, c) = (c, r, (r^2 - D)/4c) である。 >>347 より √D - 2|c| ＜ r ＜ √D |c| ＜ (√D)/2 なら 0 ＜ √D - 2|c| よって |√D - 2|c|| ＜ r ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。 |c| ＞ (√D)/2 なら 2|c| - √D ＞ 0 (a, b, c) は簡約されているから 2|c| - √D = |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D よって 2|c| ＜ b + √D ＜ 2√D ＜ 4|c| よって 1 ＜ (b + √D)/2|c| ＜ 2 よって [(b + √D)/2|c|] = 1 r = -b + 2|c| ＞ 2|c| - √D = |√D - 2|c|| 一方 2|c| - √D ＜ b だから r = -b + 2|c| ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。 証明終 351 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 12:13:22 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>326 で φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により 写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。 任意の σ ∈ SL_2(Z) に対してある τ ∈ GL_2(Z) があり φ_FQ((a, b, c)σ) = (τ(θ), det(τ)sign(a)) となることを証明しよう。 ここで (a, b, c) は F(D) の任意の元であり、 θ = (-b + √D)/2|a| である。 352 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 14:39:08 ] >>351 の主張は(たぶん)誤りなので >>351 は削除する。 353 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 21:42:49 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。 θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき τ = (-l + (ps - qr)√D)/2k 証明 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 τ = (-sθ + q)/(rθ - p) に θ = (-b + √D)/2a を代入すると、 τ = (-s(-b + √D) + 2aq)/(r(-b + √D) - 2ap) この分子と分母にそれぞれ (r(-b - √D) - 2ap) を掛けると 分子 = (-s(-b + √D) + 2aq)(r(-b - √D) - 2ap) = -4acrs - 2apsb - 2aqrb + (2aps - 2aqr)√D = -2a(2crs + psb + qrb + 2apq) + 2a(ps - qr)√D = -2al + 2a(ps - qr)√D 分母 = (r(-b + √D) - 2ap)(r(-b - √D) - 2ap) = 4acr^2 + 4abpr + 4a^2p^2 = 4a(cr^2 + bpr + ap^2) = 4ak よって τ= (-l + (ps - qr)√D)/2k 証明終 354 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 22:25:29 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 判別式 D の簡約2次形式(>>330)の集合を RF(D) と書く。 355 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 22:32:47 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 とおけば (a, b, c)σ = (k, l, m) とくに U = (0, 1)/(1, 0) ∈ GL_2(Z) のとき (a, b, c)U = (c, b, a) 明らかに (a, b, c) が簡約(>>330)されていれば (a, b, c)U = (c, b, a) も簡約されている。 μ(a, b, c) = (c, b, a) と書く。 μ は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を定める。 この写像をやはり μ と書く。 μ^2 = 1 だから μ は RF(D) の集合としての自己同型である。 356 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 23:34:23 ] >>348 の ρ(a, b, c) は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を 定める。この写像をやはり ρ と書く。 (ρμ)(ρμ) = (μρ)(μρ) = 1 となることを示そう。 >>347 より n = [(b + √D)/2|c|] として、 σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおくと、 σ ∈ SL_2(Z) で、ρ(a, b, c) = (a, b, c)σである。 >>355 より U = (0, 1)/(1, 0) とおくと、 μ(a, b, c) = (a, b, c)U σU = (1, 0)/(-sign(c)n, -1) よって (σU)(σU) = 1 よって (ρμ)(ρμ) = 1 同様に、 Uσ = (-1, -sign(c)n)/(0, 1) よって (Uσ)(Uσ) = 1 よって (μρ)(μρ) = 1 357 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 23:39:39 ] >>356 より ρ^(-1) = μρμ である。 よって (a, b, c) ∈ RF(D) のとき ρ^(-1)(a, b, c) ∈ RF(D) である。 よって ρ は RF(D) の集合としての自己同型である。 358 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 02:05:20 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) ∈ RF(D) (>>354) とする。 i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 >>350 より (ρ^i)(a, b, c) ∈ RF(D) である。 >>338 より RF(D) は有限集合である。 従って、(ρ^n)(a, b, c) = (ρ^(n+m))(a, b, c) となる n ＞ 0 と m ＞ 0 がある。 >>357 より RF(D) の集合としての自己同型 ρ^(-n) が存在するから ρ^(-n)(ρ^n)(a, b, c) = ρ^(-n)(ρ^(n+m))(a, b, c) より、 (a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる。 さて、(a, b, c) は簡約されているので、>>335 より (a, b, c) の先頭項、即ち a と ρ(a, b, c) の先頭項 c は 符号が反対である。 同様に i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 (ρ^i)(a, b, c) の先頭項と (ρ^(i+1))(a, b, c) の先頭項は 符号が反対である。 従って、(a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる m は偶数である。 359 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 02:27:23 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>357 より ρ は RF(D) の自己同型である。 G を ρ で生成される巡回群とする。 RF(D) は G-集合(過去スレ４の388)となる。 よって軌道空間(過去スレ４の390) RF(D)/G が考えられる。 f ∈ RF(D) のとき f の軌道(過去スレ４の390) は >>358 より { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の形である。 ここで (ρ^m)f = f であり、 0 ≦ i ＜ j ＜ m のとき (ρ^i)f ≠ (ρ^j)f である。 さらに m は偶数である。 f の軌道のことを f のサイクルと呼ぶ。 360 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 03:20:43 ] >>359 において f のサイクル { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の 元の個数 m を ｆのサイクルの長さという。 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:10:00 ] 42 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:11:00 ] 41 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:12:00 ] 40 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:13:00 ] 39 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:14:00 ] 38 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:15:00 ] 37 367 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:13:37 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 f = (a, b, c) を判別式 D の簡約２次形式とする。 f のサイクル(>>359) を { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } とする。 n ≧ 0 のとき (ρ^n)f = f_n f_n = (a_n, b_n, c_n) とおく。 f のサイクルは { f_0, f_1, . . . , f_(m-1) } である。 >>326 で φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により 写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。 θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、 φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) である。 368 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:24:42 ] >>339 より φ_FQ( ρ(a, b, c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a)) よって φ_FQ( ρ(f_n) ) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n)) よって (θ_(n+1), sign(a_(n+1)) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n)) 即ち θ_(n+1) = 1/θ_n - [1/θ_n] sign(a_(n+1) = -sign(a_n) よって sign(a_n) = (-1)^n sign(a_0) 369 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:35:53 ] >>368 より f = (a, b, c) のサイクルは 1/θ の連分数展開 と対応していることがわかる。 (a, b, c) は簡約されているから >>335 より sign(c) = -sign(a) よって 1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = -sign(a)(b + √D)/2c = sign(c)(b + √D)/2c = (b + √D)/2|c| 370 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:49:57 ] ここで、簡約２次形式のサイクルの計算例を述べる。 D = 52 = 4×13 として２次形式 f = (3, 2, -4) を考える。 [√D] = 7 である。 |√D - 6| ＜ 2 ＜ √D だから (3, 2, -4) は簡約されている。 (a, b, c) = (3, 2, -4) とおく。 >>348 より ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) n = [(b + √D)/2|c|] = [(2 + √D)/8] = 1 だから ρ(3, 2, -4) = (-4, 6, 1) 同様に [(6 + √D)/2] = 6 だから ρ(-4, 6, 1) = (1, 6, -4) 以下同様にして長さ10のサイクル (3, 2, -4) → (-4, 6, 1) → (1, 6, -4) → (-4, 2, 3) → (3, 4, -3) → (-3, 2, 4) → (4, 6, -1)→(-1, 6, 4) → (4, 2, -3) → (-3, 4, 3) →(3, 2, -4) が得られる。 371 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:16:11 ] >>367 より θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、 φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) = (1/(1/θ_n), sign(a_n)) よって φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 6, 1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), -1) φ_FQ( (1, 6, -4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 2, 3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 4, -3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 2, 4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 6, -1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), 1) φ_FQ( (-1, 6, 4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 2, -3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 4, 3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1) 372 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:28:39 ] >>371 から次の巡回系列が得られる。 (1/((2 + √D)/8), 1) → (1/((6 + √D)/2), -1) → (1/((6 + √D)/8), 1) → (1/((2 + √D)/6), -1) → (1/((4 + √D)/6), 1) → (1/((2 + √D)/8), -1) → (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) これから、符号を無視すると以下の簡約２次無理数の長さ５の巡回系列が ２つ繰り替えされていることが分かる。 (2 + √D)/8 → (6 + √D)/2 → (6 + √D)/8 → (2 + √D)/6 → (4 + √D)/6 → (2 + √D)/8 373 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:33:29 ] >>372 >→ (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/8), -1) 374 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 15:31:31 ] (2 + √D)/8 を連分数に展開してみよう。 (2 + √D)/8 = 1 + (-6 + √D)/8 = 1 + 1/(6 + √D)/2 (6 + √D)/2 = 6 + (-6 + √D)/2 = 6 + 1/(6 + √D)/8 (6 + √D)/8 = 1 + (-2 + √D)/8 = 1 + 1/(2 + √D)/6 (2 + √D)/6 = 1 + (-4 + √D)/6 = 1 + 1/(4 + √D)/6 (4 + √D)/6 = 1 + (-2 + √D)/6 = 1 + 1/(2 + √D)/8 よって (2 + √D)/8 = [1, 6, 1, 1, 1, ...] ここに現れた、簡約２次無理数の巡回列は >>372 と同じものである。 375 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 16:16:57 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 f = (a, b, c) と g = (k, l, m) を判別式 D の簡約２次形式とする。 f と g が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。 ここで F(D) は判別式 D の２次形式の集合であり、Γ = SL_2(Z) である(>>234)。 このとき f のサイクルと g のサイクルは一致することを証明しよう。 ρ(f) の先頭項は a の符号と反対であり、f と ρ(f) は F(D)/Γ の 同じ類に属すから a ＞ 0 と仮定してよい。 同様に k ＞ 0 と仮定してよい。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。 θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき >>353 より τ = (-l + √D)/2k θ = (pτ + q)/(rτ + s) より 1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ)) >>112 より、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] 1/τ = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、 各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 16:32:15 ] 　　　　　　　　　　_., .,､._,r hh.､ y...u,_ ､ ､.,., 　　　　　　　　.yl!).彳｝ﾞ.^ﾞ冖^^^ﾞﾞ'⌒ﾞﾞ「｛ .〕:!|ｧ_ l.r. 　　　　　　 .rl!.「.ﾞ.′　　　　　　　　　　　 .ﾞ.^ﾞ「.|^|'!.,.ri,､ 　　　 _,.u:l 「″　　　　　　　 _,..vv-─--v､､.,__ﾞ ´「 リﾞ .r 　 .-i(┴^　　　　　　　　,.v‐ ′　　　　i!､　　厂^'ｰ､_　.'ﾞ/ 　.,l|　　　　　　　　　.,.‐'ﾞr　　'=,　 .|ﾄ!　 ..　　　　　／_ ┘ _, .［.′　　　　　 .,r(,,vv!冖h厂 _,､､､,_ ¨ﾞ（）　　　.ﾞﾞil|ﾘ冖ﾐ(ﾐ,.l|/ﾚ' .||　　　　　_,yr!^″　　　 ［.zli》ﾆ《)ﾐ|l;,　|ノ冖ｰu「.,zzzzy,｛丁′ .!ミ　　 .yr(l「′　　　　　　〔″　　　　｀.,i^　　　.〔.!!干「「)v）《ﾌ i|　 __,/′.｝　　　　 .　　　　＼,,,,,_,,,,,,vr″　　　 .ﾞ)z　　　　,メﾞ'ly |ﾞ/|ﾚr》!　 ｝　　　　 .｝..　　　　　　　／,v--r　,､u_:rﾌ'¬ｰ^″　ﾞミ 》ﾞ|′ .ミ　.|　　　　 .∨　　 ,､　　　 ｛lzﾄrr┘ ＼从,,）　　　　 ｝:! .《 ｝｝.,rｰ ミ,,ｪ　　　 ,　　　　 .'|ﾌ　　　　　　.,,zu厶　￣　　　　　ﾞ'^　l! ﾞ|从　　》″　　　 | r　　　　　　　　　 -:(工ｪ」zﾐv_　　　n.　　　　〔 　　＜人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。 .》ﾄ　　.′　　　　∨　　　　　　 7vv=(干=─干ﾐl||l,_,z　″　　　 》 .《l,_ .'|!　　　　　　　　　　　　　　　　 .__　　　　　, .￣ﾞ..　　　　　 〕 　《^¨′　　　　　　　　　　　　　　　　 .ﾞ冖'^^'''冖　　 v＼　　　　｝ 　　　 　［　　　　　 ､　　　　　　　　.　　　　　　　　　　 〕　　 〔 .′ .」_ .ll′ 　　　　　 　.|　　　　　 | 」　　　　　　 ._｝　　　　　　　　 .hノ　　 .:|　,.. .,.ﾄﾄ 〕 　.｝　　　　　.^′　　　　　　ﾞ《,_　　　　　　　　　　　.､,ﾉ ...厂､　.il 　 ｝　　　　　　　　　 _　　.､　.ﾞﾞ'〜 .y,_　　　　　　_,r;|¨ <､､‐　. ﾉ 　 .｛,　　　　　　　　 〔 」　 ´　‐　「ilﾘiｱｱｧｧｧ;lllllli(ﾘﾞ｝ ┌ 冫.. .ｱ 　　 ＼　　　　　　　 ∨ﾞ .　_　.- . ' .｀ﾞ厂¨厂ﾞ厂'. .ﾞ ､' .ﾞ. ヽ‐,r| 　　 .ﾉy　　　　　　　　　　 .´ ､ .: ' ..:　 .､　'　｀ ' _ . .冫 -.',y;| 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:10:00 ] 44 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:11:00 ] 43 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:12:00 ] 42 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:13:00 ] 41 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:14:00 ] 40 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/21(月) 04:15:00 ] 39 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:10:00 ] 38 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:11:00 ] 37 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:12:00 ] 36 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:13:01 ] 35 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:14:01 ] 34 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/22(火) 04:15:01 ] 33 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:10:00 ] 34 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:11:00 ] 33 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:12:00 ] 32 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:13:00 ] 31 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:14:00 ] 30 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 04:15:00 ] 29 395 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 17:17:23 ] 補題 β ＞ 1 を実無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = 1 であり、 c ＞ d ＞ 0 である。 このときある偶数 n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 a/c を単純連分数(>>69)に展開して a/c = [k_0, . . . , k_(n-1)] とする。 >>107 より ad - bc = (-)^n = 1 と仮定してよい。 即ち n は偶数と仮定してよい。 あとは >>110 の証明と同じである。 証明終 396 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 17:21:06 ] 補題 β を簡約２次無理数とする。 α = (aβ + b)/(cβ + d) とする。 ここで a, b, c, d は有理整数で ad - bc = 1 である。 このとき、ある偶数 n ≧ 1 があり、 α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 証明 cβ + d ＜ 0 なら -cβ - d ＞ 0 で α = (-aβ - b)/(-cβ - d) だから cβ + d ＞ 0 と仮定してよい。 β を 無限連分数に展開して β = [h_0, h_1, . . . ] とする。 m ≧ 1 に対して ω_m = [h_m, h_(m+1), . . . ] とおく。 >>77 より β = [h_0, . . . , h_(m-1), ω_m] である。 β は簡約２次無理数だから >>101 より純循環連分数に展開される。 よって ω_m = β、即ち β = [h_0, . . . , h_(m-1), β] となる m ≧ 1 がある。 しかも、このような m としていくらでも大きい値が取れる。 従って >>395 より >>113 と同様にして ある偶数 n ≧ 1 があり α = [k_0, . . . , k_(n-1), β] となる。 証明終 397 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 21:09:12 ] >>375 の続き。 1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ)) であり、1/τ は簡約２次無理数 だから >>396 より、ある偶数 n ≧ 1 があり、 1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), 1/τ] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。 1/θ も簡約２次無理数だから 1/θ ＞ 1 であり、k_0 ≧ 1 である。 >>368 と、n は偶数に注意して、 φ_FQ( ρ^n(f) ) = (τ, (-1)^n) = (τ, 1) である。 一方 φ_FQ(g) = (τ, 1) だから ρ^n(f) = g である。 よって f と g は同じサイクルに属す。 即ち簡約２次形式 f と g が F(D)/Γ(>>375) の同じ類に属すことと、 f と g が RF(D)/G (>>359) の同じ類に属すことは同値である。 一方、>>348 より F(D)/Γの任意の類は簡約２次形式を含む。 よって |F(D)/Γ| = |RF(D)/G| である。 398 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/25(金) 21:14:07 ] >>397 の結果は恐らく(不定符号)２次形式の初等的な理論の中で最初の 難関だろう。 399 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 09:46:33 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 判別式 D の原始的(過去スレ４の279)な簡約2次形式(>>330)の集合を RF_0(D) と書く。 >>397 の |F(D)/Γ| = |RF(D)/G| より |F_0(D)/Γ| = |RF_0(D)/G| となる。 一方、>>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) (>>227)は集合として同型である。 よって |Cl+(D)| = |RF_0(D)/G| |Cl+(D)| を h+(D) と書き R の狭義の類数と呼ぶ。 ここで R は判別式 D の整環である。 |Cl(D)| を h(D) と書き R の広義の類数と呼ぶ。 400 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 10:05:56 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>399 より R の狭義の類数 h+(D) は |RF_0(D)/G| と一致する。 RF_0(D) の元、つまり判別式 D の原始的な簡約2次形式を数え上げる アルゴリズムは簡単である。 (a, b, c) ∈ RF_0(D) となる条件を求めよう。 まず >>333 より 0 ＜ b ＜ √D である。 即ち 1 ≦ b ≦ [√D] >>335 より a と c の符号は反対だから D = b^2 - 4ac = b^2 + 4|ac| これから b が決まると |ac| が決まる。 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b よって √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b よって [√D] + 1 - b ≦ 2|a| ≦ [√D] + b これから a が決まり D = b^2 + 4|ac| より c が決まる。 あとは gcd(a, b, c) = 1 に注意すればよい。 401 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 10:54:46 ] D = 328 として h+(D) を求めてみよう。 これは高木の「初等整数論講義」の例と同じである。 328 = 4・82 = 8・41 で 82 ≡ 2 (mod 4) だから 判別式 D の整環 R は Q(√82) の主整環である。 従って 判別式 D の2次形式はすべて原始的である(過去スレ４の289)。 [√D] = 18 である。 b^2 + 4|ac| = 328 [√D] + 1 - b ≦ 2|a| ≦ [√D] + b より以下の２０個が判別式 328 の原始的な簡約2次形式の全部である。 (9, 2, -9) (-9, 2, 9) (6, 8, -11) (-11, 8, 6) (11, 8, -6) (-11, 8, 6) (3, 14, -11) (-3, 14, 11) (11, 14, -3) (-11, 14, 3) (2, 16, -9) (-2, 16, 9) (9, 16, -2) (-9, 16, 2) (3, 16, -6) (-3, 16, 6) (6, 16, -3) (-6, 16, 3) (1, 18, -1) (-1, 18, 1) 402 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 11:10:03 ] >>401 で求めた RF_0(328) をサイクルに分類するのは >>370 と 同様にすればよい。 (9, 2, -9) → (-9, 16, 2) → (2, 16, -9) → (-9, 2, 9) → (9, 16, -2) → (-2, 16, 9) → (9, 2, -9) (11, 8, -6) → (-6, 16, 3) → (3, 14, -11) → (-11, 8, 6) → (6, 16, -3) → (-3, 14, 11) → (11, 8, -6) (3, 16, -6) → (-6, 8, 11) → (11, 14, -3) → (-3, 16, 6) → (6, 8, -11) → (-11, 14, 3) → (3, 16, -6) (1, 18, -1) → (-1, 18, 1) → (1, 18, -1) 以上から RF_0(328) は４個のサイクルからなっている。 よって h+(328) = 4 である。 即ち Q(√82) の狭義の類数は４である。 403 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/30(水) 11:37:28 ] >>402 において、 (9, 2, -9) と (-9, 2, 9) (11, 8, -6) と (-11, 8, 6) (3, 16, -6) と (-3, 16, 6) (1, 18, -1) と (-1, 18, 1) はそれぞれ同じサイクルに属す。 従って >>305 より Q(√82) の広義の類数も４である。 404 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/30(水) 18:09:12 ] すみません、教えてください。 お願いします。 web2.incl.ne.jp/yaoki/wari7.htm の問題 「２ｎ−１個の任意の自然数がある。(ｎは自然数) （２ｎ−１個の内に、同じ自然数があってもかまわない） その中のあるｎ個の自然数の和で、ｎで割り切れるものが必ず存在する。 そうであるなら証明を、そうとも限らないなら反例を示してください。」 の解答web2.incl.ne.jp/yaoki/awari7.htmで 以下の所の意味がよく解りませんので、よろしくお願いいたします。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ Rk と Sk-1 は要素数が同じであるが、それぞれの要素数の和は法 p の下で剰余が等しくないことになる。 これは、Rk には Sk-1 にない要素が少なくとも１つはあることを意味する。 Sk = Sk-1 ∪ Rk であるから、Sk の要素数は Sk-1 よりも多くなる。 もし t = p ならば、Sk-1 には p 個の要素があり、法 p の下の剰余をすべて尽くしている。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ ここまではわかるのですが、次からがよくわかりません。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ こうなると Sk, Sk+1, ... は、要素数が p 個である状態が続いていく。 よって、Sk の要素は k+1 個以上あるが、p 個が上限である。 特に、Sp-1 は要素数が p 個で、法 p の下の剰余がすべて含まれる。 ・・・・・・・・・・・・・・・・ t = p でないときは？ 405 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 10:57:21 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とし、 m ≠ 0 を有理整数とする。 m = ax^2 + bxy + cy^2 の固有な解(過去スレ４の701)の全てを求めるには 過去スレ４の738 より以下の問題に帰着する。 (1) 判別式 D の２次形式 (a, b, c) と (m, l, k) が与えられたとき それらが同値か否かを判定せよ。 (2) 同値なら (a, b, c)σ = (m, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) を全て求めよ。 (1) は既に解けている。 即ち以下のようにする。 f と g を判別式 D の２次形式とする。 f と g が同値かどうかを判定するには、 >>348 の方法により f と g をそれぞれ簡約２次形式に変形して それらが同じサイクルに含まれるかどうかを見ればよい。 同じサイクルに含まれれば、fσ = g となる σ ∈ SL_2(Z) は 少なくとも１個求まる。 よって (2) は (a, b, c)σ = (a, b, c) となる σ ∈ SL_2(Z) を 全て求めれば解ける(過去スレ４の739)。 406 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:37:07 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的な２次形式とする。 U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) } とおく。 U(f) は SL_2(Z) の部分群である。 U(f) の構造を決定しよう。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (a, b, c とする。 過去スレ４の401より a = ap^2 + bpr + cr^2 b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs c = aq^2 + bqs + cs^2 ps - qr = 1 だから ps = qr + 1 これと b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs より b = 2apq + b(2qr + 1) + 2crs よって 2apq + 2bqr + 2crs = 0 よって apq + bqr + crs = 0 407 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:46:11 ] >>406 の続き。 apq + bqr + crs = 0 より、 aq = q(ap^2 + bpr + cr^2) = apqp + bpqr + cr^2q = (-bqr - crs)p + bpqr + cr^2q = -crsp + cr^2q = -cr(ps - qr) = -cr よって r/a = -q/c 他方 c(p - s) = (aq^2 + bqs + cs^2)(p - s) = apq^2 + bpqs + cs^2p - cs = apq^2 + bpqs + cs(sp - 1) = apq^2 + bpqs + csqr = q(apq + bps + crs) = q(bps - bqr) = qb(ps - qr) = qb ここで再び apq + bqr + crs = 0 を使った。 よって (s - p)/b = -q/c 以上から r/a = (s - p)/b = -q/c 408 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 11:55:14 ] >>407 の続き。 r/a = (s - p)/b = -q/c を u とおく。 r = au s - p = bu q = -cu となる。 u = v/w とする。 ここで v, w は有理整数で gcd(v, w) = 1 である。 wr = av w(s - p) = bv wq = -cv よって w は a, b, c の共約数である。 ２次形式 f = (a, b, c) は原始的だから w = ±1 である。 よって u は有理整数である。 t = p + s とおく。 t + bu = 2s t - bu = 2p よって p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au 409 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:36:11 ] >>408 の続き。 p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au と ps - qr = 1 より (t^2 - b^2u^2)/4 + acu^2 = (t^2 - b^2u^2 + 4acu^2)/4 = 1 よって t^2 - Du^2 = 4 410 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:37:35 ] >>409 の続き。 逆に (t, u) が t^2 - Du^2 = 4 の解なら p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au とおくと ps - qr = 1 となって、σ = (p, q)/(r, s) は SL_2(Z) の元である。 (a, b, c)σ = (k, l, m) とする。 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 411 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 14:39:21 ] >>410 の続き。 一方、 ap^2 + bpr + cr^2 = (t - bu)^2/4 + ab(t - bu)u/2 + ca^2u^2 = (a(t - bu)^2 + 2ab(t - bu)u + 4ca^2u^2)/4 = (at^2 - 2abtu + ab^2u^2 + 2abtu - 2ab^2u^2 + 4ca^2u^2)/4 = (at^2 - ab^2u^2 + 4ca^2u^2)/4 = a(t^2 - Du^2)/4 = a よって k = a 2apq + b(ps + qr) + 2crs = -2acu(t - bu)/2 + b(t^2 - b^2u^2)/4 - abcu^2 + 2acu(t + bu)/2 = 2abcu^2 + b(t^2 - b^2u^2)/4 - abcu^2 = b(t^2 - b^2u^2)/4 + abcu^2 = b(t^2 - Du^2)/4 = b よって l = b D = b^2 - 4ac = l^2 - 4km だから b^2 - 4am = D よって m = c 以上から (a, b, c)σ = (a, b, c) 412 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:29:04 ] >>411 の続き。 t^2 - Du^2 = 4 の有理整数解 (t, u) の集合を Pell+(D) と書こう。 (t, u) ∈ Pell+(D) のとき φ(t, u) = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) と書く。 ここで p = (t - bu)/2 s = (t + bu)/2 q = -cu r = au >>411 より φ は Pell+(D) から U(f) への写像である。 >>409 より φ は全射である。 φ が単射であることを示そう。 (t, u) と (t', u') を Pell+(D) の元で、 φ(t, u) = φ(t', u') とする。 a ≠ 0 だから(a = 0 なら D = b^2 となって D は平方数となって 仮定に反する)、 au = au' より u = u' である。 よって (t - bu)/2 = (t' - bu')/2 より t = t' である よって (t, u) = (t', u') よって φ は単射である。 413 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:45:36 ] >>412 の続き。 R を判別式 D の整環とする。 過去スレ４の590より R = {(x + y√D)/2 ; x ∈ Z, y ∈ Z, x ≡ yD (mod 2) } である。 R の単数でノルムが１となるもの全体を (R^*)+ と書く 即ち (R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である(>>281)。 α = (t + u√D)/2 が R の単数なら、 N(α) = αα' = (t + u√D)/2 (t - u√D)/2 = (t^2 - Du^2)/4 = ±1 特に N(α) = 1 なら t^2 - Du^2 = 4 である。 よって (t, u) ∈ Pell+(D) である。 逆に (t, u) ∈ Pell+(D) なら、 >>132 より α = (t + u√D)/2 は R の単数である。 明らかに、N(α) = 1 である。 以上から Pell+(D) と (R^*)+ は集合として同型である。 >>412 より Pell+(D) と U(f) は集合として同型であるから U(f) と (R^*)+ は集合として同型である。 414 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 15:59:34 ] >>413 の続き。 >>139 より R の任意の単数は ±E^m, m ∈ Z と書ける。 ここで E は R の基本単数である。 よって R^* は群として Z × {±1} と同型である。 ここで Z は有理整数環の加法群である。 N(E) = 1 なら R^* = (R^*)+ である。 N(E) = -1 なら (R^*)+ の任意の元は ±(E^2)^m, m ∈ Z と書ける。 この場合も (R^*)+ は群として Z × {±1} と同型である。 415 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 16:10:27 ] >>408 >よって w は a, b, c の共約数である。 よって w は a, b, c の公約数である。 416 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 17:25:26 ] >>414 の続き。 R の基本単数は >>138 と >>139 の方法で求まる。 例として >>401 で取り上げた D = 328 のときに基本単数を 求めてみよう。 >>401 より (-1, 18, 1) は簡約２次形式だから θ = 2|a|/(-b + √D) = (b + √D)/2|c| = (18 + √D)/2 は 簡約された２次無理数である(>>330, >>339)。 [θ] = 18 θ - 18 = (-18 + √D)/2 1/(θ - 18) = 2(-18 - √D)/(18^2 - 328) = 2(18 + √D)/4 = (18 + √D)/2 = θ よって θ = [18, 0, θ] よって θ = 18 + 1/θ = (18θ + 1)/θ >>138 より θ = (18 + √D)/2 は R の、従って Q(√82) の 基本単数である。 N(θ) = (18 + √D)/2 (18 - √D)/2 = (18^2 - 328)/4 = -4/4 = -1 よって (R^*)+ = { ±θ^(2n) ; n ∈ Z } = { ±((326 + 18√D)/2)^n) ; n ∈ Z } 417 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/31(木) 21:00:24 ] >>416 の補足。 θ = (18 + √D)/2 = 9 + √82 θ^2 = (9 + √82)^2 = 81 + 18√82 + 82 = 163 + 18√82 よって (R^*)+ = { ±θ^(2n) ; n ∈ Z }　= { ±(163 + 18√82)^n) ; n ∈ Z } 418 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/01(金) 06:41:05 ] 訂正 >>416 >よって >θ = [18, 0, θ] よって θ = [18, θ] 419 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/01(金) 10:59:10 ] >>401 の (3, 14, -11) も簡約２次形式である。 これからも R の基本単数を計算して見よう。 θ = 2|a|/(-b + √D) = (b + √D)/2|c| = (14 + √D)/22 = (7 + √82)/11 これは簡約された２次無理数である(>>330, >>339)。 θ を連分数に展開する。 [(7 + √82)/11] = 1 (7 + √82)/11 - 1 = (-4 + √82)/11 11/(-4 + √82) = 11(4 + √82)/66 = (4 + √82)/6 [(4 + √82)/6] = 2 (4 + √82)/6 - 2 = (-8 + √82)/6 6/(-8 + √82) = 6(8 + √82)/18 = (8 + √82)/3 [(8 + √82)/3] = 5 (8 + √82)/3 - 5 = (-7 + √82)/3 3/(-7 + √82) = 3(7 + √82)/33 = (7 + √82)/11 = θ よって θ = [1, 2, 5, θ] よって θ = (16θ + 3)/(11θ + 2) よって 11θ + 2 = 9 + √82 が基本単数である。 これは勿論 >>416 の結果と一致している。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:10:00 ] 43 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:11:00 ] 42 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:12:00 ] 41 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:13:00 ] 40 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:14:00 ] 39 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:15:00 ] 38 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:10:00 ] 37 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:11:01 ] 36 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:12:00 ] 35 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:13:00 ] 34 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:14:00 ] 33 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:15:00 ] 34 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 05:43:14 ] 荒らすな (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 433 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 21:47:41 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。 n を有理整数としたとき σ(n) = (0, 1)/(-1, n) とおく。 σ(n) ∈ SL_2(Z) である。 (a, b, c)σ(n) = (c, -b - 2cn, a + bn + cn^2) となる。 ２次形式 (c, -b - 2cn, a + bn + cn^2) を (c, b', a') と書くと、 b + b' ≡ 0 (mod 2c) である。 一般に、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D の２次形式としたとき、 b + b' ≡ 0 (mod 2c) となるとき、 (c, b', a') は (a, b, c) の右に隣接しているといい、 (a, b, c) は (c, b', a') の左に隣接しているという。 この関係を (a, b, c) → (c, b', a') と表す。 b + b' = -2cn とすると (a, b, c)σ(n) = (c, b', a') である。 434 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 22:38:13 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>348 の ρ(a, b, c) は (a, b, c) の右に隣接している。 逆に、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 (>>330)とし、(c, b', a') が (a, b, c) の右に隣接しているとする。 b + b' ≡ 0 (mod 2c) だから b' = -b + 2|c|n と書ける。 (c, b', a') は簡約されているから √D - 2|c| ＜ -b + 2|c|n ＜ √D よって 2|c|n ＜ b + √D ＜ 2|c|n + 2|c| 即ち n ＜ (b + √D)/2|c| ＜ n + 1 よって n = [(b + √D)/2|c|] >>348 より ρ(a, b, c) = (c, b', a') である。 以上をまとめると、簡約２次形式 (a, b, c) の右に隣接している 簡約２次形式はただ一つ存在し、それは ρ(a, b, c) である。 435 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/06/05(火) 22:56:44 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 μ(a, b, c) = (c, b, a) と書いた(>>355)。 >>356 より (μρ)(μρ) = 1 だから μρμρ(a, b, c) = (a, b, c) である。 両辺に μ を掛けて ρμρ(a, b, c) = μ(a, b, c) 一方、(a, b, c) と (c, b', a') を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 とし、(c, b', a') が (a, b, c) の右に隣接しているとする。 即ち、(a, b, c) → (c, b', a') とする。 このとき、明らかに (a', b', c) → (c, b, a) である。 即ち、μ(c, b', a') → μ(a, b, c)

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