代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 832 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 21:54:22 ] >>831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。 833 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 22:25:25 ] kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた JaneStyleは最初sageになっている つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ 834 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:32:11 ] talk:>>832 お前に何が分かるというのか？ 835 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:45:36 ] >834 とりあえず sage ろ。 糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？ 9208 も sage ようや。 836 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:51:09 ] talk:>>835 お前に何が分かるというのか？ 837 名前：9208 ◇lJJjsLsZzw [2006/01/25(水) 22:52:30 ] >>835 仕切るな、オチこぼれ！ 838 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 22:52:51 ] >>836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。 839 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/25(水) 22:59:54 ] talk:>>838 お前に何が分かるというのか？ 840 名前：king 氏　ね mailto:sage [2006/01/25(水) 23:02:35 ] >>839 お前は sage を覚えろ 841 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/25(水) 23:46:32 ] 俺は誰だ！ 842 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/25(水) 23:48:57 ] 変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。 843 名前：1 mailto:sage [2006/01/26(木) 00:31:53 ] キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？ 病気の所為か？ それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？ 844 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/26(木) 07:35:15 ] talk:>>840 お前に何が分かるというのか？ talk:>>843 私を呼んだか？ 845 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 09:05:23 ] >>835 sage方を教えてくれ。 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:06:06 ] >>845メール欄に半角で sage と入れる。 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 09:10:18 ] sage test 848 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 09:30:19 ] 以下の個所を補足説明する。 >>819 >>>818 より m は可逆である。 >よって mA_m も可逆である。 >>509より m は A 上の射影加群である。 よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。 m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。 A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、 mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。 849 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 10:56:54 ] 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 a ∈ m が A の非零因子とする。 A/aA は A-加群として長さ有限である。 証明 aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。 ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。 よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。 Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。 証明終 850 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:14:59 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。 証明 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は 明らかに長さ有限である。 よって I ⊂ p とする。 >>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。 a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。 ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。 明らかに a/s は A_p の非零因子である。 IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として 長さ有限である。 証明終 851 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:31:31 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0 である。 I ⊂ p とする。 I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。 ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、 >>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。 これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501) 有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。 前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。 証明終 852 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 11:48:25 ] A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 >>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 853 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:04:16 ] >>852 の定義は EGA IV-4 による。 EGAとは記号が異なるが。 EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群 すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。 854 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 12:24:41 ] 補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。 このとき、次の式が成立つ。 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) 証明 >>849 から上の式の各項は有限である。 A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを 示せばよい。 A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。 これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。 これは明らかに全射である。 これが単射なことは以下のことからわかる。 s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。 ここで a と b は A の元である。 証明終 855 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:30:05 ] >>854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。 何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、 sA = A となり、stA = tA となるから、 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) の両辺とも、leng(A/tA) となる。 856 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:37:19 ] 命題 A をネーター環とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から 明らか。 857 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:50:04 ] 補題 A をネーター環とする。 I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、 div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。 ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の 逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。 証明 I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。 よって、>>856 より上記の式が出る。 証明終 858 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 13:56:41 ] 定義 A をネーター環とする。 >>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) と定義する。 これは、>>857 により I, J の取り方によらない。 859 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 14:35:38 ] A をネーター環とする。 >>858 により A の可逆分数イデアル群 I(A) から 因子群 Div(A) (>>826) の準同型 div: I(A) → Div(A) が得られる。 860 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 14:57:49 ] 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏 861 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:01:20 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p} となる。 証明 p ∈ Ass(A/I) とする。 前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。 A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正) より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。 逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、 p ∈ Ass(A/I) 証明終 862 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 16:35:49 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、 I = J である。 証明 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 >>861より ht(p_i) = 1 である。 よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる (この記法に関しては前スレの543を参照)。 I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル p に対する IA_p で一意に決まる。 J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。 証明終 863 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:11:40 ] 補題 A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n ≧ 0 にたいして leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての A/m^n の長さ。 証明 A-部分加群の列 A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n を考える。 任意の整数 i ≧ 0 にたいして leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 m の生成元を t とする。 A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、 A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。 これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、 A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。 これは明らかに全射である。 この核が tA 即ち m であることも明らか。 よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。 証明終 864 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:14:18 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(I) = div(J) なら I = J である。 証明 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で IA_p = JA_p である。 よって >>862 より I = J である。 証明終 865 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:17:35 ] >>864 >I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 この行は余計だった。 866 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:24:12 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 >>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。 証明 M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。 M = A を示せばよい。 >>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) だから、 div(I) = div(J) となる。 よって、>>864 より、I = J である。 よって、 M = A である。 証明終 867 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/26(木) 17:27:30 ] 訂正 >>863 >leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。 leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 であることを示せばよい。 868 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/26(木) 18:13:44 ] こりないね 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 18:35:39 ] >>868 だまれ！このうすらが！ 870 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/26(木) 18:41:16 ] うすら？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/26(木) 19:10:14 ] >>868 あげるな 872 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 09:52:08 ] 本論とはあまり関係ないが>>792と関連して次の命題を証明しておく。 この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年) にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解 を考えれば簡単とあるだけで省略されている。 興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。 命題 A をネーター環とする。 A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合 である。 873 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:07:38 ] >>872 の証明 Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。 p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。 前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。 よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。 一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。 よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。 i = 1 と仮定して一般性を失わない。 q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p で sq_1 = 0 となるものがある。 q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。 f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。 f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。 よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f) = {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f} である。 さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。 よって、q_1A_f = 0 である。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 証明終 874 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:15:42 ] 訂正 >>873 >以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 >これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p >は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p} >の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。 これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q} の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。 875 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 10:17:40 ] >>873 の A_f の定義については前スレの162を参照。 876 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/27(金) 13:48:49 ] あとは転落の一途だな 877 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:12:40 ] 定義 A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。 f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。 div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。 A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。 これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。 Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。 878 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:21:51 ] A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>859 の div: I(A) → Div(A) は、 I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。 ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。 Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。 879 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 15:26:51 ] A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる(>>541) から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を 誘導することになる。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/27(金) 15:56:07 ] >>876 あげるな 881 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/27(金) 16:00:49 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。 q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。 ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。 D_q は A_q の因子と見なせる。 D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。 D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき D を局所的に単項な因子と呼ぶ。 882 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/30(月) 13:49:31 ] 命題 A をネーター環とする。 I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。 p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。 p は Supp(A/I) の極小元である。 よって leng(A_p/IA_p) は有限である。 さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。 証明 >>851と同様。 883 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 14:40:08 ] A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。 884 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 14:41:39 ] 880 名前：１３２人目の素数さん ：2006/01/27(金) 15:56:07 >>876 あげるな おれの勝手だボケ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/30(月) 15:01:27 ] >>884　崩れは消えろ 886 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/30(月) 15:05:28 ] 命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 が定まる。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 J についても同様であるから本命題の主張は明らか。 証明終 887 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:04:09 ] akechi mitsuhide 888 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/30(月) 19:06:13 ] shimura goro このgoroはゴロつきのゴロ 889 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:25:14 ] 定義 A をネーター環とする。 k ≧ 0 を 整数とする。 p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は 正則局所環(>>571) のとき A は 余次元 k 以下で正則 または性質 (R_k) を満たすという。 890 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/31(火) 10:31:53 ] 定義 A をネーター環とする。 A の任意の素イデアルで A_p が正則局所環(>>571) のとき A を正則環と呼ぶ。 891 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 10:39:53 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。 証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>572 より A_p は離散付値環である。 よって後は >>886 と同様。 証明終 892 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:34:36 ] 定義 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M を A の分数イデアル(>>707)とする。 定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 sM = I とおけば、M = I(1/s) である。 I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。 どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。 div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。 この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。 893 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 11:48:16 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。 MN も分数イデアルであり、 div(MN) = div(M) + div(N) となる。 証明 MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。 div(MN) = div(M) + div(N) も 定義(>>892) と >>891 より明らか。 894 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/01/31(火) 12:05:39 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合 となる。 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/31(火) 12:49:25 ] あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ 896 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:01:53 ] >>885は >>895の言うような自明なことがわからない 極め付きのバカ 897 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:03:44 ] うすらが 898 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:05:22 ] あとは転落の一途だ 899 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/31(火) 18:06:55 ] 208みたいのを崩れっていうんじゃない 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/01(水) 02:19:15 ] 900 901 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 02:59:17 ] Will you discuss local class field theory? 902 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 09:15:51 ] >>901 類体論は局所的と大域的の両方やる予定。 どっちを先にやるかは決めてない。 903 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:18:30 ] 定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D ≧ 0 (>>894) のとき D を正因子と呼ぶ。 904 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:19:40 ] >>903 D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。 905 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:21:13 ] 今やろうとしていることは、環の因子とイデアルの関係を調べること。 906 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 10:29:23 ] このあたりは局所環の深さ(depth)の概念と関係ある。 深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。 ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。 907 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:23:11 ] 定義 A をネーター環とする。 D を A の因子(>>826)とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p = multi_p(D) と書く。 908 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:26:09 ] 訂正： >>907 >p が A の高さ１の素イデアルのとき、 >n_p = multi_p(D) と書く。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p を multi_p(D) と書く。 909 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:37:01 ] 定義 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。 p が A の高さ１の素イデアルのとき、 標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。 ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。 I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を 動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、 multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。 この I を I(D) と書く。 910 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 11:51:54 ] 定義 A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。 Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。 Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166) だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。 911 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/01(水) 12:07:19 ] 命題 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。 I(D) (>>909) を I とする。 このとき、以下が成立つ。 1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。 証明 >>909 の記号をそのまま使う。 I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。 前スレの 351 より 各 q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p} である。 よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。 これから、上の 1), 2) は明らかである。 証明終 912 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/01(水) 17:48:41 ] 助走をつける 913 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/02(木) 20:15:45 ] 命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I をそのイデアルで以下が成立つとする。 1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。 このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、 I = I(D) (>>909) となる。 証明 Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。 各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、 I = ∩q_i である(前スレの198)。 仮定より 各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、 従って >>572 より離散付値環である。 よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が 定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。 I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。 証明終 914 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/02(木) 22:39:06 ] バリバリ解析系の俺にはさっぱりだ 代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 03:01:49 ] >>914 >バリバリ解析系 何処に何書いた？専門は何？ 書いてなかったらバリバリ解析系と言うハンネで次に書いてくれよなking! 916 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/02/03(金) 07:29:46 ] talk:>>915 私を呼んだか？ 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 09:50:11 ] お前の専門は何だ 微分方程式か？ 918 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/03(金) 11:00:30 ] 僕の専門はε-δ論法です 919 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:39:34 ] 命題 ０次元の正則局所環(>>571)は体である。 証明 A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 0 である。 よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。 よって A は体である。 証明終 920 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:46:07 ] >>919 よりネーター環 A が性質 (R_0) (>>889)を持つ、 即ち余次元０以下で正則であるというのは、 A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して A_p が体であるということと同じである。 921 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 13:55:35 ] 命題 A をネーター整域とすると、 Ass(A) = {0} である。 証明 p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。 証明終 922 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:14:47 ] 命題 A を被約(前スレの206)なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、 0 = p_1∩...∩p_r となる。 証明 前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は 0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから 0 = p_1∩...∩p_r となる。 証明終 923 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:25:20 ] 命題 A をネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、 0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。 証明 明らかだろう(>>922の証明を参照)。 924 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:44:03 ] 命題 A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。 A が被約なら、A_S も被約である。 ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。 証明 x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。 ここで、n > 0 である。 x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。 よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。 よって、x/s = 0 である。 証明終 925 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 14:53:26 ] 命題 被約な０次元のネーター局所環は体である。 証明 A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。 よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。 A は被約だから m = 0 である。 よって A は体である。 証明終 926 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:10:50 ] 命題 A を被約なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、 Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。 証明 >>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。 これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが 容易に分かる。 これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。 証明終 927 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:27:55 ] 命題 A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。 証明 p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。 dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。 >>920 より A は性質 (R_0) を持つ。 証明終 928 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/03(金) 15:37:24 ] 命題 A を被約なネーター環とする。 p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。 証明 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 >>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。 前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。 よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と 同一視される。 ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。 よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。 証明終 929 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/02/06(月) 14:11:06 ] 補題 A を環とし、p をその素イデアルする。 I を標準射 A → A_p の核とする。 A_p が体なら I = p である。 証明 x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。 当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。 よって I ⊂ p である。 逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として 0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。 よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。 証明終 930 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw mailto:sage [2006/02/06(月) 18:02:11 ] 命題 A をネーター環とする。 A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。 1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。 2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。 証明 条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。 よって十分なことの証明のみを行う。 A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。 2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。 A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。 0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。 ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。 前スレの198より q_i は 標準射 A → A_(p_i) の核である。 一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。 >>929 より、q_i = p_i である。 よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。 従って、>>923 より A は被約である。 証明終 931 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:02:15 ] >D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。 アホ 932 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/06(月) 18:30:53 ] king!@!!

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