- 41 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/28(水) 22:30:17 ]
- 今度は判別式が正の２次形式について調べる。
判別式が負の２次形式は２次の虚数の SL_2(Z) による同値類が関係
していた(過去スレ４の406)。
判別式が正の２次形式は２次の実無理数の SL_2(Z) による同値類が
関係する。
この問題は以下に見られるように連分数の理論と密接に関係する。
連分数は実数 θ を有理数で近似する問題から自然に現れる。
[θ] で θ 以下の最大の有理整数を表す。
k_0 = [θ] とおく。
k_0 ≦ θ ＜ k_0 + 1 である。
0 ≦ θ - k_0 ＜ 1 である。
0 ＜ θ - k_0 なら θ - k_0 = 1/θ_1 となる実数 θ_1 がある。
θ_1 ＞ 1 である。
θ = k_0 + 1/θ_1 となる。
同様に k_1 = [θ_1] とおく。
0 ＜ θ_1 - k_1 なら θ_1 - k_1 = 1/θ_2 となる実数 θ_2 がある。
θ_2 ＞ 1 である。
θ_1 = k_1 + 1/θ_2 となる。
θ = k_0 + 1/θ_1 より θ = k_0 + 1/(k_1 + 1/θ_2) である。
この操作を続けていくと
θ = k_0 + 1/(k_1 + 1/(k_2 + ... + 1/(k_(n-1) + 1/θ_n))...)
となる。
この右辺の式に現れた
k_0 + 1/(k_1 + 1/(k_2 + 1/(k_3 ... + 1/k_(n-1))...) の形の分数を連分数
と呼ぶ。正確には正則連分数という。
これを [k_0, k_1, ..., k_(n-1)] と書くことにする。
高木の「初等整数論講義」ではこの記号を別の意味で使っているので注意
する必要がある。
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