- 538 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:27:59.44 ID:Q5UHveEY.net]
- >>489 つづき
補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？
・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
（参考：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合））
・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると
１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
つづく
|
 |
