- 350 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 18:17:50 ]
- 命題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
(a, b, c) が簡約されていれば >>348 で定義した ρ(a, b, c) も
簡約されている。
証明
n = [(b + √D)/2|c|]
r = -b + 2|c|n とおく。
ρ(a, b, c) = (c, r, (r^2 - D)/4c) である。
>>347 より √D - 2|c| ＜ r ＜ √D
|c| ＜ (√D)/2 なら 0 ＜ √D - 2|c|
よって |√D - 2|c|| ＜ r ＜ √D
よって ρ(a, b, c) は簡約されている。
|c| ＞ (√D)/2 なら 2|c| - √D ＞ 0
(a, b, c) は簡約されているから
2|c| - √D = |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D
よって
2|c| ＜ b + √D ＜ 2√D ＜ 4|c|
よって
1 ＜ (b + √D)/2|c| ＜ 2
よって
[(b + √D)/2|c|] = 1
r = -b + 2|c| ＞ 2|c| - √D = |√D - 2|c||
一方 2|c| - √D ＜ b だから r = -b + 2|c| ＜ √D
よって ρ(a, b, c) は簡約されている。
証明終
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