- 162 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/09(金) 18:33:27.47 ]
- 命題
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。
f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。
f は全単射であるとする。
このとき f は 次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。
証明
各整数 n ≧ 0 に対して f(B_n) = C_n であることを示せば良い。
任意の y_n ∈ C_n をとる。
f は全射だから f(x) = y_n となる x ∈ B がある。
x = x_0 + ．．．+ x_m とする。
ここで m ≧ n である。
f(x) = f(x_0) + ．．．+ f(x_m)
各 i （1 ≦ i ≦ m）に対して f(x_i) ∈ C_i であるから
i = n のとき f(x_i) = y_n
i ≠ n のとき f(x_i) = 0 である。
f は単射だから i ≠ n のとき x_i = 0 である。
よって、x = x_n である。
よって、f(B_n) = C_n である。
証明終
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