- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/20(水) 16:15:45.24 ID:LeJ8GKPP.net]
- あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。
まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。
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g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、
limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。
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これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。
で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
も成り立ち、そして上に書いた事実により
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。
このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、
とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。
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