命題 A を可換環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。 このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。 さらに G の重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しくなるように G を選べる。
証明 m = deg f（>>134）とする。 n と m に関する２重帰納法を使う。 n ≦ 1 のときは自明である。 n ＞ 1 とする。
A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。 >>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n よって、ψ(s_k) = t_k
