- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:53:18.05 ID:ANqzVc/X.net]
- ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)
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定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
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なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
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f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
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もしくは
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。
ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。
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