命題 A を可換環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）= A[s_1、．．．、s_n] である。 即ち、A 係数で n 変数の任意の対称多項式は s_1、．．．、s_n の A 係数の多項式として表される。
証明 >>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。 M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。 M は整列集合の部分集合であるから整列集合である。 各 a ∈ M に対して次の命題 P(a) を考える。
P(a)：a = mdeg(g) となる g ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym は常に g ∈ A[s_1、．．．、s_n] となる。
>>107より g ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym の元としたとき mdeg(g) ∈ M である。 よって、M の全ての元 a に対して P(a) が真であることを証明すれば良い。 そのため M に関する超限帰納法（>>110）を使う。
