- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:36:25.58 ID:U1NU7yFp.net]
- [続き]
Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、
Q'＝(0,1)∩V
が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。
次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、
Q'＝(0,1)∩K
が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。
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