命題 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。 C が B の次数付き A-線型部分環（>>169）であるためには C の任意の元の各同次成分（>>170）が C に属すことが必要十分である。
証明 必要性： C が B の次数付き A-線型部分環であるとする。 C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C の任意の元 x は x = Σy_n と一意に書ける。 ここで y_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 他方、x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、y_n = x_n、n = 0、1、．．．である。 よって、各 x_n は C に属す。
十分性： C の任意の元の各同次成分が C に属すとする。 C の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 仮定より各 x_n は C に属すから x_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C は B の次数付き A-線型部分環である。 証明終
