- 183 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 05:45:19.02 ]
- 命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
証明
過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
よって、L/K が分離的（過去スレpart4の843）なことを証明すれば良い。
f(X) の L における根全体の集合を {α_1、．．．、α_n} とする。
L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）である。
各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して g_i(X) を α_i の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）とする。
f(α_i) = 0 であるから f(X) は g_i(X) で割れる。
f(X) は分離的であるから g_i(X) も分離的である。
よって、α_i は K 上分離的（過去スレpart4の841）である。
よって、過去スレpart1の271より L/K は分離的である。
証明終
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