現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48

1 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/14(木) 06:50:59.72 ID:oVKNFyGV.net] “現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む” 数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。 39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。 皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、 過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ） このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。 それで良ければ、どうぞ。 後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾ 話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。 “時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。 なお、 小学レベルとバカプロ固定 サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」） （参考）blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日 High level people 低脳幼稚園児のAAお絵かき お断り！ 小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾ High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾； また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ 旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる （スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 16:15:45.24 ID:LeJ8GKPP.net] あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。 まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、 limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。 で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。 が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として ・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。 が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの ・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 も成り立ち、そして上に書いた事実により ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。 このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、 とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。 370 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 16:20:13.15 ID:ptKBLDJz.net] >>337 関連 キーワード："ウェーブレット" 変換 リプシッツ連続性 で検索したが、63 件 （0.47 秒） で、めぼしいヒットなし （キーワードを英文などにすると、もっとヒットするだろうが） その中でも、下記（高木関数とそのウェーブレット展開）は面白そうだが、フルペーパーが未公開みたい が、博士論文なので、投稿された内容があるように思う https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri& 371 名前：item_id=42822&file_id=17&file_no=1 ウェーブレット展開におけるいくつかの結果 鈴木 俊夫 筑波大学 審査研究科 数理物質科学研究科 学位の種類 博士 （理学） 学位授与年月日 平成 29年 3月 24日 (抜粋) 論 文 の 要 旨 本論文は、離散ウェーブレット展開に関する次の４つの章から成る。 1. ウェーブレット解析 2. ウェーブレット展開の無条件収束性 3. 高木関数とそのウェーブレット展開 4. Distortionの特徴量の抽出 つづく [] [ここ壊れてます] 372 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 16:22:10.19 ID:ptKBLDJz.net] >>338 つづき 1. ウェーブレット解析）時間周波数解析の一つであるウェーブレット解析は、物理、化学、産業界など様々な分野へ応用されている。 1909年に登場したHaarウェーブレットがその起源とされているが、1975年にMorletが石油探査に導入してから様々な発展を遂げてきている。 ウェーブレット解析は三角関数の基底を用いるFourier解析のような手法であるが、基底の台は無限大の幅に限らず、コンパクトな場合も導入できることが応用上大きな魅力である（そのため、小さな波を意味するウェーブレットと呼ばれるようになった）。 3. 高木関数とそのウェーブレット展開）高木関数は、２の冪の係数とLipschitz連続なBスプラインを用いて関数項級数の形で定義され、至るところ微分不可能となる有名な関数である。 また、級数の係数部分をpの冪に変更することにより、一般化された高木関数を考えることもできる。 高木関数において微分不可能な状況とは差分商の極限が無限大となるか振動するかのどちらかであるが、特に無限大となるための必要十分条件がAllaart氏、Kawamura氏、Kruppel氏らにより示された。 彼らの研究によると、場所の点の値を２進法にしたときに１が登場する桁の番号に着目して特徴付けがなされている。 本論文では、一般化された高木関数の微分不可能となる点をp進法にして特徴付けを与えている。特に具体例としてp=3のときにCantor集合上で微分不可能となるような関数を構成できることは興味深いと思われる。 また高木関数とは別に、Baire category定理によっても微分不可能な関数の存在が抽象的に示されることが知られている。 その際用いられる可算個の閉部分集合の族がウェーブレットの理論におけるMRA（多重解像度解析）の階層に対応することに注目し、高木関数に対してもHaarウェーブレット展開を試みたり、超関数の意味での微分を考慮してSobolev空間のノルムの計算なども行っている。 (引用終わり) 関連 https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=42822&item_no=1&page_id=13&block_id=83 以上 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 16:24:25.13 ID:LeJ8GKPP.net] >>318 ＞基本的な確認だが、 ＞例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？ ＞リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？ Bfという集合では「区間でのリプシッツ連続性」を考えているわけではないので、どこにもマズイところはない。 「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、 独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのがスレ主である。 いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、 limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。 limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 そして、この量を計算するときに、なぜスレ主は x と y を両方とも同時に 0 に近づけながら limsup[y→x] を計算しようとしているのか？ そのような行為の一体どこが limsup[y→x] なのか？スレ主は limsup[y→x] を全く理解していない。 x を任意に取ったとき、今とってきた x はその場所に停止したままで、y だけを動かして y を x に近づけるときのある種の極限値のようなものを limsup[y→x] と書くのである。 このように、x は停止させて計算するのが limsup[y→x] なのだから、スレ主が言っていることは的外れである。 [続く] 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 16:27:28.93 ID:LeJ8GKPP.net] [続き] より具体的に計算してみよう。x＞0 なる x として、たとえば x＝0.0001 を取ったとする。「3」の関数 f の場合だと、 limsup[ y → 0.0001 ]｜(f(y)−f(0.0001))/(y−0.0001)｜＝0 が成り立つことが分かる。実際、ε＞0 を十分小さく取って、(0.0001−ε, 0.0001＋ε) の中に 0 が含まれないようにすれば、 任意の y∈(0.0001−ε, 0.0001＋ε) に対して y＞0 が成り立ち、よって f(y)＝0 かつ f(0.0001)＝0 となる。 このことから、上の等式が簡単に出る。 ……この例では、x＝0.0001 と置いてしまった時点で、x は常に 0.0001 でしかなく、limsup[ y → 0.0001 ] の計算において 0.0001 の部分を「より 0 に近い別の値に差し替える」ことは不可能であることに注意せよ。 別の x として、たとえば x＝0.0000000000000001 を取ってみる。このとき、 limsup[ y → 0.0000000000000001 ]｜(f(y)−f(0.0000000000000001))/(y−0.0000000000000001)｜＝0 が成り立つことが、同様の計算によって判明する。この例でも、x＝0.0000000000000001 と置いてしまった時点で、 x は常に 0.0000000000000001 でしかないことに注意せよ。 ……そして、このような計算を x≠0 以外の任意の x に対して調べ上げることで、 ・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 ・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。 が成り立つことが分かるのである。そして、このような計算の過程において、どこにも「リプシッツ」という言葉は 出て来ないし、そのような言葉は全く必要ない。機械的に計算すればいいだけの話である。 375 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 16:38:57.15 ID:ptKBLDJz.net] >>341-342 ご苦労さん どうも、友達がいないみたいだな かまってもらえるのは、ここ５CHだけかい？ あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ ところで、定義には、”well difined”というのがあってね 下記は、以前にも紹介したが、”当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく”とある まあ、いま職場だから、また考えてレスするよ（＾＾ www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ (抜粋) 　高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも 意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんと なく使っていた覚えがある。 　「ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も矛盾なく上手くいく」ということ が確認されているということを「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」という。今回、次の書籍： 　　土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社） を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。 （コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰 　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解 　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から 　　　　　　は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？ （参考文献：横田一郎　著　群論入門　（現代数学社） 　　　　　　　 土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）) (引用終わり) www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/reminder.htm 私の備忘録 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 16:55:58.83 ID:LeJ8GKPP.net] >>347 ＞あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ 詭弁である。その論法が通用するのは、俺の目的が 「俺の証明が正しいことをこのスレで判断してほしい」 という目的のときだけである。しかし、俺はこのような目的でこのスレに居るわけではない。 例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。 しかも、今回の limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ の話は、スレ主の方から質問してきたことに 俺が返答しているだけである。反論するのが苦しくなったからといって「プロ数学者に見てもらえ」 というのは、正真正銘の詭弁である。 377 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz.net] >>345 ご苦労さん（＾＾ >いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、 >limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ >という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。 >limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 ふーん、自分独自の（>>303より） 「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を 定義しましたか？ ￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが 日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・ そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？ 既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・ （”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 17:24:41.06 ID:LeJ8GKPP.net] >>349 ＞ふーん、自分独自の（>>303より） ＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を ＞定義しましたか？ >>281-283 で丁寧に定義済み。しかも、>>281-283 に書かれていることは、 標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。 より具体的に言う。B_f を定義するのに必要なのは limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ という記号列の定義のみである。この記号列の中で、limsup という記号は >>281-283 で 標準的な方法によって定義済みである。残るは「 ＜＋∞ 」という記号の意味であるが、 これもまた、>>281-283 で標準的な方法によって定義済みである。 結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。 無論、B_f の定義は well-defined である。 ＞そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え ＞また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、 ＞その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？ 「わたくしスレ主は limsup という概念が理解できてないので、未だに例の証明を読めるレベルに達してません」 と言っているようにしか見えないな。まあ実際、そんなにレベルが低いなら、 きっと「読めない」だろうなとは思う。そして、そんなレベルの低い奴が 例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。 379 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 17:32:48.81 ID:ptKBLDJz.net] >>350 どっちが詭弁なのかね？ >標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。 そのテキストの書名を書けよ 「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？ >例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。 じゃ、どっか行けよ 友達いないあんたにかまってもらえるのは、５CHのここしかないんだろ？（＾＾ 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 17:57:39.17 ID:LeJ8GKPP.net] >>351 ＞そのテキストの書名を書けよ ＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？ 何で書名が必要なの？ いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？ そのくらいの記述は、標準的なテキストでいくらでも見たことがあるでしょ？ スレ主が自分で勉強してきたテキストを見返せば済む話でしょ？ >>281-283 で書いたことは、スレ主が勉強してきたことの復習用だよ？ まさか、その程度の基礎的な内容すら全く勉強したことが無くて、 「俺は >>281-283 の定義なんぞ全く見たことが無いぞ！一体どんなテキストに載ってるんだ！」 などと憤慨しているのかね？ そんなに何も知らないド素人の状態で、お前は今まで例の定理にイチャモンをつけていたのか？ そんなゴミクズに、例の定理にイチャモンをつける権利は全くないよ。 しかも、標準的なテキストに載ってる内容は >>281-283 と全く同じだよ？ つまり、拡大実数の中で limsup を定義する、という定義だよ？ 拡大実数を使った時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は拡大実数の中での普通の不等式を 意味するんだから、その時点で完全に well-defined に意味は定まってるよ？ スレ主はどうしても「 ＜＋∞ 」という記号列に不満を持っているようだけど、 その記号列は拡大実数の中における普通の不等式なんだから、完全に well-defined に意味は定まってるよ？ これ以上なんの説明が必要なの？お前がバカだから理解できないだけだろ？ 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 18:03:41.88 ID:LeJ8GKPP.net] >>351 ＞じゃ、どっか行けよ ご老人よ、何度も同じことを言わせる� 382 名前：ﾈ。ついにボケたかね？ 俺は、お前のイチャモンに反論し続けるためにこのスレに居るのである。 すなわち、お前がイチャモンをつけるのをやめれば、俺は自動的に、 このスレには書き込む内容が無くなるのである。 従って、どっか行ってほしければ、お前がイチャモンをつけるのをやめればいいのである。 一番ベストなのは、お前が例の定理の証明を理解することである。 それがスレ主のスキル的に不可能であるならば、別の方法もある。 それは、例の定理の真偽を不問にすることである。すなわち、 「わたくしスレ主はレベルが低すぎて、例の定理の真偽について語れるレベルに全く達してないので、 　わたくしが例の定理の真偽についてどう思っているのかは、このスレでは公言しないことにします」 と宣言することである。そうすれば、俺はこのスレに書き込む内容がなくなるのだ。 客観的に見て、スレ主が今現在やっている行為は、 「 limsup すら知らないド素人だけど、例の定理にはイチャモンをつけたい。 　2ページの証明は投下されてるみたいだけど、自分のスキルでは理解できない。 　でもイチャモンはつけたい。」 という、極めて自分勝手な行為である。 スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。 全てはスレ主の責任である。 [] [ここ壊れてます] 383 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 18:53:56.92 ID:xU4ZeBje.net] >>352 >標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。 > >＞そのテキストの書名を書けよ >＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？ > >何で書名が必要なの？ >いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？ 詭弁も良いとこだな "標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。"と宣わったのは、貴方でしょ ピエロと同じだな どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと 笑えるよ 384 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 18:56:26.82 ID:xU4ZeBje.net] >>353 >スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。 別にかまわん おれは、とことんつきあうよ なお、「あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ」は、 詭弁ではなく、心からの忠告だよ（＾＾ 385 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 18:59:13.82 ID:xU4ZeBje.net] まあ、細かいレスは後で（＾＾ （>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） 386 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 19:00:21.51 ID:xU4ZeBje.net] >>356　訂正 （>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） 　↓ （なお、(>>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） 387 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/20(水) 19:55:47.90 ID:00CdLHeM.net] ＞「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに ＞引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。 それスレ主のいつものパターンｗ　すなわち今回も進歩無しｗ スレ主はここ4年くらい進歩が無いから当時の中学生に抜かれてると思うｗ 当時の中３は今ではεδ論法を理解してるだろうからｗ 388 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/20(水) 20:14:01.47 ID:00CdLHeM.net] >>351 ＞じゃ、どっか行けよ 手取り足取り教えてもらっておいて逆ギレかよｗ やはりスレ主は小学校の道徳からやり直す必要がある　ガチで 389 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/20(水) 20:31:03.81 ID:00CdLHeM.net] 正直に白状しろよスレ主 「”リプシッツ連続”という言葉の響きに憧れて使ってみたかっただけです」 と 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 21:09:19.24 ID:LeJ8GKPP.net] >>354 ＞どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと limsup は拡大実数の中で定義される。拡大実数を持ち出した時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は 拡大実数の中における普通の不等式であり、well-defined に意味が定まっている。それが理解できないなら、 スレ主が「バカ」だというだけの話。しかし、かわいそうなので、何冊か提示してやろう。 ttps://books.google.co.jp/books?id=DLfxd7StGw8C&pg=PA8&dq=limsup&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwioyeKPrZjYAhWBfrwKHZfQAaIQ6AEIQzAD#v=onepage&q=extended%20real&f=false (ページ6, 7, 8) ttps://books.google.co.jp/books?id=WJrfBwAAQBAJ&pg=PA98&dq=%22extended+real%22&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiI4emqvJjYAhUEJpQKHYoMA2oQ6AEIbzAJ#v=onepage&q=%22limit%20superior%22&f=false (定義はページ97から, 基本的な性質はページ110から) limsup を完璧に拡大実数の中で定義している。この時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は 拡大実数の中における普通の不等式となり、well-defined に意味が定まっている。 そもそも普通に 391 名前：「 ＜＋∞ 」という記号が本の中で使われている。 [続く] [] [ここ壊れてます] 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 21:12:41.47 ID:LeJ8GKPP.net] [続き] 他には ttps://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22 &source=bl&ots=fQgmSNxSiV&sig=GbK_ENnoXVFjLvnxGtH_1N3xygI&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiO4P2Pt5jYAhUK5 LwKHZQuApUQ6AEIPzAC#v=onepage&q=limsup%20&f=false (ページ215, 216, 217) これも挙げておく(※リンクが長すぎて投稿不可と出たので、リンクは改行してある。コピペするときは手作業で改行をなくすこと)。 書き方が抽象的だが、やっていることは同じ。こちらも、「 ＜＋∞ 」という記号が途中で使わている。 拡大実数の中における普通の不等式なのだから、使われるのは当たり前である。 ちなみに、スレ主が大好きな wikipedia でも、拡大実数の中で limsup を定義している。 ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior 何度も言うが、いったん拡大実数の中で limsup を定義したならば、「 ＜＋∞ 」という記号は 拡大実数の中における普通の不等式なので、well-defined に意味が定まる。 これで満足か？俺の独自定義ではなくて残念だったな。 (そもそも、独自定義か否かで何かを批判しようとしている時点でズレているのだが。) 393 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/20(水) 22:05:44.41 ID:Hc3Gxn9Q.net] 腹減った〜😞 カレー🍛とラーメン🍜一丁ずつ、ちょーだい！！ 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 22:07:21.67 ID:Je7Hbpji.net] >>321 今はリプシッツ連続を考えていないのに、 >>318 > 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？ > リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？ などと急にリプシッツ条件に照らし合わせ始めたから、それ関係ないじゃん！！って言ってんだけど。 阿呆は消えろっての 395 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/20(水) 22:15:48.41 ID:Hc3Gxn9Q.net] >>362、>>360、>>357スレ主 生理中の生娘でもあるまいし、カリカリし過ぎ！！ ステーキ🥩、寿司🍣、スパゲティ🍝、ハンバーガー🍔などなどモリモリ食べて、まずは落ち着こうや。 生理中の生娘が何故、カリカリしてるのか？ この疑問の答えはココに無いので、ネット検索か、妙齢の女性に聞いてみて。 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 22:34:44.31 ID:dTP7CxCo.net] limsupからB_fからリプシッツ連続の定義から何から何まで ことごとく理解できないアホは数学板から消えてほしい 言うことに困るといつもwell-definedでない！と文句をつけてくるアホは数学板から消えてほしい とにかくスレ主には数学板から消えてほしい なんか数学を冒涜されてる気がするんだよ オマエみたいな奴に分かった風に数学を語られると 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 22:39:12.10 ID:dTP7CxCo.net] 申し訳ないがスレ主は↓に移動してくれないか？ https://mao.5ch.net/occult/ https://mevius.5ch.net/poem/ 数学板から立ち去ってくれ 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 22:51:11.85 ID:dTP7CxCo.net] Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } この程度の定義にスレ主は右往左往ｗｗ みっともないなｗ 低レベルすぎるだけならまだしも、周りに害をふりまきすぎ。 デタラメをネットに垂れ流しすぎ。 数学板から出て行ってくれよ。 オカルト板や詩・ポエム板なら何やってもいいから、そっちでやってくれよ 349 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz >>345 ご苦労さん（＾＾ >いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、 >limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ >という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。 >limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 ふーん、自分独自の（>>303より） 「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を 定義しましたか？ ￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが 日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・ そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？ 既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・ （”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) 399 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 23:48:51.84 ID:xU4ZeBje.net] >>361-362 ご苦労さん 見た。必死で検索したわけね（＾＾ おれまた、手元の書籍の書名を出すと思ってたんだが・・・（＾＾ そこには無かったと で、リンクは全部見ました（＾＾ （>>303より）「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、あなたの手作り定義なわけだ（＾＾ よく分りました（＾＾ まあ、細かい点は、追々やりましょう あなたは、面白いわ（＾＾ ピエロや、High level peopleより、遙かにレベル高いね（特に応答のレベルが） 時枝は終わったし、このリプシッツの方が時枝より面白いね だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾ 400 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/20(水) 23:56:15.88 ID:xU4ZeBje.net] >>369 追加 そうそう ・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？ ・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと 見た範囲では無かったので、念押し確認です（＾＾ もし、定理が正しければ、よろしいんじゃないですかね（＾＾ 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 23:58:12.28 ID:LeJ8GKPP.net] >>369 ＞だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾ ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。 俺の目的は、例の定理をこのスレで「相談する」ことではない。 例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、 そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 00:01:12.69 ID:BdIiQ35o.net] で？w 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 00:03:15.45 ID:KNjgsEZn.net] >>370 ＞・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？ この３冊には無かったが、そもそもこの定理は新発明ではないと何度も言っている。 絶対にどこかで既に発見済みである。我々が文献を見つけてないだけ。 ＞・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと この３冊には無かったが、「3」「4」の関数 f については「被覆できる」ことを このスレで何度も繰り返し書いている。 また、一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。 例の定理は「被覆できるなら○○が成り立つ」という形の定理であり、被覆できない f を持ってきた場合は そもそも例の定理の適用範囲外である。 404 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/21(木) 00:09:27.79 ID:B6V1820/.net] ＞ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。 スレ主　国語　国語 405 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6.net] >>372 オハヨー、朝です。 (^o^) >で？w この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾ 「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ 例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ 406 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6.net] >>371 >例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、 (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． （以下証明の文言から） よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．” これを踏まえて １．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。 ２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう ３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。 　　既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき ４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。 　　であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。 ５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。 　　それ無くしては、その定理の応用もできまい。 　　また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。 　（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう� 407 名前：j つづく [] [ここ壊れてます] 408 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 10:23:49.10 ID:xTe57EH6.net] >> つづき ６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから 　　仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ ７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり 　　（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう 　　定理を理解する上での数学的プロセスとして、それは否定すべきではないだろう 　（参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続） 以上 409 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 10:28:49.88 ID:xTe57EH6.net] >>373 >一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。 １．それは、自明も自明。トリビア以下だろう ２．”｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”という表現は、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが ３．”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”も、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが ４．”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”も、寡聞にして私は初見だが、これは新鮮で面白いと思う。成り立てばだが ５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として） ６．そこは徹底的に追及したい。 　　”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”ということが、まず一般に言えないだろうと思うからだ ７．もし、ほとんどの場合に、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は低いだろう ８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう 細かい数学的なコメントは、後ほど 410 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/21(木) 10:43:30.81 ID:p646pWvj.net] >>375 違うよ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 16:51:45.27 ID:KNjgsEZn.net] >>377 ＞６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから ＞　　仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ limsup を理解していない人間が「リプシッツ」という言葉を振り回したところで、 スレ主は >>318 のような間違いに陥るだけである。コピペと類推だけで済ませてきた人間のツケであろう。 既に >>345 で指摘済みだが、我々が今やろうとしていることは、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。 limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 16:53:58.08 ID:KNjgsEZn.net] >>377 ＞７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり ＞　　（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう ここでの「 ＜＋∞ 」は拡大実数の中での通常の不等式の意味だと >>281-283 で既に書いている。 「 K→∞の極限 」がスレ主にとって何を意味するのは定かではないが、もしそれが 拡大実数の中での通常の不等式とは ぜんぜん違う意味ならば、 「わたくしスレ主は "＜＋∞" の意味を自分勝手に変更して話をしています」 というコミュニケーション不全に陥っていることになるので問題外である。 また、B_f の対象となっているのは ・ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ という条件であって、 ・ limsup が無く、x,y の範囲も明記されてない状態の " ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ " という条件を B_f で考えているわけではない。 ……このように、スレ主は ちょっと目を離した隙に もともとの B_f からは かけ離れた条件で考えようとしてしまい、ゆえに間違いを連発するのである。 機械的に limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ を計算するだけで終わる話なのに、 お前は一体なにをやっているのだ。 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 17:18:57.81 ID:KNjgsEZn.net] >>378 ＞５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、 ＞”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として） バカじゃねーの。個数を可算に限定しないなら、任意の集合 A ⊂ R が被覆可能だろ。 たとえば、A が空集合でないときは、 A ⊂ ∪[a∈A] {a} という自明な包含が成り立ち、右辺の各 {a} は内点を持たない閉集合であるから、 「集合 A は内点を持たない閉集合の和で被覆できる」ことになる。 ＞８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう その心配は無用である。なぜなら、スレ主が挙げた「3」「4」の関数では「被覆できる」からだ。 また、今現在のスレ主にも完全に理解可能な、オモチャのような例も存在する。 f(x)＝0 (x∈R) という定数関数を考えてみよ。さすがのスレ主も、B_f のことを正しく理解していようが勘違いしていようが B_f ＝ R　という等式が成り立つことには賛成するだろう。 414 名前：よって、R−B_f ＝ φ となる。 よって、内点を含まない閉集合 K を何でもいいから１つ取れば、φ ⊂ K という自明な包含により R−B_f ⊂ K となるので、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できているｗ 無論、この例はあまりにもオモチャであって下らない例なのだが、 「被覆できる例が１つも存在しない可能性」を考えているアホにはちょうどいい例であろう。 [] [ここ壊れてます] 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 17:22:32.78 ID:4NvnglIe.net] このアホなやり取りはなんなんだ…… 一方は無理解にもほどがあるな…… 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 17:23:36.77 ID:4NvnglIe.net] >>378は考えて喋ってないと思う 417 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/21(木) 17:53:22.13 ID:03EBtBlJ.net] ミーハーな数学好きが、相手の書き込みのあげ足取ったり、都合良い情報だけを切り貼りして遊んでるだけだしな。 気楽にね。結論は期待しちゃダメ🙅♂🙅♀ 418 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/21(木) 19:25:58.58 ID:B6V1820/.net] ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ スレ主は煽りも下手だね 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 23:19:39.26 ID:kLAvCsAQ.net] ここのスレ主は数学板史上最大の鼻つまみ者だな こんな奴見たことねー 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 23:28:44.44 ID:B6V1820/.net] スレ主はバカ自慢したいとしか思えない 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/21(木) 23:40:22.31 ID:vr8zcYMx.net] スレ主に比べれば　哀れな素人氏　はずいぶんマシだったという驚愕の事実 422 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 23:57:56.73 ID:deCNDqL9.net] >>376 ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね おれも、勉強不足だね。知らなかったな・・（＾＾ で、おっさん重箱の隅だが、拡張実数をいうなら 下記の本のように、”Let B ⊂ R, f : B →R￣”(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)としとくべきだぜ https://www.amazon.co.jp/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801 Fundamentals of Real Analysis (Universitext) (英語) ペーパーバック ? 2008/6/13 Sterling K. Berberian (著) 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1) https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22 Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian (抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）（検索すると、無料PDFのサイトがあったが、怪しそうだったので、アクセスせず（＾＾； ） (P220) 5.3.6. Theorem. Let B ⊂ R, f : B →R￣, c ∈ R, and suppose that B⊃(c - r,c)∪(c,c +r) for some r >O. In order that (注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現) lim x→c, x≠c f(x) exist (in the sense of 3.5.5), it is necessary and sufficient that the four numbers, lim sup x→c+ f(x), lim inf x→c+ f(x), lim sup x→c- f(x), lim inf x→c- f(x), be equal, in which case all five number are equal. 5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula f(x) = g(x) - g(c)/(x - c). つづく 423 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/21(木) 23:58:47.11 ID:deCNDqL9.net] >>390 つづき Of course the values of f are in R, but we are b 424 名前：eing consistent with the foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with f may be infinite. If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define (D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} , (D +g)(c) = lim inf x→c+ f(x) = lim inf x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} , Similarly, if c ∈ (a, b] we define (D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} , (D -g)(c) = lim inf x→c- f(x) = lim inf x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} , These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely (for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c. （(引用終り)） つづく [] [ここ壊れてます] 425 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 00:01:00.96 ID:UIwpFvOX.net] >>391 つづき ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86 ディニ微分 - Wikipedia (抜粋) 注意 ・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。 ・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。 (引用終り) https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative (抜粋) If f is locally Lipschitz, then f′+ is finite. If f is differentiable at t, then the Dini derivative at t is the usual derivative at t. ・On the extended reals, each of the Dini derivatives always exist; however, they may take on the values +∞ or ?∞ at times (i.e., the Dini derivatives always exist in the extended sense). (引用終り) https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949 Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要　第39巻（2003） (抜粋) §2．Dini の微分係数 実関数論の教科書は国内外古新を問わずすこぶる数多に及ぶ．その中でも易しく書かれているにもかかわらず多くの話題 について相当深く扱っている次の本に注目したい，即ち， 辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．この本の第2 章中の第 7 節にDini の微分係数の題で55 頁から58 頁に亘って 一種の平均値の定理とその単調性定理への応用が述べられている． 入手し難い本でもあり， 又とにかく分り易い解説からなっているから， ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおき かへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する． (引用終り) 以上 426 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 00:02:58.26 ID:UIwpFvOX.net] >>362 ご苦労さん あとの都合上、下記を引用しておく（＾＾ https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior Limit superior and limit inferior (抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照） Functions from metric spaces to metric spaces There is a notion of lim sup and lim inf for functions defined on a metric space whose relationship to limits of real-valued functions mirrors that of the relation between the lim sup, lim inf, and the limit of a real sequence. Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and 427 名前：infimum make sense. Define, for any limit point a of E, lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}) and lim inf _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}) where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a. つづく [] [ここ壊れてます] 428 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 00:04:17.26 ID:UIwpFvOX.net] >>393 つづき Note that as ε shrinks, the supremum of the function over the ball is monotone decreasing, so we have lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f _{ε >0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}) and similarly lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup _{ε >0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}). This finally motivates the definitions for general topological spaces. Take X, Y, E and a as before, but now let X and Y both be topological spaces. In this case, we replace metric balls with neighborhoods: lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f { sup {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ } lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup { ∈f {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ } (there is a way to write the formula using "lim" using nets and the neighborhood filter). This version is often useful in discussions of semi-continuity which crop up in analysis quite often. An interesting note is that this version subsumes the sequential version by considering sequences as functions from the natural numbers as a topological subspace of the extended real line, into the space (the closure of N in [?∞,∞], the extended real number line, is N ∪ {∞}.) (引用終り) 以上 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 00:29:32.63 ID:bIg1uYPK.net] >>390 B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。 ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。 >>392 ＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾ はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。 f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。 条件Ａ ――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、 ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――― つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、 f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。 一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、 むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を 導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 00:38:11.41 ID:KoD/3d/N.net] >>392 > ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾ だから何やねん！！（＾＾ ってみんな心の中で叫んだはず。 スレ主は何を発見したつもりになっているのか・・・ 431 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 10:13:21.61 ID:DI5Mb9wp.net] >>395 おっさん、正気か？ >B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。 >｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。 おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね〜”」と思ったのだが・・ というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から 「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」 いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが） （まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね〜・・・） ”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？ >>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces 下記定義に従わないといけないからね https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior Limit superior and limit inferior (抜粋) Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E, lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}) where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a. (引用終わり) >はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。 上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね 432 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 10:13:37.76 ID:DI5Mb9wp.net] >>396 >だから何やねん！！（＾＾ >ってみんな心の中で叫んだはず。 おまえとおっさんの二人みたいだな（＾＾ 433 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 10:22:20.37 ID:DI5Mb9wp.net] >>392 関連 https://wikimatome.org/wiki/%E8%BE%BB%E6%AD%A3%E6%AC%A1 辻正次 ウィキまとめ このページの最終更新日時 2015年10月30日 (金) 22:51 つじまさつぐ 明治27(1894)年7月21日〜昭和35(1960)年3月6日 大正・昭和期の数学者。東京大学教授、立教大学教授。 著書に「近代関数論におけるポテンシャル論」「実変数函数論」など。 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 11:11:51.60 ID:BpoSBHXp.net] スレ主のバカ自慢はまだまだ続いたとさ 435 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH.net] どっちもどっち ID:KNjgsEZnはただの基地外 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:09:14.23 ID:BpoSBHXp.net] ID:zkh22JUH ぷ のようにスレ主の自演と疑われたくないなら、数学的見解も述べた方がいいよ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:29:57.94 ID:bIg1uYPK.net] >>397 ＞上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね スレ主自身が「定義をよく読んで下さいね」と言っているように、そこに書いてあるのは単なる「定義」の話である。 より具体的に言うと、そこに書いてあるのは、limsup を一般の距離空間の上で定義している話である。 例の pdf で対応する箇所を探してみると、１ページ目の一番最初の 「 定義1.1 」 の limsup[y→x] g(y) の話に対応しているだけである。今まで limsup の定義にケチをつけていたスレ主にとっては、 もはや定義そのものにはケチをつけられなくなったという話に過ぎない。つまり、スレ主は自分の首を絞めているだけである。 そもそも、スレ主が挙げているそのリンク先は、俺が最初に >>362 で挙げたリンクである。 >>362 はどういう状況だったかというと、「 limsup の定義にケチをつけていたスレ主に対して、いくつか文献を提示していた」 という状況である。そのようなリンクを、後になってスレ主の方から持ち出しても、 「わたくしスレ主は limsup の定義にケチをつけていましたが、もはや定義そのものにはケチをつけられません」 と言っているのと同じことである。 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:34:32.09 ID:bIg1uYPK.net] 　 [記法の整備　その１] さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と表現できることに注意する。もちろん、 R−B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ } という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、 もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。 そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:37:23.93 ID:MmfgMg2u.net] おっちゃんです。 スレ主へ： ジハード！！！！！　ジハード！！！！！　ジハード！！！！！ 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:41:17.70 ID:bIg1uYPK.net] 　 [記法の整備　その２] さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。 Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」 より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。 ――――――――――――――――――――――――――――――― Lips(x,f)： x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、 ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。 ――――――――――――――――――――――――――――――― この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと 「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」 が成り立つことは同値であることに注意する。 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 16:45:23.53 ID:bIg1uYPK.net] さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。 スレ主が引用している主張 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。 このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) 442 名前：は有限値である。 (ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。) ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 例の定理 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― 写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。 もし R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― このとおり、主張している内容が全く違う。 ・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、 　例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、 　この時点で既に状況が違っている。 ・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、 　例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を 　"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。 ……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ [] [ここ壊れてます] 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 17:02:37.10 ID:BpoSBHXp.net] スレ主語を翻訳して頂き有難うございます 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 20:47:11.09 ID:zkh22JUH.net] >>402 オマエモナー 445 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 21:46:57.00 ID:UIwpFvOX.net] >>392 関連 ディニ微分が、いつごろ論文か判然としないが、 Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) と、Books by U. Dini 1907?1915 などとあるので 100年以上前は確実だろう https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini Ulisse Dini (抜粋) Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. He is known for his contribution to real analysis, partly collected in his book "Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali".[1] Life and academic career Dini attended the Scuola Normale Superiore in order to become a teacher. One of his professors was Enrico Betti. In 1865, a scholarship enabled him to visit Paris, where he studied under Charles Hermite as well as Joseph Bertrand, and published several papers. In 1866, he was appointed to the University of Pisa, where he taught algebra and geodesy. In 1871, he succeeded Betti as professor for analysis and geometry. From 1888 until 1890, Dini was rettore[2] of the Pisa University, and of the Scuola Normale Superiore from 1908 until his death in 1918. He was also active as a politician: in 1871 he was voted into the Pisa city council, and in 1880, he became a member of the Italian parliament. Honors He has been elected honorary member of the London Mathematical Society.[3] Work Research activity Thus, by the year 1877, or seven years from the time he began, he published the treatise, since famous, entitled Foundations for the Theory of Functions of Real Variables (Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali). つづく 446 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 21:47:41.52 ID:UIwpFvOX.net] >>410 つづき Much of what Dini here sets forth concerning such topics as continuous and discontinuous functions, the derivative and the conditions for its existence, series, definite integrals, the properties of the incremental ratio, etc., was entirely original with himself and has since come to be regarded everywhere as basal in the real variable theory. ??Walter Burton Ford, (Ford 1920, p. 174). Books by U. Dini Serie di Fourier e altre rappr 447 名前：esentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale (Pisa, T. Nistri, 1880) Lezioni di analisi infinitesimale. vol. 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915) Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915) Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 2 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915) Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa, T. Nistri, 1878) (引用終り) [] [ここ壊れてます] 448 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 21:51:38.24 ID:UIwpFvOX.net] >>401 >どっちもどっち >ID:KNjgsEZnはただの基地外 レスありがとう！！ 全く同意だ 私スレ主は”あほばか”で、ID:KNjgsEZnは基地外だな（＾＾ だが、時枝より、はるかに面白いよ（＾＾ 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 21:52:37.34 ID:BpoSBHXp.net] >>409 一体誰の自演と疑うんだ？ 450 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 21:59:16.16 ID:UIwpFvOX.net] >>405 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾ 時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． （以下証明の文言から） よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．” とあるけれど、 条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ ということ それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾ 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 22:09:03.13 ID:BpoSBHXp.net] ＞全く同意だ そりゃそうでしょ 自演なんだからｗ 452 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 22:11:09.64 ID:UIwpFvOX.net] >>397 関連 > なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが あれ？　 東京理科大だったかも・・（東大がどうか不明）（＾＾ ディニの導来数？ これディニ微分のことだろう・・（＾＾ https://letus.ed.tus.ac.jp/2012/course/info.php?id=604 Home / ? コース / ? 東京理科大学 / ? 理学部第一部 / ? 積分論２ (991135S) / ? シラバス 積分論２ (991135S) (抜粋) 教員名 加藤　圭一 開講年度学期 2012年度 後期 開講学科 理学部第一部　数学科 単位 2.0 学年 ３年 第１回　直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する． (引用終り) 453 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 22:12:20.10 ID:UIwpFvOX.net] >>413 おれだよ オレオレ おまえは、オレだよ おまえは、オレの自演だよ（＾＾ 454 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 22:13:02.27 ID:UIwpFvOX.net] >>415 つー、>>417・・・（＾＾ 455 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 22:30:28.07 ID:UIwpFvOX.net] >>403-404 >>406-407 おっさん、ほんま”ただの基地外”やね ・（おっさん）標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。（>>350） 　↓ ・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351） 　↓ ・（おっさん）well-defined に意味が定まっている。かわいそうなので、何冊か提示してやろう。（>>361-362） 　↓ ・（私スレ主）これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね（>>390） 　↓ ・（おっさん）B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。（>>395） (引用終り) おっさん、面白いわ 面白すぎるけどな〜（＾＾ 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 22:42:07.60 ID:bIg1uYPK.net] >>419 「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。 ディニ微分については最初から知っていたが(たとえば、俺の手元のルベーグ積分論の本にはディニ微分が載っている)、 スレ主が「リプシッツ」という余計な言葉を使って議論を引っ掻き回していたので、俺の口からは何も言わなかった。 B_f で扱っている量がディニ微分そのものではない、という点についても特にツッコミどころは無い。 ただし、4つのディニ微分を全て統括して limsup で抑えた形には なっている。 で、そんなことより、>>404-407 への返答が全く無いのだが？ 457 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 23:28:07.45 ID:UIwpFvOX.net] >>401 >どっちもどっち >ID:KNjgsEZnはただの基地外 このID:zkh22JUH さんについては・・・ ”>>372 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日： 458 名前：2017/12/21(木) 00:01:12.69 ID:BdIiQ35o で？w >>375 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6 [1/4] >>372 オハヨー、朝です。 (^o^) >で？w この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾” というやり取りの人だな多分 それで、おれより、大分レベルが高そうだな（＾＾ [] [ここ壊れてます] 459 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 23:30:02.06 ID:UIwpFvOX.net] >>420 おっさん、書名書名（＾＾ それと、年末は忙しい あわてるな ゆっくり遊んでやるから。友達のいない人よ 460 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/22(金) 23:35:47.36 ID:UIwpFvOX.net] >>420 >「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。 >>419の”・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）”を、もう少し長く引用すると （>>351より） 「>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。 そのテキストの書名を書けよ 「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」 だったよね おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾ 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 23:39:45.20 ID:bIg1uYPK.net] >>422 こういう、どうでもいいところばかりは 鬼の首を取ったかのように(しかしトンチンカンな)レスを重ね、 本題となっている議論は間違えに間違えを重ねて 未だに何も理解してないというスレ主の惨状。 ＞おっさん、書名書名（＾＾ 「実解析と測度論の基礎　盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。 ここはルベーグ積分に対する「微積分学の基本定理」の節になっており、 そこで自然にディニ微分が扱われるので、俺は既に知っていた。 というか、ルベーグ積分をキチンと勉強した人なら、大抵は知っていると思われる。 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2017/12/22(金) 23:42:39.66 ID:bIg1uYPK.net] >>423 ＞そのテキストの書名を書けよ ＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」 ＞だったよね ＞おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾ お前は何を言ってるんだ？「 ＜＋∞ 」を含めて載ってる例は その >>361-362 で既に出してるだろ？ちゃんと目を通したのか？ 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/22(金) 23:53:07.03 ID:BpoSBHXp.net] 際立つスレ主のアホっぷり 464 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/23(土) 00:20:59.91 ID:vWsab/FY.net] スレ主の人はちょっと権威主義が過ぎるきらいがあるね それって数学の対極なような気もするけど 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 01:10:11.29 ID:JRmFnvAf.net] >>414 > とあるけれど、 > 条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ > ということ もうそれ反論されてるじゃん。被覆できるものもあれば被覆できないものもある。 この定理は『すべてのfで被覆できる』といってるわけではない。 『被覆できるならば〜が成り立つ』という定理でしょ？ で、実際に被覆できる例まで示されてる。 スレ主は言ってることがすごく頓珍漢だよ。 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 01:31:07.43 ID:JRmFnvAf.net] >>414 > それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾ 面白がるのは、イチャモンを引っ込めてからにしとけよ 最低限の節度もないなら消えてくれよ、頼むから。 467 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 08:01:19.70 ID:lrnu6EUA.net] >>424 後出し後出し おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾ >「実解析と測度論の基礎　盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。 「じゃ、そう書いておけ」ってことよ おれの>>416 東京理科大学 加藤　圭一先生 積分論２”第１回　直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．” との関係を疑われるジャストのタイミングで書くとは・・ つづく 468 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 08:02:29.01 ID:lrnu6EUA.net] >>430 つづき ディニ微分については、おっさんの紹介した”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)にもあって下記 （>>390-391） (抜粋) ”5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula f(x) = g(x) - g(c)/(x - c). Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with f may be infinite. If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define (D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} , Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with f may be infinite. If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define (D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} , Similarly, if c ∈ (a, b] we define (D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} , These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely (for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.” (引用終り) ここにある、自分の定理と類似の記述があると、それ書けば、”ウソ”って言われなくてすんだろうに（＾＾ つづく 469 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 08:03:12.05 ID:lrnu6EUA.net] >>431 つづき で、おっさん （>>395） 「B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。 ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。」 だったろ？ 覚 470 名前：えているかい？ (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }” だったろ？ 和文PDFでなく、上記のおっさん紹介の”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)との対比において おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾ 「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい これは、"B_f の定義は well-defined である"を確認するためだ （参考>>350） 結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。 無論、B_f の定義は well-defined である。 （参考>>347） http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ (抜粋) 　　土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社） を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。 （コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰 　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解 　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から 　　　　　　は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？ （参考文献： 　　　　　　　 土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）) (引用終わり) つづく [] [ここ壊れてます] 471 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 08:04:09.71 ID:lrnu6EUA.net] >>432 つづき （参考>>376） １．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。 ２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう ３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。 　　既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき ４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。 　　であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。 ５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。 　　それ無くしては、その定理の応用もできまい。 　　また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。 　（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう） 以上 472 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 09:56:32.07 ID:lrnu6EUA.net] 突然ですが、思い出したので貼る（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC リチャード・セイラー (抜粋) リチャード・H・セイラー（Richard H. Thaler, 1945年9月12日 - ）は、アメリカ合衆国の経済学者。シカゴ大学教授。専門は、行動経済学。 行動科学の理論家として国際的な研究業績を持ち、ダニエル・カーネマンらと協働し研究を牽引してきた。 相田みつをのファン[1]。 2017年ノーベル経済学賞受賞。 (引用終り) https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4066/ 家でも会社でも使えるノーベル賞理論！ 最新経済学の魔法 クローズアップ現代＋ NHK 2017年11月20日(月) (抜粋) 「つまづいたっていいじゃないか、にんげんだもの」。今年、ノーベル経済学賞を受賞したリチャード・セイラー教授（行動経済学）は相田みつを 473 名前：ファン。衝動買い、飲み過ぎ、ギャンブル…分かっちゃいるけどやめられない、だって「にんげんだもの」。 でも、こうした人間心理を逆手にとれば、より良い選択をするように誘導できる。セイラー教授が“ナッジ”と名付けたこうした仕掛けを紹介。 うまく応用すれば家でも会社でも、人生はうまく行く！？ 出演者 リチャード・セイラーさん （シカゴ大学教授） 大竹 文雄さん （大阪大学教授） 武田真一・田中泉 （キャスター） 日本の「相田みつを」？ 経済学者　リチャード・セイラー教授 「『つまづいたっていいじゃないか　にんげんだもの』。私はこの言葉が大好きなんだよ！」 ノーベル賞理論の原点 田中 「相田みつをのファンだそうですね。」 リチャード・セイラー教授 「２００９年に東京に行ったときに、たまたま相田みつを美術館に行ったんだよ。それですっかり魅了されてしまったのさ。 私は研究室のドアに、相田みつをの詩を貼り付けているんだよ。『そのうち　そのうち　べんかいしながら日がくれる』。いつまでもなまけている場合じゃないっていう、自分への戒めのためにね。」 田中 「著書の中でも、ご自身をなまけ者だとおっしゃっていますね。」 つづく [] [ここ壊れてます] 474 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 09:57:09.43 ID:lrnu6EUA.net] >>434 つづき リチャード・セイラー教授 「そうなんだよ、若い頃はついついなまけてしまう自分を律するために、ずいぶん苦労したもんだよ。」 セイラーさんは、相田みつをのファンというだけでなく、その言葉が研究テーマそのものになっているといいます。 リチャード・セイラー教授 「相田みつをの『にんげんだもの』という言葉。それはまさに、私が４０年かけて研究してきたことでもあるんだ。学生の頃、経済学の論文をたくさん読んだけれど、そこに書かれている人間は現実に存在している人間とはかけ離れている気がしたんだ。それで私は、それまで経済学者が無視してきた人間のおかしな行動を調べることにしたんだ。」 (引用終り) 以上 475 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/23(土) 10:10:41.25 ID:aTz7JvgY.net] ＞５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。 と、一年生の授業に着いていけないアホが申しております 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 10:19:46.42 ID:JRmFnvAf.net] >>433 > １．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。 いままでの流れを見れば分かるように、イチャモン以外のなにものでもない。 > ２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう 見慣れぬ定理と証明が投下されたとき、それがとある一個人の知識体系のどこに位置するかは論点ではない とりわけlimsupも知らないド素人さんの知識体系など知ったことではない > ３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ そもそもその定理は新規性を謳っていない。新規か既出かは論点ではない > ４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。 > 　　であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。 ２と３に同じ。論点ではない > ５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。 > 　　それ無くしては、その定理の応用もできまい。 > 　　また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。 > 　（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう） 新規性や理論体系を云々する前にまず定理と証明を理解すべきである 証明を読めないなら読めるように勉強すべきである limsupが分からない、＜＋∞が分からないなら、さっさと勉強するべきである 477 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 10:35:19.76 ID:lrnu6EUA.net] おっさん、がんばれよ（＾＾ www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf 典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院 (抜粋) 1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理 x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお ける Dini 微分を主に考える． Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である： 定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理） f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成 立する： (1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すな� 478 名前：�ち f は x で微分可能． (2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞． (3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞． (4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞． 注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が 任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照． Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述 べる． 系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である． 証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも 成立しないことから系が従う． http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html 研究集会での講演 36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］ 実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集 つづく [] [ここ壊れてます] 479 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 10:37:20.53 ID:lrnu6EUA.net] >>438 貼り直し（＾＾ >>432 キーワード： 微分 dini OR ディニ で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾ 下記、斎藤新悟先生のテキストの ”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾ これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ おっさん、がんばれよ（＾＾ www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf 典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院 (抜粋) 1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理 x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお ける Dini 微分を主に考える． Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である： 定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理） f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成 立する： (1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能． (2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞． (3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞． (4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞． 注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が 任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照． Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述 べる． 系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である． 証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも 成立しないことから系が従う． つづく 480 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 10:38:47.38 ID:lrnu6EUA.net] >>439 つづき www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html 研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 (抜粋) 36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］ 実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集 (引用終り) www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/ 斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！ 九州大学基幹教育院准教授。 1981年大阪府生まれ。 東京大学理学部数学科卒業。 University College London, Department of Mathematics博士課程修了。 PhD in Mathematics, University of London. 九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。 } 481 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 11:00:06.42 ID:lrnu6EUA.net] >>439 追加 （余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ） rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html 微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス (抜粋) 定義 （ ディニ導関数 ） ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。 次のように定義する。 略 これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。 参考 ディニ導関数は可測であることが知られている。 Ｐ１５ ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。 ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。 このとき、ｆ は定値関数である。 rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html ルベーグ積分インデックス 理系インデックス 第３章（Ｐ）　追加事項 微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ rikei-index.blue.coocan.jp/index.html 理系インデックス 理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。 ２０１０年１月ＯＰＥN ※　管理人 ツエ＆トキ （化学科） 482 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 11:03:39.21 ID:lrnu6EUA.net] >>441 関連 >（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ） 言いたいことは、下記かな https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14161354049 yahoo 知恵袋 aguilder729さん2016/7/702:04:46 ルベーグ可測関数のディニ微分はまたルベーグ可測となりますか？ ベストアンサーに選ばれた回答 usagioqさん 2016/7/918:33:56 なります 一般的に可測関数の 483 名前： limsup などは可測です [] [ここ壊れてます] 484 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 11:32:41.73 ID:lrnu6EUA.net] >>439 追加 下記では”Diniの導来数” blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430 (抜粋) 「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。 僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。 ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。 数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。） そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。 より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。 「ルベーグ積分入門：伊藤清三」astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048 ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。 ときわ台学：ルベーグ積分入門 （とてもわかりやすいので、特にお勧め。） www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦 www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf ルベグ積分入門吉田洋一 astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました 目次 第６章：微分法と積分法 - Diniの導来数 (引用終り) 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 11:47:06.32 ID:JRmFnvAf.net] >>433 > これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ > おっさん、がんばれよ（＾＾ 証明は既に終わっている スレ主が証明を読めずに難癖つけているだけという状況です 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 11:49:43.53 ID:aTz7JvgY.net] スレ主は一年生向け教科書を勉強し終わるまでROMってろ 487 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 11:54:18.30 ID:lrnu6EUA.net] >>439 ”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・ おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾ （引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700 (抜粋) P696 特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター 連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続 でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0 そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合 上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物 理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続 で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能 な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は 公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､ 神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系 の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を 2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連 続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている (Tsuda,1996) (引用終り) 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:05:47.78 ID:khUHlWTG.net] >>414 おっちゃんです。 >ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾ >時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ ジハードを聖戦や正義のための戦争と解釈しているようだけど、 ジハードって、本来はイスラム教の神(アッラー)を信じる イスラム教信者(ムスリム)全員がする行いの中の1つで、「努力」って意味だよ。 日本では、いつの間にか、国中に間違った意味の「聖戦」が広く知れ渡っているけど。 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:10:55.34 ID:khUHlWTG.net] >>414 つまりね、ジハードを「聖戦」と解釈するのは大きな間違いで、正しくは「努力」と解釈することになる。 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:19:03.46 ID:aTz7JvgY.net] ＞”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・ ＞おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾ かっこつけんな、お前は解析概論の1章からだｗ 491 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:23:13.58 ID:lrnu6EUA.net] ￥さんのダチの山上　滋先生より下記 sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf ルベーグ積分速講 山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日 (抜粋) とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので � 492 名前：ｵょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ とでしょうか。 いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、 「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。 一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・ Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高 まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として の積分の定義も含まれています。 さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対 象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま せん。 つづく [] [ここ壊れてます] 493 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:23:46.44 ID:lrnu6EUA.net] >>450 つづき 現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論 が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進 歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確 率論の専門家の手になるものが多いように思われます。 翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の 段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導 入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの 下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気 もしますが、しばらくお付き合いください。 参考書をいくつか挙げておきます。 つづく 494 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:24:49.44 ID:lrnu6EUA.net] >>451 つづき 11 Postscript もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな く、敢えて距離 495 名前：空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成 に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。 上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで ある。 しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明 を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数 学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。 (引用終り) 以上 （参考） http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html 講義ノート 山上　滋 授業のために用意したノートです。 学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。 ・ルべーグ積分 http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/ Shigeru's Scratchy Shelf This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University. Last modified: 2009/10/05 [] [ここ壊れてます] 496 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:26:03.77 ID:lrnu6EUA.net] >>447-448 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう（＾＾ 497 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:28:47.48 ID:lrnu6EUA.net] >>450 >sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf >ルベーグ積分速講 山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日 ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾ 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 14:21:03.95 ID:aTz7JvgY.net] スレ主はデイニ微分の前にεδ論法を理解すべし 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:41:48.59 ID:ANqzVc/X.net] >>430 ＞後出し後出し ＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾ ＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ 絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、 そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？ 「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」 と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、 俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。 まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから ＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾ とか ＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” ＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」 などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。 そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:45:16.41 ID:ANqzVc/X.net] >>432 ＞おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾ ＞「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい R上のディニ微分には４つの種類がある。それは D^{-}f(x)：＝ limsup[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x) D^{+}f(x)：＝ limsup[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x) D_{-}f(x)：＝ liminf[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x) D_{+}f(x)：＝ liminf[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x) の４種類である。R上のディニ微分と言えば、あくまでもこの４種類の量のことを指す。この 501 名前：量は明らかに Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜　(>>404より) とは完全一致しない。俺が言っている「ディニ微分そのものではない」とはそういう意味 (４つのディニ微分のいずれとも完全一致しない、という意味)である。もはや数学ではなく、国語の問題である。 一方で、「ディニ微分の類似品ではあるが」とも書いた。これは、４つのディニ微分でやろうとしている操作を、 Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して 「類似品」と書いた。実は Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。 [] [ここ壊れてます] 502 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/23(土) 16:48:38.29 ID:ANqzVc/X.net] >>439 ＞下記、斎藤新悟先生のテキストの ＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” ＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾ ＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、 「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、 A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは 「 系 1.5 よりも、"R−Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」 ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、 特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、 ・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、 "R−Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。 結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、 「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。 お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、 手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、 余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。 これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:53:18.05 ID:ANqzVc/X.net] ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、 以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする) ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 定理２： f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 ) ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、 R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、 例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。 このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。 (ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。) ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― もしくは ＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．” という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。 スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。 ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、 スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、 ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。 504 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:33:45.39 ID:lrnu6EUA.net] >>456-459 おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？ まあ予想の範囲だよ（＾＾ 「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して 「類似品」と書いた。実は Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」 それが、実は定義だろ？ おっさんの (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜&l 505 名前：t; k }” これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾ [] [ここ壊れてます] 506 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:35:37.40 ID:lrnu6EUA.net] おれ的には、最初から 定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！ ってことさ（＾＾ 507 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:39:45.15 ID:lrnu6EUA.net] >>461 いやいや、ちょっと間違えた（＾＾ Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }だから limsup は、不要だろ？ Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ }　で、良いはずだろ？（＾＾ 508 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:40:33.11 ID:lrnu6EUA.net] >>462 訂正 limsup は、不要だろ？ 　↓ liminf は、不要だろ？ （＾＾ 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 17:47:31.44 ID:ANqzVc/X.net] >>460 ＞それが、実は定義だろ？ 息を吐くように間違えるゴミクズ。 Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } という等式は定義ではなく、定理である。limsup と liminf の基本的な性質から出る。 ＞Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }” Bf(k) などという集合を定義した覚えはない。ただし、その集合を使えば Bf＝∪[k＝1〜∞] Bf(k) と書けるので、Bf(k) を使っても問題はない。 >>461 ＞おれ的には、最初から ＞定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！ ＞ってことさ（＾＾ 息を吐くように間違えるゴミクズ。 Af(x) の定義はあくまでも Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ である。 ただし、定理として Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } という等式は成り立つので、こちらを定義として採用しても理論上は問題は起きない。 ただし、こちらを採用した場合、例の pdf の「 補題1.5 」の証明が面倒くさくなるので、 Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ という最初の定義の方が すっきりする。 >>462 ＞Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ }　で、良いはずだろ？（＾＾ 息を吐くように間違えるゴミクズ。その２種類だけじゃダメだよ。４種類すべてを使って初めて Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } という等号が成り立つ。liminf も必要なんだよ。 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 17:59:42.03 ID:JRmFnvAf.net] 馬鹿過ぎて哀れ 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 18:08:58.57 ID:ANqzVc/X.net] 以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。 f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数) として f：R→R を定義すると、 f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), −2 (y＞0, y は無理数) であるから、 Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)−f(0))/(y−0)｜＝ 2 となる。また、 D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0 D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 1 D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0 D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ −2 となる。特に、 max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1 max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2 となるので、この例では Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }　 という等号が成り立たない。しかし、 Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} という等号は成り立つ。 limsup, liminf の計算すらマトモに出来ない おバカのスレ主には、 この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 18:55:09.95 ID:aTz7JvgY.net] だから言っただろ？ 一年生向け教科書の勉強が終わるまでROMってろと 513 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:31:06.38 ID:lrnu6EUA.net] >>464 ああ、了解！ それ、やっぱり、リプシッツ連続類似だね（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続 (抜粋) 写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、 d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))／d_{X}(x_{1},x_{2})}}＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X) を満たすこととすることもできる。 (引用終り) 514 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA.net] >>466 ご苦労さん（＾＾ ”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か 妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾ で、その話は了解したが、 良い機会だから聞くが、 その不連続函数は お前の定理 (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・” 当てはまるのか、当てはまらないのか？ もし、当てはまらないとすれば、なぜか？　理由を述べよ！ 自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ 515 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:33:32.00 ID:lrnu6EUA.net] >>458 >＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾ > >ぜんぜん強くない。 バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、 ちょっと智� 516 名前：bがついてきたな〜（＾＾ えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞ D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞ （これ、f'＝-1/(x^2)より従う） これは良いだろ？ ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない （∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る） 従って、 f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数） Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！ 正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！ 同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ) だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾ そういう気がしてきたよ（＾＾ 以上 [] [ここ壊れてます] 517 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:37:15.14 ID:lrnu6EUA.net] >>469 追加 ””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か” のx＞0の部分な 「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが 念のためな（＾＾ 518 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:52:21.97 ID:lrnu6EUA.net] >>471 追加の追加 子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾ ”f(x)＝ x (x は有理数), −2x (x は無理数)” この病的な不連続函数が お前の定理 (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・” に、当てはまるのか、当てはまらないのか？ もし、当てはまらないとすれば、なぜか？　理由を述べよ！ 自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X.net] >>469 ＞その不連続函数は 俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に (0, ＋∞) ⊂ R−B_f が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。 >>470 ＞従って、 ＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数） ＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } ＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！ 息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。 そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく f：R−{0} → R￣ なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣ という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、 ・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2 ・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2 が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。 {0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:01:03.36 ID:ANqzVc/X.net] >>470 ＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾ 全くレアではない。>>459 を読み直せ。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 定理２： f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 ) ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、 R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、 例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。 ・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、特に R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。 (丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により 　R−B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。 さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を 何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R−B_f は例の被覆が「できる」。 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:09:15.18 ID:ANqzVc/X.net] 被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて １つ書いてみるか。 ・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。 　このとき、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。 これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する (f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣ にする、という前提のもとで)。 なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:17:03.55 ID:aTz7JvgY.net] 何から何まで人に聞くなよｗ　自分で勉強しろｗ　厚かましい 523 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 20:22:50.16 ID:lrnu6EUA.net] >>473 >俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に >(0, ＋∞) ⊂ R−B_f >が成り立つ。 なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・） では、追加質問で悪いが、 変形トマエ函数 f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？ 各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定 524 名前：はどうやるのか？ [] [ここ壊れてます] 525 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 20:31:09.98 ID:lrnu6EUA.net] >>473 なるほど、あんた力あるね しかし、f : R → R￣ なら f(x)＝1/x は lim x→-0 f(X) ＝-∞ lim x→+0 f(X) ＝+∞ と解するべきと思うがね ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で lim x→-0 f’(x) ＝+∞ lim x→+0 f’(x) ＝+∞ これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・ （ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが） >>475 >なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。 微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:53:24.09 ID:ANqzVc/X.net] >>477 ＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？ ＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？ 知らない。 俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。 >>478 ＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞ ＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞ その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。 ＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね ＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・ 原点を含む十分小さな開区間 (−ε, ε) の中の任意の点 x で f'(x)＝＋∞ が成り立つというのであれば、(−ε, ε) ⊂ R−Bf が成り立つので、 R−Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に f'(x) ＝ −1/x^2 であり、ゆえに Af(x) ＝ 1/x^2 であり、ゆえに R−{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R−Bf ⊂ {0} であり、 ゆえに、R−Bf は例の被覆が「できる」のである。 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:59:51.99 ID:ANqzVc/X.net] >>478 ＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね ＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・ 既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。 まず、お前の主張が正しいとすると、 (−ε, ε) ⊂ R−Bf が成り立つことになる。R−Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、 (−ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1) が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。 このとき、x∈(−ε, ε) だから、(1) により Af(x)＝＋∞ が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝−1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、 Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。 528 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 21:36:28.73 ID:lrnu6EUA.net] >>479-480 了解 話は飛ぶが 昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき １．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある） ２．（あるいは）素人の勘違い このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが） で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね 一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ 上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが） そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾ まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾ まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 21:43:11.49 ID:JRmFnvAf.net] >>481 新規の定理って言ってないじゃん 530 名前： まったく話が成り立たねー [] [ここ壊れてます] 531 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 21:50:11.45 ID:lrnu6EUA.net] Ulisse Dini (14 November 1845 〜 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini いまさら、ディニ微分使った新定理を 素人が？ その見極めが先だろ 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 21:57:09.22 ID:aTz7JvgY.net] スレ主　国語　国語 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 22:30:30.64 ID:ANqzVc/X.net] >>481 ＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、 ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は 「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」 という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、 ・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が 言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。 >>483 ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。 我々が文献を見つけてないだけ。 strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理 で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。 息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 23:16:46.74 ID:ANqzVc/X.net] 「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」 普通の数学徒の反応： へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。 スレ主の反応： ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない) これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない) この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理) こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない) この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか 「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。 こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、 「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 23:22:22.72 ID:JRmFnvAf.net] こんなにも丁寧で理路整然とした説明を長々と受けておきながら、 実質2ページの短い証明すらまともに読めず（limsupすら知らないという笑）、 くだらないイチャモンをつけまくってるスレ主は数学板史上最悪のクズ野郎である 536 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:26:46.65 ID:Q5UHveEY.net] >>481 > 99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが） いままでのところを整理しておこう ・証明を読むだけが数学ではない ・数学は理論体系である ・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ つづく 537 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:27:26.09 ID:Q5UHveEY.net] >>488 つづき (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． （以下証明の文言から） よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．” ・ディニ微分関連で 　lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜が、４つのディニ微分を使って 　Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464） ・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468） つづく 538 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:27:59.44 ID:Q5UHveEY.net] >>489 つづき 補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？ ・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない （参考： 　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点 　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合）） ・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ） ・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると 　１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明 　２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明 　３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。 　　　言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、 　　　もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。 　４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は 　　「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない） つづく 539 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:28:55.12 ID:Q5UHveEY.net] >>490 つづき さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、 「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった 変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると （長いが、あとのために抜粋する） mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より） Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (抜粋) （注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている） The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0. It is well-known that f is continuous at each irrational point and discontinuous at each rational point. ** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that has c many points in every interval. The results above can be further refined. ** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15] ** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15] ** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20] つづく 540 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:29:35.07 ID:Q5UHveEY.net] >>491 つづき Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above. Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers. ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category. THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g 541 名前：fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set. (Each co-meager set has c points in every interval.) つづく [] [ここ壊れてます] 542 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:30:23.82 ID:Q5UHveEY.net] >>492 つづき --------------------------------------------------------------- [4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01] It appears that Jurek proves some general results concerning the zero Hausdorff h-measure of sets of non-differentiability for bounded variation functions such that the sum of the h-values of the countably many jump discontinuities is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed 0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler function seem to appear as examples, and V. Jarnik's more precise results about the Hausdorff dimension of Liouville-like Diophantine approximation results are used. This paper is on the internet at dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D98723 つづく 543 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:30:54.63 ID:Q5UHveEY.net] >>493 つづき --------------------------------------------------------------- [15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the irrationals and discontinuous at the rationals", American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373. [MR 31 #3550; Zbl 131.29201] Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1. We say that a function g is Lipschitzian at x if there exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U. THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the rationals for every r > 0; (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0; (C) differentiable at every irrational algebraic number of degree <= r-1, if r > 3. THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every algebraic irrational number if r > 2 (and, by Theorem 1, at none if r <= 2). THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not differentiable at the points of the set {(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer and there exists an integer n such that d = m^2 - 4n is positive but not a perfect square} . [This set is dense in the reals.] THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition. つづく 544 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:31:38.62 ID:Q5UHveEY.net] sage 545 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:31:48.31 ID:Q5UHveEY.net] >>494 つづき (p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy, and one would hope to generalize the theorem by replacing the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to show that the set of points at which g fails to be Lipschitzian is a residual set." NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result in 1957 (the points of discontinuity have 546 名前：to form an F_sigma set, however). See my remark in [13] above. This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f does not satisfy a pointwise Holder condition at x for any positive Holder exponent. (Heuer does not explicitly state this last result.) A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last theorem in Norton [17] below. つづく [] [ここ壊れてます] 547 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:33:54.26 ID:Q5UHveEY.net] >>496 つづき で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると [15] Gerald Arthur Heuer先生 THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not differentiable at the points of the set {(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer and there exists an integer n such that d = m^2 - 4n is positive but not a perfect square} . [This set is dense in the reals.] THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition. かな？ 特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、 ”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.” だと だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？ [15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！ これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う まあ、年末は忙しい ゆっくりやりましょう（＾＾ 以上 548 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:42:49.93 ID:Q5UHveEY.net] >>497 補足 1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition. 2)「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」 この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる ”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する その（無理）点は、微分不能 だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる 以上 549 名前：BLACKX mailto:sage [2017/12/24(日) 12:34:40.90 ID:PT3W3mG7.net] 不正の件、洗い出し終わった 　[正]Air値→ヤング図 　[正]Air値→タワー(平面的フェラーズ盤) 　[正]ヤング図→母関数導出 　[正]タワー→母関数導出 　[正]ヤング図母関数→ P(n,m)互換 [不正]タワー母関数→ P(n,m)互換 考えてみれば分かるけど3次元なのに2次元でやろうとしてる所がヤヴァかったです。 pp(n)ｑ^nでやらなきゃ…ねぇ… なんかもう疲れたからPP(n)q^nやらずに、 ヤング図ポセットでの成長を考えます。 フォースと共にあらんことを。 550 名前：BLACKX mailto:sage [2017/12/24(日) 12:36:04.60 ID:PT3W3mG7.net] 書くスレ間違えた 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 15:20:25.56 ID:7MvmOIII.net] おっちゃんです。 >>490 >・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると >　１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明 > 　２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明 > 　３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。 > 　　　言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、 > 　　　もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。 > 　４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は >　　「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない） >>489の >(>>303より) >”定理1.7 (422 に書いた定理) >f : R → R とする． の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。 実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは 或る 552 名前：正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)−f(y)|≦K|x−y| となるとき だから、リプシッツ連続の反例になっていない。 [] [ここ壊れてます] 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 15:24:36.25 ID:7MvmOIII.net] >>490 >>501の下から2行目の訂正： 或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 17:27:53.36 ID:ThBjkOXn.net] >>490 ＞補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？ 何度も同じことを書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとき、 A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。つまり、 質問「補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？ 」 回答「 R―Bf は第一類集合である、ということだ」 ということである。ま、これでは単なる言葉の置き換えに過ぎないのだが、 権威主義のスレ主には、この書き方の方がヘンなイチャモンをつけにくいだろうｗ >>490 ＞・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない 今回のスレ主の話の中では本質的ではないが、この発言そのものは間違っているので指摘しておく。 孤立点だけで構成された集合(すなわち離散集合)は高々可算無限集合にしかならないが、 内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるものが存在する。 たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合だが、カントール集合は非可算無限集合である。 また、一点集合 {p} は常に「内点を持たない閉集合」であるが、カントール集合は非可算無限集合なので、 カントール集合を「一点集合の可算無限和で被覆する」という芸当も不可能でる。 よって、「ほかならない」というスレ主の言い方は間違っている。 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 17:38:05.69 ID:ThBjkOXn.net] >>497 ＞だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている ＞では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？ ＞これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う ・ なぜ (B) では実現不可能かというと、例の定理に抵触するからだよｗ ・ なぜ例の定理が成り立つかというと、ベールのカテゴリ定理を使ってるからだよ。 ・ ベールのカテゴリ定理に帰着させるために、技術的には１つの補題が必要になり、それが「補題1.5」だよ。 ・ 例の定理の証明とは無関係に、(B) で実現不可能な理由をスレ主が独自に探っていっても、 　 結局はベールのカテゴリ定理に帰着させるハメになり、例の定理の証明と同じことをするハメになるだろうｗ この４項目の見極めで十分だろ。 そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。 556 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 20:49:26.73 ID:ndfap2+C.net] >>490 >・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない 違うよ 境界点だけということ 境界点が孤立してなくてはいけないわけではない 557 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 20:59:06.39 ID:Q5UHveEY.net] >>497 関連 無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という 函数の構成があったので、貼っておく（＾＾ www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/ ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples (抜粋) We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q. As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here. www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative Recall f main properties: 略 This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp. Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)−up(x) is differentiable at a. As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a. finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a. Conclusion: the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points. (引用終り) 558 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 20:59: ] [ここ壊れてます] 559 名前：42.02 ID:ndfap2+C.net mailto: >>504 >そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。 同感です [] [ここ壊れてます] 560 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:03:53.86 ID:Q5UHveEY.net] >>505 ID:ndfap2+Cさん、どうも。スレ主です。 レスありがとう（＾＾ あなたは (>>401) "どっちもどっち ID:KNjgsEZnはただの基地外" と書いてくれた人かな？ >>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない >違うよ >境界点だけということ >境界点が孤立してなくてはいけないわけではない ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾ ちょっと考えてみるよ 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 21:12:24.67 ID:KzYVQeN8.net] ＞ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾ と、一年生の授業に着いていけない落ちこぼれが申しております 562 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:16:17.46 ID:Q5UHveEY.net] >>507 ID:ndfap2+Cさん、あなたはレベル高そうだから、聞くが （>>497より） 「特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、 ”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.” だと だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？ [15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！」 の私の疑問点について、あなたの解釈は？ 別に分り易く書いてくれとは言わないが 書いてくれたことに、一定の納得がいって、定理1.7（>>489）が、成り立ちそうということが見えれば、証明を読むことはやぶさかではない だが、反例がありそうな証明を読むことは、特に必要がある場合は別として、私はしない（教科書に載っている、あるいは投稿論文の定理は別として） 563 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:21:58.69 ID:Q5UHveEY.net] >>499-500 BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。 考察進んでいるようで、なによりです（＾＾ 564 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 21:42:31.44 ID:ndfap2+C.net] >>508 違うよ 565 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:53:33.96 ID:Q5UHveEY.net] >>501-502 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね で、これは、R上で稠密であってはならない なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う だから、もし、補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ （参考） （>>490） 証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ） 系1.8の証明で 「定理1.7 のBf について, R − Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf が成り立つので, R − Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p}　　 (1) である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開 区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」 566 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 22:01:49.91 ID:Q5UHveEY.net] >>512 違うのか！　それは残念だな（＾＾ ところで、>>513 に引用したけど、 ” ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合である”は、良いんだろ？ で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ） 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:05:20.17 ID:KzYVQeN8.net] 上から目線でものを尋ねるアホ主 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:11:48.09 ID:ThBjkOXn.net] >>513 ＞あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね 補集合 R−Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。 ” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ” という曖昧な書き方では色々な誤解が入り込むので、そんな書き方をしてはいけない。 特にスレ主は、そんな書き方をしてはいけない。 繰り返すが、補集合 R−Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。 ＞で、これは、R上で稠密であってはならない ＞(中略) ＞補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ 息をするように間違えるゴミクズ。 R−Bf が R 上で稠密であり、なおかつ「 R−Bf が第一類集合」が成り立つならば、 例の定理が適用できて、スレ主の指摘と合わせて矛盾が起きるので、その場合は スレ主の言うとおりのストーリーになる。 しかし、R−Bf が R 上で稠密であっても、「 R−Bf が第一類集合」であるとは限らないので、 その場合は、例の定理がそもそも適用できず、スレ主のストーリーは破綻する。 つまり、今回のスレ主の勘違いは、「稠密なら自動的に第一類集合である」と勘違いしているところ。 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:17:44.21 ID:ThBjkOXn.net] これは俺からレスを書くと横レスになってしまうが、一応書いておく。 >>514 ＞で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ） ご老人よ、「カントール集合が該当する」と既に２,３回も書いているぞ(たとえば>>503)。 ・ カントール集合は内点を持たない閉集合である。 ・ もしカントール集合が一点集合の可算無限和で表現できるなら、 　 第一類集合の観点からは一点集合を考えているのと同じことになってしまうが、 　 実際にはカントール集合は非可算無限集合なので、そのようには表せない。 ・ すなわち、カントール集合はスレ主の質問に対する明確な回答である。 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:22:52.87 ID:1P/yD8J8.net] スレ主は本当にボケてるんじゃないか？ 571 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 23:30:26.62 ID:ndfap2+C.net] >>514 [0,1]-∪[0<i<n](i/n-1/n^3,i/n+1/n^3) はどうかな 572 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 23:58:13.08 ID:Q5UHveEY.net] >>517 & >>519 定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？ （ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より） 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, 各Fiは内点を持たない, S ⊆ ∪iFi が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」 だったよね？ Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？ そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？ ”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？ 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 00:05:24.76 ID:BjcfoCpO.net] >>520 > >>517 & >>519 > > 定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？ > > （ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より） > 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, > 各Fiは内点を持たない, > S ⊆ ∪iFi > が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」 > > だったよね？ > > Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？ > > そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？ > > ”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？ 会話が成り立たないにもホドがあるだろｗ 574 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 00:37:44.12 ID:P3YrdrZj.net] >>520 >Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？ 当然ですよ >そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？ どうして？ カントール集合で``1個''です >”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？ 当然ですよ 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 07:22:11.45 ID:U1NU7yFp.net] 朝からちょっとだけ。 576 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 07:23:50.32 ID:U1NU7yFp.net] >>520 既にレスしてくれている人が居るが、俺からもレスしておく。 ＞定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？ 拡張ではなく、最初からそういう適用が可能であるような定義になっている。 定義をキチンと読み直せ。もはや数学ではなく国語の問題である。 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 07:29:02.91 ID:U1NU7yFp.net] >>520 あるいは、権威主義のスレ主のために、次のような言い方をしてもよい。 まず、>>503 で書いたことを もう一度書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で 被覆できるとき、A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。従って、例の pdf の ＞ 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, ＞ 各Fiは内点を持たない, ＞ S ⊆ ∪iFi ＞ が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」 この記述は、「 S は第一類集合 」の定義を書いているだけである。 これとスレ主のトンチンカンな主張を組み合わせると、 「定義1.2 の集合 S は、各 F_i が高々可算無限集合でなければ第一類集合とは呼ばない( F_i に連続濃度を許すと、個数が曖昧になる)」 というアホな主張をしていることになる。しかし、第一類集合 S であって、 F_i を可算無限に限定することが出来ないものが ごく普通に存在するので、 この時点でスレ主は間違っていることになる。 ま、いずれにしても本質的には「国語の問題」なので、 スレ主はキチンと定義を読み直すことだ。 578 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 07:58:39.31 ID:R/y0B5bE.net] >>521-522 >>カントール集合で``1個''です >”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？ >当然ですよ なんだよ（＾＾ 早く言ってくれればよかったのに（＾＾ でな、下記 リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？ で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で ”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？ (>>151) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0 リウヴィル数 (抜粋) ・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。 mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より） Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (>>494) (抜粋) THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0; (>>492） (抜粋) Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above. Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers. ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category. つづく 579 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 07:59:20.31 ID:R/y0B5bE.net] >>526 つづき THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set. (Each co-meager set has c points in every interval.) (引用終り) 以上 580 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 08:20:37.64 ID:nNJMc22f.net] スレ主　国語　国語 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 12:23:27.82 ID:Fp12EBAn.net] 双方ともWikipediaに書いてあることを力説してるだけかｗ 582 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 15:34:17.97 ID:I8rwcj5/.net] >>529 Yes！ レスありがとう（＾＾ おれの方は特にそうだよ ここは、学会じゃない 庶民の雑談の場だよ（＾＾ おれは、あほバカで 定理のおっさんは、基地外だ（＾＾ 583 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 17:03:43.01 ID:P3YrdrZj.net] >>529 ぷ 584 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 17:11:47.85 ID:P3YrdrZj.net] >>526 最初からそういう定義なんです ところで その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？ そしてその補集合の濃度が非可算であると？ 実際にどういう集合か分かりませんが 可算集合→可算個の疎な閉集合で覆える は当たり前ですが同値ではありませんので ``反例''になっている``根拠''としては薄いと思います 585 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 17:46:20.86 ID:I8rwcj5/.net] >>531 「ぷふ」さん、お元気そうでなによりです！＼（＾＾／ 「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ 例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ 586 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 18:05:46.46 ID:I8rwcj5/.net] >>532 「ぷふ」さん、どうも（＾＾ >最初からそういう定義なんです ああ、そうなんですか？　定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾ >その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？ Yes！ (>>526より) mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より） Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (抜粋) The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0. (引用終わり) 一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる） もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなく いかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数 w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう （なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。 　”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾ ） 以上 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 18:38:17.34 ID:U1NU7yFp.net] >>526 ＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない ＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？ 息をするように間違えるゴミクズ。 リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないので、 このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。 では、R−B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、 R−B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。 L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。 よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、 「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1) として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R−B_f ⊂ L という包含は R−B_f ⊂ F_1 を意味することになる。特に、R−B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。 しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。 しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R−B_f について(1)の被覆が 出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。 [続く] 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 18:43:50.14 ID:U1NU7yFp.net] [続き] ここで、L の各点 p に対して、一元集合 {p} は閉集合であることに注意する。 そこで、各 p∈L を適当に番号づけて F_i＝{p} と置き直して、 L＝∪_i F_i と表すことを考える。もしこのような芸当が可能ならば、R−B_f ⊂ ∪_i F_i となるので、 やはり例の定理が適用できることになり、そして矛盾するので、例の定理は間違いとなる。 しかし、実際には、L が非可算無限集合であるがゆえ、{p} も非可算無限個となるので、 F_i＝{p} と置く場合の F_i は可算無限個に収まらず、よって、このような F_i の置き方では L＝∪_i F_i という表現はできない。スレ主の目論見は やはり失敗に終わる。 このように、仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても全く反例にならないのである。 しかも、実際にスレ主が持ち出した例は L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎず、余計に反例になってない。 結局、今回のスレ主の間違いは、次の3つである。 ・ L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないシロモノを持ち出してきても、ぜんぜん反例になってない。 ・ 仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても、R−B_f について(1)の被覆が出来ないので、やはり反例になってない。 ・ どうもスレ主は、F_i の置き方をキチンと意識してないがゆえに、いつの間にか可算無限個の F_i で 　 L＝∪_i F_i と表現できているように勘違いしている節がある。 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 19:34:09.08 ID:U1NU7yFp.net] 補足： リウヴィル数の全体を L と置いたのだったが、この L は第「二類」集合であることが知られている。よって、 L ⊂ R−B_f が成り立つような任意の f：R→R に対して、R−B_f は例の被覆が絶対に不可能であることが自動的に従い、 よって例の定理の適用範囲外となる。 一方で、スレ主の持ち出した f^r (r＞0, f はトマエ関数) に対して L ⊂ R−B_{f^r} が成り立つのだから、結局、これらの f^r は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。 590 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 19:43:55.64 ID:R/y0B5bE.net] >>535 >実際には、L 自体は全く閉集合ではない 出典は？ 591 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 19:49:34.68 ID:U1NU7yFp.net] >>538 ＞出典は？ バカなの？ L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて L＝R になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp.net] さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している ＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets ＞of points that are each dense in the reals. ＞Then g fails to have a derivative on a ＞co-meager (residual) set of points. In fact, ＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz ＞condition, a pointwise Holder condition, ＞or even any specified pointwise modulus of ＞continuity condition on a co-meager set. についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、 「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」 と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。 よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、 A ⊂ R−B_g が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが 自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。 特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。 これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた 「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を 読まなければならなくなった。 593 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 20:18:59.66 ID:R/y0B5bE.net] >>539 >L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて >L＝R >になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。 それなら、Qも閉集合ではないだろ ならば、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498） に適用して良いのか？ 594 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 20:23:08.79 ID:P3YrdrZj.net] >>541 595 名前：Qも閉集合じゃありません しかし可算集合なので 可算個の疎な閉集合で覆えるのですよ [] [ここ壊れてます] 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:29:05.20 ID:nNJMc22f.net] >>530 ＞おれは、あほバカで お前はあほバカではない 救い様の無いあほバカだ 何故なら自分がどんだけあほバカかの自覚が無いし、人の助言に聞く耳持たない頑固者だからだ 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:29:29.60 ID:U1NU7yFp.net] >>541 ＞それなら、Qも閉集合ではないだろ お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？ もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。 しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。 ではどうするか？ F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、 各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、 このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも Q＝∪_i F_i,　各 F_i は内点を持たない閉集合 と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。 L の場合にこの芸当が不可能なのは、 ・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。 ・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が 　非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。 という理由があるからだよ。 結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然 意識してないから、 そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。 598 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 20:30:12.13 ID:nNJMc22f.net] ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ 見え透いた自演はやめろ 見てるこっちが恥ずかしくなる 599 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 21:00:53.16 ID:R/y0B5bE.net] >>542 >>544 どちらのレスでも良いけど・・ 話を、区間[0,1]に取って Q' = ｛q | 0<q<1 q∈Q} なる集合Q'を考える Q' は閉集合ではないですか？ もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから どうでしょうか 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:11:29.72 ID:U1NU7yFp.net] >>546 そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。 R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。 ・・・という記法のもとで回答すると、 ・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ 例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、 　 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。 ・ そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。 ・ スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、 　スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。 601 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 21:25:19.24 ID:R/y0B5bE.net] >>547 Q全体では、開集合だと言われましたね？ 部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？ 距離の取り方は、同じでしょ？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp.net] >>548 ＞Q全体では、開集合だと言われましたね？ 意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。 どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 ついでなので、先に回答しておく。 ＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？ ・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。 [続く] 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:36:25.58 ID:U1NU7yFp.net] [続き] Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、 Q'＝(0,1)∩V が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、 Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。 次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、 Q'＝(0,1)∩K が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす (0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、 x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。 604 名前：よって、x∈(0,1)∩K となるので、 x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。 以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 [] [ここ壊れてます] 605 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 21:43:23.58 ID:nNJMc22f.net] ＞意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。 ＞どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 スレ主はリアル呆け老人 606 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:45:06.17 ID:R/y0B5bE.net] >>549-550 >以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 了解。下記（yahoo）だね R中に稠密に分散されている場合は、「開集合にも閉集合にもならない」ってことだね あなたは力があるね〜（＾＾ 連続濃度まで許すということだったが（>>522）、 結局は、稠密にR中に分散されている場合は、 「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾ ところで・・・・ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160534703 (抜粋) delyunoaloveさん2016/6/1600:35:49 有理数空間Ｑは開かつ閉集合ですか？ ベストアンサーに選ばれた回答 kousaku2038さん 2016/6/1612:21:16 全体が実数Rなら、有理数Qは開でも閉でもない。 普通に考えて開集合でないことは、qを有理数とし、それを含む開区間(q-ε,q+ε)を考えると、この区間には無理数が存在するので、Qに含まれることはない。 閉集合でないことは、√2に収束する有理数列が取れることから、すぐにわかる。 (引用終り) つづく 607 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:47:20.19 ID:R/y0B5bE.net] >>552 つづき (>>303より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) ・・・「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・” で、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで １）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明 ２）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在） だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で ２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？ （例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか） 重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？ （例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R−Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？） つづく 608 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:48:58.79 ID:R/y0B5bE.net] >>553 つづき さて、従来の定理との比較で １）不連続点が、dense（稠密）の場合、mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>526）にあるように、 　”g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition,”とある ２）無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり（>>506） 　　www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/ ３）で、定理1.7 は、上記をリプシッツ連続（あるいはディニ微分）に、拡張した定理と見ることが出来る。 　　つまり、Bfが、リプシッツ連続（あるいはディニ微分可）で、 　　補集合たるR−Bfが稠密の場合、そういう函数が存在しないか、あるいは、（ １）のように）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとなるのだろうか？ なお、以前から言っているが、なぜ３）についての研究が、いままで無かったのか？ そのナゾもまだ解けない （不成立？） まあ、年末なので、ゆっくりやりましょう １）の証明と対比して読まないといけないと思うので （そうしないと、証明にギャップがあっても気付かないだろうね、おれの頭じゃ（＾＾ ） 以上 609 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 00:17:11.07 ID:5+kOkN0j.net] >>546 > Q' は閉集合ではないですか？ > もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが 閉でなくても開とは限りませんし開でな� 610 名前：ｭても閉とは言えませんよ (0,1]のような単純な例Qのような稠密な例いろいろです [] [ここ壊れてます] 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 00:26:12.28 ID:BhzQ/YUm.net] >>552 ＞結局は、稠密にR中に分散されている場合は、 ＞「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾ ぜんぜん戻らない。 例えば、全ての有理数に適当に番号をつけて q_1, q_2, q_3, … と表しておく。また、カントール集合を C としておく。 F_i：＝ C ＋ q_i (i≧1)　と置く。ただし、C ＋ q_i は、C を q_i だけ平行移動した集合を表すものとする。 このとき、各 F_i は非可算無限集合である。また、各 F_i は内点を持たない閉集合である。ここで、 A＝∪_i F_i　と置くと、この A は R の中に稠密に分布することが分かる。さらに、 「 A ⊂ ∪_i F_i ,　各 F_i は内点を持たない閉集合 」 という状況が(明らかに)成り立っている。従って、 (1)「 A は R の中に稠密に分布し、なおかつ、A は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」 という状況が成り立っている。すると、スレ主の主張によれば、この A は「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で 被覆できることになるが、実際にはそれは不可能である。なぜなら、もしそれが可能だったとすると、 別の可算無限個の F ' _i が存在して、 ・ 各 F ' _i は一元集合である ・ A ⊂ ∪_i F ' _i が成り立つ という状況が成り立つことになるが、∪_i F ' _i は高々可算無限集合であり、一方で A は非可算無限集合であるから、 A ⊂ ∪_i F ' _i という包含は矛盾している。よって、この A の場合は、(1)が成り立っているにも関わらず、 A を「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で被覆することは不可能である。 612 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 00:31:34.36 ID:5+kOkN0j.net] >>553 そもそも濃度とは関係ない定義なのですよ ただし可算なら条件の成立は自明というだけのことです あと 楽に証明できればそれに越したことはないので 自明の場合をことさらに分別する必要はありません 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 02:02:59.93 ID:yKt8KVjU.net] ＞もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが それがわかってないってもう壊滅的レベルだな 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 10:34:54.09 ID:033xN+6V.net] おいスレ主、きちんとレスをしろよ 他人の発言をでっちあげたのかオマエ？ 549 １３２人目の素数さん sage 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp >>548 ＞Q全体では、開集合だと言われましたね？ 意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。 どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 615 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:48:11.80 ID:oeOow6Ma.net] >>555 「ぷふ」さん、どうもスレ主です。 レスありがとう 開でなければ閉と誤解してましたね（＾＾ これ>>552ですね 616 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:51:57.60 ID:oeOow6Ma.net] >>557 「ぷふ」さん、どうもスレ主です。 レスありがとう ちょっと質問して良いですか？ （>>303より） ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である． （以下証明の文言から） よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．” １．ここで場合分けをする 　１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である 　２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。 　３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない つづく 617 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:58:51.44 ID:oeOow6Ma.net] >>561 つづき ２．で、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498） 　（その証明（>>513）より） 「定理1.7 のBf について, 　略 　(1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. 　略 　f は(a, b) の上で連続である (2) 　略 　(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」 　この証明中で、そもそも、有理数の点 x ∈ Qは、Rで稠密であるから、”f は(a, b) の上で連続である”の不成立は、当然（リプシッツ連続も含め）（∵稠密な有理点で不連続ゆえ） 　なので、定理1.7による必要もなく、もともとこれ（”連続である(a, b)が取れない”）は自明。 　そして、この背理法による論法もおかしい。 　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、 　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れる� 618 名前：ﾆすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい） ３．で、要は、定理1.7と系1.8とにおいて、”dense（稠密）”という意識が、あまりに希薄になってしまっているように思うのですが・・？ 如何ですかね？ 以上 [] [ここ壊れてます] 619 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:28:32.91 ID:bh2BICch.net] >>562 もともと 620 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:39:46.63 ID:bh2BICch.net] もともと取れないからこそ背理法が効くわけです 可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない という流れですよ ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに 可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続 の論証が最も重要です 621 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:55:35.93 ID:bh2BICch.net] >>562 > 　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、 > 　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい） その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ 622 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:57:59.52 ID:bh2BICch.net] 許されるは変でした 許されないとは言えない ですか 623 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 13:49:33.95 ID:oeOow6Ma.net] >>564 「ぷふ」さん、どうもスレ主です。 早速のレスありがとう（＾＾ >可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続 ここを詳しく書くと A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾 というわけですね だが、命題「B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続だが）かつ稠密であっても））ある開区間で連続」で、 キモは、”例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続）かつ稠密であっても”ってところが、証明できちんと言えているかどうかですよね そういう目で、証明を見て行かないと、すら〜と流してしまうと、ギャップがあっても見えない 「ぷふ」さんの目で見て、そこはどうなんですかね？ 624 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 13:51:56.73 ID:oeOow6Ma.net] >>565-566 >その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ いや、もちろん連続関数です。 ”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能” 　↓ では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？ 例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？ （なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ） 625 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 17:53:13.99 ID:O+kvrrVD.net] >>568 （なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ） おーい！！ スレ主が迷走してるぞ。誰か黄色い救急車を呼んでやってくれ！！ 626 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 17:53:30.15 ID:EtXFZwYa.net] 英語で数学ど突き漫才 627 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:13:34.92 ID:84+rbTu3.net] >>567 >>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続 > >ここを詳しく書くと >A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾 Qで不連続は不要です （ある条件）とは？ 628 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:20:36.30 ID:84+rbTu3.net] >>568 >”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能” >　↓ >では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？ > >例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？ 無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます ところでリプシッツ不連続とは？ 629 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:43:29.01 ID:yKt8KVjU.net] スレ主は知恵遅れ 但し悪知恵だけは人並み以上に発達している 630 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 19:47:04.40 ID:IBTJ7HPw.net] >>571 黄金の救急車ですか？（＾＾ ご苦労さまです（＾＾ >Qで不連続は不要です 同意です なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ >（ある条件）とは？ 系1.8の証明のキーになる定理で >>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より ”f : R → R とする． Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば” が条件です。 なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。 （なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです） 631 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 19:49:19.10 ID:IBTJ7HPw.net] >>572 > 632 名前：無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます ええ、その通りです。なお>>526 の http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より） Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています >ところでリプシッツ不連続とは？ 上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です [] [ここ壊れてます] 633 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:55:00.31 ID:84+rbTu3.net] >>574 ならば >ここを詳しく書くと >A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾 ではなくて A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続 ですよ その条件はAによって満たされています 634 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:02:52.40 ID:84+rbTu3.net] >>575 >上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ } > >に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました つまり xにおいて``リプシッツ不連続''とは limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ ということですか ならば 無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ 635 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:14:55.29 ID:IBTJ7HPw.net] >>576 >A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続 えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。 いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です （しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。） 636 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw.net] >>577 >無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ なるほど それは興味深いですね 出典がありますか？　あれば読んでみたい おっと、このスレには書かないで下さい。 このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、 読みにくくてしかたないのでね（＾＾ 637 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw.net] >>579 訂正 おっと、このスレには書かないで下さい。 　↓ おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。 638 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw.net] >>579-580 補足 いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL） https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513） 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:25:26.12 ID:BhzQ/YUm.net] これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。 >>561 ＞１．ここで場合分けをする ＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは 「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」 ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。 ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、 「 f は(a,b)内の　あ　る　小　さ　な　部　分　区　間　の　上　で　リプシッツ連続である」 ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることには なる。 ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から 証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、 「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」 というスレ主の発言は大間違いである。 [続く] 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:34:25.02 ID:BhzQ/YUm.net] [続き] ＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。 ＞３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない ここは全てが間違っていて、理屈が滅茶苦茶である。 スレ主の(2),(3)の理屈を成り立たせるためには、例の定理の結論が 「どこにもBfを満たす区間(a, b)は取れない」 という結論になっていなければならない。もしこうなっていたら、(2)の場合は、 スレ主の言うように自明であり、証明の必要が無い。しかし、実際には、例の定理の結論は 「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」 という結論なのだから、「(2)の場合は証明の必要が無い」などというスレ主の理屈は全く成り立っておらず、 何かを致命的に勘違いしている。もしかしたら、スレ主は次のような勘違いをしているのかもしれない。 「 (2)の場合、例の定理と組み合わせると、"そのような f は存在しない" ことになるので、 　存在しない f を考えるのは無意味なことであり、ゆえに、この(2)は証明の必要がない。」 これの何が勘違いなのかは 641 名前：明白である。(2)の議論はそもそも、例の定理を「証明する」という前提での議論であるのに、 そこで「例の定理と組み合わせると」などと言って例の定理を適用してしまうなら、 「例の定理を証明するという前提の議論で、例の定理を適用する」 という循環論法に陥っていることになり、これでは何がしたいのか意味不明なのだ。 [] [ここ壊れてます] 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:37:45.80 ID:BhzQ/YUm.net] 結局、ここでのスレ主の勘違いを簡潔に述べると、次のようになる。 (1)での勘違い： 「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは、例の定理の結論は導けず、 結局は例の定理を最初から丸ごと証明しなければならないような事態に陥るのに、 「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」 などと勘違いした。 (2)での勘違い： スレ主は例の定理の結論が何なのかを全く把握せずに、勝手にスレ主自身の手で 場合分けした挙句に、その場合分けによって導かれる結論を 「もともとの例の定理の結論である」 と勝手に勘違いしてしまい、 「ゆえに、この場合は証明の必要がない」 などとトンチンカンな間違いに陥った。もしくは、無意識のうちに 例の定理そのものを適用してしまうという循環論法に陥ったがゆえに、 「この場合は証明の必要がない」 などとトンチンカンな間違いに陥った。 643 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:37:56.49 ID:84+rbTu3.net] >>578 有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない 無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続 どちらも正しいということです ところで 「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？ その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね 成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから 644 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:39:54.53 ID:84+rbTu3.net] >>579 ここで話題の定理の証明を読んでみてください 645 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:09:07.92 ID:IBTJ7HPw.net] >>585 >>585 >有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない >無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続 >どちらも正しいということです へー、どういうこと？ >「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？ >その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね >成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから 同意です 上記のURLにあります 646 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:09:27.29 ID:IBTJ7HPw.net] >>586 >ここで話題の定理の証明を読んでみてください それは、お断りしています（＾＾ でも、斜め読みはしました（＾＾ 647 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:39:44.08 ID:IBTJ7HPw.net] >>582 >よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは >「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」 >ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない ああ、そうなのかい それは、失礼した（＾＾ だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？ 648 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:40:16.00 ID:IBTJ7HPw.net] >>583 系1.8の証明で、 「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？ 補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？ 649 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:48:04.92 ID:O+kvrrVD.net] ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) 650 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:51:02.94 ID:84+rbTu3.net] >>588 こう書くべきでしたか？ 件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ 651 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:54:27.76 ID:84+rbTu3.net] >>587 >>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない >>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続 >>どちらも正しいということです > >へー、どういうこと？ どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです >>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？ >>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね >>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから > >同意です >上記のURLにあります つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:00:10.63 ID:BhzQ/YUm.net] >>589 ＞だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった ＞だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？ 論理が滅茶苦茶。スレ主が>>561で主張していることは、あくまでも 「例の定理は証明の必要がない自明な定理だ」 というものである。俺はその主張に対して反論しているのである。 もし系1.8と絡めて「証明の必要がない自明な定理だ」という主張をしたいのであれば、 ―――――――――――――――――――――――――― 弱い定理： f：R→R は、R−B_f が第一類集合であるとする。 このとき、f はある開区間の上で連続である。 ―――――――――――――――――――――――――― という弱い定理を考えて、 「この "弱い定理" に関してなら、これは証明の必要がない自明な定理だ」 と主張するのが正しい手順である。 そして、スレ主の>>561の発言を "弱い定理" に差し替えて検証し直してみると、 スレ主の(1),(2),(3)のうち 653 名前：、(1)はスレ主の目論見通り、正しいことを言っていることになる。 しかし、(2),(3)が依然として滅茶苦茶であるから、結局、"弱い定理" に差し替えても もスレ主の>>561の主張は間違っていることになる。 [] [ここ壊れてます] 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:10:18.09 ID:BhzQ/YUm.net] >>590 ＞系1.8の証明で、 ＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？ ＞ ＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？ 取れるよ。R−Bf がR中で稠密である場合は、(a, b)の中に、R−Bf の元が取れるよ。 で？その論法を使うことによって、一体どうやって 「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」 という結論を導くのだね？>>561におけるスレ主の最終的な目標は、 「 (2)の場合は自明なので証明の必要がない 」 という主張に持っていくことだろ？より丁寧に書けば、ここでのスレ主の最終的な目標は、 「 (2)の場合は、例の定理の結論が自明に従うので、このケースは証明の必要がない 」 という主張に持っていくことだろ？ そのためには、(2)を使うことで 「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」 という結論が自明に導けなくてはならないだろ？ それで、一体どうやって、(2)からこの結論を自明に導くのだね？ スレ主は(2)から一体何を「結論」しようとしているのだね？ スレ主は何かを盛大に勘違いしまくっているぞ？ 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:47:45.59 ID:BhzQ/YUm.net] >>590 ＞系1.8の証明で、 ＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？ ＞ ＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？ もしかして、スレ主はこういうことが言いたいのか？ ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― (2)：稠密の場合は、どんな開区間(a,b)の中にも R−B_f の元が紛れ込んでしまうが、一方で例の定理によれば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続なので矛盾する。よって、このケースはそもそも起こらないので考えなくてよい。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― もし、このような趣旨の発言をしているつもりならば、 それは>>583の後半で指摘したことと全く同じことであり、これでは何も言えてないぞ？ スレ主は、例の定理が自明であることを実証しようとしているのに、 その最中に例の定理そのものを適用してしまったら循環論法だぞ？ 別の言い方をすると、上記の２行で言っていることは 「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」 というアホな発言なんだぞ？ スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？ 656 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:24:09.60 ID:IBTJ7HPw.net] >>592 >こう書くべきでしたか？ いいえ >件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ それは証明を読まずとも分る 問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾ なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが 定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？ あれば、それを見てみたいのだが・・ 657 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:25:21.75 ID:IBTJ7HPw.net] >>593 >どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです どこかに出典がありそうですね。 よければ、出典を教えて下さい （ε近傍の話かな？） >つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね そうでしょうね 658 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:26:09.73 ID:IBTJ7HPw.net] >>596 >スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？ 単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正） 　１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である 　２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。 それだけ 659 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:27:26.00 ID:RoioNB9e.net] >>598 >>>593 >>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです >どこかに出典がありそうですね。 ？ 660 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:28:11.53 ID:yKt8KVjU.net] ＞というアホな発言なんだぞ？ アホなスレ主の発言は当然アホです 661 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:33:13.35 ID:yKt8KVjU.net] ＞「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」 それにしても、如何にもスレ主らしい発言で微笑ましいな 662 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:37:52.17 ID:RoioNB9e.net] >>597 >>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ > >それは証明を読まずとも分る 読まずに分かる理由がありません あなたは >>579 >>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ > >なるほど >それは興味深いですね > >出典がありますか？　あれば読んでみたい と書いたではありませんか 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 23:44:06.43 ID:BhzQ/YUm.net] >>597 ＞なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです 繰り返すが、その>>561は何の批判にもなってないと既に指摘している。 お前がそこで言っていることは循環論法である。特に(2)が壊滅的である。 お前が>>561で言っていることは 「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」 というアホな発言である。これでは何の批判にもなってない。 >>599 ＞単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正） ＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である ＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。 ＞それだけ で？そのあとの最終的な結論は？ 「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」 ということが言いたいんだろ？それがお前の、このレスにおける最終的な結論だろ？ だが、(2)の場合はどうやって「自明だ」という状況まで持っていくつもりなんだ？ 持っていけないだろ？何度も指摘したが、お前の勘違いだろ？ 勘違いした部分は「勘違いでした」と公言しろよ。 「 >>561 は何の批判にもなってません� 664 名前：ﾅした」 と公言しろよ。 [] [ここ壊れてます] 665 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 00:20:21.68 ID:iglE7lrj.net] つまりスレ主は「自明」という言葉の用例を説明したかったと、そういう訳ですな？ 666 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:13:01.58 ID:JqNELMW3.net] >>603 >>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ >>それは証明を読まずとも分る >読まずに分かる理由がありません 定理が正しいとは言っていない。 どういう結論を導いているのかは、命題の部分を読めば分るよ 667 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:13:19.94 ID:JqNELMW3.net] >>604 >で？そのあとの最終的な結論は？ 単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正） 　１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である 　２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。 それだけ 668 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:20:51.76 ID:JqNELMW3.net] >>607 （補足） １）の場合 　lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする 　区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする 　｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける 　区間(a, b)で、リプシッツ連続である 以上 669 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 07:22:52.70 ID:ipSdYKfI.net] >>606 興味深い結果であると思っているのに証明は読まないのですね 670 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:33:28.07 ID:JqNELMW3.net] >>608 訂正 　区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする 　｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける 　　　↓ 　区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする 　lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける かな（＾＾ 671 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:35:45.45 ID:JqNELMW3.net] >>609 興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ 672 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 08:18:09.34 ID:iglE7lrj.net] とことん権威主義のスレ主 673 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 19:17:28.64 ID:1BgoCI8d.net] >>612 残念ながらその通りのようです ね 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:28:08.95 ID:hLkm2n+q.net] >>607 「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、 「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」 という当初の主張は撤回するということだな？ だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:30:45.64 ID:hLkm2n+q.net] >>608,>>610 ＞１）の場合 ＞lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする ＞区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする ＞｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける ＞区間(a, b)で、リプシッツ連続である 息をするように間違えるゴミクズ。もしそのような M が取れるなら、 確かに f は(a,b)上でリプシッツ連続となるが、既に述べたように、 「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a,b)が存在する」 という条件からは、 「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」 という条件は導けないので、お前のレスは自動的に間違っており、 そのような M は実際には必ずしも取れないことになる。以下で具体例を挙げる。 f(x)＝ 0 (x＝0),　x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0) と置くと、この f：R → R は各点で微分可能なので、特に B_f＝R が成り立つ。特に (−1, 1) ⊂ B_f が成り立つ。しかし、Af(x) ≦ M (x∈(−1, 1)) が成り立つような定数 M は 取れないことがすぐに分かる。さらに、 「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」 という条件も成り立たないことが確認できる。本当にゴミクズだなお前は。 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:34:57.60 ID:hLkm2n+q.net] >>611 ＞興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ あほくさ。未だにこのような詭弁を繰り返している。 例の定理の真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身が 「この定理には反例がある」 「この定理は別の定理からすぐに従う」 「この定理は自明なことしか言ってない」 などと真偽について口出しし続けているのはダブルスタンダードだろ。 真偽はプロに委ねるんじゃなかったのか？ 真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身はもう　黙　れ　よ　ゴミクズ。 677 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 20:48:54.37 ID:iglE7lrj.net] スレ主をゴミ屑扱いしたら ゴミ屑に失礼だと思います 678 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 21:03:28.57 ID:yXAHgbHQ.net] 定理の真偽は神託を行い神に委ねるべき 679 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 21:45:00.18 ID:JqNELMW3.net] 新スレ立てた このスレはもうすぐ512KBオーバーになるので、そのt後に行きましょう（＾＾ 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/ 680 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 22:09:20.11 ID:iglE7lrj.net] まだバカ自慢したいの？ 681 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 23:17:07.10 ID:JqNELMW3.net] >>614 場合分けは、普通は、証明のためだよ 自得するのを、待ったんだが・・（＾＾ 貴方の証明を斜め読み� 682 名前：ｵたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、 証明していないように見えるが、どう？ [] [ここ壊れてます] 683 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 23:20:04.92 ID:JqNELMW3.net] >>615 ふーん、貴方は力があるね（＾＾ だが、それ自分で”反例”を見つけたことになっていないか？ あなたは、「f(x)＝ 0 (x＝0),　x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)」（これを”反例関数”と名付ける）が、(−1, 1) ⊂ B_fだが、”「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」という条件も成り立たない”という おそらく、x＝0の近傍でだね だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ） 684 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 23:33:13.64 ID:hLkm2n+q.net] >>621-622 返答は次のスレッドで行う。 685 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/28(木) 07:07:12.04 ID:SyQ5vVJB.net] ♨ 686 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/29(金) 22:24:58.51 ID:NkuzGyy/.net] 感動する数学って本持ってる人このスレでID付きでうpしてくれ 今日中なら大丈夫 【年末年始暇な奴来い】安価で指定されたものを全力で探してうｐするスレ hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1514548120/ 687 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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