ガロア生誕200周年記念スレ part 6

1 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/23(木) 09:04:21.71 ] 2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日 Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を 語るスレです。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。 なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては 原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。 159 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 18:16:05.20 ] 定義 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を A-線型環としての準同型とする。 各整数 n ≧ 0 n に対して f(B_n) ⊂ C_n となるとき f を次数付き A-線型環としての準同型と言う。 160 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 18:20:17.25 ] 命題 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。 次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。 このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。 161 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 18:21:03.59 ] >>160の修正 定義 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。 次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。 このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。 162 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 18:33:27.47 ] 命題 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 f は全単射であるとする。 このとき f は 次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。 証明 各整数 n ≧ 0 に対して f(B_n) = C_n であることを示せば良い。 任意の y_n ∈ C_n をとる。 f は全射だから f(x) = y_n となる x ∈ B がある。 x = x_0 + ．．．+ x_m とする。 ここで m ≧ n である。 f(x) = f(x_0) + ．．．+ f(x_m) 各 i （1 ≦ i ≦ m）に対して f(x_i) ∈ C_i であるから i = n のとき f(x_i) = y_n i ≠ n のとき f(x_i) = 0 である。 f は単射だから i ≠ n のとき x_i = 0 である。 よって、x = x_n である。 よって、f(B_n) = C_n である。 証明終 163 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 19:32:37.93 ] 記法 a = (a_1、．．．、a_n) を (Z+)^n（>>73）の元とする。 a_1 + ．．．+ a_n を |a| と書く。 a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を wt(a) と書く(wt は重さweightの略)。 164 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/09(金) 19:34:44.52 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！ 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！ 165 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/09(金) 19:41:22.45 ] >>164 お前は被災地にいけ！！！！！！！！！！！！！１１＠＠＠＠ 166 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 19:46:35.32 ] 命題 a と b を (Z+)^n（>>73）の元とする。 >>98で a + b が定義された。 このとき （1）|a + b| = |a| + |b| （2）wt(a + b) = wt(a) + wt(b) である。 証明 a = (a_1、．．．、a_n)、b = (a_1、．．．、a_n) とする。 a + b = (a_1 + b_1、．．．、a_n + b_n) である。 （1） |a + b| = (a_1 + b_1) + ．．．+ (a_n + b_n) = (a_1 + ．．．+ a_n) + (b_1 + ．．．+ b_n) = |a| + |b| （2） wt(a + b) = (a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) + ．．．+ n(a_n + b_n) = (a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n) + (b_1 + 2b_2 + ．．．+ nb_n) = wt(a) + wt(b) 証明終 167 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 19:59:08.88 ] 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で p = |a|（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。 >>166より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。 よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同次多項式である。 このとき B の次数付けは同次であると言う。 168 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 20:02:42.56 ] 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で p = wt(a)（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。 >>166の（2）より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。 よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同重多項式（>>130）である。 このとき B の次数付けは同重であると言う。 169 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 22:02:08.22 ] 定義 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。 C が A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和であるとき C を B の次数付き A-線型部分環と言う。 170 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 22:08:05.98 ] 定義 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 B の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 このとき、各 x_n を x の n 次の同次成分と呼ぶ。 171 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 22:22:18.99 ] 命題 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。 C が B の次数付き A-線型部分環（>>169）であるためには C の任意の元の各同次成分（>>170）が C に属すことが必要十分である。 証明 必要性： C が B の次数付き A-線型部分環であるとする。 C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C の任意の元 x は x = Σy_n と一意に書ける。 ここで y_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 他方、x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、y_n = x_n、n = 0、1、．．．である。 よって、各 x_n は C に属す。 十分性： C の任意の元の各同次成分が C に属すとする。 C の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 仮定より各 x_n は C に属すから x_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C は B の次数付き A-線型部分環である。 証明終 172 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 22:30:27.11 ] 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。 このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。 証明 >>65と>>171より明らかである。 173 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:16:06.43 ] 定義 A を可換環とする。 B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．を A-部分加群 B_n の直和とし、 (B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。 >>158より B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 このとき、各 B_n を B の n 次の同次成分と呼ぶ。 174 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:27:30.14 ] 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。 >>172より A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。 C = A[Y_1、．．．、Y_n] を n 変数の多項式環とする。 C の次数付けを同重（>>168）として C を次数付き A-線型環と見なす。 A-線型環としての準同型 ψ：C → A[X_1、．．．、X_n]_sym を ψ(Y_k) = s_k、k = 1、．．．、n で定義する。 このとき ψ は次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。 証明 >>111より ψ は全射である。 >>120より ψ は単射である。 各整数 p ≧ 0 に対して C_p を C の p 次の同次成分（>>173）とする。 C_p は単項式 Y^a = (Y_1)^(a_1)．．．(Y_n)^(a_n) で p = wt(a) （>>163）となるもの全体で生成される C の A-部分加群である。 ψ(Y_a) = (s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) であるから deg ψ(Y_a) = a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n = wt(a) = p よって、ψ(C_p) ⊂ B_p である。 ここで B_p は B の p 次の同次成分である。 よって、ψ は次数付き A-線型環としての準同型（>>159）である。 よって、>>162より ψ は次数付き A-線型環としての同型である。 証明終 175 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:35:30.07 ] 注意 >>174より>>127の別証が直ちに得られる。 >>127の証明より>>174の方が明解である。 同様に>>151において重さに関する部分は>>174に任したほうが良い。 176 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:55:36.39 ] >>175を踏まえて>>111の別証 命題 A を可換環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。 このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。 証明 m = deg f（>>134）とする。 n と m に関する２重帰納法を使う。 n ≦ 1 のときは自明である。 n ＞ 1 とする。 A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。 >>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n よって、ψ(s_k) = t_k （続く） 177 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:56:20.62 ] >>176の続き ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] があり ψ(f) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) となる。 ψ(f - P(s_1、．．．、s_(n-1))) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) - P(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0 よって、>>136より f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は X_n で割れる。 f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i （1 ≦ i ≦ n - 1）で割れる。 よって、f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は s_n = (X_1)．．．(X_n) で割れる。 よって、 f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] がある。 任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）をこの等式の両辺に作用（>>64）させると f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)σh よって、(s_n)h = (s_n)σh >>159より h = σh よって、h は対称多項式である。 deg P(s_1、．．．、s_(n-1)) = deg P(t_1、．．．、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) ≦ m deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n ＜ m よって、帰納法の仮定より h = H(s_1、．．．、s_n) となる H ∈ A[X_1、．．．、X_n] がある。 G(X_1、．．．、X_n) = P(X_1、．．．、X_(n-1)) + X_nH(X_1、．．．、X_n) とおけば f = G(s_1、．．．、s_n) である。 証明終 178 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 10:43:27.82 ] 定義 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 G の固定体（過去スレpart4の863）を K(X_1、．．．、X_n)_sym と書き K 上の n 変数の対称有理関数体と言う。 K(X_1、．．．、X_n)_sym の元を K 上の n 変数の対称有理関数と呼ぶ。 179 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 11:52:26.01 ] 命題 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>6）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。 証明 A = K[X_1、．．．、X_n] S = K(X_1、．．．、X_n)_sym R = K[X_1、．．．、X_n]_sym とおく。 R の商体を M とする。 R ⊂ S だから M ⊂ S よって、逆の包含関係を示せば良い。 G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 f ∈ S を任意の対称有理関数とする。 f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。 h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。 h’∈ R である。 h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。 g’= h’f とおく。 g’= h’(g/h) ∈ A 一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。 よって、g’∈ A ∩ S = R よって、f = g’/h’∈ M よって、S ⊂ M 証明終 180 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 12:04:00.06 ] >>179の修正 命題 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。 証明 A = K[X_1、．．．、X_n] S = K(X_1、．．．、X_n)_sym R = K[X_1、．．．、X_n]_sym とおく。 R の商体を M とする。 R ⊂ S だから M ⊂ S よって、逆の包含関係を示せば良い。 G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 f ∈ S を任意の対称有理関数とする。 f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。 h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。 h’∈ R である。 h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。 g’= h’f とおく。 g’= h’(g/h) ∈ A 一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。 よって、g’∈ A ∩ S = R よって、f = g’/h’∈ M よって、S ⊂ M 証明終 181 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 12:07:20.29 ] 命題 K を可換体とする。 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。 証明 >>111より K[X_1、．．．、X_n]_sym = K[s_1、．．．、s_n] よって、>>180より K(X_1、．．．、X_n)_sym = K(s_1、．．．、s_n) 証明終 182 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 05:29:29.64 ] 命題 K を可換体とする。 f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 f(X) の L における根全体の集合を S とする。 任意の σ ∈ G に対して σ(S) ⊂ S であり S は有限集合であるから σ(S) = S である。 よって、σ は S の置換を引き起こす。 よって S は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき S は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。 証明 σ ∈ G が S の恒等写像を引き起こすとする。 σ = 1 を示せば良い。 S = {α_1、．．．、α_m} とする。 L = K(α_1、．．．、α_m) （過去スレpart4の539）である。 過去スレpart4の609より L = K[α_1、．．．、α_m] である。 よって L の任意の元 x に対して x = G(α_1、．．．、α_m) となる G ∈ K[X_1、．．．、X_m] がある。 σ(x) = σ(G(α_1、．．．、α_m)) = G(σ(α_1)、．．．、σ(α_m)) = G(α_1、．．．、α_m) = x よって、σ = 1 である。 証明終 183 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 05:45:19.02 ] 命題 K を可換体とする。 f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。 証明 過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。 よって、L/K が分離的（過去スレpart4の843）なことを証明すれば良い。 f(X) の L における根全体の集合を {α_1、．．．、α_n} とする。 L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）である。 各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して g_i(X) を α_i の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）とする。 f(α_i) = 0 であるから f(X) は g_i(X) で割れる。 f(X) は分離的であるから g_i(X) も分離的である。 よって、α_i は K 上分離的（過去スレpart4の841）である。 よって、過去スレpart1の271より L/K は分離的である。 証明終 184 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 06:00:41.86 ] 命題 K を可換体とする。 f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 f(X) の次数を n とする。 このとき [L ： K] ≦ n！ である。 証明 >>183より L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 過去スレpart1の317より |G| = [L ： K] であるから |G| ≦ n！ を示せば良い。 f(X) の L における根全体の集合を S = {α_1、．．．、α_n} とする。 >>182より S は忠実な G-集合である。 よって、G は S 上の対称群 Sym(S)（>>6）の部分群と同型である。 |Sym(S)| = n！ であるから |G| ≦ n！ である。 証明終 185 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 06:22:25.30 ] Galois理論を使って>>181の別証をしよう。 命題 K を可換体とする。 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。 証明 S = K(X_1、．．．、X_n)_sym とおく。 M = K(s_1、．．．、s_n) とおく。 G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で G = Aut(L/S) である。 過去スレpart1の317より |G| = [L ： S] であるから [L ： S] = n！ である。 （続く） 186 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 06:23:32.50 ] >>185の続き L[Z] を１変数の多項式環とする。 f(Z) = (Z - X_1)．．．(Z - X_n) ∈ L[Z] である。 >>70より f(Z) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) Z^k よって、f(Z) ∈ M[Z] である。 X_1、．．．、X_n は f(Z) の根であり、L = M(X_1、．．．、X_n) であるから L/M は f(Z) の最小分解体（過去スレpart4の542）である。 f(Z) は分離的（過去スレpart4の694）であるから>>184より [L ： M] ≦ n！ である。 一方、M ⊂ S だから過去スレpart4の561より [L ： M] = [L ： S] [S ： M] よって、[L ： S] ≦ [L ： M] [L ： S] = n！ だから n！ = [L ： S] ≦ [L ： M] ≦ n！ よって、[L ： S] = [L ： M] = n！ よって、[S ： M] = 1 よって、S = M 証明終 187 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 06:32:33.46 ] くだらん 188 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 06:53:09.90 ] >>187 下らんのはオマエや。 猫 189 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 07:31:52.43 ] 命題 K を可換体とする。 L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）とする。 このとき α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立（>>119）であるためには n = tr.dim L/K（過去スレpart5の36）となることが必要十分である。 証明 必要性： 自明である。 十分性： n = tr.dim L/K とする。 α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立でないとする。 n = tr.dim L/K であるから α_1、．．．、α_n の中に K 上代数的でないものがある。 よって、過去スレpart5の34より {α_1、．．．、α_n} の部分集合で L/K の超越基底（過去スレpart5の9）であるものが存在する。 {α_1、．．．、α_n} は L/K の超越基底でないから tr.dim L/K ＜ n となり矛盾である。 証明終 190 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 07:38:02.79 ] 命題 K を可換体とする。 B = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立（>>119）である。 証明 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）とおく。 M = K(s_1、．．．、s_n）とおく。 >>185より S = M である。 >>185の証明より [L ： S] = n！ である。 よって、L/M = L/S は有限次拡大である。 過去スレpart5の38より tr.dim L/K = tr.dim L/M + tr.dim M/K tr.dim L/K = n L/M = L/S は有限次拡大であるから tr.dim L/M = 0 よって、tr.dim M/K = n よって、>>189より s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立である。 証明終 191 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 07:40:45.23 ] 注意 >>190は>>120において A が体の場合の別証である。 192 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 09:59:29.46 ] 命題 K と L を可換体とする。 ψ： K → L を同型（過去スレpart4の513）とする。 f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。 E/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 (ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。 F/L を (ψf)(X) の最小分解体とする。 このとき、Aut(E/K)（過去スレpart4の847）と Aut(F/L) は同型である。 証明 G = Aut(E/K) H = Aut(F/L) とする。 過去スレpart4の622より同型 φ：E → F で ψ の拡張となっているものが存在する。 σ ∈ G に対して φσφ^(-1) ∈ H を対応させる写像を f：G → H とする。 τ ∈ H に対して φ^(-1)τφ ∈ G を対応させる写像を g：G → H とする。 f と g は準同型であり互いに逆写像である。 よって、G と H は同型である。 証明終 193 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 11:23:24.40 ] つまんね 194 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:36:13.60 ] >>187 >>193 アホは判断力がないから何を言っても見当はずれｗ 195 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:43:22.45 ] は？僻むなｗｗｗ 196 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:46:24.68 ] は？じゃねえよｗ 197 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:52:08.85 ] >>Kummer くだらねぇカキコをするんじゃねぇ 被災者の方に謝罪はしたのか？ 198 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:54:20.54 ] 何の謝罪？ 199 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 12:59:26.36 ] >>Kummer さんざん被災者の方を侮辱したあの日の出来事を、絶対に許さない。 200 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 13:01:01.77 ] >>197 オマエはド阿呆か。謝罪の必要なんてアラヘン。騒いだら叩くゾ。 猫 201 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/11(日) 13:02:50.21 ] >>199 何故被災者を侮辱した事にナルのかを説明せえや。 猫 202 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 13:23:56.78 ] さんざん人殺しやレイプをしてきたのに懲りないKummerに謝罪要求とか無意味だろｗ 203 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 13:59:47.50 ] 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。 このとき (U + X_1)．．．(U + X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k) ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。 証明 >>67において V に 1 を代入すればよい。 204 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 14:15:53.20 ] 命題 K を可換体とする。 L = K(a_1、．．．、a_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 f(X) = X^n + a_1X^(n-1) + ．．．+ a_(n-1)X + a_n ∈ L[X] の最小分解体（過去スレpart4の542）を E/L とする。 このとき E/L はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり、 Aut(E/L) は集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）と同型である。 証明 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 M = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 G を {1、．．．、n} 上の対称群とする。 >>10より G は Aut(M/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 S = K(s_1、．．．、s_n）とする。 >>185より S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）である。 よって、S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから Artinの定理（過去スレpart1の438）より M/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で G = Aut(M/S) である。 >>203より (U + X_1)．．．(U + X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k) よって、M/S は g(U) = (U + X_1)．．．(U + X_n) ∈ S[U] の最小分解体（過去スレpart4の542）である。 >>189より s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立である。 よって、K-同型（過去スレpart4の514）ψ：L → S で各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して ψ(a_i) = s_i となるものがある。 (ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。 ψf = g(X) であるから>>192より Aut(E/L) は G = Aut(M/S) に同型である。 証明終 205 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 15:15:06.00 ] 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_r を I の元の列とする。 J = {i_1、．．．、i_r} とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の任意の元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 206 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 15:21:28.52 ] >>205 通常の巡廻置換の定義と違うがな 例えば (1324) 207 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 15:22:28.90 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>205）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 208 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 15:29:34.78 ] >>206 有難うございます 見てる人もいるということでｗ 209 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/11(日) 15:29:47.78 ] 定義だから自由と云えば自由だが。 210 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 15:38:08.87 ] >>205の修正 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 211 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 15:43:15.39 ] >>207の修正 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>210）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/11(日) 19:21:51.35 ] >>188 >名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY [age] 投稿日：2012/03/11(日) 06:53:09.90 猫はこんな早朝でも熊のスレに貼りついてるのか？ｗｗ　リアルタイムで追っていたら笑える。 猫と熊って似てるｗ 213 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 19:30:11.47 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は台（>>211）が互いに交わらない巡回置換（>>210）の積として一意に表される。 証明 σ を G の任意の元とする。 σ で生成される G の巡回部分群を H とする。 H は I 上の置換群（>>7）と見なされる。 よって、過去スレpart5の92より I は H による軌道により直和分割される。 i を I の任意の元とする。 Z を有理整数環とする。 O(i) = {σ^m(i)； m ∈ Z} を i の H に関する軌道（過去スレpart5の92）とする。 σ^m(i) = i となる最小の整数 m ≧ 1 を r とする。 任意の整数 m に対して m = rq + k、0 ≦ k ＜ r となる整数 q、k が存在する。 σ^m(i) = σ^k(i) である。 よって、O(i) = {i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)} となる。 このとき τ = (i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)) は長さ r の巡回置換（>>210）であり、 σ は O(i) 上で τ と一致する。 I は軌道により直和分割されるから σ は台が互いに交わらない巡回置換の積として表される。 これが一意であることは明らかである。 証明終 214 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/11(日) 19:58:03.24 ] 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもは、福島原発の作業員となって、 　少しでも、人の役に立て！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 215 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 05:42:34.10 ] 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の長さ 2 の巡回置換（>>210）を互換と言う。 216 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/12(月) 05:48:12.63 ] >>Kummer 朝から屑みたいなカキコをしおって… 被災者の方への謝罪はどうなったんだ？ 217 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 05:53:24.45 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は互換（>>211）の積として表される。 証明 n に関する帰納法による。 n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。 n ＞ 1 とする。 σ を G の任意の元とする。 σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。 σ(n) = m、n ≠ m とする。 τ を互換 (n, m) とする。 τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。 よって、σ = τ(τσ) は 互換の積として表される。 証明終 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/12(月) 06:43:14.94 ] >>Kummer 朝から屑みたいなカキコをしおって… 被災者の方への謝罪はどうなったんだ？ 219 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/12(月) 06:49:40.13 ] >>218 何でKummer氏が被災者に謝罪せなアカンのや？　ソレよりもオマエが低脳税 を納めろや。ソコまで頭が悪いと低脳税が高いゾ。 猫 220 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/12(月) 06:52:44.04 ] >>Kummer オマエだけは許さない。 221 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/12(月) 06:57:30.24 ] >>220 でも許さなくても何も変わらない。馬鹿が苛立つだけ。 猫 222 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 07:07:22.41 ] >>217の修正 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は互換（>>215）の積として表される。 証明 n に関する帰納法による。 n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。 n ＞ 1 とする。 σ を G の任意の元とする。 σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。 σ(n) = m、n ≠ m とする。 τ を互換 (n, m) とする。 τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。 τ^2 = 1 だから σ = (ττ)σ = τ(τσ) よって、σ は 互換の積として表される。 証明終 223 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 07:09:16.13 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換（>>215）の積として表される。 証明 (a, b) を互換とする。 1 ≠ a、1 ≠ b のとき (a, b) = (1, a)(1, b)(1, a) よって、本命題は>>222より直ちに得られる。 証明終 224 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/12(月) 07:16:24.05 ] >>Kummer 俺の怒りのボルテージはとっくに満タンじゃ。 そろそろ突き抜けそうだがな。 225 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 07:24:45.70 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の長さ r の巡回置換（>>210）は r - 1 個の互換（>>215）の積となる。 即ち、(a_1、．．．、a_r) = (a_1, a_r)(a_1, a_(r-1))．．．(a_1, a_2) 証明 自明である。 226 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 08:00:53.10 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ = (a_1、．．．、a_r) を G の巡回置換（>>210）とする。 このとき、任意の τ ∈ G に対して τστ^(-1) = (τ(a_1)、．．．、τ(a_r)) 証明 自明である。 227 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 08:11:41.78 ] 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換（>>215）の積として表される。 証明 >>223より (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換が (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換の積となることを証明すれば良い。 n に関する帰納法を使う。 n ≦ 2 のときは自明である。 n ＞ 2 とする。 1 ＜ k ＜ n のとき帰納法の仮定より (1, k) は (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 2 の形の互換の積となる。 >>226より (1, n) = (n - 1, n)(1, n - 1)(n - 1, n) ここで (1, n - 1) は上記より (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 2 の形の互換の積となる。 よって、(1, n) は (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換の積となる。 証明終 228 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 08:24:08.67 ] 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 I の元の組 (i, j) ∈ I×I で i ＜ j かつ σ(i) ＞ σ(j) となるものを σ の転移という。 σ の転移の個数を ν(σ) と書く。 229 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 08:49:11.33 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 Z を有理整数環とする。 A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。 >>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。 このとき、任意の σ ∈ G に対して σΔ = (-1)^ν(σ) Δ である。 ここで、ν(σ) は σ の転移の個数（>>228）である。 証明 自明である。 230 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:01:14.40 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 Z を有理整数環とする。 (-1)^ν(σ) ∈ Z を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。 ここで、ν(σ) は σ の転移の個数（>>228）である。 231 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:17:25.39 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 Z を有理整数環とする。 {-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像 sgn：G → {-1、1} は群としての準同型である。 証明 A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。 >>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。 σ と τ を G の元とする。 >>229より (στ)Δ = σ(τΔ) = σ(sgn(τ)Δ) = sgn(τ)sgn(σ)Δ 一方、(στ)Δ = sgn(στ)Δ よって、sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ) 証明終 232 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:28:28.44 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の互換（>>215）σ に対して sgn(σ) = -1 である。 証明 ρ = (n - 1、n) とする。 ρ の転移（>>228）の個数は 1 である。 よって、sgn(ρ) = -1 である。 >>226より τ ∈ G で σ = τρτ^(-1) となるものがある。 >>231より sgn(σ) = sgn(τρτ^(-1)) = sgn(τ)sgn(ρ)sgn(τ^(-1)) = sgn(ρ) = -1 証明終 233 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:33:15.75 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。 sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。 234 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:40:16.95 ] 命題 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ を G の元とする。 >>222より σ は互換（>>215）の積として表される。 このとき、 σ が偶置換（>>233）であるためには σ が偶数個の互換の積となることが必要十分である。 σ が奇置換（>>233）であるためには σ が奇数個の互換の積となることが必要十分である。 証明 >>231と>>232から明らかである。 235 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:53:28.67 ] 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>231より sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を {1、．．．、n} 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>233）からなる。 236 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:58:48.88 ] 定義 G を集合 I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 H を I 上の交代群（>>235）とする。 このとき H は G の指数 2 の正規部分群である。 よって、H の位数は n！/2 である。 証明 >>232より sgn：G → {-1、1} は全射であるから G/H は {-1、1} と同型である。 証明終 237 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:41:44.41 ] 命題 H を集合 {1、．．．、n} 上の交代群（>>235）とする。 H の任意の元は長さ 3 の巡回置換（>>210）の積となる。 証明 n ＜ 3 のときは自明だから n ≧ 3 とする。 >>223と>>234より H の任意の元は (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換（>>215）の偶数個の積として 表される。 3 ≦ a、b ≦ n とする。 >>225より �@）(1, a)(1, 2) = (1, 2, a) �A) (1, 2)(1, b) = (1, b, 2) よって、 �B) (1, a)(1, b) = (1, a)(1, 2)(1, 2)(1, b) = (1, 2, a)(1, b, 2) (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換の２個の積は同じもの同士の積を除けば上記の場合で尽くされる。 証明終 238 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:54:31.65 ] 定義（>>210の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 239 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:56:48.23 ] 定義（>>211の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>238）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 240 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 10:58:34.62 ] 定義（>>215の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 G の長さ 2 の巡回置換（>>238）を互換と言う。 241 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 11:05:17.09 ] 命題（>>213の拡張） G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は台（>>239）が互いに交わらない巡回置換（>>238）の積として一意に表される。 証明 >>213と同様である。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/13(火) 00:58:14.65 ] >>208 構ってもらってうれしそうだねｗｗ 243 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/13(火) 04:46:09.60 ] >>Kummer くだらねぇ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜 244 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/13(火) 06:27:07.42 ] >>243 『くだらねぇ〜』のはアンタの脳や。そやし腐る前に摘出して貰え。 猫 245 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/14(水) 04:23:19.44 ] >>Kummer オイ、挨拶シロ。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 06:07:10.51 ] なんでいまさらしょうもないことやってんの 工程表をもう一回くれ。各スレの始めに目次と進み具合を書いてよ わかりにくくてしょうがないわ 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:02:03.49 ] よこから失礼します。 >>246 工程表 ガロア生誕200周年記念スレ part 4 に書き込まれたものが以下。 ---------------- ココカラ　-------- 158 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 19:23:09.09 >>153 工程表： 無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論 ---------------- ココマデ　-------- 248 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/14(水) 15:09:10.82 ] >>247 お前に聞いとらん　失せろ 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:17:19.47 ] >>246 わかりにくくてしょうがないわ ガロア生誕200周年記念スレ part 4 にも　同様の書き込みが。 100 ：１３２人目の素数さん は、Kummerとは別の人とおもわれる ------------------------ ここから　--------- 100 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 12:27:28.55 >>94 検索しやすくなるように､索引を適宜つくってほしい そうしないと､書き込んだ本人しか分からない(事態になってしまうように…) （杞憂？） ------------------------ ここまで　-------- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/14(水) 15:25:13.78 ] >>248 あら、スイませーん　〜♪ 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/15(木) 06:59:25.25 ] 　（　フェルマー予想が成立するための十分条件が、 　 　 　 ,' ／　　 　 　 ,ヽ 　 `､　`<／':, ':, （　志村ー谷山予想が成立することですわ。さくらちゃん 　　 　 ,''´　　　 ':, 　 　';,ﾞ:､ 　 ';,　 ﾞ､　 ';, ',（ 　　　 ,'. 　 　　　 };　! 　',',|ﾞ､　 lﾞ, 　 !　 |', ! ￣￣￣￣￣￣￣l／￣ヽ ヽ､￣':,￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　 !. 　 　 | 　 |l　|;　 | ! ,l　 N 　| 　,' |l .,'　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､　 ＼ ', 　　 , |　|　　.,'|　 ﾚl ,'.l　,' 　 ! /　} /　/　'./　　 　 ,:' 　　,., 　 　 　 　 　',_..-''" ! 　　 ! |　!　 .,' レ/ |/ |.,:' 　 ﾉ"_　",'／　,〃 　 　,,;'' 　　.,',' 　 　 　 　 　 } }　 　! 　 　| | ,'| ,,/イ, '　´　'´　　　,;:=::ｯ1}-;＝=;;;;;;;; '∠_　　,:'/　　　　 , , 　 　|,' 　　! 　l　 ',',.ﾚ!./ ﾉ' _.......　　　　　´　　 | |　　　 ￣｀ﾞﾞﾞﾞ"￣'´'､_　 　　,':,'　　, ,' 　　 ! 　 !　 ',', l'　_,;;:'''"ﾞﾞﾞ` 　 　 　 　 　 l lヾ:､　..___　　　　　　`ﾐ;;､　/:/ 　 ,'.,'　　　| 　 ', ',　ﾞ;､ ﾌﾞ´　.....::::: 　 　　' 　　,ｨ j ...｀ﾞﾞ'＝= 　 　 　 　 　｀ヾ､<. 　,:',:'　　　 ! 　', ', ':,　',` U ::::　 　 　､:::ｧ' 　／!| j　::::::::...　　 　 　 ,､ヽ._ 　　｀>ン'´　　　　| 　 ';, ':, ':, ヽ.._u　　　　　　　／ｨ　!ﾚ､　　　　　　　　 ....ヾ::､､ ,イ〃　　　　　　| 　 ':,''i:､ヽヽ.ヽ ｀｀ﾞ`' ー-,＜_ノﾉ.,ｲ|_|ヽ　　　 ` ｰ　´　::::::... 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