ガロア生誕200周年記念スレ part 6

174 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 23:27:30.14 ] 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。 >>172より A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。 C = A[Y_1、．．．、Y_n] を n 変数の多項式環とする。 C の次数付けを同重（>>168）として C を次数付き A-線型環と見なす。 A-線型環としての準同型 ψ：C → A[X_1、．．．、X_n]_sym を ψ(Y_k) = s_k、k = 1、．．．、n で定義する。 このとき ψ は次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。 証明 >>111より ψ は全射である。 >>120より ψ は単射である。 各整数 p ≧ 0 に対して C_p を C の p 次の同次成分（>>173）とする。 C_p は単項式 Y^a = (Y_1)^(a_1)．．．(Y_n)^(a_n) で p = wt(a) （>>163）となるもの全体で生成される C の A-部分加群である。 ψ(Y_a) = (s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) であるから deg ψ(Y_a) = a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n = wt(a) = p よって、ψ(C_p) ⊂ B_p である。 ここで B_p は B の p 次の同次成分である。 よって、ψ は次数付き A-線型環としての準同型（>>159）である。 よって、>>162より ψ は次数付き A-線型環としての同型である。 証明終

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